2.3二次根式 讲义 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦二次根式核心知识点，系统梳理从性质与化简、最简二次根式、乘除运算，到混合运算、化简求值及实际应用的递进脉络。同时关联规律型数字变化类、三角形三边关系等知识，构建完整学习支架，助力学生逐步掌握二次根式知识体系。 资料设计突出数学思维与应用意识，通过规律探究题（如数字变化类猜想论证）、实际应用题（如铝合金板裁剪问题）培养学生抽象能力与推理意识。讲练结合，含选择、填空、解答题及详细解析，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，强化知识理解与应用能力。

二次根式讲义学案 考点卡片 1 ．规律型：数字的变化类 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． （ 1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （ 2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为 x ，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程． 2 ．二次根式的性质与化简 （ 1）二次根式的基本性质： ① a ≥0； a≥0（ 双重非负性）． ② a （ a≥0）（ 任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． （ 算术平方根的意义） （ 2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． （ 3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（ 或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（ 或因式）的指数都小于根指数 2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1 ．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2 ．解题方法： （ 1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （ 2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （ 3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 3 ．最简二次根式 最简二次根式的概念：（ 1）被开方数不含分母；（ 2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（ 1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（ 2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有 2 、3 、a（ a≥0）、x+y 等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有 4 、9 、a2 、（ x+y）2 、x2+2xy+y2 等． 4 ．二次根式的乘除法 （ 1）积的算术平方根性质：a≥0 ，b≥0） （ 2）二次根式的乘法法则： （ 3）商的算术平方根的性质：a≥0 ，b＞0） （ 4）二次根式的除法法则： 规律方法总结： 在使用性质（ a≥0 ，b≥0）时一定要注意 a≥0 ，b≥0 的条件限制，如果 a＜0 ，b＜0 ，使用该性质会使二次根式无意义，如 同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 5 ．分母有理化 （ 1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（ 分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．例如： （ 2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：的有理化因式可以是 也可以是 a 这里的a 可以是任意有理数． 6 ．同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 学科网（北京）股份有限公司 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （ 1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （ 2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （ 3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 7 ．二次根式的混合运算 （ 1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“ ，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （ 2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （ 3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 8 ．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 9 ．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 10 ．三角形三边关系 （ 1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （ 2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （ 3）三角形的两边差小于第三边． （ 4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹， 学科网（北京）股份有限公司 容易忽略． 11 ．等腰三角形的性质 （ 1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （ 2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （ 3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线． 以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 课堂巩固练习 一．选择题（ 共 5 小题） 1 ．（ 2025 春•孝昌县校级月考）一个等腰三角形其中的两条边长分别为 这个等腰三角形的周长为( ) A ． B ． C ． D ．或 2 ．（ 2024 秋•衡阳县期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是 ( ) A ． B ． C ． D ． 3 ．（ 2024 秋•东坡区期末） 已知 a 则 a 与 b 的关系 ( ) A ．a ＝b B ．ab ＝1 C ．a ＝ - b D ．ab ＝ - 1 4 ．（ 2024 秋•管城区校级期末）下列运算结果正确的是 ( ) A ．2 + 3 = 2 3 B ． 5 — 3 = 2 C D ． 5 ．（ 2025 春•临潭县校级月考）如果 3 + 2m是一个正整数，则整数 m 的值可以是 ( ) A ．0 B ．3 C ． - 6 D ． - 2 二．填空题（ 共 5 小题） 6 ．（ 2025 春•黔西南州期末）计算： ． 7 ．（ 2025 春•太湖县期末）若 20与最简二次根式 3a — 1是同类二次根式，则 a = . 8 ．（ 2025 春•西城区校级期末）计算： ． 9 ．（ 2025•祁阳市校级一模）计算： ． 10 ．（ 2025 春•黄石月考）经过探索知道 … ，若已知an 则 a1 + a2 + a3 + … + a2024 — 2025 = ． 三．解答题（ 共 5 小题） 11 ．（ 2025•苏州校级模拟）计算： 12 ．（ 2025 春•太和县月考）【观察】观察下列等式第 1 个等式： 第 2 个等式： 第 3 个等式： 第 4 个等式： … 【发现】请直接写出第 5 个等式； 【猜想】根据上述等式的规律猜想出第 n（ n 为正整数）个等式（ 用含 n 的式子表示）； 【论证】请证明你的猜想． 13 ．（ 2025 春•成都校级月考）计算 14 ．（ 2025 春•临潭县校级月考）某加工厂有一批面积为 56 平方分米的铝合金板，它的宽是 分米． （ 1）若用这批铝合金板裁出如下包含正方形 A 、B 的工件，计算剩余材料（ 阴影部分）的面积； （ 2）用这种铝合金板能裁出两张面积均为 25 平方分米的正方形工件吗？若能求出剩余材料面积，若不能说明理由． 15 ．（ 2025 春•临潭县校级月考）墨迹“□”挡住了二次根式运算“□ 的一部分． （ 1）若“□”覆盖的是 ，嘉琪进行如下计算： ( 嘉琪是从第 步开始出错的，正确的结果应该是 ； （ 2 ）若原式的计算结果为 求墨迹覆盖的数 ) 学科网（北京）股份有限公司 课堂巩固练习 参考答案与试题解析 一．选择题（ 共 5 小题） 题号 1 2 3 4 5 答案 D C A C B 一．选择题（ 共 5 小题） 1 ．（ 2025 春•孝昌县校级月考）一个等腰三角形其中的两条边长分别为 2和 ，这个等腰三角形的周长为( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【分析】分腰长为 2和 6两种情况计算即可求解． 【解答】解：当腰长为 2 时，满足 故等腰三角形的周长为 当腰长为时，等腰三角形的周长为 综上，这个等腰三角形的周长为 或 故选：D． 2 ．（ 2024 秋•衡阳县期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是 ( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【分析】被开方数含有开不尽方的因数或因式，且不含分母，这样的二次根式是最简二次根式，根据此概念进行判断即可． 【解答】解：A 、 不是最简二次根式，不符合题意； B 、 ，不是最简二次根式，不符合题意； C、 30 ，是最简二次根式，符合题意； D 、 8 = 2 2 ，不是最简二次根式，不符合题意；故选：C． 3 ．（ 2024 秋•东坡区期末） 已知 a 则 a 与 b 的关系 ( ) A ．a ＝b B ．ab ＝1 C ．a ＝ - b D ．ab ＝ - 1 【答案】A 【分析】本题可先将 b 分母有理化，然后再判断 a 、b 的关系． 【解答】解： ∵ba ＝b． 故选：A． 4 ．（ 2024 秋•管城区校级期末）下列运算结果正确的是 ( ) 【答案】C 【分析】根据二次根式的加法运算对 A 选项进行判断；根据二次根式的减法运算对 B 选项进行判断；根据二次根式的乘法运算对 D 选项进行判断；利用分母有理化对 D 选项进行判断． 【解答】解：A ．2 与不能合并，所以 A 选项不符合题意； B ． 不能合并，所以 B 选项不符合题意； C ． 所以 C 选项符合题意； D ． 所以 D 选项不符合题意．故选：C． 5 ．（ 2025 春•临潭县校级月考）如果 3 + 2m是一个正整数，则整数 m 的值可以是 ( ) A ．0 B ．3 C ． - 6 D ． - 2 【答案】B 【分析】把每个选项中的 m 的值代入二次根式化简即可． 【解答】解：A 、当 m ＝0 时，3+2m ＝3 ， 不是一个正整数，故此选项不符合题意； B 、当 m ＝3 时，3+2m ＝9 ， 是一个正整数，故此选项符合题意； C、当 m ＝ - 6 时，3+2m ＝ - 9 ， 没有意义，故此选项不符合题意； D 、当 m ＝ - 2 时，3+2m ＝ - 1 ， ，没有意义，故此选项不符合题意；故选：B． 二．填空题（ 共 5 小题） 6 ．（ 2025 春•黔西南州期末）计算： 【答案】3． 【分析】根据二次根式的性质即可得到结果． 【解答】解：． 故答案为：3． 7 ．（ 2025 春•太湖县期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则 a ＝ 2 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】先将化简，再根据同类二次根式的定义进行解题即可． 【解答】解： ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴3a - 1 ＝5， ∴a ＝2． 故答案为：2． 8 ．（ 2025 春•西城区校级期末）计算： ． 【答案】1． 【分析】利用平方差公式计算． 【解答】解：原式＝22 - （ 3 ）2 =4 - 3 = 1． 故答案为：1． 9 ．（ 2025•祁阳市校级一模）计算： 3 — 2( 3 + 2)2024( 3 — 2)2025 = 4 — 3 【答案】 【分析】先逆用积的乘方，进行平方差公式的计算，再去括号，合并同类二次根式即可． 【解答】解：原式= 3 — 2[（ 3 + 2）（ 3 — 2）]2024×（ 3 — 2） = 3 — 2（ 3 — 2） 故答案为： 10 ．（ 2025 春•黄石月考）经过探索知道 … ，若已 知an 【答案】 【分析】根据已知等式，归纳总结得到一般性结果，确定出 an ，代入 an ， an 表示出 ，代入原式计算即可得到结果． 学科网（北京）股份有限公司 【解答】解：a ……, 则原式 故答案为： 三．解答题（ 共 5 小题） 11 ．（ 2025•苏州校级模拟）计算： 【答案】（ 1）9； （ 2） 【分析】（ 1）根据二次根式乘法法则和零指数幂的意义计算即可； （ 2）利用绝对值的性质、负整数指数幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别运算， 再合并即可求解． 【解答】解：（ 1）原式＝10 - 1=9； （ 2）原式 12 ．（ 2025 春•太和县月考）【观察】观察下列等式：第 1 个等式： 第 2 个等式： 第 3 个等式： 第 4 个等式： … 【答案】发现：第 5 个等式是 猜想： 论证： ∵等式左边等式右边， ∴猜想成立． 【分析】发现：根据已知等式规律写出等式即可； 猜想：根据已知等式规律写出等式即可； 论证：根据二次根式的性质和运算法则证明即可； 【解答】解：发现：第 5 个等式是 猜想： 论证： ∵等式左边等式右边， ∴猜想成立． 13 ．（ 2025 春•成都校级月考） 计算：(1 【答案】 ． 【分析】先化简，然后计算加减法即可． 【解答】解 14 ．（ 2025 春•临潭县校级月考）某加工厂有一批面积为 56 平方分米的铝合金板，它的宽是 分米． （ 1）若用这批铝合金板裁出如下包含正方形 A 、B 的工件，计算剩余材料（ 阴影部分）的面积； （ 2）用这种铝合金板能裁出两张面积均为 25 平方分米的正方形工件吗？若能求出剩余材料面积，若不能说明理由． 【答案】（ 1）6 剩余材料的面积为 6 平方分米； （ 2）不能载出；理由： 25 = 52×5 ＝10， 但 ∴不能裁出． 【分析】（ 1）依据题意，由铝合金板的长：分米），可得另一边长为： （ 分米），则剩余材料的面积：3 2 × (4 2 − 3 2) = 3 2 × 2 = 6（ 平方分米），即可得解； （ 2）依据题意， 由 ，但 即可判断得解． 【解答】解：（ 1）铝合金板的长： （ 分米）， ∴另一边长为： （ 分米）． ∴剩余材料的面积： 平方分米）． （ 2）不能载出；理由： , 但 ∴不能裁出． 15 ．（ 2025 春•临潭县校级月考）墨迹“□”挡住了二次根式运算“□ 的一部分． （ 1）若“□”覆盖的是 ，嘉琪进行如下计算： 12 ÷ 6 嘉琪是从第 ② 步开始出错的，正确的结果应该是 5 2 ； （ 2）若原式的计算结果为 求墨迹覆盖的数． 【答案】（ 1）② , （ 2）． 【分析】（ 1）第②步的运算顺序和二次根式的减法运算错误，应该先计算二次根式的除法运算，然后合并同类二次根式； （ 2）设“□”覆盖的数为 x ，则 然后解一元一次方程即可． 【解答】解：（ 1）嘉琪是从第②步开始出错的，正确的结果应该 故答案为：② , （ 2）设“□”覆盖的数为 x ，则 即墨迹覆盖的数为 学科网（北京）股份有限公司 $