2.5.2 圆与圆的位置关系 课后练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

课后训一圆与圆的位置关系 班主任：日期：2025. 时长：50-60分钟/次 【题组一圆与圆的位置关系的判断及求参】 (判断) 1.（多选)已知C:x2+y2-6x=0,则下述正确的是() A.圆C的半径r=3 B.点(1,22)在圆C的内部 C.直线1：x+V5y+3=0与圆C相切 D.圆c:(x+1)2+y2=4与圆C相交 2.若直线ax+y=2与圆0：x2+y2=寺相切，则圆(x-a)2+(y-b)2=2与圆0() A.相离 B.相交 C.内切 D.外切 (根据圆与圆位置关系求参数) 3.已知圆C1:(x-a)2+(y-a)2=8(a>0)与圆C2:x2+y2-2x-2y=0没有公共点，则 实数a的取值范围为一· 第1页 4.己知集合A={(x,y)x2+y2-2x=0,B={(,y)x2+y2-8x+8y+m=0,若AnB恰有一个元素， 则m的值可以为() A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 5.（多选)已知圆c:(x-4)2+(y-3)2=1和两点A(0,-a),B(0,a)(a>0),若圆C上 有且只有一点P,使得∠APB=90°，则a的值为() A.3 B.4 C.6 D.7 【题组二两圆相切，公切线条数】 (判断) 6.圆x2-4x+y2=0与圆x2+y2+4x+3=0的公切线共有（） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 第2页 (求参数) 7.已知圆C,:x2+y2=m2(m>0)与圆C2:x2+y2-2x-4y-15=0恰有两条公切线，则实数m的取值 范围。一· 8.已知圆C:2+y2-2x-4y+m=0若圆Cc与圆D:(x+2)2+y+2=1有三条公切线，则 m的值为 【题组三两圆相切，公切线方程】 外离-4条 9.已知圆O:x2+y2=1与圆C关于直线1：x+y-2=0对称，求圆0与圆C的公切线方程 第3页 10.圆A:x2+y2-4x+2y+1=0与圆B:x2+y2-6x-12y+44=0,则圆A与圆B的公切 线方程为 外切-3条 1.写出与圆x2+y2=1和(x一3)2+y-42=16都相切的一条直线的方程 第4页 相交-2条 12.已知圆0：x2+y2=4和圆M:x2+y2-4x+2y+4=0相交于AB两点，求两圆的公切线方 程 内切-1条 13.已知直线1与圆x-2)+(y-3)2=1和圆(x+1)2+y+1)=36均相切，则1的方程为() A.x+2y-23=0B.x+2y+23=0C.3x+4y-23=0D.3x+4y+23=0 第5页 【题组四两圆相切，公切线长度】 相交-2条：相等 14.若直线1与圆C:(x+1)+y2=1,圆C,:x-1+y2=4都相切，切点分别为A、B,则AB=() A.1 B.2 C.5 D.2W2 外切-3条：两外切相等 15.已知：圆C:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0.若两圆外切，求m的值及外公切线的长. 外离-4条：两两相等 16.求圆C,:x2+y2=4与圆C2:x2+y2+20x+84=0的公切线的长 第6页 【题组五两圆相交，公共弦方程】 17.两圆x2+y2-2y-3=0与x2+y2+2x=0的公共弦所在直线的方程为一 18.已知圆C1:x2+y2-kx+2y=0与圆C2:x2+y2+ky-4=0的公共弦所在直线恒过定点 P(a,b且点p在直线mx-y-2=0上，则m24n2的取值范围是() A.(3,+∞) B.（-∞，]c.[3+∞ D.(-∞) (切点弦) 19.过点P(2,2)作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为A、B,则直线AB的方程为一 第7页 【题组六两圆相交，公共弦长度】 20.若圆C:x2+(y-4)2=18与圆D(x-1)2+(y-1)2=R2的公共弦长为62，则圆D 的半径为 21.已知圆C1与y轴相切于点(0,3)，圆心在经过点(2,1)与点(-2，-3)的直线1上。 (1)求圆C,的方程； (2)若圆C1与圆C2:x2+y2-6x-3y+5=0相交于M,N两点，求两圆的公共弦长. 第8页 【题组七与圆有关的最值】 22.(多选)已知实数，y满足(x-2)2+y2=4,下列说法正确的是（) A.克的最小值为- B.x+y的最小值为2-22 C.(x+2)2+(y+3)2的最小值为5 D.点(xy)到直线y=kx+2的距离的最大值为2+22 第9页 课后训—圆与圆的位置关系- 班主任： 日期：2025. 时长：50-60分钟/次 【题组一 圆与圆的位置关系的判断及求参】 （判断） 1．（多选）已知，则下述正确的是（    ） A．圆C的半径 B．点在圆C的内部 C．直线与圆C相切 D．圆与圆C相交 【答案】ACD 【分析】先将圆方程化为标准方程，求出圆心和半径，然后逐个分析判断即可 【详解】由，得，则圆心，半径， 所以A正确， 对于B，因为点到圆心的距离为，所以点在圆C的外部，所以B错误， 对于C，因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆C相切，所以C正确， 对于D，圆的圆心为，半径， 因为，， 所以圆与圆C相交，所以D正确， 故选：ACD 2．若直线与圆O：相切，则圆与圆O（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】A 【分析】若直线与圆O：相切，得，由两圆圆心距与两圆半径之和与半径之差作比较，进而得到两圆的位置关系. 【详解】若直线与圆O：相切， 则圆心到直线的距离等于圆O的半径， 即，得， 圆圆心，半径为， 两圆圆心距，大于两圆半径之和，所以两圆相离. 故选：A （根据圆与圆位置关系求参数） 3．已知圆与圆没有公共点，则实数a的取值范围为______． 【答案】或 【分析】根据两圆无公共点,可知两圆相离或者内涵,故根据圆心距和两圆半径的关系即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，圆心距，因为两圆没有公共点，所以两圆外离或内含，则或，即或，又因为，所以或． 故答案为:或． 4．已知集合，若恰有一个元素，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据恰有一个元素，得到两圆只有一个公共点，分两圆相外切和内切求解. 【详解】解：，即， 则该圆的圆心为，半径为， ，即， 由题意可知集合表示圆，则该圆的圆心为，，半径为， 又圆心距为，且恰有一个元素， 即两圆只有一个公共点， 当两圆相外切时，，解得， 当两圆相内切时，，解得， 故选：D 5．（多选）已知圆和两点，，若圆C上有且只有一点P，使得，则a的值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】BC 【分析】由可知，点P在以AB为直径的圆上，写出以AB为直径的圆的方程，通分分析，知其与圆相切，根据两圆方程联立可解得a的值. 【详解】由题意，可得点P在以AB为直径的圆上，即圆．要使得圆上有且只有一点P，使得， 则圆C与圆P只有一个公共点，即两圆相切（外切和内切两种情况）．易得两圆的圆心距． 当两圆外切时，可得，得； 当两圆内切时，可得，得． 综上可得，实数a的值为4或6． 故选：BC. 【题组二 两圆相切，公切线条数】 （判断） 6．圆与圆的公切线共有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】把两个圆方程化成标准方程，分别求出两圆的圆心坐标及两圆的半径，比较圆心距与两圆半径和与差的关系，判断出两圆的位置关系，进而可以判断出有几条公切线． 【详解】 圆心坐标为（2，0）半径为2； 圆心坐标为，半径为1， 圆心距为4，两圆半径和为3，因为4>3,所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条． 故本题选D. （求参数） 7．已知圆与圆恰有两条公切线，则实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据两圆相交，列出不等关系，即可求得结果. 【详解】由，即， 可知圆的圆心为，半径为； 因为圆与圆恰有两条公切线，所以圆与圆相交， 则，∵， 解得：，即的取值范围是. 故答案为：. 【答案】 【分析】根据两圆相交，列出不等关系，即可求得结果. 【详解】由，即， 可知圆的圆心为，半径为； 因为圆与圆恰有两条公切线，所以圆与圆相交， 则，∵， 解得：，即的取值范围是. 故答案为：. 8．已知圆.若圆与圆有三条公切线，则的值为___________. 【答案】 【分析】根据已知条件得出两圆的位置关系，结合两点间的距离公式即可求解. 【详解】由，得， 所以圆的圆心为，半径为， 因为圆，所以圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆有三条公切线，所以圆与圆相外切， 即，解得， 所以的值为. 故答案为：. 【题组三 两圆相切，公切线方程】 外离-4条 9．已知圆O：与圆C关于直线l：对称，求圆O与圆C的公切线方程. 【答案】或或或 【分析】若任意两个圆关于某直线对称，那么这两个圆的其中一条公切线与两个圆心连线平行且距离为半径，再代入本题条件，求出圆心连线的直线方程，求出其中一条公切线方程.因为圆与对称相离，所以两对称圆一定相离，由对称性得到切线与对称性相较于同一点，通过线段长求出切线的倾斜角，从而写出切线方程. 【详解】如图：任意圆与圆关于直线对称，为圆与圆的一条公切线， ∵圆与圆关于直线对称，∴， ∵为圆与圆的公切线，∴，∴， 由圆与圆关于直线对称，∴圆与圆的半径相等，即， ∴，且到的距离为， ∵，∴，，∴， 设其中一条公切线，则，即， 故圆与圆的公切线. ∵圆心到直线的距离，∴圆与圆相离， ∴圆与圆有4条公切线，由对称性可知公切线与交于一点， 设与圆相切与点，则， ∵，，∴， ∵，∴轴，轴， ∴故圆与圆的公切线或. 故答案为：或或或（写出其中一个即可）. 10．圆与圆，则圆A与圆B的公切线方程为___________. 【答案】，，或 【分析】首先求出圆心与半径，判断两圆的位置关系，确定公切线有条，再利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】，圆心，半径； ，圆心，半径， 因为两圆的圆心距， 所以两圆相离，即圆A与圆B的公切线有条， 当直线的斜率不存在时，与两圆均相切； 当直线的斜率存在时，设，即， 所以，解得 ，或， 所以圆A与圆B的公切线方程有， 或 ， 故答案为：，，或 外切-3条 11．写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 【答案】或或 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】解：方法一： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 方法二： 设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 方法三： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 相交-2条 12．已知圆和圆相交于两点，求两圆的公切线方程. 【答案】或 【分析】利用图象找出一条公切线，利用点在圆上的对称点即可得出公切线方程. 【详解】（1）由题意， 联立方程组，两式相减得到直线的方程为， 则原点到直线的距离为， 根据勾股定理得    （2）由题意及（1）得， 在圆中， ， ∴，半径为， 在圆中，圆心，半径为， 可得直线与两圆相切，即为两圆的公切线， 则关于两圆圆心所在直线对称的直线即为另一条公切线， 由和，可得两圆心所在直线为， 即， 联立方程组，解得， 即交点坐标为， 在直线上任取一点， 设点关于直线对称点为， 可得，解得， 即对称点的坐标为， 所求的另一条切线过点， 可得其方程为， 故所求切线方程为或.    内切-1条 13．已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：. 【题组四 两圆相切，公切线长度】 相交-2条：相等 14．若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线交轴于点，推导出为的中点，为的中点，利用勾股定理可求得. 【详解】如下图所示，设直线交轴于点， 由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、， 则，，， ，为的中点，为的中点，， 由勾股定理可得. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于推导出为的中点，并利用勾股定理进行计算，此外，在直线与圆相切的问题时，要注意利用圆心与切点的连线与切线垂直这一几何性质. 外切-3条：两外切相等 15．已知：圆与圆．若两圆外切，求的值及外公切线的长． 【答案】(1)两圆相交，理由见解析； (2)，4. 【分析】（1）根据两圆方程得出圆心和半径，计算出圆心距，利用两圆相交的必要条件即可判断，相交时，将两圆的一般式方程左右分别相减，整理即得公共弦方程； （2）利用两圆外切的必要条件得出关于参数的方程，求出值，继而运用外公切线的计算公式即得.(外公切线计算公式初中已知) 【详解】（1）由圆与圆，可知两圆圆心分别为，半径为， 因,时，，因为，故两圆相交． 用圆的两边减去圆的两边即得两圆公共弦所在直线的方程为：． （2）若两圆外切，则，即，解得． 此时，，所以外公切线长为： 外离-4条：两两相等 16．求圆与圆的公切线的长． 【答案】改编，要另做答案 或，8 【分析】利用两圆的圆心在轴得到内公切线的交点也在轴上，再利用几何性质可求的坐标，最后利用内公切线和圆相切得到其斜率，从而可求其直线方程. 【详解】，，，． 设内公切线与连心线交于点，则在轴上且． 设，可得，． 设内公切线所在直线方程为，即． 由，得． 所以内公切线所在直线方程为或． 内公切线的长为． 【点睛】当两圆相离时，两圆有两条外公切线和内公切线，求它们的直线方程时，应先利用几何性质求出外公切线的交点、内公切线的交点，它们和两圆的圆心在一条直线上，再利用相切求出斜率. 【题组五 两圆相交，公共弦方程】 17．两圆与的公共弦所在直线的方程为______. 【答案】 【分析】两圆相减，消去即为答案. 【详解】与相减得：，即为公共弦所在直线的方程. 故答案为： 18．已知圆：与圆：的公共弦所在直线恒过定点,且点在直线上,则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两圆的方程相减求得两圆的公共弦方程,继而求得,再代入直线,根据距离的几何意义求解即可. 【详解】由题,两圆的公共弦方程为,即,定点满足,即,故. 又点在直线上,故,即.故的轨迹为直线.又的几何意义为原点到点的距离的平方. 故最小值为,故的取值范围是. 故选：C （切点弦） 19．过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为_______． 【答案】 【分析】由题知、，进而求解方程即可. 【详解】解：方法1：由题知，圆的圆心为，半径为， 所以过点作圆的两条切线，切点分别为、， 所以， 所以直线的方程为，即； 方法2：设，，则由，可得， 同理可得， 所以直线的方程为 . 故答案为： 【题组六 两圆相交，公共弦长度】 20．若圆C：与圆D2的公共弦长为，则圆D的半径为___________. 【答案】 【分析】首先根据圆与圆的位置关系得到公共弦方程，再根据弦长求解即可. 【详解】根据得公共弦方程为：. 因为公共弦长为，所以直线过圆的圆心. 所以，解得. 故答案为： 21．已知圆与y轴相切于点，圆心在经过点与点的直线l上． (1)求圆的方程； (2)若圆与圆相交于M，N两点，求两圆的公共弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用两点求出直线方程l，利用圆心在l上又在求出圆心坐标，进而求出圆的半径求出圆的方程； (2)利用两圆的方程相减得到公共弦所在直线方程，求出圆心到公共弦的距离，利用勾股定理求出两圆的公共弦长． （1） 经过点与点的直线l的方程为，即， 因为圆与y轴相切于点，所以圆心在直线上， 联立解得可得圆心坐标为， 又因为圆与y轴相切于点，故圆的半径为4， 故圆的方程为． （2） 圆的方程为， 即，圆， 两式作差可得两圆公共弦所在的直线方程为， 圆的圆心到直线的距离， 所以两圆的公共弦长为． 【题组七 与圆有关的最值】 22．（多选）已知实数x，y满足，下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为5 D．点到直线的距离的最大值为 【答案】BD 【分析】对于A：表示点与的连线的斜率，设斜率为，表示出直线的方程，利用点到直线的距离公式得到不等式，解得即可； 对于B：令，利用点到直线的距离公式得到不等式求出参数的取值范围，即可判断； 对于C：表示圆上的点到的距离的平方，求出圆心到点的距离，即可求出圆上的点到的距离的取值范围，即可判断； 对于D：首先求出直线过定点坐标，再求出圆心与的距离，即可判断D； 【详解】解：方程表示以为圆心，的圆， 对于A：表示点与的连线的斜率，设过点的直线的斜率为，则，即，所以，解得，故A错误； 对于B：令，即，则，解得，即，故的最小值为，即B正确； 对于C：表示圆上的点到的距离的平方，令圆上的点到的距离，因为，所以，即，所以，故C错误； 对于D：因为直线恒过点，又，所以点到直线的距离的最大值为，故D正确； 故选：BD 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $