精品解析：甘肃省平凉市第十中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2025--2026学年度第一学期第一次质量检测试卷 九年级数学 考试时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2.请将答案正确填写在答题卡上． 一、单选题（共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 3. 对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞-1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知为实数，，则代数式的值为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 3或 5. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是 A. 50（1+x2）=196 B. 50+50（1+x2）=196 C. 50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D. 50+50（1+x）+50（1+2x）=196 6. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 7. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 9. 设是抛物线上的三点，则的大小关系为（　　） A. B. C. D. 10. 已知抛物线（a，b，c为常数，）与x轴一个交点的横坐标是，对称轴是，其部分图象如图所示，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 当时， 二、填空题（共24分） 11. 将抛物线向右平移1个单位长度后拋物线的顶点坐标是________． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为______． 13. 若方程是关于的一元二次方程，则___________． 14. 已知抛物线，当x_______时，y随x的增大而增大； 当x_______时，y随x的增大而减小． 15. 方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为_____． 16. 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，则小球从飞出到落地要用______ 三、解答题（共96分） 17. 按要求解下列方程 （1）（直接开平方法） （2）（公式法） （3）（配方法） （4）（因式分解法） 18. 已知二次函数y= -（x-1）2 （1）画出这个函数的图象； （2）由图象可知，当x___时，y随x增大而减小，当x=___，y有最___值为___． 19. 已知二次函数图象的顶点为，且图象过点，求此二次函数的解析式． 20. 已知二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点D．求这个二次函数的关系式； 21. 某班一物理科代表在老师的培训后学会了某个物理实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个实验：求1人每次能教会几名同学？ 22. 如图，在一块长13m，宽7m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的小路（两条小路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是55m2，求小路的宽应为多少m． 23. 已知函数 （为常数）． （1）求当为何值时是的二次函数？ （2）在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 24. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，求代数式的值． 25. 某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克，在销售中发现，当这种水果的价格定为7元/千克时，每天可以卖出160千克，在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克，设这种水果的单价为元（）， （1）请用含的代数式表示：每千克水果的利润 元及每天的销售量 千克． （2）若该水果店一天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客，单价应定为多少元？ 26. 阅读下列材料： 解方程：． 解：①当，即时，．即，解得（不合题意，舍去），； ②当，即时，．即，解得（不合题意，舍去），； 综上所述，原方程的解为，． 仿照上边例题的解法，解方程：． 27. 如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点，连接AD，BD． （1）直接写出点C、D的坐标； （2）求△ABD的面积； （3）点P是抛物线上的一动点，若△ABP的面积是△ABD面积的，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025--2026学年度第一学期第一次质量检测试卷 九年级数学 考试时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2.请将答案正确填写在答题卡上． 一、单选题（共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，判断即可． 【详解】A、，没有给出a的取值，所以A选项错误； B、不含有二次项，所以B选项错误； C、是一元二次方程，所以C选项正确； D、不是整式方程，所以D选项错误．故选C． 考点：一元二次方程的定义． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式的应用． 根据一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式，据此可列出关于k的等量关系式，即可求得k的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，且； 解得． 故选：B． 3. 对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞-1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】解：①∵a=﹣＜0， ∴抛物线的开口向下，正确； ②对称轴为直线x=﹣1，故本小题错误； ③顶点坐标为（﹣1，3），正确； ④∵x＞﹣1时，y随x的增大而减小； 综上所述，结论正确的个数是①③④共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式的性质，熟练掌握二次函数的几种形式的基本性质是解本题的关键． 4. 已知为实数，，则代数式的值为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 3或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，代数式求值．将代数式看作整体是解题的关键． 设，则原方程变形为，，解得，或，根据，求值即可． 【详解】解：设，则原方程变形为，， ， 解得，或， ∵， ∴， 故选：B． 5. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是 A. 50（1+x2）=196 B. 50+50（1+x2）=196 C. 50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D. 50+50（1+x）+50（1+2x）=196 【答案】C 【解析】 【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量增长前的量增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么可以用分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程． 【详解】解：依题意得八、九月份的产量为、， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，解题的关键是掌握一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量． 6. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后解两个不等式求出它们的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故选：D． 7. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据二次函数及一次函数的图象及性质可得， 当a＜0时， 二次函数图象开口向上，顶点在y轴负半轴， 一次函数经过一、二、四象限； 当a＞0时， 二次函数图象开口向上，顶点在y轴正半轴， 一次函数经过一、二、三象限． 符合条件的只有选项C， 故选：C． 8. 若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解的定义可得出，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9. 设是抛物线上的三点，则的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由于是抛物线上三个点的纵坐标，所以可以根据二次函数的性质进行解答：先求出抛物线的对称轴，再由对称性得点关于对称轴的对称点的坐标，再根据抛物线开口向下，在对称轴右边，y随x的增大而减小，便可得出的大小关系． 【详解】∵抛物线， ∴对称轴为， ∵， ∴点关于的对称点， ∵， ∴在的右边随的增大而减小， ∵，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 10. 已知抛物线（a，b，c为常数，）与x轴一个交点的横坐标是，对称轴是，其部分图象如图所示，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．由抛物线开口向下，与轴相交于正半轴上，可得，即可判断A；再根据对称轴可得，即可判断B；由对称轴和抛物线与轴的一个交点坐标为，可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，又由图象可知时，抛物线位于轴上方，即可判断D；当时，，据此可判断C． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴相交于正半轴上， ， 故选项A正确； ∵对称轴为直线， ， ， ∴，故选项B正确； ∵对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∵时，抛物线位于轴上方， 当时，，故D错误，符合题意； ∵当时，， ∴，故C正确，不合题意； 故选：D． 二、填空题（共24分） 11. 将抛物线向右平移1个单位长度后拋物线的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律，按照“左加右减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式，即可求出顶点坐标．解决本题的关键是熟记“左加右减，上加下减”． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度后得到解析式：，即， 故所得抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】把代入原方程，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根是， ∴， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键． 13. 若方程是关于的一元二次方程，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元一次不等式，绝对值方程等知识点，深刻理解一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义可得，，解该一元一次不等式和绝对值方程即可得出答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，， 解得：， 故答案为：． 14. 已知抛物线，当x_______时，y随x的增大而增大； 当x_______时，y随x的增大而减小． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由所给函数解析式可知其图象的对称轴及开口方向，根据开口方向及对称轴即可确定函数值与自变量的变化情况． 【详解】解：， 抛物线的对称轴为直线，开口向下， 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而增大； 故答案为：，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是关键． 15. 方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为_____． 【答案】15 【解析】 【详解】解：， 解得x1=3，x2=6， 当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3=6，不符合三角形的三边关系定理，∴此时不能组成三角形； 当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6=15． 故答案是：15． 16. 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，则小球从飞出到落地要用______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，令，求即可． 【详解】解：令， 解得（舍去），， 小球从飞出到落地要用． 故答案为：4． 三、解答题（共96分） 17. 按要求解下列方程 （1）（直接开平方法） （2）（公式法） （3）（配方法） （4）（因式分解法） 【答案】（1） （2）， （3） （4）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法、配方法、因式分解、公式法是解题的关键． （1）先移项，再把二次项系数化为1，然后开平方即可； （2）先求出的值，然后利用公式求解即可； （3）先把1移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，两边同时开平方即可； （4）先移项，再利用因式分解法即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：方程变形得，， 因式分解得，， ∴或， ∴，． 18. 已知二次函数y= -（x-1）2 （1）画出这个函数的图象； （2）由图象可知，当x___时，y随x增大而减小，当x=___，y有最___值为___． 【答案】 （1）根据图象的作法，找出，，三个点坐标，对称轴为，顶点坐标为：，用光滑的曲线连接即可； （2）；1；大；0． 【解析】 【分析】（1）根据二次函数图象的作法：先找点，然后确定函数图象对称轴，顶点坐标，用光滑的曲线连接即可； （2）根据作出的函数图象即可得出函数的增减范围，最值点． 【详解】解：（1）略 （2）根据函数图象可得：当时，y随x增大而减小； 当时，，即当时，y有最大值，最大值为0， 故答案为：；1；大；0． 【点睛】题目主要考查一元二次函数的基本性质及图象的作法，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 19. 已知二次函数图象的顶点为，且图象过点，求此二次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】由顶点式可设，将代入即可求解． 【详解】解：二次函数图象的顶点为， 可设该二次函数解式为， ∵过点， ∴， 解得， 故该二次函数解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法中用顶点式求二次函数解析式，掌握解法是解题的关键． 20. 已知二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点D．求这个二次函数的关系式； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，把点代入二次函数解析式，得到关于的方程组，求得的值，即可求得二次函数的关系式 【详解】解∶ 二次函数的图象过两点， ∴ 解得： ∴二次函数的解析式为：． 21. 某班一物理科代表在老师的培训后学会了某个物理实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个实验：求1人每次能教会几名同学？ 【答案】1人每次能教会5名同学 【解析】 【分析】设1人每次都能教会x名同学，根据两节课后全班共有36人会做这个实验，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】设1人每次都能教会x名同学，根据题意得： ． 变形得： ∴（负值不合题意，舍去） 故1人每次能教会5名学生． 22. 如图，在一块长13m，宽7m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的小路（两条小路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是55m2，求小路的宽应为多少m． 【答案】2米 【解析】 【分析】先把两条小路平移靠长方形的边，设小路的宽应为m，则空白部分长方形的长为m，宽为m，再利用栽种花草的面积是55m2，列方程，解方程并检验即可. 【详解】解：如图，把两条垂直的小路通过平移得到如下图形， 设小路的宽应为m，则空白部分长方形的长为m，宽为m， 则 整理得： 解得： 经检验：不符合题意，取 答小路的宽应为2米. 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握“利用平移的性质与利用一元二次方程解决图形面积问题”是解本题的关键. 23. 已知函数 （为常数）． （1）求当为何值时是的二次函数？ （2）在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（）根据二次函数的定义即可求解； （）根据（）得出二次函数的解析式，再把点代入计算即可求解； 本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，且， 解得， ∴当时是的二次函数； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵点在此函数图象上， ∴． 24. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，求代数式的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴方程总有实数根； （2）0 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据一元二次方程根的判别式计算即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，，再整理代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系可得，，， ∴ ． 25. 某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克，在销售中发现，当这种水果的价格定为7元/千克时，每天可以卖出160千克，在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克，设这种水果的单价为元（）， （1）请用含的代数式表示：每千克水果的利润 元及每天的销售量 千克． （2）若该水果店一天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客，单价应定为多少元？ 【答案】（1）（x-5），（300-20x）；（2）单价应为8元． 【解析】 【分析】（1）根据利润=售价-进价和“水果的单价每提高1元/千克．该水果店每天就会少卖出20千克”即可得出结论； （2）根据利润=售价-进价列出方程并解答． 【详解】解：（1）每千克水果的利润（x-5）元 每天的销售量160-20（x-7）=300-20x（千克）． 故答案是：（x-5）；（300-20x）； （2）由题意知，（x-5）[160-20（x-7）]=420． 化简得：x2-20x+96=0． 解得x1=8，x2=12． 因为让利于顾客， 所以x=8符合题意． 答：单价应定为8元． 【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 26. 阅读下列材料： 解方程：． 解：①当，即时，．即，解得（不合题意，舍去），； ②当，即时，．即，解得（不合题意，舍去），； 综上所述，原方程的解为，． 仿照上边例题的解法，解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】参照例题解法，分和两种情况，去绝对值后分别解一元二次方程即可． 【详解】解：， ①当，即时，．即，解得，； ②当，即时，．即，解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）； 综上所述，原方程的解为，． 【点睛】本题考查解含绝对值的一元二次方程，解题的关键是看懂例题的解法，通过分类讨论将原方程中的绝对值去掉． 27. 如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点，连接AD，BD． （1）直接写出点C、D的坐标； （2）求△ABD的面积； （3）点P是抛物线上的一动点，若△ABP的面积是△ABD面积的，求点P的坐标． 【答案】（1）D（1，﹣4）；（2）8；（3）（1+，2）、（1﹣，2）、（1+，﹣2）、（1﹣，﹣2）． 【解析】 【分析】（1）利用抛物线与y轴交点求法得出C点坐标，再利用配方法求出其顶点坐标； （2）利用D点坐标得出△ABD的面积； （3）利用△ABD的面积得出△ABP的面积，进而求出P点纵坐标，进而求出其横坐标． 【详解】解：（1）当x＝0，则y＝﹣3， 故C（0，﹣3）， y＝x2﹣2x﹣3 ＝（x﹣1）2﹣4， 故D（1，﹣4）； （2）∵点A（﹣1，0），点B（3，0）， ∴AB＝4， ∴S△ABD＝×4×4＝8； （3）∵△ABP的面积是△ABD面积的， ∴S△ABP＝4， ∵AB＝4， ∴P点纵坐标为2或﹣2， 当P点纵坐标为2，则2＝x2﹣2x﹣3， 解得：x1＝1+，x2＝1﹣， 此时P点坐标为：（1+，2）或（1﹣，2）， 当P点纵坐标为﹣2，则﹣2＝x2﹣2x﹣3， 解得：x1＝1+，x2＝1﹣， 此时P点坐标为：（1+，﹣2）或（1﹣，﹣2）， 综上所述：点P坐标为：（1+，2）、（1﹣，2）、（1+，﹣2）、（1﹣，﹣2）． 【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及三角形面积求法和二次函数图象上点的坐标性质等知识，注意分类讨论得出是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $