期中重难点特训之易错压轴专项训练（18易错+8压轴）-2025-2026学年苏科版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

期中重难点特训之易错压轴专项训练（18易错+8压轴） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 易错题型一、一元二次方程的定义 易错题型二、解一元二次方程——直接开平方法 易错题型三、解一元二次方程——配方法 易错题型四、公式法解一元二次方程 易错题型五、换元法解一元二次方程 易错题型六、因式分解法解一元二次方程 易错题型七、根据一元二次方程根的情况求参数 易错题型八、一元二次方程的根与系数的关系 易错题型九、圆的基本概念辨析 易错题型十、利用垂径定理求值 易错题型十一、利用弧、弦、圆心角的关系求解 易错题型十二、判断确定圆的条件 易错题型十三、圆周角定理 易错题型十四、判断直线和圆的位置关系 易错题型十五、有关切线的概念辨析 易错题型十六、正多边形与圆 易错题型十七、求弧长及扇形面积 易错题型十八、求圆锥的侧面积 压轴题型一、韦达定理 压轴题型二、垂径定理的实际应用 压轴题型三、直线与圆的位置关系（切线定理） 压轴题型四、圆周角与圆心角综合问题 压轴题型五、与弧长、扇形及圆锥的相关问题 压轴题型六、一元二次方程的实际综合应用 压轴题型七、正多边形和圆的综合 压轴题型八、圆的综合问题 易错题型一、一元二次方程的定义 1．（24-25九年级上·江苏盐城·开学考试）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知是一元二次方程，则实数 ． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知是一元二次方程的一个根，求的值． 易错题型二、解一元二次方程——直接开平方法 4．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）用直接开方法解方程得方程的根为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）方程的解是 ． 6．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 易错题型三、解一元二次方程——配方法 7．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）将一元二次方程 配方后为（ ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）将一元二次方程配方为，则k的值是 ． 9．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 易错题型四、公式法解一元二次方程 10．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）若是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是（　　） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）小明用公式法解方程，请帮他填空第一步，解：，， ． 12．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）（1）计算： （2）解一元二次方程： 易错题型五、换元法解一元二次方程 13．（24-25九年级上·江苏无锡·开学考试）方程的解为（    ） A．2 B．1 C．1，2 D．，0 14．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）若，则的值是 ． 15．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）先阅读题例，再解答问题． 为解方程；我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解得或．当时，；当时，，；所以原方程的解为． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想．运用上述方法解决下列问题： (1)已知 ，求； (2)解方程：． 易错题型六、因式分解法解一元二次方程 16．（24-25九年级上·江苏无锡·开学考试）一元二次方程的解是（   ） A． B． C．， D．， 17．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）一元二次方程的根为 ． 18．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）解方程：． 易错题型七、根据一元二次方程根的情况求参数 19．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D． 20．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为 ． 21．（24-25九年级上·江苏常州·期中）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求m的值及方程的根． 易错题型八、一元二次方程的根与系数的关系 22．（25-26九年级上·江苏无锡·开学考试）已知，是方程的两个实数根，则的值是（　　） A．2022 B． C． D．2023 23．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）关于x的一元二次方程的两个实数根为，则 ． 24．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． (1) (2) 易错题型九、圆的基本概念辨析 25．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）下列说法中，不正确的是（   ） A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．圆的每一条直径都是它的对称轴 C．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合 D．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 26．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）圆的周长是，半圆的周长等于 ． 27．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图所示，求证：直径是中最长的弦． 易错题型十、利用垂径定理求值 28．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图， 的直径，的弦于点，且，则的长为（    ） A．4 B． C．6 D．8 29．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在圆O中，弦长，点C是弧中点，交弦于点D，．则圆O的半径为 ． 30．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图所示，在中，半径弦，垂足为，，． (1)求半径的长． (2)作图：延长交于点并连接，求的长． 易错题型十一、利用弧、弦、圆心角的关系求解 31．（24-25九年级上·江苏常州·期中）下列叙述正确的是（    ） A．平分弦的直径必垂直于弦 B．同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．等弧所对的弦相等 32．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，是的直径，，，则的度数为 ． 33．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，点、、、在上，是的直径，．求的度数． 易错题型十二、判断确定圆的条件 34．（25-26九年级上·江苏常州·课后作业）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 35．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在每个小正方形边长为1 的网格图中，经过格点、、，则该弧所在圆的半径是 ． 36．（24-25九年级上·江苏常州·课后作业）图，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，∠B=90°，以AD为直径作圆O，证明点C在圆O上； 易错题型十三、圆周角定理 37．（2025·江苏·模拟预测）如图，在中，，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 38．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，点A，B，C均在上，，则的度数为 ． 39．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，以为直径的分别交于点D、E． (1)求证：点E是的中点； (2)若，求的度数． 易错题型十四、判断直线和圆的位置关系 40．（24-25九年级上·江苏常州·期中）已知的直径为，圆心O到直线l的距离为，则直线l和的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．不能确定 41．（25-26九年级上·江苏常州·课后作业）在中，，D是BC的中点．以点D为圆心，2.5为半径作圆，则与直线AC的位置关系是 ． 42．（25-26九年级上·江苏常州·课后作业）如图，在中，，点O在上（不与点A，B重合），且的半径为1．分别求出当与相离、相切和相交时的取值范围． 易错题型十五、有关切线的概念辨析 43．（2025·江苏盐城·模拟预测）下列说法中，正确的是（     ） A．垂直于半径的直线是圆的切线； B．经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线； C．经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线； D．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线． 44．（24-25九年级·江苏常州·课后作业）当点P在⊙O上时, 经过点P能作 条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O (填”上”或”外”或”内”) 45．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，是锐角三角形，请用尺规作图法作，使它与相切于点E．（保留痕迹，不写作法） 易错题型十六、正多边形与圆 46．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，正方形内接于，则的度数是（   ） A． B． C． D． 47．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知正六边形的边长为9，那么它的外接圆的半径为 ． 48．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，在圆内接正六边形中，半径，求这个正六边形的周长．    易错题型十七、求弧长及扇形面积 49．（2025·江苏·模拟预测）如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（   ） A．（千米） B．（千米） C．（千米） D．（千米） 50．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分面积为 ．（结果保留） 51．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，四边形内接于，，为对角线，点在的延长线上，且． (1)判断所在直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，的半径为3，求阴影部分的面积．（结果保留） 易错题型十八、求圆锥的侧面积 52．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，求小虫爬行的最短距离是多少?（　　） A． B． C． D． 53．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径为5，则该圆锥底面圆的半径为 ． 54．（24-25九年级上·江苏常州·课后作业）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：），电镀时，如果每平方米用锌，电镀100个这样的锚标浮筒，需要用多少锌？ 压轴题型一、韦达定理 1．（24-25九年级上·江苏常州·期中）若一元二次方程的两根为则，，我们把这个命题叫做韦达定理．设，是方程的两根，请根据韦达定理求下列各式的值： (1)　　；　　； (2)； (3)． 2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）【背景】法国数学家弗朗索瓦·韦达于年在其著作《论方程的识别与订正》中提出了说明一元二次方程中根与系数之间关系的韦达定理．根据韦达定理，不仅可以根据已知的一元二次方程求出两根的和与乘积，还可以根据两根的和与乘积构造一元二次方程． （）【探究】写出符合条件的一元二次方程，使得其两根、满足 ，：___________； ，：______________________． （）【应用】，，若，求的值． （）【推广】若实数、、满足，，求正数的最小值． 3．（24-25九年级上·江苏南京·期中）课本再现 （1）方程的求根公式为，不仅表示可由方程的系数求出方程的根，而且反映了根与系数之间的联系．即方程的两个根为，满足： ①；②．（这也称作韦达定理，是由16世纪法国数学家韦达发现的）．请你选择其中一个结论进行证明； 知识应用 （2）已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）阅读下列材料： 韦达定理：若一元二次方程的两根分别为．则， ． 阅读下面应用韦达定理的过程： 若一元二次方程的两根分别为．求的值． 解：该一元二次方程的判别式， 由韦达定理可得： ，，解答下列问题： (1)设方程的两根分别为，不解方程，利用韦达定理求代数式的值； (2)若关于x的一元二次方程的两实数根分别为，且，利用韦达定理求k的值． 5．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）阅读材料：已知a2-a-1=0，1-b-b2=0，且ab≠1，求的值． 解：由a2-a-1=0，1-b-b2=0可知a≠0，b≠0． 又∵ab≠1， ∴a≠． ∴1-b-b2=0可以变形为． ∴a，可以看做是方程x2-x-1=0的两根． ∴由韦达定理得：，即． 请根据材料中提供的方法解答下面的题目： 已知3m2-6m+2=0，，且m≠n，求的值． 压轴题型二、垂径定理的实际应用 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）某型号的圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下面是水平放置的破裂管道有水部分的截面．设其圆心为点，若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深地方的高度为．求这个圆形截面的半径． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽为米，污水的最大深度为米． (1)求此下水管横截面的半径： (2)随着污水量的增加，水位又被抬升米，求此时水面的宽度增加了多少？ 3．（24-25九年级上·江苏常州·期中）一座半圆形拱桥的截面图如图1，测得桥下水面的宽，拱顶到水面的距离． (1)求拱桥的半径； (2)如图2，一艘宽，船舱顶部为矩形并高出水面的货船，能否顺利通过这座拱桥，请说明理由． 4．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在历史的长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能运用自身拥有的多门学科的专业知识去修复破损的文物，使其重获新生．如图1，某文物修复师在修复一件破碎的古代瓷器束口盏（盏口原貌为圆形）的时候，仅凭一块碎片就初步推算出了该文物原貌口径的尺寸．如图2是文物修复师根据碎片的切面画出的几何图形．碎片的边缘是圆弧，表示为，测得弧所对的弦长为12.8，弧中点到弦的距离为2．设所在圆的圆心为O，半径于D，连接．求这个盏口半径的长（精确到0.1）． 5．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）阅读材料并运用已学的知识解决问题：    材料1：我国的石拱桥有悠久的历史．《水经注》里提到的“旅人桥”，大约建成于公元282年，可能是有记载的最早的石拱桥，我国的石拱桥几乎到处都有，这些桥大小不一，形式多样，有许多惊人的杰作，河北赵县赵州桥“长虹卧波”，桥拱呈圆弧形，永定河上的卢沟桥由11个半圆形的石拱组成，颐和园玉带桥桥拱则呈蛋尖形（可近似看作抛物线形），还有的拱桥里多边形、椭圆形、马蹄形和尖拱形，可说应有尽有． 材料2：图1是陶然亭公园“玉虹桥”．经2023年10月15日中午测量，中间大拱在水面的跨度（即图2线段长度）约为m，当时大拱的最高点距离水面的高度（即图2点C到的距离）约为m． 解决问题：若玉虹桥的桥拱为圆弧形，则桥拱所在圆的半径．（取近似值，精确到） 压轴题型三、直线与圆的位置关系（切线定理） 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，点为直线l外一点，利用尺规作，使经过点A且与直线l相切于点B． 2．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．求，，的长． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知为的直径，点为圆上一点，垂直于过点的直线，交于点E，垂足为点，平分．求证：是的切线． 4．（2025九年级上·江苏南京·专题练习）如图，是的直径，是的切线，切点为，交于点，点是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，，求图中阴影部分的面积． 5．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）我们已经学习了垂径定理、圆周角定理等，实际上，与圆相关的定理还有很多，比如切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．切割线定理揭示了从圆外一点引圆的切线和割线时，切线与割线之间的关系． 下面我们尝试证明切割线定理． 已知：如图1，是外一点，与相切于点，交于点，（即是的割线），连接，． 求证：． 证明：如图2，连接并延长，交于点，连接． 与相切于点，.， 是的直径， …… (1)根据上面的证明思路，补全剩余的证明过程． (2)图2中，若的半径为，，，求的长． 压轴题型四、圆周角与圆心角综合问题 1．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，直径弦，若，求的度数． 2．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，四边形内接于，，．比较的大小，并说明理由． 3．（2025九年级上·江苏宿迁·学业考试）如图1、图2是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作弦AB的圆心角． (2)在图2中作弦AB的圆周角，使圆周角的顶点在格点上． 4．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，在上有，，三点，，不使用圆规，只用无刻度的直尺作出符合下列要求的角，保留作图痕迹． (1)请在图中作一个的圆周角，记为． (2)请在图中作一个的圆心角，记为． 5．（24-25九年级上·江苏常州·期中）数学思想方法对于数学学习至关重要，不仅可以建立正确的数学思维方式，提高解决问题的能力，还可以培养创造性思维和逻辑思维，增强逻辑思维能力和创新能力．在研究一条弧所对的圆周角和圆心角之间的关系时就涉及了完全归纳法．完全归纳法是把要研究的某类事物的所有情况，先逐一加以讨论，再概括得出一般结论．有时也可以把所有情况分成几类，对每类加以讨论，再概括得出一般情况．在利用完全归纳法证明的过程中，应明确为什么要分情况证明，而且要分得准确，要不重不漏．为了证明同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半，张老师引导学生画图，在中任取一个圆周角，由于点A的位置不同，会出现三种情况， （1）如图1，圆心O在的一边上； （2）如图2，圆心O在的内部； （3）如图3，圆心O在的外部． 张老师引导学生分析第（1）种情况，如图1．∵，∴． ∵是的外角，∴．∴． 对于第（2）（3）种情况，张老师引导学生们分析，通过添加辅助线，可以将它们转化为第（1）种情况，从而得到相同的结论．请你完成第（2）（3）种情况的证明． (1)如图2，连接AO并延长AO交于点D，求证：； (2)如图3，求证： 压轴题型五、与弧长、扇形及圆锥的相关问题 1．（25-26九年级上·江苏无锡·开学考试）如图，是一个直径为厘米的半圆，让这个半圆以为圆心沿逆时针方向旋转，使到达的位置，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 2．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图，在以为圆心的两个同心圆中，点是小圆上一点． (1)过点作大圆的弦，使得；运用尺规作图，保留作图痕迹，不写画法 (2)在（1）的条件下，若两个同心圆中大圆的弦长为，则两个同心圆围成的圆环面积为______用含的代数式表示； (3)在（1）的条件下，若两个同心圆圈成的圆环宽为，大圆的弦长为，求大圆中弦与弧所围成的图形面积．     3．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）（1）【课本再现】如图（1）所示，，是的两条切线，切点分别为，．则图中的与，与有什么关系？请说明理由． （2）【知识应用】如图（2）所示，、、分别与相切于点、、，且，连接、，延长交于点，交于点，过点作交于． ①求证：是的切线； ②当，时，求的半径及图中阴影部分的面积． 4．（2025·江苏无锡·模拟预测）综合与实践 主题：装饰锥形草帽． 素材：母线长为、高为的锥形草帽（如图（））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、足够大的卡纸． 步骤：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形． 步骤：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽． 计算与探究： （）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数； （）如图（），根据（）的计算过程，直接写出圆锥的高、母线长与侧面展开图的圆心角度数之间的数量关系： ． 5．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C． (1)画出该圆弧所在圆的圆心D的位置，并连接． (2)请在（1）的基础上，以点O为原点、水平方向所在直线为x轴、竖直方向所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，完成下列问题： ①的半径为_________（结果保留根号）； ②若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是_____． 压轴题型六、一元二次方程的实际综合应用 1．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）《九章算术》中记载，“今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户邪几何？”译文是：“今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等，问门的对角线的长是多少？ 2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）在巴黎奥运会乒乓球混双决赛中，中国组合王楚钦和孙颖莎击败朝鲜组合夺冠，这是中国乒乓球队历史上首枚奥运混双金牌，填补了国乒在奥运会混双项目上的空白，标志着中国乒乓球在奥运项目上的全面覆盖． (1)据市场调研发现，某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知月共销售乒乓球拍副，每月的月销售增长率相同，月共销售副，求该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率． (2)已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售副，每副盈利元，每下降元，则每天可多售副，该乒乓球拍的日销售利润能否达到元？如果能，请求出每副乒乓球拍的售价；如果不能，请说明理由． 3．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）我校餐厅有两样热卖单品——米线和面条．但近期发现销量下降．为应对销售总额下降的问题，餐厅采取了以下措施： 对米线进行降价出售 将面条换成凉面出售 当按照10元/份出售时，估计每天只能售出50份，售价每降价1元，就能多售出20份 凉面定价元/碗．售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间为一次函数关系，其中两组数据如表所示（，且为整数）： (1)请求出每天米线售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间的关系；每天凉面售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间的关系； (2)求每碗米线定价（为正整数）为多少元时，才能使得米线日销售额达到630； (3)经过核算，一碗米线与一碗凉面的定价和为16元时，比较合理． 请求出每碗凉面的定价为多少元时，当天米线和凉面销售总量最多，为多少碗； 4．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． （1）甲运动后的路程是多少? （2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间? （3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间? 5．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)运动开始后，当为何值时，的长度等于？ (2)连接，当为何值时，的面积等于？ 压轴题型七、正多边形和圆的综合 1．（24-25九年级上·江苏常州·单元测试）如图，正外接圆的半径为，求正的边长，边心距，周长和面积． 2．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长． 3．（25-26九年级上·江苏常州·课后作业）碳60，是一种非金属单质，化学式为，是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯．如下图，足球烯是由正五边形和正六边形组成的凸多面体． (1)足球烯中正五边形每一个内角的度数为______． (2)若足球烯中正六边形的边长为a，求该正六边形的边心距． 4．（2025·江苏南京·模拟预测）（1）如图1，用无刻度的直尺和圆规在图1中作出的内接正六边形，保留作图痕迹． （2）如图2、图3是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．其中点A、点D为格点，经过点A、点D，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务． ①如图2，过点O作的垂线，交于； ②如图3，点B在上，过点B作弦． 5．（24-25九年级上·江苏常州·单元测试）如图，、分别是的内接正三角形、正方形、正五边形的边、上的点，且，连接、． (1)图①中的度数是_____； (2)图②中的度数是_____，图③中的度数是_____； (3)若、分别是正边形…的边、上的点，且，连接、，则的度数是_____． 压轴题型八、圆的综合问题 1．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，，是中相等的两条弦，过点O分别作于点F，于点G． (1)求证：； (2)延长交于点D，连接交的延长线于点E．若，，求的半径． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）点，，在上，将沿折叠后，与交于． (1)若，求的度数． (2)如图，点恰是翻折所得的中点，若，求的度数． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·开学考试）在平面直角坐标系中，对于图形P，图形和直线l给出如下定义：图形P关于直线l的对称图形为．若图形P与图形均存在点在图形Q内部（包括边界），则称图形Q为图形P关于直线l的“弱相关图形”．    (1)如图，点，点． ①已知图形是半径为2的，是半径为1的，是半径为的，在，，中，线段关于直线的“弱相关图形”是：　　； ②已知的半径为2，若是线段关于直线的“弱相关图形”，求b的取值范围； (2)在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，有一个半径为2的圆P．若存在点，使得对于任意过点C的直线l，有圆P，满足半径r的是圆P关于l的“弱相关图形”，直接写出r的取值范围． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）【学习心得】 （1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则，两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则______． 【初步运用】 （2）如图2，在四边形中，，求的度数； 【方法迁移】 （3）如图3，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； 【问题拓展】 （4）①如图4①，已知矩形为边上的点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为______． ②如图4②，在中，，是边上的高，且，求的长． 5．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）点P为平面直角坐标系中一点，点Q为图形M上一点．我们将线段长度的最大值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“宽度”． (1)如图，⊙O半径为2，与x轴交于点A，B，点． ①在点P视角下，⊙O的“宽度”为___________，线段的“宽度”为___________； ②点为x轴上一点．若在点P视角下，线段的“宽度”为2，求m的取值范围； (2)⊙C的圆心在x轴上，半径为（），直线与x轴，y轴分别交于点D，E．若线段上存在点K，使得在点K视角下，⊙C的“宽度”可以为2，求圆心C的横坐标的取值范围． $期中重难点特训之易错压轴专项训练（18易错+8压轴） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 易错题型一、一元二次方程的定义 易错题型二、解一元二次方程——直接开平方法 易错题型三、解一元二次方程——配方法 易错题型四、公式法解一元二次方程 易错题型五、换元法解一元二次方程 易错题型六、因式分解法解一元二次方程 易错题型七、根据一元二次方程根的情况求参数 易错题型八、一元二次方程的根与系数的关系 易错题型九、圆的基本概念辨析 易错题型十、利用垂径定理求值 易错题型十一、利用弧、弦、圆心角的关系求解 易错题型十二、判断确定圆的条件 易错题型十三、圆周角定理 易错题型十四、判断直线和圆的位置关系 易错题型十五、有关切线的概念辨析 易错题型十六、正多边形与圆 易错题型十七、求弧长及扇形面积 易错题型十八、求圆锥的侧面积 压轴题型一、韦达定理 压轴题型二、垂径定理的实际应用 压轴题型三、直线与圆的位置关系（切线定理） 压轴题型四、圆周角与圆心角综合问题 压轴题型五、与弧长、扇形及圆锥的相关问题 压轴题型六、一元二次方程的实际综合应用 压轴题型七、正多边形和圆的综合 压轴题型八、圆的综合问题 易错题型一、一元二次方程的定义 1．（24-25九年级上·江苏盐城·开学考试）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A．中未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B．中含有两个未知数，此方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C．符合一元二次方程的定义，故此选项符合题意； D．不是整式方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知是一元二次方程，则实数 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据的最高次数是2，且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴且， 解得． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知是一元二次方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，注意一元二次方程（a、b、c是常数）的二次项系数不为零．根据一元二次方程的解得定义把代入一元二次方程，即可求出待定系数a的值，注意：一元二次方程的二次系数不为零． 【详解】解：将代入得， 易错题型二、解一元二次方程——直接开平方法 4．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）用直接开方法解方程得方程的根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查一元二次方程的解法—直接开平方法，运用整体思想，把看作一个整体，利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 5．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握常见的解一元二次方程的方法是解题的关键． 直接运用直接开平方法求解即可． 【详解】解∶ ， ， ， 所以该方程组的解为：，． 故答案为：，． 6．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程的直接开平方法和配方法，根据方程的特点采用适当的方法可使解方程简便． （1）用直接开平方法即可解答； （2）用配方法即可解答． 【详解】（1）解：， 或， 则，． （2）解：， ∴， ∴， 或， 则，． 易错题型三、解一元二次方程——配方法 7．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）将一元二次方程 配方后为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，根据配方法可以将题目中的方程写成完全平方的形式． 【详解】解：， ， ， ． 故选：D． 8．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）将一元二次方程配方为，则k的值是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键． 将原方程变形成与相同的形式，即可求解． 【详解】解： ∵将一元二次方程配方为， ∴． 故答案为：6． 9．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ∴，； （2）解： 或 ∴，． 易错题型四、公式法解一元二次方程 10．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）若是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键． 根据一元二次方程求根公式，对照得出一元二次方程的字母系数即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的根为， ∵是用公式法解一元二次方程得到的一个根， ∴可以为：， ∴满足要求的方程为：， 故选：A． 11．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）小明用公式法解方程，请帮他填空第一步，解：，， ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 根据求根公式中的意义求解． 【详解】解：． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）（1）计算： （2）解一元二次方程： 【答案】（1）5；（2）， 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、解一元二次方程等知识点，掌握相关运算法则和方法是解题的关键． （1）直接运用有理数的四则混合运算法则计算即可； （2）直接运用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ． （2）， ， ， ，． 易错题型五、换元法解一元二次方程 13．（24-25九年级上·江苏无锡·开学考试）方程的解为（    ） A．2 B．1 C．1，2 D．，0 【答案】D 【分析】此题考查了解一元二次方程——因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键. 首先把看作整体，再利用十字相乘法因式分解，最后求出解即可． 【详解】解：方程分解得：， 即， 所以或， 解得：或． 故选：D． 14．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，本题中把看成未知数，可得方程：，利用分解因式法解方程即可． 【详解】解：， 整理得：， 分解因式可得：， 或 ， 解得：或(不符合题意，舍去)， 故答案为： ． 15．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）先阅读题例，再解答问题． 为解方程；我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解得或．当时，；当时，，；所以原方程的解为． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想．运用上述方法解决下列问题： (1)已知 ，求； (2)解方程：． 【答案】(1)或5 (2)，，， 【分析】（1）设，将原方程化为求解即可； （2）设，将原方程化为，求出n的值，再解关于x的方程求出x的值． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ∴， ∴， ∴或， ∴或5； （2）解：设，则原方程化为， ∴ ∴或， 当时，， ∴，； 当时，， ∴，； ∴，，，． 【点睛】此题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法．解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 易错题型六、因式分解法解一元二次方程 16．（24-25九年级上·江苏无锡·开学考试）一元二次方程的解是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程； 利用因式分解法求解即可． 【详解】解：因式分解得：， 所以或， 所以，， 故选：D． 17．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）一元二次方程的根为 ． 【答案】， 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是关键． 先将等号右边代数式移项至等号左边，再用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得，， 故答案为：，． 18．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ∴或 ∴，． 易错题型七、根据一元二次方程根的情况求参数 19．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．一元二次方程有两个相等的实数根，即 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ． 故选：D． 20．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次方程根与判别式的关系，解题的关键是列出方程求解即可．根据方程有两个相等的实数根时列出方程，解之可得答案． 【详解】由题意可知，， 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得，，即实数的值为． 故答案为：． 21．（24-25九年级上·江苏常州·期中）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求m的值及方程的根． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及解法，根据当时，方程有两个相等的实数根求得m值，进而解一元二次方程即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得， 当时，原方程化为， 解得， 所以原方程的根为． 易错题型八、一元二次方程的根与系数的关系 22．（25-26九年级上·江苏无锡·开学考试）已知，是方程的两个实数根，则的值是（　　） A．2022 B． C． D．2023 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴ 故选：B 23．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）关于x的一元二次方程的两个实数根为，则 ． 【答案】21 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若为方程的两个根，则与系数的关系式：， ． 根据根与系数的关系求出，，然后利用完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为21． 24．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知根与系数的关系是解题的关键． （1）根据根与系数的关系可得，再由即可得到答案； （2）根据根与系数的关系可得，再由即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是方程的两个根， ∴， ∴ ； （2）解：∵是方程的两个根， ∴， ∴ ． 易错题型九、圆的基本概念辨析 25．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）下列说法中，不正确的是（   ） A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．圆的每一条直径都是它的对称轴 C．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合 D．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 【答案】B 【分析】本题主要考查圆的对称性，掌握圆的轴对称和旋转不变性是解题的关键． 【详解】解：A. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，说法正确； B. 圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，原说法错误； C. 圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合，说法正确； D. 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个，说法正确； 故选：B． 26．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）圆的周长是，半圆的周长等于 ． 【答案】 【分析】根据半圆的周长等于圆的周长的一半加上直径即可得到答案． 【详解】解：圆的周长是， 半圆的周长等于， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求半圆的周长，熟练掌握半圆的周长等于圆的周长的一半加上直径是解此题的关键． 27．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图所示，求证：直径是中最长的弦． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆的概念，在中，由三角形任意两边之和大于第三边有，结合，故大于，即可得出结论． 【详解】证明：如图，是中的任一直径，是圆内任意一条弦， 连接， 则， ∵， ∴， ∴直径是圆中最长的弦． 易错题型十、利用垂径定理求值 28．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图， 的直径，的弦于点，且，则的长为（    ） A．4 B． C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理，根据题意连接，则，，利用勾股定理即可求得，最后由完成解答． 【详解】解：连接， 则， ∴， 由勾股定理得： ∴ 故选：D． 29．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在圆O中，弦长，点C是弧中点，交弦于点D，．则圆O的半径为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解．如图．设.利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设. ∵C是弧中点， ， 在中，， ， 解得． 故答案为：4． 30．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图所示，在中，半径弦，垂足为，，． (1)求半径的长． (2)作图：延长交于点并连接，求的长． 【答案】(1)5 (2)图见解析， 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，根据垂径定理得到，设，在利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答； （2）延长交于点并连接，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴半径的长为5； （2）解：如图， 由（1）得，半径的长为5， ∴， ∴在中，， ∴的长为． 易错题型十一、利用弧、弦、圆心角的关系求解 31．（24-25九年级上·江苏常州·期中）下列叙述正确的是（    ） A．平分弦的直径必垂直于弦 B．同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．等弧所对的弦相等 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据垂径定理，三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故A错误； B．同圆或等圆中，相等的弦所对的劣弧或优弧相等，故B错误； C．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C错误； D．等弧所对的弦相等，故D正确． 故选：D． 32．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，是的直径，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】 根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用平角的定义得到的度数，然后根据弧的度数等于它所对的圆心角的度数求解． 【详解】 解：∵， ∴， 而为直径， ∴， ∴的度数为． 33．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，点、、、在上，是的直径，．求的度数． 【答案】 【分析】连接AD、CD，证明为等腰直角三角形，再根据圆周角定理得出． 【详解】解：连接AD、CD， ∵是的直径， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，掌握圆周角定理及推论并熟练应用是解题关键．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等；.半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 易错题型十二、判断确定圆的条件 34．（25-26九年级上·江苏常州·课后作业）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】找出不在同一条直线上的三个点的所有组合，即可解决问题． 【详解】解：过以下三点可以画出一个圆：、、；、、；、、；、、；、、；、、． ∴最多可画出圆的个数为个． 故选：． 【点睛】本题考查确定圆的条件，掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键． 35．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在每个小正方形边长为1 的网格图中，经过格点、、，则该弧所在圆的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，确定圆心，作的垂直平分线交于点，连接，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，作的垂直平分线交于点，连接， ∴， 故答案为：． 36．（24-25九年级上·江苏常州·课后作业）图，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，∠B=90°，以AD为直径作圆O，证明点C在圆O上； 【答案】证明见解析 【分析】连接CO；由勾股定理求出AC，利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，得出∠ACD=90°；再根据斜边上中线的性质和圆的对称性分析，即可完成证明． 【详解】图，连接CO ∵AB=6，BC=8，∠B=90°， ∴ ∵CD=24，AD=26 ∴ ∴△ACD是直角三角形， ∴∠ACD=90° ∵AD为⊙O的直径 ∴AO=OD ∴OC为Rt△ACD斜边上的中线 ∴ ∴点C在圆O上． 【点睛】本题考查了圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、勾股定理及其逆定理、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解． 易错题型十三、圆周角定理 37．（2025·江苏·模拟预测）如图，在中，，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理，连接是解题的关键； 连接，利用圆周角定理求出，，再由求解即可． 【详解】解：如图，连接， 根据圆周角定理，可得，， ． 故选：D． 38．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，点A，B，C均在上，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 39．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，以为直径的分别交于点D、E． (1)求证：点E是的中点； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要查了圆周角定理，等腰三角形的性质： （1）连接，由圆周角定理推出，由等腰三角形的性质即可证明E是的中点； （2）由等腰三角形的性质得到，求出，由圆周角定理推出，即可求出． 【详解】（1）证明：连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴E是的中点； （2）解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴． 易错题型十四、判断直线和圆的位置关系 40．（24-25九年级上·江苏常州·期中）已知的直径为，圆心O到直线l的距离为，则直线l和的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，由的直径为，得出圆的半径是，圆心O到直线l的距离为，即，得出，即可得出直线l与的位置关系是相切． 【详解】解：∵的直径为， ∴半径， ∵圆心O到直线l的距离为， ∴， ∴直线l与的位置关系是相切． 故选：C． 41．（25-26九年级上·江苏常州·课后作业）在中，，D是BC的中点．以点D为圆心，2.5为半径作圆，则与直线AC的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】连接，过点作于．根据等腰三角形的性质和勾股定理可求的长，再根据三角形的面积计算可求点到直线的距离，从而求解． 【详解】解：连接，过点作于． ∵在中，，，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴与直线的位置关系是相交． 故答案为：相交． 【点睛】考查了等腰三角形的性质和勾股定理，三角形的面积，解题的关键是得到点到直线的距离． 42．（25-26九年级上·江苏常州·课后作业）如图，在中，，点O在上（不与点A，B重合），且的半径为1．分别求出当与相离、相切和相交时的取值范围． 【答案】当与相离时，；当与相切时，；当与相交时，． 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，含角的直角三角形，关键是掌握直线与圆的位置关系的判定方法． 判断直线和圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为，直线和相交；直线和相切；直线和相离,由此即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点． ， ． ． ①当与相离时，有，即，解得． 又点O在上（不与点重合），，； ②当与相切时，有，即，解得； ③当与相交时，有，即，解得． 又． 综上所述，当与相离时，； 当与相切时，； 当与相交时，． 易错题型十五、有关切线的概念辨析 43．（2025·江苏盐城·模拟预测）下列说法中，正确的是（     ） A．垂直于半径的直线是圆的切线； B．经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线； C．经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线； D．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线． 【答案】B 【分析】根据切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，逐项分析即可． 【详解】由切线的判定定理得：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，得出只有答案B符合， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，属于基础性题目，难度不大． 44．（24-25九年级·江苏常州·课后作业）当点P在⊙O上时, 经过点P能作 条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O (填”上”或”外”或”内”) 【答案】 一 外 【分析】根据切线的定义求解即可. 【详解】如图， 当点P在⊙O上时, 经过点P能作一条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O外. 故答案为一；外. 【点睛】本题考查了切线的定义，经过半径的外端，且与半径垂直的直线是圆的切线，熟练掌握切线的定义是解答本题的关键. 45．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，是锐角三角形，请用尺规作图法作，使它与相切于点E．（保留痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图、切线的判定等知识，过点B作于E，然后以B为圆心，为半径作即可， 【详解】解∶如图， 即为所求， 易错题型十六、正多边形与圆 46．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，正方形内接于，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了正多边形和圆，根据正方形内接于即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴的度数， 故选：A． 47．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知正六边形的边长为9，那么它的外接圆的半径为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了正六边形的概念以及正六边形外接圆的性质，掌握正六边形的外接圆的半径等于其边长是解题的关键． 利用正六边形的概念以及正六边形外接圆的性质进而计算． 【详解】解：边长为9的正六边形可以分成六个以正六边形的中心为公共顶点，边长为9的正三角形， ∴外接圆半径是9， 故答案为：9． 48．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，在圆内接正六边形中，半径，求这个正六边形的周长．    【答案】这个正六边形的周长为． 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定与性质．连接，如图，根据正六边形的性质得到，则为等边三角形，所以，进而可求出正六边形的周长． 【详解】解：如图，连接， ． ∵六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， ∴这个正六边形的周长为．    易错题型十七、求弧长及扇形面积 49．（2025·江苏·模拟预测）如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（   ） A．（千米） B．（千米） C．（千米） D．（千米） 【答案】C 【分析】本题主要考查了求弧长，根据题意求出的度数，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解；由题意得，， ∴劣弧的长为千米， 故选：C． 50．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分面积为 ．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理以及扇形的面积．根据“阴影部分的面积=扇形的面积-扇形的面积”进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由图可知：阴影部分的面积=扇形的面积的面积-扇形的面积的面积， ∵绕A点逆时针旋转后得到， ∴的面积的面积， ∴阴影部分的面积=扇形的面积-扇形的面积 ； 故答案为：． 51．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，四边形内接于，，为对角线，点在的延长线上，且． (1)判断所在直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，的半径为3，求阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1)所在直线与相切，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查了切线的判定，圆有关的性质，扇形的面积，熟练运用是解答本题的关键． （1）根据圆周角为直角的弦是直径得到是直径，再根据直径所对的圆周角是直角得到，从而得到，根据已知得，同弧所对的圆周角相等得，从而得到，即可证明； （2）找到圆心角，再利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：所在直线与相切，理由如下：连接， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， 即， 点D在上， 是的切线； （2）由（1）知，， ， ， ， ． 易错题型十八、求圆锥的侧面积 52．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，求小虫爬行的最短距离是多少?（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理和圆锥的侧面展开图．圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．将圆锥的侧面展开如图所示，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线． 【详解】解：如图，将圆锥侧面沿母线展开，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线． ∵， ∴ ，即． ∵， ∴ ． ∴ 小虫爬行的最短距离为． 故选：D 53．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径为5，则该圆锥底面圆的半径为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了圆锥底面圆的半径，弧长公式的计算，掌握弧长公式的计算，圆锥的基础知识是关键． 根据弧长公式得到圆心角为的扇形的弧长为，再根据圆的周长公式计算即可． 【详解】解：圆心角为的扇形，半径为5， ∴弧长为， ∴圆锥底面圆的周长为， 设圆锥底面圆的半径为， ∴， ∴， 故答案为：1 ． 54．（24-25九年级上·江苏常州·课后作业）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：），电镀时，如果每平方米用锌，电镀100个这样的锚标浮筒，需要用多少锌？ 【答案】11.44πkg 【分析】由图形可知，浮筒的表面积＝2S圆锥侧面积+S圆柱侧面积，由题给图形的数据可分别求出圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，即可求得浮筒表面积，又已知每平方米用锌0.11kg，可求出一个浮筒需用锌量，即可求出100个这样的锚标浮筒需用锌量． 【详解】解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为400mm=0.4m， 圆锥的高为300mm=0.3m， 则圆锥的母线长为：＝0.5m． ∴圆锥的侧面积＝π×0.4×0.5＝0.2π（m2）， ∵圆柱的高为800mm=0.8m． 圆柱的侧面积＝2π×0.4×0.8＝0.64π（m2）， ∴浮筒的表面积＝＝2S圆锥侧面积+S圆柱侧面积，＝1.04π（m2）， ∵每平方米用锌0.11kg， ∴一个浮筒需用锌：1.04π×0.11kg， ∴100个这样的锚标浮筒需用锌：100×1.04π×0.11＝11.44π（kg）． 答：100个这样的锚标浮筒需用锌11.44πkg． 【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算和圆柱侧面积的计算在实际问题中的运用，解题的关键是了解几何体的构成，熟记侧面积公式． 压轴题型一、韦达定理 1．（24-25九年级上·江苏常州·期中）若一元二次方程的两根为则，，我们把这个命题叫做韦达定理．设，是方程的两根，请根据韦达定理求下列各式的值： (1)　　；　　； (2)； (3)． 【答案】(1)5，2 (2)8 (3)17 【分析】（1）根据韦达定理直接求解即可； （2）利用整式的乘法将式子展开，再代入求解即可； （3）根据方程根的含义可得，代入，求解即可． 【详解】（1）解：，是方程的两根， ，， 故答案为：5，2； （2）解： ； （3）解：，是方程的两根， ， 得， ． 【点睛】此题考查了韦达定理的应用，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）【背景】法国数学家弗朗索瓦·韦达于年在其著作《论方程的识别与订正》中提出了说明一元二次方程中根与系数之间关系的韦达定理．根据韦达定理，不仅可以根据已知的一元二次方程求出两根的和与乘积，还可以根据两根的和与乘积构造一元二次方程． （）【探究】写出符合条件的一元二次方程，使得其两根、满足 ，：___________； ，：______________________． （）【应用】，，若，求的值． （）【推广】若实数、、满足，，求正数的最小值． 【答案】 ，：；，：；应用：；推广：最小值为． 【分析】（）【探究】根据一元二次方程的两个根构造方程； 根据一元二次方程的两个根构造方程； （）【应用】由方程的解代入方程，然后整体代入即可求解； （）【推广】由，，转化为，是关于方程的两根，，然后用根的判别式即可求解． 根据一元二次方程中根与系数之间关系即可求解； 【详解】（）【探究】∵，， ∴构造一元二次方程为：，即， ∴， 故答案为：； ∵，， ∴构造一元二次方程为：，即， 故答案为：，； （）【应用】∵， ∴，为方程的两根， ∴，， ∵， ∴， 解得：， （）【推广】：， ∴，为方程的两根， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：正数的最小值为． 【点睛】此题考查了一元二次方程中根与系数和根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程中根与系数之间关系，和根的判别式． 3．（24-25九年级上·江苏南京·期中）课本再现 （1）方程的求根公式为，不仅表示可由方程的系数求出方程的根，而且反映了根与系数之间的联系．即方程的两个根为，满足： ①；②．（这也称作韦达定理，是由16世纪法国数学家韦达发现的）．请你选择其中一个结论进行证明； 知识应用 （2）已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）先根据求根公式得到，再根据二次根式的乘法和加法计算法则求出，即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到，再根据进行求解即可． 【详解】解：（1）∵方程的求根公式为且方程的两个根为，， ∴不妨设， ∴， ； （2）∵元二次方程的两根分别为、， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，公式法解一元二次方程，二次根式的乘法和加法，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）阅读下列材料： 韦达定理：若一元二次方程的两根分别为．则， ． 阅读下面应用韦达定理的过程： 若一元二次方程的两根分别为．求的值． 解：该一元二次方程的判别式， 由韦达定理可得： ，，解答下列问题： (1)设方程的两根分别为，不解方程，利用韦达定理求代数式的值； (2)若关于x的一元二次方程的两实数根分别为，且，利用韦达定理求k的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系，可得，再代入，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，可得，，从而得到，再由可得到关于k的方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴设方程的两根分别为， 由韦达定理得：， ∴ ； （2）解：∵关于x的一元二次方程的两实数根分别为， ∴， ∴， 由韦达定理得：， ∵， ∴，即， ∴， 解得：（舍去）或1， 所以k的值为1． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 5．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）阅读材料：已知a2-a-1=0，1-b-b2=0，且ab≠1，求的值． 解：由a2-a-1=0，1-b-b2=0可知a≠0，b≠0． 又∵ab≠1， ∴a≠． ∴1-b-b2=0可以变形为． ∴a，可以看做是方程x2-x-1=0的两根． ∴由韦达定理得：，即． 请根据材料中提供的方法解答下面的题目： 已知3m2-6m+2=0，，且m≠n，求的值． 【答案】 【分析】根据材料中的解法可求出m、n是方程的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系以及与代数式变形相结合的方法解答． 【详解】解：∵ ∵m≠n，3m2-6m+2=0， ∴m，n是方程的两根 ∴ ∴ 【点睛】本题考查了根与系数的关系．能够正确的理解材料的含义，并熟练地掌握根与系数的关系是解题的关键． 压轴题型二、垂径定理的实际应用 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）某型号的圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下面是水平放置的破裂管道有水部分的截面．设其圆心为点，若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深地方的高度为．求这个圆形截面的半径． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理，解题的关键是熟练运用垂径定理． 先作辅助线，利用垂径定理求出半径，再根据勾股定理计算． 【详解】解：如图，作交于点，交于点，连接， 则， ∵， ∴， 设半径为，则， 由勾股定理得，， 即， 解得：． 答：这个圆形截面的半径是. 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽为米，污水的最大深度为米． (1)求此下水管横截面的半径： (2)随着污水量的增加，水位又被抬升米，求此时水面的宽度增加了多少？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）过点O作于点C，交圆O于点D，连接，则米，根据垂径定理可得米，设此下水管横截面的半径为r米，则米，可得米，在中，由勾股定理，即可求解； （2）过点O作于点H，根据垂径定理可得，再由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：过点O作于点C，交圆O于点D，连接，则米， ∴米， 设此下水管横截面的半径为r米，则米， ∴米， 在中，， ∴， 解得：， 即此下水管横截面的半径为米； （2）解：如图，过点O作于点H， ∴， 根据题意得：米，米， ∴米， ∴米， ∴米， ∴此时水面的宽度增加了米． 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，掌握垂径定理的推论是解题的关键． 3．（24-25九年级上·江苏常州·期中）一座半圆形拱桥的截面图如图1，测得桥下水面的宽，拱顶到水面的距离． (1)求拱桥的半径； (2)如图2，一艘宽，船舱顶部为矩形并高出水面的货船，能否顺利通过这座拱桥，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】此题考查了勾股定理和垂径定理的应用．难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用． （1）如图，设半径为，连接，由垂径定理可得，在中，根据勾股定理列出方程求解即可； （2）过作，交于点，连接，由题得，，，在中根据勾股定理求出，再根据，即可解答． 【详解】（1）解：设半径为，连接， ，为半径， ， ， ， 在中：， 解得：， 答：拱桥的半径为． （2）解：过作，交于点，连接， 由题得，， ， 在中：， ， 答：不能顺利通过这座拱桥． 4．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在历史的长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能运用自身拥有的多门学科的专业知识去修复破损的文物，使其重获新生．如图1，某文物修复师在修复一件破碎的古代瓷器束口盏（盏口原貌为圆形）的时候，仅凭一块碎片就初步推算出了该文物原貌口径的尺寸．如图2是文物修复师根据碎片的切面画出的几何图形．碎片的边缘是圆弧，表示为，测得弧所对的弦长为12.8，弧中点到弦的距离为2．设所在圆的圆心为O，半径于D，连接．求这个盏口半径的长（精确到0.1）． 【答案】11.2 【分析】 根据垂径定理求出，再根据勾股定理列出关于的方程求出答案即可． 【详解】 ∵，且， ∴． 根据题意可知， ∴（）． 根据勾股定理，得， 解得． 所以这个盏口半径的长为11.2． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等，勾股定理是求线段长的常用方法． 5．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）阅读材料并运用已学的知识解决问题：    材料1：我国的石拱桥有悠久的历史．《水经注》里提到的“旅人桥”，大约建成于公元282年，可能是有记载的最早的石拱桥，我国的石拱桥几乎到处都有，这些桥大小不一，形式多样，有许多惊人的杰作，河北赵县赵州桥“长虹卧波”，桥拱呈圆弧形，永定河上的卢沟桥由11个半圆形的石拱组成，颐和园玉带桥桥拱则呈蛋尖形（可近似看作抛物线形），还有的拱桥里多边形、椭圆形、马蹄形和尖拱形，可说应有尽有． 材料2：图1是陶然亭公园“玉虹桥”．经2023年10月15日中午测量，中间大拱在水面的跨度（即图2线段长度）约为m，当时大拱的最高点距离水面的高度（即图2点C到的距离）约为m． 解决问题：若玉虹桥的桥拱为圆弧形，则桥拱所在圆的半径．（取近似值，精确到） 【答案】桥拱所在圆的半径约为m 【分析】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理； 设桥拱所在圆的圆心为O，半径为，连接，由垂径定理可得，然后在中利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：设桥拱所在圆的圆心为O，半径为， 如图，连接，    由题意得，，， 由垂径定理得：， 在中，，即， 解得：， 答：桥拱所在圆的半径约为m． 压轴题型三、直线与圆的位置关系（切线定理） 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，点为直线l外一点，利用尺规作，使经过点A且与直线l相切于点B． 【答案】图见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． ①作的垂直平分线．②过点作直线的垂线交的垂直平分线于点．③以点为圆心，长为半径作． 【详解】解：如图，即为所求． 2．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．求，，的长． 【答案】，， 【分析】本题考查切线长定理． 设，则根据切线长定理，等量代换，可得，，结合已知列方程求解即可． 【详解】解：的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ∴，，， 设，则， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴，，． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知为的直径，点为圆上一点，垂直于过点的直线，交于点E，垂足为点，平分．求证：是的切线． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 连接，根据角平分线的定义有，根据圆周角定理有，可得，进而有，进而可得，则有半径，问题得证． 【详解】解：连接，如图， ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是半径 ∴是的切线； 4．（2025九年级上·江苏南京·专题练习）如图，是的直径，是的切线，切点为，交于点，点是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、扇形面积公式等知识． （1）证明，得到，得到，又由为的半径即可证明结论； （2）证明四边形为正方形，根据图中阴影部分的面积正方形的面积扇形的面积即可求出答案． 【详解】（1）证明：连接、，如图， 是的切线， ， ， 点是的中点，点为的中点， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ． ， ， 为的半径， 为的切线； （2）由（1）可知与是直角三角形 ∵， 则，， 四边形为正方形， 则图中阴影部分的面积正方形的面积扇形的面积． 5．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）我们已经学习了垂径定理、圆周角定理等，实际上，与圆相关的定理还有很多，比如切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．切割线定理揭示了从圆外一点引圆的切线和割线时，切线与割线之间的关系． 下面我们尝试证明切割线定理． 已知：如图1，是外一点，与相切于点，交于点，（即是的割线），连接，． 求证：． 证明：如图2，连接并延长，交于点，连接． 与相切于点，.， 是的直径， …… (1)根据上面的证明思路，补全剩余的证明过程． (2)图2中，若的半径为，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． （1）先根据切线的性质得到，再根据圆周角得到，进而得到，加上为公共角，则可判断，然后根据相似三角形的性质得到，从而得到； （2）设，则，利用，可得，，进而得出，由的半径为，得出，在中利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 又， ， ， ； （2）解：设，则， 由（1），知， ， 解得或（舍去）， ， ， ， ， 的半径为， ， 在中，． 答：的长为：． 压轴题型四、圆周角与圆心角综合问题 1．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，直径弦，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据等边对等角求出的度数，再根据垂直得出，最后根据圆周角定理即可得解． 【详解】解：，， ， ， ， ． 2．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，四边形内接于，，．比较的大小，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查的是圆内接四边形性质、圆周角定理及等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识是解题关键，先求出及，证明即可证明结论． 【详解】解：，理由如下： 四边形内接于， ， ， ， ， ， ， ． 3．（2025九年级上·江苏宿迁·学业考试）如图1、图2是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作弦AB的圆心角． (2)在图2中作弦AB的圆周角，使圆周角的顶点在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了圆心角和圆周角，熟练掌握圆心角和圆周角的定义并准确作图是关键． （1）连接即可； （2）根据圆周角的定义和圆周角的顶点在格点上进行作图即可． 【详解】（1）如图，即为所求， （2）如图，即为所求， 4．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，在上有，，三点，，不使用圆规，只用无刻度的直尺作出符合下列要求的角，保留作图痕迹． (1)请在图中作一个的圆周角，记为． (2)请在图中作一个的圆心角，记为． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，圆周角定理，正确把握圆周角定理是解题的关键． （1）在劣弧上任取一点，连接，，则，则，故即为所求； （2）延长交于点，由圆周角定理得，则，故即为所求． 【详解】（1）解：如图，在劣弧上任取一点，连接，， 即为所求作； （2）解：延长交于点， 即为所求作． 5．（24-25九年级上·江苏常州·期中）数学思想方法对于数学学习至关重要，不仅可以建立正确的数学思维方式，提高解决问题的能力，还可以培养创造性思维和逻辑思维，增强逻辑思维能力和创新能力．在研究一条弧所对的圆周角和圆心角之间的关系时就涉及了完全归纳法．完全归纳法是把要研究的某类事物的所有情况，先逐一加以讨论，再概括得出一般结论．有时也可以把所有情况分成几类，对每类加以讨论，再概括得出一般情况．在利用完全归纳法证明的过程中，应明确为什么要分情况证明，而且要分得准确，要不重不漏．为了证明同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半，张老师引导学生画图，在中任取一个圆周角，由于点A的位置不同，会出现三种情况， （1）如图1，圆心O在的一边上； （2）如图2，圆心O在的内部； （3）如图3，圆心O在的外部． 张老师引导学生分析第（1）种情况，如图1．∵，∴． ∵是的外角，∴．∴． 对于第（2）（3）种情况，张老师引导学生们分析，通过添加辅助线，可以将它们转化为第（1）种情况，从而得到相同的结论．请你完成第（2）（3）种情况的证明． (1)如图2，连接AO并延长AO交于点D，求证：； (2)如图3，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，圆周角定理等知识； （1）如图2中，连接，延长交于点．利用三角形的外角的性质证明即可； （2）如图3中，连接并延长交于点E．利用三角形的外角证明即可． 【详解】（1）连接并延长交于点D， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． （2）连接并延长交于点E， ∵， ∴． ∴． ∵ ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 压轴题型五、与弧长、扇形及圆锥的相关问题 1．（25-26九年级上·江苏无锡·开学考试）如图，是一个直径为厘米的半圆，让这个半圆以为圆心沿逆时针方向旋转，使到达的位置，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】平方厘米 【分析】本题考查了扇形的面积，先求出总的面积，再减去空白部分半圆的面积即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：整个图形的面积为， ∴阴影部分的面积（平方厘米）， 答：图中阴影部分的面积是平方厘米． 2．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图，在以为圆心的两个同心圆中，点是小圆上一点． (1)过点作大圆的弦，使得；运用尺规作图，保留作图痕迹，不写画法 (2)在（1）的条件下，若两个同心圆中大圆的弦长为，则两个同心圆围成的圆环面积为______用含的代数式表示； (3)在（1）的条件下，若两个同心圆圈成的圆环宽为，大圆的弦长为，求大圆中弦与弧所围成的图形面积． 【答案】(1)见解析； (2)； (3) 【分析】（1）过P做的垂线交大圆于A，B，根据垂径定理可得． （2）利用圆环面积等于大圆面积减去小圆面积及勾股定理计算即可． （3）根据大圆中弦与所围成的图形面积求解． 【详解】（1）解：如图，连接，过P做的垂线交大圆于A，B， ， ， 则线段即为所求； （2）， ， 两个同心圆围成的圆环面积． 故答案为：； （3）， ， 设，则有    ， ， ， ， ，， ， 大圆中弦与所围成的图形面积 【点睛】本题考查垂径定理，圆环面积，弓形面积，切线的性质，锐角三角函数，尺规作图，掌握相关知识是解决问题的关键． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）（1）【课本再现】如图（1）所示，，是的两条切线，切点分别为，．则图中的与，与有什么关系？请说明理由． （2）【知识应用】如图（2）所示，、、分别与相切于点、、，且，连接、，延长交于点，交于点，过点作交于． ①求证：是的切线； ②当，时，求的半径及图中阴影部分的面积． 【答案】（1），理由见解析；（2）①见解析；②半径是，阴影部分的面积是 【分析】本题考查圆的切线的证明、扇形的面积计算等，解题的关键在于熟练掌握圆的知识点，切线的证明与性质，圆中的相关面积计算等． （1）连接和，根据切线的性质，可得，即可得出结论； （2）①根据题意求证，即可得出，即可得出答案；②根据，求出的长，再用三角形面积减去扇形面积即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 证明：如图，连接和， 和是的两条切线， ，． 又，． ， ，． （2）①证明：、、分别与相切于点、、， ∴同上可得：、分别平分、． 又． ． ． 又， ， 又经过半径的外端点， 是的切线． ②解：连接，则， ，， ∴， ∴， ， 即⊙O的半径为． ∴ 综上所述：的半径是，图中阴影部分的面积是． 4．（2025·江苏无锡·模拟预测）综合与实践 主题：装饰锥形草帽． 素材：母线长为、高为的锥形草帽（如图（））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、足够大的卡纸． 步骤：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形． 步骤：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽． 计算与探究： （）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数； （）如图（），根据（）的计算过程，直接写出圆锥的高、母线长与侧面展开图的圆心角度数之间的数量关系： ． 【答案】（）；（）． 【分析】（）设底面圆的半径为，由勾股定理可得，根据，求出，再根据红、橙、黄、蓝、紫卡纸圆心角即可求解； （）设底面圆的半径为，则，由即可求解； 本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理，扇形的弧长，掌握圆锥底面圆的周长等于圆锥侧面展开图扇形的弧长是解题的关键． 【详解】解：（）设底面圆的半径为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形， ∴红色扇形卡纸的圆心角的度数为； （）∵设底面圆的半径为， 则， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C． (1)画出该圆弧所在圆的圆心D的位置，并连接． (2)请在（1）的基础上，以点O为原点、水平方向所在直线为x轴、竖直方向所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，完成下列问题： ①的半径为_________（结果保留根号）； ②若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是_____． 【答案】(1)见解析 (2)建立坐标系见解析，①② 【分析】此题考查直线与圆的位置关系，涉及了圆的有关性质、勾股定理，圆锥的侧面展开图、全等三角形的判定与性质，正确作出图形是解决此题的关键． （1）分析可知，圆心必在弦的垂直平分线上，则只需作出弦的垂直平分线即可； （2）①根据题意建立平面直角坐标系即可；观察图形，利用勾股定理求出的半径；②对图形中的点进行标注，证明全等三角形，联系全等三角形的性质证明，联系侧面展开图的弧长是底面周长求解即可． 【详解】（1）解：线段的垂直平分线的交点即为圆心D，如图所示； （2）解：①建立平面直角坐标系如图所示： 的半径， 故答案为：； ②在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴的长， ∴圆锥的底面半径为：， 故答案为：． 压轴题型六、一元二次方程的实际综合应用 1．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）《九章算术》中记载，“今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户邪几何？”译文是：“今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等，问门的对角线的长是多少？ 【答案】尺． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，设竿的长度为x尺，则门高为尺，门宽为尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合和均为正数可求得门的高和宽，根据勾股定理即可求得答案． 【详解】解：设竿的长度为x尺，则门高为尺，门宽为尺， 依题意得：， 化简得：， 解得：． 当时，，不合题意，舍去； 当时，． ∴门高为8尺，门宽为6尺， ∴门的对角线长为（尺）． 答：门的对角线的长是尺． 2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）在巴黎奥运会乒乓球混双决赛中，中国组合王楚钦和孙颖莎击败朝鲜组合夺冠，这是中国乒乓球队历史上首枚奥运混双金牌，填补了国乒在奥运会混双项目上的空白，标志着中国乒乓球在奥运项目上的全面覆盖． (1)据市场调研发现，某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知月共销售乒乓球拍副，每月的月销售增长率相同，月共销售副，求该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率． (2)已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售副，每副盈利元，每下降元，则每天可多售副，该乒乓球拍的日销售利润能否达到元？如果能，请求出每副乒乓球拍的售价；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率为 (2)日销售利润不能达到元，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设平均每月增长率为，利用月销售量月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每副乒乓球拍降价元，则每副乒乓球拍盈利元，平均每天可售出副，利用总利润每副的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，由，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得． 解得或（不合题意，舍去）． 答：该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率为． （2）解：不能．理由如下： 设每副乒乓球拍降价元，则每副乒乓球拍盈利元，平均每天可售出副． 根据题意，得． 整理得． , 此方程无解． 日销售利润不能达到元． 3．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）我校餐厅有两样热卖单品——米线和面条．但近期发现销量下降．为应对销售总额下降的问题，餐厅采取了以下措施： 对米线进行降价出售 将面条换成凉面出售 当按照10元/份出售时，估计每天只能售出50份，售价每降价1元，就能多售出20份 凉面定价元/碗．售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间为一次函数关系，其中两组数据如表所示（，且为整数）： (1)请求出每天米线售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间的关系；每天凉面售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间的关系； (2)求每碗米线定价（为正整数）为多少元时，才能使得米线日销售额达到630； (3)经过核算，一碗米线与一碗凉面的定价和为16元时，比较合理． 请求出每碗凉面的定价为多少元时，当天米线和凉面销售总量最多，为多少碗； 【答案】(1)； (2)9元 (3)每碗凉面的定价为10元时，当天米线、凉面销售总量最多，为220碗； 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，根据题意列出函数关系式是解题的关键； （1）根据题意列出，根据待定系数法求得（碗）与每碗定价（元）之间的关系即可； （2）根据题意得，解一元二次方程，即可求解． （3）根据题意得出，设米线和凉面销售总量为，则，根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解： 设， 根据题意，可知当时，，当时，， ∴， 解得：， ∴； （2）解：依题意，， 解得：，， ∵为整数， ∴，即每碗米线定价元； （3）解：∵，即， 设米线和凉面销售总量为，则， 将代入，可得， ∵， ∴随的增大而增大， 又∵， ∴当取得最大值时，可有最大值为， ∴每碗凉面的定价为元时，当天米线和凉面销售总量最多，为220碗． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． （1）甲运动后的路程是多少? （2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间? （3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间? 【答案】（1）28cm；（2）3s；（3）7s 【分析】（1）将t=4代入公式计算即可； （2）第一次相遇即是共走半圆的长度，据此列方程，求解即可； （3）第二次相遇应是走了三个半圆的长度，得到，解方程即可得到答案. 【详解】解：（1）当 t=4s 时，cm. 答：甲运动 4s 后的路程是 ． （2） 由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆 ，甲走过的路程为 ， 乙走过的路程为 ，则. 解得 或 （不合题意，舍去）． 答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了 3s． （3） 由图可知，甲乙第二次相遇时走过的路程为三个半圆 ， 则 解得 或 （不合题意，舍去）． 答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了 7s． 【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键. 5．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)运动开始后，当为何值时，的长度等于？ (2)连接，当为何值时，的面积等于？ 【答案】(1)2 (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用等知识． （1）根据题意得到，根据勾股定理列方程，解方程，舍去不合题意解即可求解； （2）由题意得，列方程，解方程，舍去不合题意解即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， 在中，根据勾股定理得， 解得（舍去），． 答：当为2时，的长度等于； （2）解：由题意得， ∵的面积等于， ∴， 解得（不合题意，舍去）． 答：当为1时，的面积等于． 压轴题型七、正多边形和圆的综合 1．（24-25九年级上·江苏常州·单元测试）如图，正外接圆的半径为，求正的边长，边心距，周长和面积． 【答案】边心距，边长为，周长是，面积是． 【分析】连接，延长交于D，根据等边三角形性质得出，，进而求得；再根据勾股定理求出，即可求出，进而求得周长和面积． 【详解】解：如图：连接，延长交于D， ∵正外接圆是， ∴， ∴边心距， 由勾股定理得：， ∴三角形边长为，， ∴的周长是； 的面积是． 【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的外接圆、三角形的面积等知识点，正确作辅助线后求出的长是解题的关键． 2．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接六边形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到．，得到是等边三角形，得出，即可得到答案． 【详解】解：六边形是正六边形， ．， ， 是等边三角形， ， 正六边形的周长． 3．（25-26九年级上·江苏常州·课后作业）碳60，是一种非金属单质，化学式为，是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯．如下图，足球烯是由正五边形和正六边形组成的凸多面体． (1)足球烯中正五边形每一个内角的度数为______． (2)若足球烯中正六边形的边长为a，求该正六边形的边心距． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形和圆，掌握正多边形和圆的关系是解题的关键． （1）由任意多边形的外角和为，可求正五边形每一个内角的度数. （2）为等边三角形，，得，故，即边心距为. 【详解】（1）解：∵任意多边形的外角和为， ∴五边形一个外角是， ∴五边形一个内角是. 故答案为：. （2）解：如图，为正六边形的一条边，点O为它的外接圆的圆心，连接，过点O作． ， 是等边三角形， ． ． 在中，由勾股定理，得， 故该正六边形的边心距为． 4．（2025·江苏南京·模拟预测）（1）如图1，用无刻度的直尺和圆规在图1中作出的内接正六边形，保留作图痕迹． （2）如图2、图3是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．其中点A、点D为格点，经过点A、点D，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务． ①如图2，过点O作的垂线，交于； ②如图3，点B在上，过点B作弦． 【答案】（1）画图见解析；（2）①画图见解析；②画图见解析 【分析】（1）先作直径，分别以为圆心，为半径画弧，与的交点分别为，再顺次连接即可得到正六边形； （2）①取格点，连接交于，过作直线交于即可； ②取格点，连接交于，过作直线交于，连接交于，连接并延长交于，连接，则即为所求． 【详解】解：（1）如图，六边形即为所求； 理由：连接， 由作图可得：， ∴为等边三角形， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴六边形为的正六边形； （2）①如图，即为所求； 理由：由格点图形可得：四边形为正方形， ∴， ∴，即； ②如图，即为所求； 理由：由（2）得：是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是作圆的内角正六边形，垂径定理的应用，线段的垂直平分线的性质，圆周角定理的应用，平行线的判定，熟练的作图是解本题的关键． 5．（24-25九年级上·江苏常州·单元测试）如图，、分别是的内接正三角形、正方形、正五边形的边、上的点，且，连接、． (1)图①中的度数是_____； (2)图②中的度数是_____，图③中的度数是_____； (3)若、分别是正边形…的边、上的点，且，连接、，则的度数是_____． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】此题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定与性质、圆心角的计算，正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）连接，由圆周角定理即可求出，由全等三角形的判定与性质即可得到； （2）连接，分别求出图②③中的的度数，由全等三角形的判定与性质即可得到； （3）由前三个图可得到规律在正n边形中，的度数为． 【详解】（1）解：如图1中，连接． ， 分别为的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图②，连接， 为正方形， ， 同（1）中的证明方法可得， ， ； 如图③，连接， 为正五边方形， ， 同（1）中的证明方法可得， ， ， 故答案为：，； （3）在图①中，， 在图②中，， 在图③中，， 故在正n边形中，的度数为， 故答案为：． 压轴题型八、圆的综合问题 1．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，，是中相等的两条弦，过点O分别作于点F，于点G． (1)求证：； (2)延长交于点D，连接交的延长线于点E．若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质；掌握垂径定理，添加恰当的辅助线是解题的关键. （1）连接，证明，即可求证； （2）连接，根据垂径定理可得，可证明，可得，设，则，，．在中，根据勾股定理可得x的值，即可求解． 【详解】（1）证明：连接． ∵，， ∴，，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：连接． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 设，则， ，． 由（1）得 在中，， ∴ ∴或（舍去）， ∴，即⊙O的半径为13． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）点，，在上，将沿折叠后，与交于． (1)若，求的度数． (2)如图，点恰是翻折所得的中点，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是圆的综合题目，考查了圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，本题综合性强，熟练掌握圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）将还原后点的对应点为，连接、，则，，求出，由三角形的外角性质即可得出答案； （2）由（1）得，证出，由等腰三角形的性质得出，，设，则，在中，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可； 【详解】（1）解：将还原后点的对应点为，连接、，如图所示： 则，， ， ； （2）（2）由（1）得， ，， ， 点是翻折所得的中点， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，由三角形内角和定理得：， 解得， 即． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·开学考试）在平面直角坐标系中，对于图形P，图形和直线l给出如下定义：图形P关于直线l的对称图形为．若图形P与图形均存在点在图形Q内部（包括边界），则称图形Q为图形P关于直线l的“弱相关图形”．    (1)如图，点，点． ①已知图形是半径为2的，是半径为1的，是半径为的，在，，中，线段关于直线的“弱相关图形”是：　　； ②已知的半径为2，若是线段关于直线的“弱相关图形”，求b的取值范围； (2)在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，有一个半径为2的圆P．若存在点，使得对于任意过点C的直线l，有圆P，满足半径r的是圆P关于l的“弱相关图形”，直接写出r的取值范围． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】（1）①根据定义新图形的规律，分别求出点，点对称点的坐标，结合图形即可求解； ②分当时和两种情况，结合图形即可求解； （2）根据题意，只要找到r的最小值即可求解． 【详解】（1）解：①如图所示：    ∵点，点，关于的对称图形为，半径为， ∴根据轴对称性得：，即点在y的正半轴上， ∴在的内部， ∴为线段关于直线的“弱相关图形”． 故答案为：； ②如图所示，是线段关于直线l：的“弱相关图形”， ∵与平行， ∴与坐标轴的夹角为，由点O关于对称， 则，则在直线上， 当时，点O离对称轴直线l：较远，如图，当在上时，    设l与x轴交于点D， 依题意，，是等腰直角三角形， ∴， ∴D的坐标为，代入 解得：， 当时，点A离对称轴直线较远，如图：当在上时，    同理可得， 连接，在中，设，则， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴， 代入， 解得：， 综上所述：． （2）解：∵， ∴， 即C在直线上， 如图所示：过点O作于点S， 由，令， 令， ∴， 依题意，点C在直线上运动，过点C的直线为对称轴，将与对称， ∴， ∴当P，C，Q共线时，最大， 当直线时，最大值最小， 此时，， ∴当C点在S时，最大值最小， ∵当与两坐标轴都相切时，最小，此时点， ∴当P为，C与S重合时r最小， ∴， ∵， ∴， ∴． 即． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中图形的轴对称，圆与直线的关系，掌握对称的性质，几何图形变换的规律，结合点坐标，线段长度关系是解题的关键． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）【学习心得】 （1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则，两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则______． 【初步运用】 （2）如图2，在四边形中，，求的度数； 【方法迁移】 （3）如图3，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； 【问题拓展】 （4）①如图4①，已知矩形为边上的点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为______． ②如图4②，在中，，是边上的高，且，求的长． 【答案】（1）45；（2）；（3）见解析；（4）①；② 【分析】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质、圆周角定理、作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质、垂径定理等知识． （1）由圆周角定理可得出答案； （2）取的中点O，连接．由直角三角形的性质证明点A、B、C、D共圆，由圆的性质得出，则可得出答案； （3）作出等边三角形，由圆周角定理作出图形即可； （4）①在上截取，连接，以为直径，由图形可知，由勾股定理求出和的长，则可得出答案；②作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接．由圆周角定理及勾股定理可得出答案． 【详解】解：（1）是的圆心角，是的圆周角，， ； 故答案为：45； （2）如图2，的中点O，连接． ， ， ， ∴点A、B、C、D共圆， ， ， ； （3）作图如下：由图知，；同理． （4）①． 在上截取，连接，以为直径作，交于E，交于F，连接，过圆心O作于H且交圆O于G，过G作的切线交于K，交于Q，如图所示： ， ， 的半径为，即， ∵， ， ， ， ， ，即， ∴满足的点恰好有两个，则的取值范围为， 故答案为：； ②如图，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接． ， ． 在中，， ． ，O为圆心， ， ． 在中，，， ． 在中，， ， ． 5．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）点P为平面直角坐标系中一点，点Q为图形M上一点．我们将线段长度的最大值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“宽度”． (1)如图，⊙O半径为2，与x轴交于点A，B，点． ①在点P视角下，⊙O的“宽度”为___________，线段的“宽度”为___________； ②点为x轴上一点．若在点P视角下，线段的“宽度”为2，求m的取值范围； (2)⊙C的圆心在x轴上，半径为（），直线与x轴，y轴分别交于点D，E．若线段上存在点K，使得在点K视角下，⊙C的“宽度”可以为2，求圆心C的横坐标的取值范围． 【答案】(1)①；②或 (2)当时，；当时，在圆外任何一点的视角下，⊙C的“宽度”均为2，为任意实数 【分析】（1）①找到圆外点到圆上的点的最长和最短距离即可求出在点P视角下，⊙O的“宽度”；求出，即可求在点P视角下，线段的“宽度”；②分类讨论当点在点右侧和当点在点左侧时的情况即可求解； （2）由⊙C的“宽度”为2可得，分类讨论、的两种情况即可求解． 【详解】（1）解：①如图所示： 由定义可知：在点P视角下，⊙O的“宽度”为：; ∵ ∴在点P视角下，线段的“宽度”为： 故答案为：； ②点关于点的对称点坐标为 当点在点右侧时， 若，则，不符合题意； 若，则，不符合题意； 若，则，符合题意； ∴ 当点在点左侧时， 则： ∴ 解得：（舍去） ∴ 综上所述：或 （2）解：∵直线与x轴，y轴分别交于点D，E． ∴令，可得；令，可得 即： ∴ ∵⊙C的“宽度”为2 ∴ 当时，则点出现在⊙C内部，其轨迹是以点为圆心，半径为的圆 ∵点在线段上 ∴点的轨迹圆需要与线段有交点 （i）当点在点左侧时，点的轨迹圆与相切于点时，如图：    ∵ （ii）当点在点右侧时，点的轨迹圆经过点时，如图：    ∵点的轨迹圆半径为 即：当时， 当时，在圆外任何一点的视角下，⊙C的“宽度”均为2，为任意实数 【点睛】本题以圆作为几何背景，考查了新定义题型．关键是读懂材料内容，掌握数形结合及分类讨论的数学思想． $