微专题Ⅴ 竖直平面的圆周运动-2025-2026学年高一物理同步讲练（人教版必修第二册）

微专题Ⅴ 竖直平面的圆周运动 掌握圆周运动中竖直面上的几种模型分析思路 知识点一 绳、杆模型讨论 轻绳模型（没有支撑） 轻杆模型（有支撑） 常见 类型 过最高点的临界条件 由mg＝m得v临＝ 由小球能运动即可得v临＝0 对应最低点速度v低≥ 对应最低点速度v低≥ 绳不松不脱轨条件 v低≥或v低≤ 不脱轨 最低点弹力 F低-mg =mv低2/r F低=mg+mv低2/r，向上拉力 F低-mg =mv低2/r F低=mg+mv低2/r，向上拉力 最高点弹力 过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN＝m-mg 向下压力 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为向上支持力 (2)当0＜v＜时，－FN＋mg＝m，FN向上支持力，随v的增大而减小 (3)当v＝时，FN＝0 (4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN为向下压力并随v的增大而增大 在最高 点的FN 图线 取竖直向下为正方向 取竖直向下为正方向 解题技巧 分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路 知识点二 汽车过拱凹形桥 概述 如图所示为凹形桥模型．当汽车通过凹形桥的最低点时，向心力F向＝FN－mg＝m 规律 桥对车的支持力FN＝mg＋m＞mg，汽车处于超重状态 概述 如图所示为拱形桥模型．当汽车通过拱形桥的最高点时，向心力F向＝mg－FN＝m 规律 桥对车的支持力FN＝mg－m＜mg，汽车处于失重状态．若v＝，则FN＝0，汽车将脱离桥面做平抛运动 知识点三 斜面上的圆周运动 在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制（图甲）、轻绳控制（图乙）、轻杆控制（图丙），物体的受力情况和临界条件也不相同。 在斜面内做圆周运动的物体的速率不断变化，运动情况与竖直面内的圆周运动类似，所以通常分析物体在最高点和最低点的受力情况。 题型一 绳/单层轨道模型 [例题1] 如图（a）所示，轻绳一端连接小球，另一端可绕水平转轴在竖直面内自由转动，在最低点给小球一个初速度v0，使小球能做完整的圆周运动，利用传感器记录绳的拉力大小F，同时记录对应时刻轻绳与竖直向下方向的夹角θ，将数据输入计算机得到 F-cosθ图像如图（b）所示。已知绳长0.6m，g取则下列判断正确的是（　　） A．小球在最低点的初速度大小为6m/s B．小球的质量为0.1 kg C．小球在最低点与最高点绳的拉力差随初速度大小v₀的增大而增大 D．小球在最高点的速度大小为 【答案】A 【详解】AB．当cosθ=0时 ，由牛顿第二定律得 小球从最低点到该位置的过程中，根据动能定理得 当cosθ=0.5时由牛顿第二定律得 小球从最低点到该位置的过程中，根据动能定理得 联立解得 故A正确，B错误； C．在最低点得 在最高点得 则 故小球在最低点与最高点绳的拉力差保持不变，故C错误； D．小球从最低点到最高点的过程中，根据动能定理得 解得小球在最高点的速度大小为 故D错误。 故选A。 [例题2] 小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离后落地，如图所示。已知握绳的手离地面高度为，手与球之间的绳长为，重力加速度为，忽略手的运动半径和空气阻力，则以下说法正确的是（　　） A．为保证小球在竖直平面上做完整圆周运动，通过最高点时速度至少为 B．绳断开时球的速度大小 C．绳能承受的最大拉力为 D．改变绳长，使球重复上述运动，若球运动到最低点时恰好断掉，则球最大水平飞行距离为 【答案】C 【详解】A．若想小球在竖直平面内做完整的圆周运动，其在最高点时，满足 解得，故A错误； B．设绳子断后球飞行时间为，由平抛运动规律可得，联立解得 ， ，故B错误； C．在最低点，由牛顿第二定律可得代入数据解得 ，由牛顿第三定律可得，绳能承受的最大拉力为，故C正确； D．设绳子长度为l，绳断时球的速度为，由于绳子承受的最大拉力不变，则有，解得 ，绳子断后做平抛运动，则有 ，解得 ，当时，有最大值，故D错误。 故选C。 [例题3] 某同学用不可伸长的轻质细线系一个质量为0.1kg的小球，使它在竖直面内绕一固定点做圆周运动。在小球经过最高点附近时拍摄了一张照片，曝光时间为0.02s。如图，由于小球运动，在照片上留下了一条长度约等于0.01m的径迹。圆周的半径在照片中的长度为0.05m，实际长度为0.2m。忽略空气阻力，重力加速度g取10m/s2。则小球过最高点时（　　） A．速度约为10m/s B．仅受重力 C．所需的向心力约为1N D．受到细线的拉力约为1N 【答案】D 【详解】A．圆周的半径在照片中的长度为0.05m，实际长度为R=0.2m，令长度约等于0.01m的径迹实际长度为x，则有 小球过最高点的速度约为 解得v=2m/s，故A错误； B．结合上述，小球在最高点所需向心力 可知，小球在最高点受到重力与细线的拉力，故B错误； C．结合上述可知，所需的向心力约为2N，故C错误； D．小球在最高点时，根据牛顿第二定律有 解得T=1N，故D正确。 故选D。 [例题4] 如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆轨道上做圆周运动。圆半径为R，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆轨。则其通过最高点时（　　） A．小球对圆环的压力大小等于 mg B．小球受到的向心力大于 mg C．小球的线速度大小等于 D．小球的向心加速度小于g 【答案】C 【详解】A．小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆轨，可知，通过最高点时，小球对圆环的压力大小等于0，故A错误； B．结合上述可知，通过最高点时，小球受到的向心力等于 mg，故B错误； C．结合上述有 解得，故C正确； D．结合上述，根据牛顿第二定律可知，通过最高点时，小球的向心加速度等于g，故D错误。 故选C。 [例题5] 如图所示，质量均为的a、b两小球用不可伸长的等长轻质绳子悬挂起来，使小球a在竖直平面内来回摆动，小球在水平面内做匀速圆周运动，连接小球的绳子与竖直方向的夹角和小球摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为，重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．a、b两小球都是所受合外力充当向心力 B．、两小球圆周运动的半径之比为 C．小球受到的绳子拉力为 D．a小球运动到最高点时受到的绳子拉力为 【答案】C 【详解】A．a小球在竖直平面内来回摆动，属于变速圆周运动。只有在最低点时，合外力才完全充当向心力，而其他位置合外力有切向分力改变速度大小，只有径向分力充当向心力；b小球在水平面内做匀速圆周运动，合外力完全充当向心力，故A错误；   B．设绳长为，所以a小球在竖直面内做圆周运动的半径就是绳长，即 小球在水平面内做匀速圆周运动的半径为 所以、两小球做圆周运动的半径之比为，故B错误； C．对b小球受力分析可知，b小球受重力和沿绳斜向上的拉力的作用在水平面内做匀速圆周运动，沿水平方向和竖直方向建立直角坐标系，则在竖直方向有 解得小球受到的绳子拉力为，故C正确； D．a小球运动到最高点时速度为0，向心力为0，即沿半径方向上合外力应该为0。设此时绳的拉力为，将重力沿半径和垂直半径方向进行正交分解，在沿半径方向有 解得a小球运动到最高点时受到绳的拉力为，故D错误。 故选C。 题型二 杆/管道模型模型 [例题6] 如图，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管内运动，当小球通过最高点时速率为v0，则下列说法正确的是（　　） A．若v0=0，则小球对管内壁无压力 B．若，则小球对管内下壁有压力 C．若，则小球对管内上壁没有压力 D．不论v0多大，小球对管内壁都有压力 【答案】B 【详解】A．设小球在最高点时管内下壁对小球有竖直向上的支持力，则有 若v0=0，可得小球所受的支持力 根据牛顿第三定律，可知小球对管内下壁有竖直向下的压力，故A错误； B．设小球在最高点时管内上壁对小球有竖直向下的压力，则有 若，可得小球所受的压力 负号说明管内下壁对小球有竖直向上的支持力，根据牛顿第三定律，可知小球对管内下壁有竖直向下的压力，故B正确； C．设小球在最高点时管内上壁对小球有竖直向下的压力，则有 若，可得小球所受的压力 即管内上壁对小球有竖直向下的压力，大小为，根据牛顿第三定律，可知小球对管内上壁有竖直向上的压力，小球对管内下壁没有压力，故C错误； D．设小球在最高点时管内壁对小球没有力的作用，则有 解得 此时小球对管内壁没有压力，故D错误。 故选B。 [例题7] 如图所示，长为1m的轻杆一端固定在水平转轴O上，另一端固定一个质量为1kg的小球（视为质点）。在转轴O的带动下，小球在竖直平面内做匀速圆周运动，小球经过最高点时对轻杆的作用力大小为20 N。取重力加速度大小，下列说法正确的是（　　） A．小球经过最高点时对轻杆的作用力方向竖直向下 B．小球做匀速圆周运动的线速度大小为 C．小球经过最低点时受到的合力大小为30 N D．小球经过最低点时受到轻杆的作用力大小为20 N 【答案】C 【详解】A．小球经过最高点时有 解得 当方向向下，根据牛顿第三定律小球对轻杆的作用力方向竖直向上，当方向向上，根据牛顿第三定律小球对轻杆的作用力方向竖直向下，小球经过最高点时对轻杆的作用力大小为20 N时方向应该竖直向上，故A错误； B．根据在最高点有 代入数据解得，故B错误； C．小球经过最低点时受到的合力大小为，故C正确； D．小球经过最低点时有 解得，故D错误。 故选 C。 [例题8] 如图甲所示，小球穿在竖直平面内光滑的固定圆环上，绕圆心O点做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，圆环与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其图像如图乙所示，g取，则（　　） A．小球的质量为3kg B．圆环的半径R为0.4m C．时，小球受到的弹力与重力大小相等 D．时，小球与圆环间无作用力 【答案】C 【详解】A．对小球在最高点时受力分析，受到竖直向下的重力和圆环的弹力，速度较小时，圆环对小球的弹力竖直向上，根据牛顿第二定律 由图乙可知，当速度为零时， 代入上式可得，A选项错误； B．由图乙可知，当外力为零时， 牛顿第二定律表达式可得，B选项错误； C．当时，由分析可知圆环对小球的弹力竖直向下，根据牛顿第二定律 代入数据得 小球受到的弹力与重力大小相等，C选项正确； D．同理，当时，代入牛顿第二定律可得 小球与圆环间有作用力，D选项错误。 故选C 。 [例题9] 如图所示，内壁光滑、半径为L的圆管竖直固定，管内有一个质量为m的小球（视为质点）做圆周运动，小球直径略小于圆管内径。若小球能在圆管内做完整的圆周运动，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．小球速度的最小值为 B．当小球的速度增大时，其向心力一定增大 C．小球运动过程中，加速度始终指向圆心 D．小球在最高点受到的弹力大小一定随小球的速度的增大而增大 【答案】B 【详解】A．小球速度最小出现在圆管顶点位置，当小球在最高点受到的支持力与重力平衡时，小球的最小速度为0，故A错误； B．根据向心力表达式，可知当小球的速度增大时，其向心力一定增大，故B正确； C．小球做变速圆周运动，存在沿切向方向的加速度改变速度大小，所以加速度不会始终指向圆心，故C错误； D．小球经过最高点时，当重力刚好提供向心力时，则有 解得 当小球经过最高点的速度满足时，根据牛顿第二定律可得 可得弹力大小为 可知弹力大小随小球的速度的增大而减小； 当小球经过最高点的速度满足时，根据牛顿第二定律可得 可得弹力大小为 可知弹力大小随小球的速度的增大而增大；故D错误。 故选B。 [例题10] 如图所示，一轻杆一端固定一质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为r的圆周运动。以下说法正确的是（　　） A．小球过最高点时，杆受力不可以是零 B．小球过最高点时的最小速率为 C．小球过最高点时，杆对球的作用力可以竖直向上，此时球受到的重力一定不小于杆对球的作用力 D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定竖直向下 【答案】C 【详解】A．小球过最高点时，当重力刚好提供向心力时，有 解得 可知此时杆受力为零，故A错误； B．小球过最高点时，如果杆对小球的支持力与重力平衡，可得最小速率为0，故B错误； CD．小球过最高点时，如果速度小于，则杆对球的作用力竖直向上，此时有 可得，故C正确，D错误。 故选C。 题型三 斜面上的圆周运动 [例题11] 如图所示，在倾角为且足够大的光滑斜面上，有一长为L的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球。现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动。已知重力加速度为g，下列判定正确的是（　　） A．小球在斜面上做匀速圆周运动 B．在最高点A点时速度为 C．小球在最高点时的加速度为g D．小球从B运动到A过程中，线拉力一直在减小 【答案】D 【详解】A．根据机械能守恒定律，小球在斜面上做圆周运动速率变化，不是做匀速圆周运动，故A错误； B．据牛顿第二定律得 所以 故B错误； C．小球在最高点时的加速度为 解得 故C错误； D．小球从最低位置转过角度，根据圆周运动和牛顿第二定律有 小球从B运动到A过程中，v减小，减小，线拉力一直在减小，故D正确。 故选D。 [例题12] 如图所示，倾角为37°的光滑斜面固定在水平地面上，长度为L的细线一端与小球相连，另一端穿入小孔O与力传感器（位于斜面体内部）连接。小球从某一位置（细绳处于拉直状态），由静止释放后摆下，到达最低点时力传感器的示数是小球重力的1.8倍。现在O点的下方钉一个钉子P（O、P连线与斜面底边垂直），小球从相同位置（细绳处于拉直状态），由静止释放后摆下，细线所能承受的最大拉力是重力的3倍，钉子和小球均可视为质点，不计空气阻力和细线与钉子相碰时的能量损失，sin37°=0.6，cos37°=0.8。下列说法正确的是（　　） A．当细线碰到钉子的瞬间，小球的线速度突然增大 B．当细线碰到钉子的瞬间，小球的角速度保持不变 C．为使细绳不被拉断，之间距离可能是 D．为使细绳不被拉断，之间距离可能是 【答案】C 【详解】AB．不计细线与钉子相碰时的能量损失，当细线碰到钉子的瞬间，小球的线速度保持不变，由 由于半径变小，可知角速度突然增大，故AB错误； CD．设小球运动到最低点时的速度为v，未钉钉子时，由牛顿第二定律得 解得 钉钉子后，由牛顿第二定律得 因为 则 故C正确，D错误。 故选C。 [例题13] 如图甲所示，倾角θ=30°的光滑斜面固定在水平地面上，轻质细绳一端固定在斜面上的O点，另一端连接一小球，使小球在斜面上以O为圆心做完整的圆周运动，小球运动到最高点时受到绳的拉力大小为F，速度大小为v，其F-v2图像如图乙所示。已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为 B．轻绳的长度为 C．当F等于小球重力时，小球的加速度大小为g D．当F等于小球重力时，v= 【答案】D 【详解】AB．在最高点根据牛顿第二定律有 当F=0，v2=b带入可得 上式可变性为 图像的斜率 可得，故AB错误； C．当F等于小球重力时，小球的加速度大小为，故C错误； D．当F等于小球重力时，有 联立上述分析可得，故D正确。 故选D 。 [例题14] 如图甲所示，倾角为θ的光滑斜面固定在水平地面上，细线一端与可看成质点的质量为m的小球相连，另一端穿入小孔O与力传感器（位于斜面体内部）连接，传感器可实时记录细线拉力大小及扫过的角度。初始时，细线水平，小球位于小孔O的右侧，现敲击小球，使小球获得一平行于斜面向上的初速度v0，此后传感器记录细线拉力T的大小随细线扫过角度α的变化图像如图乙所示，图中F0已知，小球到O点距离为l，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．小球位于初始位置时的加速度大小为 B．小球通过最高点时速度大小为 C．小球通过最高点时速度大小为 D．小球通过最低点时速度大小为 【答案】C 【详解】A．位于初始位置时的向心加速度 沿斜面向下的加速度 根据平行四边形定则知，则小球位于初始位置时的加速度大于，故A错误； B．由图乙可知，小球通过最高点时细线的拉力最小，为零，则有 解得小球通过最高点时的速度 故B错误； C．小球在初始位置时，有 则小球通过最高点时的速度，故C正确； D．小球通过最低点时，细线的拉力最大，根据牛顿第二定律有 解得小球通过最低点的速度 故D错误。 故选C。 [例题15] 如图所示，在与水平地面夹角为的光滑斜面。上有一半径为R=0.1m的光滑圆轨道，一质量为m=0.2kg的小球在圆轨道内沿轨道做圆周运动，g=10m/s2，下列说法中正确的是（　　） A．小球能通过圆轨道最高点的最小速度为0 B．小球能通过圆轨道最高点的最小速度为1m/s C．小球以2m/s的速度通过圆轨道最低点时对轨道的压力为8N D．小球通过圆轨道最低点和最高点时对圆轨道的压力之差为6N 【答案】D 【详解】AB．小球做圆周运动，在最高点，根据牛顿第二定律有 当时，小球有最小速度，解得 故AB错误； C．小球以2m/s的速度通过圆轨道最低点时，根据牛顿第二定律有 解得 根据牛顿第三定律，球对轨道的压力大小为9N，故C错误； D．结合上述，小球做圆周运动，在最高点有 小球通过圆轨道最低点时有 从最高点到最低点，根据动能定理有 解得 故D正确。 故选D。 1. 现有一根长的刚性轻绳，其一端固定于O点，另一端系着质量的小球（可视为质点），将小球提至O点正上方的A点处，此时绳刚好伸直且无张力，小球以速度水平抛出，如图所示，不计空气阻力，g取，下列说法正确的是（　　） A．小球能在竖直面内做完整的圆周运动 B．绳子拉力为4.5N C．绳子再次绷紧时小球下落距离为1.8m D．绳子再次绷紧的时间为0.5s 【答案】C 【详解】若小球抛出后恰好做圆周运动，重力提供向心力，由牛顿第二定律得 代入数据解得 可知，小球被抛出后做平抛运动，设轻绳绷紧时与竖直方向的夹角为，小球运动轨迹如图所示 小球做平抛运动，水平方向 竖直方向 由几何知识得， 代入数据解得， AB．小球被抛出后先做平抛运动，绳子再次绷紧时做圆周运动，小球做平抛运动时绳子是松弛的，绳子的拉力为零，故AB错误； CD．由以上分析可知，绳子再次绷紧的时间，小球下落的距离 故C正确，D错误。 故选C 2. 某校王校长喜欢体育锻炼，尤其喜欢柔力球。柔力球以迎、引、抛及弧形接发技术为特征，是一项集健身、表演和竞技为一体的富有民族特色的体育运动。如图，健身者能控制球拍使球在竖直面内做半径为R的匀速圆周运动，忽略球运动过程中受到的空气阻力。a为圆周的最高点，c为最低点，在a、c两处球拍面水平，b、d两点与圆心O等高。已知球的质量为m，重力加速度大小为g，球在c点对球拍的压力大小为2mg，则球（　　） A．做圆周运动的线速度大小为 B．在a处受到球拍的作用力为mg C．在b处所受的合外力不一定指向圆心 D．圆周运动的周期为 【答案】D 【详解】A．球做匀速圆周运动，在c点对球拍的压力大小为2mg，根据牛顿第二定律可得 解得 做圆周运动的线速度大小为 ，故A错误； B．球做匀速圆周运动，则在a处有 解得 故B错误； C．球做匀速圆周运动，所以各处的合外力提供向心力，都应该指向圆心，故C错误； D．圆周运动的周期为 故D正确。 故选D。 3. 荡秋千，是一项在生活中常见且深受人们喜爱的运动项目。一同学进行荡秋千表演，已知秋千的两根绳子均为10m，该同学和秋千踏板的总质量约为50kg。绳的质量忽略不计，当该同学荡到秋千支架的正下方时，踏板的速度大小为8m/s，已知重力加速度，此时每根绳子平均承受的拉力约为（  ） A．425N B．410N C．800N D．820N 【答案】B 【详解】该同学荡到秋千支架的正下方时，以同学和秋千踏板为对象，根据牛顿第二定律可得 解得此时每根绳子平均承受的拉力大小为 故选B。 4. 如图所示，为马戏团中上演飞车节目，在竖直平面内有半径为R的圆轨道。表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动。已知人和摩托车的总质量为m，人以的速度过轨道最高点B，并以的速度过最低点A。则在A、B两点摩托车对轨道的压力大小之差为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在最高点时 在最低点时 可得 根据牛顿第三定律可知在A、B两点摩托车对轨道的压力大小之差为6mg。 故选D。 5. 如图所示，一长为的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为的小球，轻杆随转轴在竖直平面内绕转轴中心点做角速度为的匀速圆周运动，已知重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．小球运动到水平位置时，杆对球的作用力方向指向圆心 B．小球运动到最低点时，杆对球的作用力大小为 C．小球运动到最高点时，若，杆对球提供拉力大小为 D．小球运动到最高点时，若，杆对球提供拉力大小为 【答案】C 【详解】A．小球做匀速圆周运动，运动到水平位置时，杆的拉力和重力的合力提供向心力，方向指向圆心，重力方向竖直向下，则杆对球的作用力方向并非指向圆心，而是斜向上，故A错误； B．小球运动到最低点时，杆的拉力和重力的合力提供向心力，即 则，故B错误； CD．因转动的角速度大小未知，故小球在最高点时，杆对球的作用力方向不能确定。假设的方向竖直向下。根据 解得 由此可知，若，杆对小球的拉力大小为 ，方向竖直向下；若，杆对小球恰好无作用力；若，杆对小球的支撑力大小为，方向竖直向上。故C正确，D错误。 故选C。 6. 如图，一内壁光滑的细圆管处于竖直平面内，管道半径为。现有一光滑小球（可视为质点）在细圆管内运动，重力加速度为，小球通过最高点时速率为，（　　） A．若，则小球对管内壁无压力 B．若，则小球对管外壁无压力 C．若，则小球对管外壁有压力 D．不论多大，则小球对管内壁都有压力 【答案】C 【详解】A．若，则小球处于平衡状态，由平衡条件可知，管内壁对小球有向上的支持力，大小等于小球重力的大小，由牛顿第三定律可知，小球对管内壁有压力，大小等于小球重力的大小，故A错误； BCD．小球到达管道的最高点时，假设恰好与管壁间无作用力，由重力提供向心力，则有 解得 可知，当时，小球对管外壁有压力；当时，小球对管内壁有压力，故BD错误，C正确。 故选C。 7. 如图，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管内运动，当小球通过最高点时速率为v0，则下列说法正确的是（　　） A．若v0=0，则小球对管内下壁无压力 B．若v0=，则小球对管内上壁有压力 C．若v0=，则小球对管内下壁没有压力 D．不论v0多大，小球对管内下壁都有压力 【答案】C 【详解】A．设小球在最高点时管内下壁对小球有竖直向上的支持力，则有 若，可得小球所受的支持力 根据牛顿第三定律，可知小球对管内下壁有竖直向下的压力，故A错误； B．设小球在最高点时管内上壁对小球有竖直向下的压力，则有 若，可得小球所受的压力 负号说明管内下壁对小球有竖直向上的支持力，根据牛顿第三定律，可知小球对管内下壁有竖直向下的压力，故B错误； C．设小球在最高点时管内上壁对小球有竖直向下的压力，则有 若，可得小球所受的压力即管内上壁对小球有竖直向下的压力，大小为 根据牛顿第三定律，可知小球对管内上壁有竖直向上的压力，小球对管内下壁没有压力，故C正确； D．设小球在最高点时管内壁对小球没有力的作用，则有 解得此时小球对管内壁没有压力，故D错误。 故选C。 8. 如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一个小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其图像如图乙所示，则下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为 B．当地的重力加速度大小为 C．时，小球对杆的弹力方向向下 D．时，小球对杆的弹力为2mg 【答案】B 【详解】AB．由图乙可知，当时，对小球在最高点由牛顿第二定律得 可得当地的重力加速度大小为 当时，在最高点有 可得小球的质量为 故A错误，B正确； C．当时，在最高点对小球由牛顿第二定律得 可得 可知杆对小球弹力方向向下，则小球对杆弹力方向向上，故C错误； D．当时，在最高点对小球由牛顿第二定律得 解得 可知小球对杆的弹力为，故D错误。 故选B。 9. 如图所示，一半径为R的圆环处于竖直平面内，A是与圆心等高点，圆环上套着一个可视为质点的、质量为m的小球。现使圆环绕其竖直直径转动，小球和圆环圆心O的连线与竖直方向的夹角记为θ，转速不同，小球静止在圆环上的位置可能不同。当圆环以角速度ω匀速转动且小球与圆环相对静止时（　　） A．若圆环光滑，则角速度 B．若圆环光滑，则角速度 C．若小球与圆环间的摩擦因数为μ，且小球位于A点，则角速度ω可能等 D．若小球与圆环间的摩擦因数为μ，且小球位于A点，则角速度ω可能等于 【答案】D 【详解】AB．小球在图示位置时的受力分析如图所示 则小球所受合外力提供向心力，即 以上两式联立，解得 故AB错误； CD．若小球在A点时，则圆环对小球的支持力提供向心力，圆环对小球的静摩擦力与重力等大反向，即 联立，解得 故C错误，D正确。 故选D。 10. 如图所示，在倾角为的光滑斜面上，有一根长为的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为的小球，沿斜面做圆周运动，取，小球在A点最小速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，小球恰好过A点时的速度最小，即小球过A点时绳子上的拉力恰好为零时，此时小球做圆周运动的向心力完全由小球重力沿斜面向下的分力来提供，由牛顿第二定律有 解得 故选B。 11. 如图所示，在倾角为30°的光滑固定斜面上，用两根等长的细线将两个质量均为kg的小球A、B（均看作质点）系在点，两个小球之间连着一根劲度系数为50N/m的轻弹簧，两球静止时两根细线之间的夹角为60°，，则（   ） A．系在小球上细线的拉力为N B．斜面对小球的支持力为15N C．弹簧的形变量为0.2m D．若将弹簧撤去，则撤去瞬间小球的加速度大小为 【答案】B 【详解】A．对整体进行受力分析，整体受到重力、支持力和两根细线的拉力，在沿斜面方向，根据共点力平衡，有      解得 A错误； B．对小球B，在垂直于斜面方向，根据共点力平衡有 B正确； C．对小球B，在平行于斜面方向，根据共点力平衡有 解得 根据胡克定律，可知弹簧的形变量为 C错误； D．若将弹簧撤去，则撤去瞬间小球的加速度大小 D错误。 故选B。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题Ⅴ 竖直平面的圆周运动 掌握圆周运动中竖直面上的几种模型分析思路 知识点一 绳、杆模型讨论 轻绳模型（没有支撑） 轻杆模型（有支撑） 常见 类型 过最高点的临界条件 由mg＝m得v临＝ 由小球能运动即可得v临＝0 对应最低点速度v低≥ 对应最低点速度v低≥ 绳不松不脱轨条件 v低≥或v低≤ 不脱轨 最低点弹力 F低-mg =mv低2/r F低=mg+mv低2/r，向上拉力 F低-mg =mv低2/r F低=mg+mv低2/r，向上拉力 最高点弹力 过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN＝m-mg 向下压力 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为向上支持力 (2)当0＜v＜时，－FN＋mg＝m，FN向上支持力，随v的增大而减小 (3)当v＝时，FN＝0 (4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN为向下压力并随v的增大而增大 在最高 点的FN 图线 取竖直向下为正方向 取竖直向下为正方向 解题技巧 分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路 知识点二 汽车过拱凹形桥 概述 如图所示为凹形桥模型．当汽车通过凹形桥的最低点时，向心力F向＝FN－mg＝m 规律 桥对车的支持力FN＝mg＋m＞mg，汽车处于超重状态 概述 如图所示为拱形桥模型．当汽车通过拱形桥的最高点时，向心力F向＝mg－FN＝m 规律 桥对车的支持力FN＝mg－m＜mg，汽车处于失重状态．若v＝，则FN＝0，汽车将脱离桥面做平抛运动 知识点三 斜面上的圆周运动 在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制（图甲）、轻绳控制（图乙）、轻杆控制（图丙），物体的受力情况和临界条件也不相同。 在斜面内做圆周运动的物体的速率不断变化，运动情况与竖直面内的圆周运动类似，所以通常分析物体在最高点和最低点的受力情况。 题型一 绳/单层轨道模型 [例题1] 如图（a）所示，轻绳一端连接小球，另一端可绕水平转轴在竖直面内自由转动，在最低点给小球一个初速度v0，使小球能做完整的圆周运动，利用传感器记录绳的拉力大小F，同时记录对应时刻轻绳与竖直向下方向的夹角θ，将数据输入计算机得到 F-cosθ图像如图（b）所示。已知绳长0.6m，g取则下列判断正确的是（　　） A．小球在最低点的初速度大小为6m/s B．小球的质量为0.1 kg C．小球在最低点与最高点绳的拉力差随初速度大小v₀的增大而增大 D．小球在最高点的速度大小为 [例题2] 小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离后落地，如图所示。已知握绳的手离地面高度为，手与球之间的绳长为，重力加速度为，忽略手的运动半径和空气阻力，则以下说法正确的是（　　） A．为保证小球在竖直平面上做完整圆周运动，通过最高点时速度至少为 B．绳断开时球的速度大小 C．绳能承受的最大拉力为 D．改变绳长，使球重复上述运动，若球运动到最低点时恰好断掉，则球最大水平飞行距离为 [例题3] 某同学用不可伸长的轻质细线系一个质量为0.1kg的小球，使它在竖直面内绕一固定点做圆周运动。在小球经过最高点附近时拍摄了一张照片，曝光时间为0.02s。如图，由于小球运动，在照片上留下了一条长度约等于0.01m的径迹。圆周的半径在照片中的长度为0.05m，实际长度为0.2m。忽略空气阻力，重力加速度g取10m/s2。则小球过最高点时（　　） A．速度约为10m/s B．仅受重力 C．所需的向心力约为1N D．受到细线的拉力约为1N [例题4] 如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆轨道上做圆周运动。圆半径为R，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆轨。则其通过最高点时（　　） A．小球对圆环的压力大小等于 mg B．小球受到的向心力大于 mg C．小球的线速度大小等于 D．小球的向心加速度小于g [例题5] 如图所示，质量均为的a、b两小球用不可伸长的等长轻质绳子悬挂起来，使小球a在竖直平面内来回摆动，小球在水平面内做匀速圆周运动，连接小球的绳子与竖直方向的夹角和小球摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为，重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．a、b两小球都是所受合外力充当向心力 B．、两小球圆周运动的半径之比为 C．小球受到的绳子拉力为 D．a小球运动到最高点时受到的绳子拉力为 题型二 杆/管道模型模型 [例题6] 如图，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管内运动，当小球通过最高点时速率为v0，则下列说法正确的是（　　） A．若v0=0，则小球对管内壁无压力 B．若，则小球对管内下壁有压力 C．若，则小球对管内上壁没有压力 D．不论v0多大，小球对管内壁都有压力 [例题7] 如图所示，长为1m的轻杆一端固定在水平转轴O上，另一端固定一个质量为1kg的小球（视为质点）。在转轴O的带动下，小球在竖直平面内做匀速圆周运动，小球经过最高点时对轻杆的作用力大小为20 N。取重力加速度大小，下列说法正确的是（　　） A．小球经过最高点时对轻杆的作用力方向竖直向下 B．小球做匀速圆周运动的线速度大小为 C．小球经过最低点时受到的合力大小为30 N D．小球经过最低点时受到轻杆的作用力大小为20 N [例题8] 如图甲所示，小球穿在竖直平面内光滑的固定圆环上，绕圆心O点做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，圆环与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其图像如图乙所示，g取，则（　　） A．小球的质量为3kg B．圆环的半径R为0.4m C．时，小球受到的弹力与重力大小相等 D．时，小球与圆环间无作用力 [例题9] 如图所示，内壁光滑、半径为L的圆管竖直固定，管内有一个质量为m的小球（视为质点）做圆周运动，小球直径略小于圆管内径。若小球能在圆管内做完整的圆周运动，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．小球速度的最小值为 B．当小球的速度增大时，其向心力一定增大 C．小球运动过程中，加速度始终指向圆心 D．小球在最高点受到的弹力大小一定随小球的速度的增大而增大 [例题10] 如图所示，一轻杆一端固定一质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为r的圆周运动。以下说法正确的是（　　） A．小球过最高点时，杆受力不可以是零 B．小球过最高点时的最小速率为 C．小球过最高点时，杆对球的作用力可以竖直向上，此时球受到的重力一定不小于杆对球的作用力 D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定竖直向下 题型三 斜面上的圆周运动 [例题11] 如图所示，在倾角为且足够大的光滑斜面上，有一长为L的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球。现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动。已知重力加速度为g，下列判定正确的是（　　） A．小球在斜面上做匀速圆周运动 B．在最高点A点时速度为 C．小球在最高点时的加速度为g D．小球从B运动到A过程中，线拉力一直在减小 [例题12] 如图所示，倾角为37°的光滑斜面固定在水平地面上，长度为L的细线一端与小球相连，另一端穿入小孔O与力传感器（位于斜面体内部）连接。小球从某一位置（细绳处于拉直状态），由静止释放后摆下，到达最低点时力传感器的示数是小球重力的1.8倍。现在O点的下方钉一个钉子P（O、P连线与斜面底边垂直），小球从相同位置（细绳处于拉直状态），由静止释放后摆下，细线所能承受的最大拉力是重力的3倍，钉子和小球均可视为质点，不计空气阻力和细线与钉子相碰时的能量损失，sin37°=0.6，cos37°=0.8。下列说法正确的是（　　） A．当细线碰到钉子的瞬间，小球的线速度突然增大 B．当细线碰到钉子的瞬间，小球的角速度保持不变 C．为使细绳不被拉断，之间距离可能是 D．为使细绳不被拉断，之间距离可能是 [例题13] 如图甲所示，倾角θ=30°的光滑斜面固定在水平地面上，轻质细绳一端固定在斜面上的O点，另一端连接一小球，使小球在斜面上以O为圆心做完整的圆周运动，小球运动到最高点时受到绳的拉力大小为F，速度大小为v，其F-v2图像如图乙所示。已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为 B．轻绳的长度为 C．当F等于小球重力时，小球的加速度大小为g D．当F等于小球重力时，v= [例题14] 如图甲所示，倾角为θ的光滑斜面固定在水平地面上，细线一端与可看成质点的质量为m的小球相连，另一端穿入小孔O与力传感器（位于斜面体内部）连接，传感器可实时记录细线拉力大小及扫过的角度。初始时，细线水平，小球位于小孔O的右侧，现敲击小球，使小球获得一平行于斜面向上的初速度v0，此后传感器记录细线拉力T的大小随细线扫过角度α的变化图像如图乙所示，图中F0已知，小球到O点距离为l，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．小球位于初始位置时的加速度大小为 B．小球通过最高点时速度大小为 C．小球通过最高点时速度大小为 D．小球通过最低点时速度大小为 [例题15] 如图所示，在与水平地面夹角为的光滑斜面。上有一半径为R=0.1m的光滑圆轨道，一质量为m=0.2kg的小球在圆轨道内沿轨道做圆周运动，g=10m/s2，下列说法中正确的是（　　） A．小球能通过圆轨道最高点的最小速度为0 B．小球能通过圆轨道最高点的最小速度为1m/s C．小球以2m/s的速度通过圆轨道最低点时对轨道的压力为8N D．小球通过圆轨道最低点和最高点时对圆轨道的压力之差为6N 1. 现有一根长的刚性轻绳，其一端固定于O点，另一端系着质量的小球（可视为质点），将小球提至O点正上方的A点处，此时绳刚好伸直且无张力，小球以速度水平抛出，如图所示，不计空气阻力，g取，下列说法正确的是（　　） A．小球能在竖直面内做完整的圆周运动 B．绳子拉力为4.5N C．绳子再次绷紧时小球下落距离为1.8m D．绳子再次绷紧的时间为0.5s 2. 某校王校长喜欢体育锻炼，尤其喜欢柔力球。柔力球以迎、引、抛及弧形接发技术为特征，是一项集健身、表演和竞技为一体的富有民族特色的体育运动。如图，健身者能控制球拍使球在竖直面内做半径为R的匀速圆周运动，忽略球运动过程中受到的空气阻力。a为圆周的最高点，c为最低点，在a、c两处球拍面水平，b、d两点与圆心O等高。已知球的质量为m，重力加速度大小为g，球在c点对球拍的压力大小为2mg，则球（　　） A．做圆周运动的线速度大小为 B．在a处受到球拍的作用力为mg C．在b处所受的合外力不一定指向圆心 D．圆周运动的周期为 3. 荡秋千，是一项在生活中常见且深受人们喜爱的运动项目。一同学进行荡秋千表演，已知秋千的两根绳子均为10m，该同学和秋千踏板的总质量约为50kg。绳的质量忽略不计，当该同学荡到秋千支架的正下方时，踏板的速度大小为8m/s，已知重力加速度，此时每根绳子平均承受的拉力约为（  ） A．425N B．410N C．800N D．820N 4. 如图所示，为马戏团中上演飞车节目，在竖直平面内有半径为R的圆轨道。表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动。已知人和摩托车的总质量为m，人以的速度过轨道最高点B，并以的速度过最低点A。则在A、B两点摩托车对轨道的压力大小之差为（　　） A． B． C． D． 5. 如图所示，一长为的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为的小球，轻杆随转轴在竖直平面内绕转轴中心点做角速度为的匀速圆周运动，已知重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．小球运动到水平位置时，杆对球的作用力方向指向圆心 B．小球运动到最低点时，杆对球的作用力大小为 C．小球运动到最高点时，若，杆对球提供拉力大小为 D．小球运动到最高点时，若，杆对球提供拉力大小为 6. 如图，一内壁光滑的细圆管处于竖直平面内，管道半径为。现有一光滑小球（可视为质点）在细圆管内运动，重力加速度为，小球通过最高点时速率为，（　　） A．若，则小球对管内壁无压力 B．若，则小球对管外壁无压力 C．若，则小球对管外壁有压力 D．不论多大，则小球对管内壁都有压力 7. 如图，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管内运动，当小球通过最高点时速率为v0，则下列说法正确的是（　　） A．若v0=0，则小球对管内下壁无压力 B．若v0=，则小球对管内上壁有压力 C．若v0=，则小球对管内下壁没有压力 D．不论v0多大，小球对管内下壁都有压力 8. 如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一个小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其图像如图乙所示，则下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为 B．当地的重力加速度大小为 C．时，小球对杆的弹力方向向下 D．时，小球对杆的弹力为2mg 9. 如图所示，一半径为R的圆环处于竖直平面内，A是与圆心等高点，圆环上套着一个可视为质点的、质量为m的小球。现使圆环绕其竖直直径转动，小球和圆环圆心O的连线与竖直方向的夹角记为θ，转速不同，小球静止在圆环上的位置可能不同。当圆环以角速度ω匀速转动且小球与圆环相对静止时（　　） A．若圆环光滑，则角速度 B．若圆环光滑，则角速度 C．若小球与圆环间的摩擦因数为μ，且小球位于A点，则角速度ω可能等 D．若小球与圆环间的摩擦因数为μ，且小球位于A点，则角速度ω可能等于 10. 如图所示，在倾角为的光滑斜面上，有一根长为的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为的小球，沿斜面做圆周运动，取，小球在A点最小速度为（    ） A． B． C． D． 11. 如图所示，在倾角为30°的光滑固定斜面上，用两根等长的细线将两个质量均为kg的小球A、B（均看作质点）系在点，两个小球之间连着一根劲度系数为50N/m的轻弹簧，两球静止时两根细线之间的夹角为60°，，则（   ） A．系在小球上细线的拉力为N B．斜面对小球的支持力为15N C．弹簧的形变量为0.2m D．若将弹簧撤去，则撤去瞬间小球的加速度大小为 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $