精品解析：黑龙江省海林市朝鲜族中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷

2025-2026学年度 第一学期 高二年级数学学科第一次考试（选择性必修一第一二章） 一、单项选择题（每小题5分 共40分） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的方程求得直线的斜率，再根据倾斜角和斜率的关系求得它的倾斜角即可． 【详解】由，得， 所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则， 又，则， 所以直线的倾斜角为. 故选：C. 2. 若直线与平行，则m的值为（ ） A. －2 B. －1或－2 C. 1或－2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用两直线平行的判定有，即可求参数值. 【详解】由题设，，可得或.经验证不重合，满足题意， 故选：C. 3. 若向量，，则平面的一个法向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设平面的法向量为，根据向量垂直的坐标表示求解可得答案. 【详解】解：设平面的法向量为，因为向量，， 所以，取，得， 故选：C. 4. 圆与圆交于两点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两圆相交的性质，将两个圆方程相减，得到公共弦方程即可. 【详解】因为圆与圆， 所以的一般方程为， 的一般方程为， 因为两个圆相交，且对两个圆的方程进行联立， 所以的方程为， 化简得，故D正确. 故选：D 5. 点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【详解】设点，， 因为为的中点， 所以，则，即， 又因为动点在圆上，所以， 则，即， 则点轨迹方程为. 故选：A. 6. 已知，，，，，则直线到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先证明平面，直线到平面的距离可转化为点到平面的距离，利用点到平面的距离公式计算即可. 【详解】，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离． 设平面的法向量为，则,令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离是． 故选：D 7. 曲线与直线有两个不同的交点时实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出表示的曲线，而表示经过定点的一条动直线，利用斜率数形结合可得结果. 【详解】由题意得，即，其表示以为圆心，为半径的圆的上半部分，而表示经过定点的一条动直线，如下图所示，当直线与半圆相切于点时，由得，又点，则，由图可知，即. 故选：A. 8. 如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的最大值是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面EFB的法向量，由向量的夹角公式求解二面角的余弦值的取值范围，由此判断求解即可. 【详解】 设平面与底面所成的二面角的平面角为θ，由图可得θ不为钝角. 以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为1， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，故， 又底面的一个法向量为， 所以，因为， 则， 当时，， 当时，，当，， 则，，则， 则当时，分母取到最小值，此时，则A选项正确. 故选：A. 二、多选题(每小题6分，部分选对无错选得2分，共18分） 9. 给出下列命题，其中正确的有（ ） A. 空间任意三个向量都可以作为一个基底 B. 已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一个基底 C. 已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 D. A、B、M、N是空间四点，若、、不能构成空间的一个基底，则A、B、M、N共面 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量基底的概念，结合向量的共面定理，空间点共面的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A项，空间任意的三个不共面的向量才可以作为一个基底，故A错误； 对于B项，若，则、与任何向量都共面，故不能构成空间的一个基底，故B正确； 对于C项，若共面，则，则共面， 这与为空间的一个基底相矛盾，故可以构成空间向量的一个基底，故C正确； 对于D项，若不能构成空间的一个基底，则共面， 又过相同的点B，则A、B、M、N四点共面，故D正确． 故选：BCD. 10. 已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（ ） A. 圆上有两个点到直线的距离为2 B. 圆上只有一个点到直线的距离为2 C. D. 从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】BC 【解析】 【分析】求出圆的圆心及半径，求出点到直线的距离判断AB；利用圆的性质及切线性质求出最小值判断CD. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径， 对于AB，圆心到直线的距离， 则，故A错误，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，由切线的性质，得切线长为，D错误. 故选：BC 11. 在空间直角坐标系中，，，，则（     ） A. B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离是 【答案】BD 【解析】 【分析】首先根据选项分别求向量的坐标，再代入数量积，模长和向量夹角公式，以及点到直线的距离公式，即可判断选项. 【详解】，，，故A错误； ，所以，故B正确； ，设异面直线与所成角为， 则，故C错误； 到直线的距离为，故D正确． 故选：BD 三、填空题(每小题5分，共15分） 12. 圆：与圆的公切线条数是______． 【答案】3 【解析】 【分析】分析圆心距和两圆半径的关系，可知两圆外切，即可得到两圆公切线条数. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径． 因为，所以两圆外切， 所以圆与圆的公切线有3条． 【点睛】知识点点睛：两圆的位置关系与公切线条数的关系 位置关系 公切线条数 图示 外离 4 外切 3 相交 2 内切 1 内含 0 13. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算计算，利用投影向量的公式即可计算结果. 【详解】由题意得，，，， 所以在上的投影向量为. 故答案为：. 14. 若直线m被两平行直线与所截得的线段长为，则直线m的倾斜角大小为________. 【答案】或 【解析】 【分析】设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为，求出两平行直线的距离，得到，所以，求出直线倾斜角为30°，从而求出直线m的倾斜角. 【详解】设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为， 两平行直线与间的距离 ， 因为直线m被两平行直线与所截得的线段长为，所以， 所以，因为直线的斜率为，所以其倾斜角为30°， 所以直线m的倾斜角可以是或. 故答案为：或 四、解答题（15题13分，16，17题15分，18、19题17分，共77分） 15. 解决下列问题 （1）已知直线，．若，求的值； （2）已知直线，点，求点关于直线的对称点的坐标； 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直列出方程即可求解； （2）设，结合对称性质列方程组求解即可； 【小问1详解】 由，，， 得，解得或； 【小问2详解】 设，斜率为. 则，解得，即. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 取的中点为，又由于为棱的中点，则在正方体中可得： 则四边形是平行四边形，所以； 又由于为棱的中点，又可得 则四边形是平行四边形，所以； 由平行的传递性可知：， 又因为平面，平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过取的中点为，再利用线线平行即可证明线面平行； （2）利用空间向量法可直接求出二面角的余弦值； （3）利用空间向量法可先求出线面角的正弦值，再利用同角关系求出余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，在棱长为2的正方体中，，，， 则，， 设平面的法向量为， 则，即 令，则，所以， 由于平面与轴垂直，则平面的法向量可取， 所以， 由图可看出二面角一定是锐角，所以可设它为， 则， 所以二面角的余弦值为； 【小问3详解】 由（2）得，平面的法向量可取， 则， 设直线与平面所成角为，则， 所以 即直线与平面所成角的余弦值为． 17. 已知直线：，圆：. （1）若不经过第三象限，求的取值范围； （2）当圆心到直线的距离最大时，求此时直线的方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）化直线的方程为斜截式，再由已知列出不等式求解. （2）求出圆的圆心及直线所过的定点，借助几何意义确定圆心到直线的距离最大的条件，进而求出直线方程. 【小问1详解】 直线：化为， 由不经过第三象限，得，解得， 所以的取值范围是. 【小问2详解】 圆：的圆心，直线：恒过定点， 当且仅当时，点到直线的距离最大，此时直线的斜率， 直线的斜率，直线的方程. 18. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面的距离． 【答案】（1） 直三棱柱中，所有棱长均为4， 上下底面为边长为4的正三角形，侧面为边长为4的正方形， 连接与交于点，则为，的中点，连接DE， 在中，分别为边的中点， ， 又平面，平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用直三棱柱的性质结合线面平行判定定理证明结论； （2）结合直三棱柱的性质建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，中点，连接，则，平面ABC， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则 ，令，则， ， 为上的点，平面， 到平面的距离d即为直线与平面的距离， ， 直线与平面的距离为：． 19. 已知圆，过圆内的点的弦长的最大值为4，最小值为. （1）求圆的方程. （2）点是轴上异于点的一个点，且对于圆上任意一点为定值. （i）求点的坐标； （ii）点，求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据圆的弦长性质（过圆内一点的弦，直径最长，垂直于圆心与该点连线的弦最短），结合圆的标准方程求解参数； （2）（i）：通过设点坐标、利用距离公式和圆的方程，结合 “定值” 的代数意义（系数与常数项分别相等）求解点的坐标； （2）（ii）：利用（i）的定值结论化简表达式，再结合几何意义或代数变形求最小值，涉及距离公式、代数式化简与最值分析. 【小问1详解】 圆的最长弦为直径，所以，得. 最短弦为与直径垂直的弦，可得，又，所以， 故圆的方程为. 【小问2详解】 （i）设，则， 因为点在圆上，所以将代入上式， 得， 因为该式的值为常数，所以，解得（舍去）， 所以点的坐标为. （ii）由（i）可知，所以. 所以， 易知，，当点在线段DA上时等号成立， 故的最小值为，即原式的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度 第一学期 高二年级数学学科第一次考试（选择性必修一第一二章） 一、单项选择题（每小题5分 共40分） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 若直线与平行，则m的值为（ ） A. －2 B. －1或－2 C. 1或－2 D. 1 3. 若向量，，则平面的一个法向量可以是（ ） A. B. C. D. 4. 圆与圆交于两点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，，，则直线到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 曲线与直线有两个不同的交点时实数的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的最大值是（ ）. A. B. C. D. 二、多选题(每小题6分，部分选对无错选得2分，共18分） 9. 给出下列命题，其中正确的有（ ） A. 空间任意三个向量都可以作为一个基底 B. 已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一个基底 C. 已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 D. A、B、M、N是空间四点，若、、不能构成空间的一个基底，则A、B、M、N共面 10. 已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（ ） A. 圆上有两个点到直线的距离为2 B. 圆上只有一个点到直线的距离为2 C. D. 从点向圆引切线，切线长的最小值是 11. 在空间直角坐标系中，，，，则（     ） A. B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离是 三、填空题(每小题5分，共15分） 12. 圆：与圆的公切线条数是______． 13. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为______. 14. 若直线m被两平行直线与所截得的线段长为，则直线m的倾斜角大小为________. 四、解答题（15题13分，16，17题15分，18、19题17分，共77分） 15. 解决下列问题 （1）已知直线，．若，求的值； （2）已知直线，点，求点关于直线的对称点的坐标； 16. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线与平面所成角的余弦值． 17. 已知直线：，圆：. （1）若不经过第三象限，求的取值范围； （2）当圆心到直线的距离最大时，求此时直线的方程. 18. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面的距离． 19. 已知圆，过圆内的点的弦长的最大值为4，最小值为. （1）求圆的方程. （2）点是轴上异于点的一个点，且对于圆上任意一点为定值. （i）求点的坐标； （ii）点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $