精品解析：广东省河源市河源中学2025-2026学年高二上学期第一次教学质量检测数学试题

河源中学2025-2026学年第一学期高二年级第一次教学质量检测 数学试题 命题人：曾国强、吴素嫣 审核人：许清波 本试题共4页，共19题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号，座号填写在答题卡和试卷的指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题的答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，用0.5mm的黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合，再应用集合的交、补运算求. 【详解】由题意，得， 因为，即，得或，则， 所以. 故选：B 2. 设复数，，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】应用复数除法化简，再确定其对应点坐标，即可得. 【详解】∵，， ∴， ∴在复平面内对应的点的坐标为，在第三象限. ∴复数在复平面内所对应的点位于第三象限. 故选：C 3. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正数满足，则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A 4. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，，再由两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为，即， 即角的终边经过点，所以，， 所以. 故选：D 5. 一组数据按从小到大的顺序排列为，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第百分位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题干中该组数据极差和中位数的关系列方程求出，然后根据百分位数的定义求解即可. 【详解】根据中位数的定义，该组数据的中位数是， 根据极差的定义，该组数据的极差是， 依题意得，，解得， ， 根据百分位数的定义， 该组数据的第百分位数是从小到大排列的第个数，即. 故选：A 6. 某同学在劳动课上做了一个木制陀螺，该陀螺是由两个底面重合的圆锥组成．已知该陀螺上、下两圆锥的体积之比为，上圆锥的高与底面半径相等，则上、下两圆锥的母线长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆锥的体积公式及圆锥高、半径与母线的关系计算即可． 【详解】设上、下两圆锥的底面半径为，高分别为，体积分别为， 因为上圆锥的高与底面半径相等，所以， 则得，， 上圆锥的母线为，下圆锥的母线为， 所以上、下两圆锥的母线长之比为， 故选：A． 7. 如图五边形由一个长方形和等腰三角形构成，其中，，D是的中点，将，，折起，使A、B、C三点重合于点P，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，连接，，过点作于点，连接，先利用面面垂直的判定定理得平面平面，然后利用面面垂直的性质定理得平面，则为与平面所成角，根据线面垂直的判定及性质定理得，进而在直角三角形中求解即可. 【详解】由题意可知形成三棱锥，如图： 取的中点，连接，，过点作于点，连接， 因为，所以，，， 平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 又平面平面，，平面，所以平面， 故为与平面所成角， 又，，，平面，所以平面， 又平面，所以，且， 因为，所以，又， 所以，在直角三角形中，， 所以与平面所成角的正弦值为. 故选：D 8. 已知是定义域为的偶函数，，，若是偶函数，则（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据是偶函数，得到关于对称，即，结合和为偶函数即可得到周期为4，故可求出，则即可. 【详解】因为是偶函数， 所以的图象关于直线对称， 即， 即， 所以. 所以关于点中心对称. 又是定义域为的偶函数， 所以， 所以， 即， 所以函数的周期为4. 所以， 所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A. 且 B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集与方程的根的对应关系可得，即A正确，B错误，再代入解不等式可判断C正确，D错误. 【详解】由题意可知，则， 对于A，所以且，故A正确， 对于B，， 故B错误； 对于C，不等式，故C正确； 对于D，不等式，又， 可得，所以或，故D错误. 故选：AC. 10. 已知平面，其中点，，则下列各点在平面内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】分别求出各选项对应，验证是否满足即可得答案. 【详解】A选项，对应，则，故A正确； B选项，对应，则，故B正确； C选项，对应，则，故C错误； D选项，对应，则，故D正确. 故选：ABD 11. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形．底面，，点E是棱PB上一点（不包括端点）．F是平面PCD内一点，则（ ） A. 一定存在点E，使平面PCD B. 一定存在点E，使平面ACE C. 的最小值为 D. 以D为球心，半径为1的球与四棱锥的四个侧面的交线长为 【答案】BD 【解析】 【分析】建立坐标系，利用空间向量判断AB；把展开置于同一平面内计算判断C； 求出球面与的交线，再借助对称计算判断D作答. 【详解】在四棱锥中，底面，且底面是边长为1的正方形， 以点作原点，射线分别为轴非负半轴，建立空间直角坐标系， 则，令，， ， 显然平面的一个法向量，而，即有与不垂直， 因此与平面不平行，即不存在点E，使平面，A错误； 显然，，即有， 由，得，解得， 因此存在点E，使得，而平面，则平面，B正确； 由底面，平面，得，而，平面， 则平面，又平面，于是，同理，且， 把展开置于同一平面内，要取得最小值，当且仅当点在上，且，如图， 显然，而， 因此，，C错误； 依题意，球面与的交线如图中圆弧，，， 则，于是弧的长为，由对称性知球与的交线长也为， 过作于，显然平面，则，而平面， 于是平面，显然，球面与平面的交线是以为圆心，半径为的圆， 显然点到直线的距离为，因此球面与的交线是半径为的半圆， 交线长为，由对称性知球与的交线长也为， 所以球与四棱锥的四个侧面的交线长为，D正确. 故选：BD 【点睛】关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面中，，则实数__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量共面基本定理即可求解. 【详解】由于共面，所以存在实数使得 所以，解得， 故答案为： 13. 已知正方体的棱长为1，为的中点，则点到平面的距离为______. 【答案】## 【解析】 【分析】构建合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量及，再应用点到平面距离的向量求法求距离. 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，则，，， 所以，，设平面的法向量为， 则，取，则， 而，故， 则点到平面的距离为. 故答案为： 14. 已知函数的图象向左平移个单位后关于轴对称，若在上的最小值为-1，则的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数图象的变化规律求得：，利用对称性求得，由时，可得，由正弦函数的性质列式求解即可. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度后， 图象所对应解析式为：， 因为图象关于轴对称，所以，， 可得，，又，所以，即， 要使在上的最小值为，则在上的最小值为， 当时，，又， 所以，解得，即的最大值是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，. （1）求的值； （2）求直线与直线所成的角的余弦值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知有、，用表示出，即可得； （2）应用向量数量积的运算律求得，结合（1）及求数量积，最后应用向量的夹角公式求直线与直线所成的角的余弦值. 【小问1详解】 因为点为的中点，所以 所以，又 所以，，则； 【小问2详解】 因为 ，所以， 因为， 又，所以， 所以直线与直线所成的角的余弦值为. 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且． （1）求角A； （2）已知角A的内角平分线交BC于点M，若，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角形性质及恒等变换可得答案； （2）利用等面积法得到，结合余弦定理求出，得到周长. 【小问1详解】 因为，所以， ， ， ， 化简得，由，所以， 所以，，由，解得. 【小问2详解】 因为为角平分线，且， 所以， 整理得， 由余弦定理可得， 即，解得或（舍）， 的周长为. 17. 在信道内传输0， 1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为， 收到1的概率为. （1）重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率； （2）依次发送1，1， 0， 判断以下两个事件：①事件A：至少收到一个正确信号； ②事件B：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明. 【答案】（1）； （2）事件A与事件B不互相独立，证明如下： 若依次发送1，1， 0， 则三次都没收到正确信号的概率为， 故至少收到一个正确信号的概率为； 若依次发送1，1，0，“至少收到两个0”的可能情况为： (0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性， 故， 若依次发送1，1，0，“至少收到两个0且至少收到一个正确信号”的可能情况为： (0，0，0)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性， 故， 因为，所以事件A与事件B不互相独立. 【解析】 【分析】（1）利用事件的相互独立求“至少收到两次1”的概率； （2）利用事件的相互独立性计算，，，利用独立事件的概率公式验证. 【小问1详解】 重复发送信号1三次，“至少收到两次1”的可能情况为： (1，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)， 因为信号的传输相互独立， 故“至少收到两次1”的概率为：. 【小问2详解】 事件A与事件B不互相独立，证明略. 18. 如图，在四棱锥中，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）设二面角的平面角的补角大小为，若，求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，根据已知有，由线面平行的判定证明结论； （2）在平面内过点作的平行线，交的延长线于点，根据已知构建合适的空间直角坐标系，证得平面，设，并标注出相关点坐标，求出相关平面的法向量，应用向量法求平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 取的中点，连接，，如图所示： 则，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为面，面，所以面； 【小问2详解】 在平面内过点作的平行线，交的延长线于点，则，，如图所示， 以为原点，，分别为轴和轴，与平面垂直的直线为轴， 建立空间直角坐标系，则，，，， 取的中点为，连接，， 因为，所以，， 所以二面角的平面角的补角， 因为，，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面， 在平面内过点作，垂足为，平面平面， 所以平面，设， 因为，所以，，， 因为，，为线段的中点，所以， 所以，，所以. 设平面的法向量，，， 所以，则，令，则， 设平面的法向量，，， 所以，则，令，则， 设平面和平面的夹角为，则. 19. 若函数满足：对于任意正数，，都有，，且，则称函数为“函数”. （1）试判断是不是“函数”，说明理由； （2）若函数（其中为自然对数的底数，）为“函数”，求实数的取值范围； （3）若函数为“函数”，且，求证：当时，. 【答案】（1）是，理由见解析； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据函数新定义，应用作差法比较大小判断结论； （2）根据已知有恒成立，进而得求参数范围，再由函数的性质得求参数范围，最后求交集，即可得； （3）根据函数的性质得，有，并验证，，，其中，不等关系也成立，即可证. 【小问1详解】 是“函数”，理由如下： 因，均有，， ， 且， 即，故是“函数”； 【小问2详解】 ，，即， 其中，则恒成立，，故， ，均， 即， ，， ，又，则， 所以恒成立，，故， 综上，； 【小问3详解】 当，时，，，，， 以此类推，， 当，，，其中， ， 所以对任意，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河源中学2025-2026学年第一学期高二年级第一次教学质量检测 数学试题 命题人：曾国强、吴素嫣 审核人：许清波 本试题共4页，共19题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号，座号填写在答题卡和试卷的指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题的答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，用0.5mm的黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数，，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 5 4. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. 0 B. C. D. 5. 一组数据按从小到大的顺序排列为，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第百分位数是（ ） A. B. C. D. 6. 某同学在劳动课上做了一个木制陀螺，该陀螺是由两个底面重合的圆锥组成．已知该陀螺上、下两圆锥的体积之比为，上圆锥的高与底面半径相等，则上、下两圆锥的母线长之比为（ ） A. B. C. D. 7. 如图五边形由一个长方形和等腰三角形构成，其中，，D是的中点，将，，折起，使A、B、C三点重合于点P，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义域为的偶函数，，，若是偶函数，则（ ） A. B. C. 4 D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A. 且 B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 10. 已知平面，其中点，，则下列各点在平面内的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形．底面，，点E是棱PB上一点（不包括端点）．F是平面PCD内一点，则（ ） A. 一定存在点E，使平面PCD B. 一定存在点E，使平面ACE C. 的最小值为 D. 以D为球心，半径为1的球与四棱锥的四个侧面的交线长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面中，，则实数__________. 13. 已知正方体的棱长为1，为的中点，则点到平面的距离为______. 14. 已知函数的图象向左平移个单位后关于轴对称，若在上的最小值为-1，则的最大值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，. （1）求的值； （2）求直线与直线所成的角的余弦值. 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且． （1）求角A； （2）已知角A的内角平分线交BC于点M，若，求的周长． 17. 在信道内传输0， 1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为， 收到1的概率为. （1）重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率； （2）依次发送1，1， 0， 判断以下两个事件：①事件A：至少收到一个正确信号； ②事件B：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明. 18. 如图，在四棱锥中，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）设二面角的平面角的补角大小为，若，求平面和平面夹角的余弦值. 19. 若函数满足：对于任意正数，，都有，，且，则称函数为“函数”. （1）试判断是不是“函数”，说明理由； （2）若函数（其中为自然对数的底数，）为“函数”，求实数的取值范围； （3）若函数为“函数”，且，求证：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $