3.1 确定位置 课堂讲义 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦“确定位置”核心知识点，系统梳理点的坐标（含有序数对、平面直角坐标系建立、坐标平面划分及点与有序数对的一一对应）和方向角（含定义、描述方法及画法）两大模块，构建从基础概念到实际应用的学习支架。 资料以情境化练习为特色，如学校位置描述、游船雷达探测等实例，引导学生用数学眼光观察现实世界。解答题注重推理过程，如坐标点到坐标轴距离计算培养数学思维，解析结合生活场景，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

确定位置讲义学案 考点卡片 1 ．点的坐标 （ 1）我们把有顺序的两个数 a 和 b 组成的数对，叫做有序数对，记作（ a ，b）． （ 2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫 x 轴（ 横轴），竖直数轴叫y 轴（ 纵轴），x 轴一般取向右为正方向，y 轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于 x 轴，又属于y 轴． （ 3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （ 4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 2 ．方向角 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于 90°的角 （ 1）方向角是表示方向的角； 以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． （ 2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边， 以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（ 注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．） （ 3）画方向角 以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线． 课堂巩固练习 一．选择题（ 共 5 小题） 1 ．（ 2025 春•玉田县校级月考）如图，学校相对于淇淇家的位置，下列描述最准确的是 ( ) A ．距淇淇家 1200 米处 B ．南偏西 65°方向上 C ．北偏东 65°方向上的 1200 米处 D ．南偏西 65°方向上的 1200 米处 2 ．（ 2025 春•船营区校级月考）点 P（ 2 ，2m - 1）到 x 轴的距离为 3 ，则 m 的值为 ( ) A ．2 B ． - 2 C ． - 1 D ．2 或 - 1 3 ．（ 2025 春•临县月考）某小镇为开发特色农耕文化体验基地，要修建一条灌溉水渠，水渠从 A 村沿北偏东 65°方向到 B 村，从 B 村沿北偏西 25°方向到 C 村，如图所示，水渠从 C 村沿什么方向修建，可以保持与 AB 的方向一致 ( ) A ．北偏西 25° B ．北偏西 65° C ．北偏东 25° D ．北偏东 65° 4．（ 2024 秋•慈溪市期末）坐标思想是法国数学家笛卡尔创立的，在平面直角坐标系中，关于点坐标（ - 2， 4）和（ 2 ， - 4），下列结论正确的是 ( ) A ．横坐标相同 B ．纵坐标相同 C ．所在象限相同 D ．到y 轴距离相同 5 ．（ 2025 春•南岗区校级月考）小霖同学乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间的距离是 1km（ 小圆半径是 1km），若小艇 C 在游船的正南方向 2km 处，则下列关于小艇 A 、B 的位置的描述，正确的是 ( ) A ．小艇 A 在游船的北偏东 60° , 距游船 3km 处 B ．小艇 B 在游船的北偏西 30° , 距游船 2km 处 C ．小艇 A 在游船的北偏东 30° , 距游船 3km 处 D ．小艇 B 在游船的南偏西 60° , 距游船 2km 处 二．填空题（ 共 5 小题） 6．（ 2025•武威校级模拟）在平面直角坐标系中，已知点 P（ 2m+4，m - 1），且点 P 到两坐标轴的距离相等，则点 P 的坐标为 ． 7 ．（ 2024 秋•长春期末）如图，某海域有三个小岛A ，B ，O ，在小岛 O 处观测到小岛 A 在它北偏东 62°的方向上，同时，观测到小岛 B 在它南偏东 38°的方向上，则∠AOB 的度数是 ． 8 ．（ 2025 春• 榆林校级月考） 如图 ，食堂在教室的北偏西 60° , 300m 的位置 ，那么教室在食堂的的位置． 9 ．（ 2025 春•商南县期末）如图，点 C 在点 A 北偏东 50°方向，点 C 在点 B 北偏西 30°方向，则∠ACB 的度数为 ° . 10 ．（ 2024 秋•汉川市期末）如图，点 A 在点 O 的北偏西 15°方向，点 B 在点 O 的北偏东 30°方向，若∠1 = ∠AOB ，则点 C 在点 O 的 方向． 三．解答题（ 共 5 小题） 11 ．（ 2024 秋•新乡期末）如图，在灯塔 O 附近有三艘轮船 A ，B ，C ．已知轮船 A 在灯塔 O 的北偏东 35°的方向上，轮船 C 在灯塔 O 的南偏东 82.5°的方向上，OC 是∠AOB 的平分线． （ 1）求∠AOB 的度数． （ 2）轮船 B 在灯塔 O 的什么方向上？ 12 ．（ 2024 秋•平远县期末）在平面直角坐标系中，有一点 P（ 2x - 1 ，3x）． （ 1）若点 P 在y 轴上，求 x 的值； （ 2）若点 P 在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为 9 ，求点 P 的坐标． 13 ．（ 2025 春•紫阳县校级期末）定义：在实数范围内，若点 P（ x，y）满足 2x - y ＝1 ，则称点 P（ x，y）为二元一次方程 2x - y ＝1 的坐标点． （ 1）若点 A（ 3 ，a）为方程 2x - y ＝1 的坐标点，则 a 的值为 ； （ 2）若点 B（ b+c ，b+5）为方程 2x - y ＝1 的坐标点，且 b ，c 为正整数，求 b ，c 的值． 14 ．（ 2025 春•临汾月考） 已知在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（ a - 3 ，2a+1）． （ 1）若点 A 在 x 轴上，求出点 A 的坐标； （ 2）若点 A 在第二象限，且到 x 轴的距离为 5 ，求出点 A 的坐标． 15 ．（ 2025 春•中山市校级月考）某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距 40 千米的 A、B 两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在 A 地北偏东 45° 、B 地北偏西 60°方向上有一牧民区 C ．一天， 甲医疗队接到牧民区的求救电话，立即去求助，求牧民区到公路的最短距离 CD． 学科网（北京）股份有限公司 课堂巩固练习 参考答案与试题解析 一．选择题（ 共 5 小题） 题号 1 2 3 4 5 答案 C D D D C 一．选择题（ 共 5 小题） 1 ．（ 2025 春•玉田县校级月考）如图，学校相对于淇淇家的位置，下列描述最准确的是 ( ) A ．距淇淇家 1200 米处 B ．南偏西 65°方向上 C ．北偏东 65°方向上的 1200 米处 D ．南偏西 65°方向上的 1200 米处 【答案】C 【分析】根据以正东，正北方向为基准，结合图形得出北偏东的角度和距离来描述物体所处的方向进行描述即可得出结果． 【解答】解：根据题意可知，以淇淇家为观测点，已知角度 115° , ∴从正北方向顺时针旋转到学校与淇淇家连线的角度为：115° - 90° =25° , ∴学校在淇淇家北偏东 65°方向， 由图可知淇淇家到学校的距离是 1200 米． 综上，学校相对于淇淇家的位置是北偏东 65°方向上的 1200 米处． 故选：C． 2 ．（ 2025 春•船营区校级月考）点 P（ 2 ，2m - 1）到 x 轴的距离为 3 ，则 m 的值为 ( ) A ．2 B ． - 2 C ． - 1 D ．2 或 - 1 【答案】D 【分析】根据点到 x 轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，列出方程求解 m 的值． 【解答】解： 由条件可知|2m - 1| ＝3， ∴2m - 1 ＝3 或 2m - 1 ＝ - 3． 解得 m ＝2 或 - 1． 故选：D． 3 ．（ 2025 春•临县月考）某小镇为开发特色农耕文化体验基地，要修建一条灌溉水渠，水渠从 A 村沿北偏东 65°方向到 B 村，从 B 村沿北偏西 25°方向到 C 村，如图所示，水渠从 C 村沿什么方向修建，可以保持与 AB 的方向一致 ( ) A ．北偏西 25° B ．北偏西 65° C ．北偏东 25° D ．北偏东 65° 【答案】D 【分析】根据方向角的定义以及平行线的性质进行计算即可． 【解答】解： ∵AM∥BN∥CP， ∴ ∠NBD = ∠A ＝65° , ∠PCQ = ∠NBC ＝25° , ∵CE∥AB， ∴∠QCE = ∠CBD ，即∠PCQ+ ∠PCE = ∠CBN+∠DBN， ∴ ∠PCE = ∠DBN＝65° , ∴当 CE 与AB 的方向一致时，CE 的方向为北偏东 65° ,故选：D． 4．（ 2024 秋•慈溪市期末）坐标思想是法国数学家笛卡尔创立的，在平面直角坐标系中，关于点坐标（ - 2， 4）和（ 2 ， - 4），下列结论正确的是 ( ) A ．横坐标相同 B ．纵坐标相同 C ．所在象限相同 D ．到y 轴距离相同 【答案】D 【分析】根据点的坐标的意义判断即可． 【解答】解：A 、点（ - 2 ，4）和（ 2 ， - 4）的横坐标不同，故此选项不符合题意； B 、点（ - 2 ，4）和（ 2 ， - 4）的纵坐标不同，故此选项不符合题意； C、点（ - 2 ，4）在第二象限，点（ 2 ， - 4）在第四象限，所在象限不同，故此选项不符合题意； D 、点（ - 2 ，4）和（ 2 ， - 4）到y 轴的距离相等，故此选项符合题意；故选：D． 5 ．（ 2025 春•南岗区校级月考）小霖同学乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间的距离是 1km（ 小圆半径是 1km），若小艇 C 在游船的正南方向 2km 处，则下 列关于小艇 A 、B 的位置的描述，正确的是 ( ) A ．小艇 A 在游船的北偏东 60° , 距游船 3km 处 B ．小艇 B 在游船的北偏西 30° , 距游船 2km 处 C ．小艇 A 在游船的北偏东 30° , 距游船 3km 处 D ．小艇 B 在游船的南偏西 60° , 距游船 2km 处 【答案】C 【分析】利用方向角的定义判断即可． 【解答】解：根据图所示，小艇 A 在游船的北偏东 30° , 距游船 3km 处；小艇 B 在游船的北偏西 60° ,距游船 2km 处； 故选项 C 符合题意． 故选：C． 二．填空题（ 共 5 小题） 6．（ 2025•武威校级模拟）在平面直角坐标系中，已知点 P（ 2m+4，m - 1），且点 P 到两坐标轴的距离相等，则点 P 的坐标为 （ - 6 ， - 6）或（ 2 ， - 2） ． 【答案】（ - 6 ， - 6）或（ 2 ， - 2）． 【分析】根据题意可得：|2m+4| ＝|m - 1| ，从而可得 2m+4 = ±（ m - 1），然后进行计算即可解答． 【解答】解： 由题意得：2m+4 = ±（ m - 1）， 解得：m ＝ - 5 或 m ＝ - 1， 当 m ＝ - 5 时，2m+4 ＝ - 6 ，m - 1 ＝ - 6， 当 m ＝ - 1 时，2m+4 ＝2 ，m - 1 ＝ - 2， ∴点 P 的坐标为（ - 6 ， - 6）或（ 2 ， - 2）， 故答案为：（ - 6 ， - 6）或（ 2 ， - 2）． 7 ．（ 2024 秋•长春期末）如图，某海域有三个小岛A ，B ，O ，在小岛 O 处观测到小岛 A 在它北偏东 62°的方向上，同时，观测到小岛 B 在它南偏东 38°的方向上，则∠AOB 的度数是 80° . 【答案】见试题解答内容 【分析】根据已知条件利用平角的定义可直接确定∠AOB 的度数． 【解答】解： ∵OA 是表示北偏东 62°方向的一条射线，OB 是表示南偏东 38°方向的一条射线， ∴ ∠AOB ＝180° - 62° - 38° = 80° . 故答案为：80° . 8 ．（ 2025 春•榆林校级月考）如图，食堂在教室的北偏西 60° , 300m 的位置，那么教室在食堂的 南偏东60° , 300m 的位置． 【答案】南偏东 60° , 300m． 【分析】利用有序实数对表示位置，根据题意算出∠1 ＝60° , 再结合题干的条件，即可解题． 【解答】解：如图所示： 学科网（北京）股份有限公司 由平行线的性质可得： ∠1 ＝60° , ∵食堂在教室的北偏西 60° , 300m 的位置， ∴教室在食堂的南偏东 60° , 300m 的位置； 故答案为：南偏东 60° , 300m． 9 ．（ 2025 春•商南县期末）如图，点 C 在点 A 北偏东 50°方向，点 C 在点 B 北偏西 30°方向，则∠ACB 的度数为 80 ° . 【答案】80． 【分析】过点 C 作 CF∥AD ，可得 AD∥BE∥CF，即得∠ACF = ∠DAC ＝50° , ∠BCF= ∠EBC ＝30° ,再根据角的和差即可求解． 【解答】解：过点 C 作 CF∥AD， ∵AD∥BE， ∴AD∥BE∥CF， ∴ ∠ACF= ∠DAC ＝50° , ∠BCF = ∠EBC ＝30° , ∴ ∠ACB = ∠ACF+BCF＝50°+30° = 80° , 故答案为：80． 10 ．（ 2024 秋•汉川市期末）如图，点 A 在点 O 的北偏西 15°方向，点 B 在点 O 的北偏东 30°方向，若∠1 = ∠AOB ，则点 C 在点 O 的 南偏东 45°（ 或东南方向） 方向． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据方向角的表示方法，可得答案． 【解答】解： 由题意知， ∠AOB ＝15°+30° =45° . ∵ ∠1 = ∠AOB， ∴ ∠1 ＝45° . ∴点 C 在点 O 的南偏东 45°（ 或东南方向）方向． 故答案为：南偏东 45°（ 或东南方向）． 三．解答题（ 共 5 小题） 11 ．（ 2024 秋•新乡期末）如图，在灯塔 O 附近有三艘轮船 A ，B ，C ．已知轮船 A 在灯塔 O 的北偏东 35°的方向上，轮船 C 在灯塔 O 的南偏东 82.5°的方向上，OC 是∠AOB 的平分线． （ 1）求∠AOB 的度数． （ 2）轮船 B 在灯塔 O 的什么方向上？ 【答案】（ 1） ∠AOB ＝125° ；（ 2）轮船 B 在灯塔 O 的南偏东 20°方向上． 【分析】（ 1）根据角的和差关系进行计算即可； （ 2）先求出∠2 ＝180° - ∠1 - ∠AOB ，再回答即可． 【解答】解：（ 1） 由题意，得∠1 ＝35° , ∠2+∠COB ＝82.5° , ∴ ∠AOC ＝180° - ∠1 - (∠2+∠COB）＝180° - ∠1 - ∠2 - ∠COB ＝180° - 35° - 82.5° =62.5° , ∵OC 是∠AOB 的平分线， ∴ ∠AOB ＝2∠AOC ＝2×62.5° = 125° ; （ 2） ∠2 ＝180° - ∠1 - ∠AOB ＝180° - 35° - 125° =20° , ∴轮船 B 在灯塔 O 的南偏东 20°方向上． 12 ．（ 2024 秋•平远县期末）在平面直角坐标系中，有一点 P（ 2x - 1 ，3x）． （ 1）若点 P 在y 轴上，求 x 的值； （ 2）若点 P 在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为 9 ，求点 P 的坐标 【答案】见试题解答内容 【分析】（ 1）根据y 轴上的点横坐标为 0 ，计算即可； （ 2）坐标系中点到 x 轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y 轴的距离为横坐标的绝对值结合第一象限内 的点横纵坐标都为正得到 3x+2x - 1 ＝9 ，解方程即可得到答案． 【解答】解：（ 1） ∵点 P（ 2x - 1 ，3x）在y 轴上， ∴2x - 1 ＝0， ∴x （ 2） ∵P（ 2x - 1 ，3x）在第一象限， ∴点 P 到 x 轴的距离为 3x ，到y 轴的距离为 2x - 1， ∵点 P 到两坐标轴的距离之和为 9， ∴3x+2x - 1 ＝9， ∴x ＝2， ∴2x - 1 ＝3 ，3x ＝6， ∴点 P 的坐标为（ 3 ，6）． 13 ．（ 2025 春•紫阳县校级期末）定义：在实数范围内，若点 P（ x，y）满足 2x - y ＝1 ，则称点 P（ x，y）为二元一次方程 2x - y ＝1 的坐标点． （ 1）若点 A（ 3 ，a）为方程 2x - y ＝1 的坐标点，则 a 的值为 5 ； （ 2）若点 B（ b+c ，b+5）为方程 2x - y ＝1 的坐标点，且 b ，c 为正整数，求 b ，c 的值 【答案】（ 1）5； 学科网（北京）股份有限公司 （ 2） ( b C = 1 ) ( 或 )b = 2 c = 2 = 4 【分析】（ 1）根据已知条件中的坐标点的定义，把点 A（ 3 ，a）代入 2x - y ＝1 得关于 a 的方程，解方程求出 a 即可； （ 2）根据已知条件中的坐标点的定义，把点 B（ b+c，b+5）代入 2x - y ＝1 得关于 b，c 的方程，求出 b， c 的正整数值即可． 【解答】解：（ 1）把点A（ 3 ，a）代入 2x - y ＝1 得： 6 - a ＝1， a ＝5， 故答案为：5； （ 2） ∵点 B（ b+c ，b+5）为方程 2x - y ＝1 的坐标点，∴把点 B（ b+c ，b+5）代入方程 2x - y ＝1 得： 2（ b+c） - （ b+5） ＝1， 2b+2c - b - 5 ＝1， b+2c ＝6， b ＝6 - 2c， ∵b ，c 为正整数， 或c (b) 1 (4)． 14 ．（ 2025 春•临汾月考） 已知在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（ a - 3 ，2a+1）． （ 1）若点 A 在 x 轴上，求出点 A 的坐标； （ 2）若点 A 在第二象限，且到 x 轴的距离为 5 ，求出点 A 的坐标 【答案】（ 1）点 A 的坐标为 （ 2）点 A 的坐标为（ - 1 ，5）． 【分析】（ 1） 由轴上的点的纵坐标为 0 ，可得 2a+1 ＝0 ，从而可解得 a 的值，再将 a 的值代入计算，则可得答案； （ 2）根据点到轴的距离为 5 ，求解即可． 【解答】解：（ 1） ∵点A 的坐标为（ a - 3 ，2a+1），点 A 在 x 轴上， ∴2a+1 ＝0， ∴点A 的坐标为 （ 2） ∵点 A 在第二象限，且到 x 轴的距离为 5， ∴2a+1 ＝5， 解得 a ＝2， ∴ a - 3 ＝2 - 3 ＝ - 1， 即点 A 的坐标为（ - 1 ，5）． 15 ．（ 2025 春•中山市校级月考）某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距 40 千米的 A、B 两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在 A 地北偏东 45° 、B 地北偏西 60°方向上有一牧民区 C ．一天， 甲医疗队接到牧民区的求救电话，立即去求助，求牧民区到公路的最短距离 CD． 【答案】牧民区到公路的最短距离为千米． 【分析】设 CD ＝x 千米，则 AD ＝x 千米，BD ＝（ 40 - x）千米，利用三角函数可求得 CD 的值． 【解答】解： 由已知得∠CAD ＝45° , ∠CBD ＝30° , 设 CD ＝x 千米，则 AD ＝x 千米，BD ＝（ 40 - x）千米，在 Rt△BCD 中， 解得x 答：牧民区到公路的最短距离CD = (20 3 — 20)千米． 学科网（北京）股份有限公司 $