精品解析：甘肃省金昌市永昌县第一高级中学2025-2026学年高一上学期第一次（10月）月考数学试卷

永昌县第一高级中学2025-2026-1第一次月考试卷 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，，再根据集合的交运算，即可得答案； 【详解】，， ， 故选：A. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用分式不等式以及充分不必要条件的集合表示，可得答案. 【详解】由，可得或， 又集合是集合或的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式不等式化为整式不等式求解即可. 【详解】原不等式可化为，即，解得． 故选：C． 4. 若，，，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质和反例即可判断. 【详解】对于AB：取，满足，显然，不成立，错误； 对于C：因为，所以，正确； 对于D：取，显然不成立，错误， 故选：C 5. 已知集合，，则（ ） A. -1 B. -3或1 C. 3 D. -3 【答案】D 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系求出的值，验证集合元素互异性即得. 【详解】由可得或. ① 当时，解得或， 若，则，与集合元素互异性矛盾， 若，则，此时，符合题意，故； ②当时，，由上分析可知不合题意. 故. 故选：D. 6. 已知“方程至多有一个解”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】由题可知“方程至少有两个解”为真命题，求解即可. 【详解】由题可知“方程至少有两个解”为真命题， ， ， ， 综上且． 故选：B. 7. 某班共38名学生参加了足球､篮球和羽毛球兴趣小组，参加了足球小组的学生人数为20，参加了篮球小组的学生人数为22，参加了羽毛球小组的学生人数为21，其中3个兴趣小组都参加了的学生人数为5，则恰好参加了2个兴趣小组的学生人数为（ ） A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】设参加各对应的2个兴趣小组的学生人数，再应用容斥原理求恰好参加了2个兴趣小组的学生人数. 【详解】设参加足球、羽毛球有人，参加足球、篮球有人，参加篮球、羽毛球有人，如下图， 所以，则， 所以人. 故选：A 8. 已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知可得，即求的最小值，由基本不等式可得答案. 【详解】因为，，则， 所以， 当且仅当即等号成立，要使不等式恒成立，所以 所以实数的最大值为8. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选题）已知集合，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先化简集合,再对每一个选项分析判断得解. 【详解】由题得集合， 由于空集是任何集合的子集，故A正确： 因为，所以CD正确，B错误. 故选ACD. 【点睛】本题主要考查集合的化简，考查集合的元素与集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的必要条件 B. 命题“若，则中至少有1个大于2”为真命题 C. 若，则的最小值为2 D. 集合中的元素个数为8 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，举出反例即可；B选项，反证法进行证明；C选项，由基本不等式得到，C错误；D选项，列举法得到，D正确. 【详解】A选项，不妨设，满足，但， 所以“”不是“”的必要条件，A错误； B选项，假设均不大于2，即，则，与矛盾， 假设不成立，故“若，则中至少有1个大于2”为真命题，B正确； C选项，当，则， 当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为，C错误； D选项，， 故中的元素个数为8，D正确. 故选：BD 11. 定义，且，叫做集合的对称差，若集合，，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据反比例函数的性质可判断是否正确；然后先分别计算，，判断B选项是否正确，然后计算与，判断D选项是否成立. 【详解】∵，，故A正确； ∵定义且， ∴，，故B正确； ，故C错误； ，所以，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】本题考查集合的新定义问题，考查集合间的基本运算，属于基础题．解答时，根据题意化简集合，然后结合新定义计算法则计算即可得出答案． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”的否定是__________. 【答案】， 【解析】 【分析】根据全称命题否定的规则将全称量词改为存在量词，并否定结论. 【详解】原命题为全称命题，其否定应转换为存在命题并否定结论， 原命题为“”，否定后变为“”. 故答案为： 13. 已知实数x、y满足，，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质求得正确答案. 【详解】通过观察可知， 由于，则， 而，所以. 故答案为： 14. 已知，关于的方程的两个实数根为，且，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据韦达定理即可求解. 【详解】由题意，， 且，即， 因为， 则，解得，即， 所以. 故答案为：30. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 设全集为，已知集合. （1）求； （2）； 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）直接利用并集运算求解即可； （2）先利用补集运算求解，然后利用交集运算求解即可. 【小问1详解】 因为集合， 所以 【小问2详解】 因为集合， 所以或， 所以或. 16. 已知集合. （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，由充分不必要条件得到是的真子集，从而得到不等式组，得到答案； （2）根据并集结果得到，分与两种情况，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 由是的充分不必要条件，可得集合是集合的真子集， 又， 则， 解得，经检验时满足题意， 故实数的取值范围是. 【小问2详解】 因为， 所以由，得， 当时，，解得， 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为. 17. 命题：“”，命题：“”. （1）当为假命题时，求实数的取值范围： （2）若和中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据全称命题的否定，结合一元二次不等式的图象和性质求解即可； （2）分别求出和为真命题时的取值范围，分类讨论即可. 【小问1详解】 由为假命题可得存在使得， 因为是开口向上的抛物线，若存在，则， 解得，即的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）可知当为真命题时，， 当为真命题时，即一元二次方程有解，此时，解得， 因为和中有且只有一个是真命题， 当为真命题，为假命题时，由且解得， 当为假命题，为真命题时，由且解得， 综上的取值范围为. 18. 某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. （1）求的值； （2）该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】（1） （2）3万元 【解析】 【分析】（1）有题目中的已知条件，代入已知函数解析式，求得参数； （2）根据利润公式整理函数解析式，利用基本不等式，可得答案. 【小问1详解】 由题意知，当时，（万件）， 则，解得； 【小问2详解】 由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. 当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 19. 关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题．例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为_____． 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题． （1）已知为正实数，且，求证：； （2）已知，且，则的最小值是多少? （3）某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少?”时，给出如下解法： 令，则化为． 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立． 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，则的最大值是多少? 【答案】（1）证明：， 当且仅当，即时，等号成立，得证． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将化为，再应用基本不等式即可证结论； （2）将化为，再应用基本不等式求最小值； （3）将化为，再应用换元法及基本不等式求最大值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值是 【小问3详解】 ， 令，原式，令， 原式， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以的最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永昌县第一高级中学2025-2026-1第一次月考试卷 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 若，，，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，，则（ ） A. -1 B. -3或1 C. 3 D. -3 6. 已知“方程至多有一个解”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 无法确定 7. 某班共38名学生参加了足球､篮球和羽毛球兴趣小组，参加了足球小组的学生人数为20，参加了篮球小组的学生人数为22，参加了羽毛球小组的学生人数为21，其中3个兴趣小组都参加了的学生人数为5，则恰好参加了2个兴趣小组的学生人数为（ ） A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 8. 已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选题）已知集合，则有（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的必要条件 B. 命题“若，则中至少有1个大于2”为真命题 C. 若，则的最小值为2 D. 集合中的元素个数为8 11. 定义，且，叫做集合的对称差，若集合，，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”的否定是__________. 13. 已知实数x、y满足，，则的取值范围为________. 14. 已知，关于的方程的两个实数根为，且，则_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 设全集为，已知集合. （1）求； （2）； 16. 已知集合. （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 17. 命题：“”，命题：“”. （1）当为假命题时，求实数的取值范围： （2）若和中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. 18. 某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. （1）求的值； （2）该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 19. 关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题．例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为_____． 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题． （1）已知为正实数，且，求证：； （2）已知，且，则的最小值是多少? （3）某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少?”时，给出如下解法： 令，则化为． 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立． 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，则的最大值是多少? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $