第一章特殊的平行四边形单元测试 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

2025-2026学年北师大版九年级数学上册第一章 特殊的平行四边形 单元测试 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）如图，在下列条件中，能够判定平行四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）如图，在中，，过点A作于点D，点为的中点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，四边形为菱形，点、、、在坐标轴上，，，则菱形的面积等于（    ） A． B． C． D．12 4．（本题3分）如图，矩形的对角线与交于点，点、分别是、的中点，连接，若，则的长为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（本题3分）如图，矩形中，在上，且，，，矩形的周长为，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 6．（本题3分）如图，菱形的面积为，对角线长5，点为的中点，过点作垂直于交的延长线于点，连接，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，在菱形中，，点在上，，则（    ） A．110 B．100 C．120 D．90 8．（本题3分）如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，，若，则下列角中与相等的角是（   ） ①；②；③ A．① B．①② C．①③ D．①②③ 9．（本题3分）如图，在正方形的外侧，作等边，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点，于点．若菱形的周长为10，面积为12．则的值为（   ） A． B． C．3 D． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）对角线互相垂直平分的四边形是 ． 12．（本题3分）已知菱形的对角线的长分别为和，则这个菱形的面积是 ． 13．（本题3分）如图，在中，是斜边的中点，连接，，则的长为 ． 14．（本题3分）如图，正方形的边长为，点分别为边的中点，则四边形的面积为 ． 15．（本题3分）如图，P为正方形对角线上的一点，点P到的距离，则点P到直线的距离为 cm．    16．（本题3分）如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分面积是 ． 17．（本题3分）如图，在矩形中，对角线与相交于点，，垂足为点，，且，则的长为 18．（本题3分）如图，在正方形中，，点是的中点，把沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接，则的长为 ． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，，点F是中点． (1)求证：； (2)若，求的长． 20．（本题9分）如图，点O是矩形的对角线的中点，点E是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．（本题9分）如图，在矩形中，点是的中点，将矩形沿所在的直线折叠，的对应点分别为，，连接交于点．      (1)若，求的度数； (2)连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 22．（本题9分）如图，在矩形中，，相交于点，过点，分别作，，连接交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 23．（本题9分）如图，在平行四边形中，对角线与交于点，点，在上，且延长至点，使，连接，． (1)求证：； (2)若点，分别为，的中点，，求的度数． 24．（本题10分）如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接， (1)求证：； (2)求证：； (3)若，直接写出___________． 25．（本题12分）如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒． (1)直接写出边的长为________cm； (2)当四边形是矩形时，求t的值； (3)在点Q运动过程中，当是等腰三角形时，求t的值； (4)在点P，Q运动过程中，当时，直接写出t的值． 第4页，共7页 第3页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $第一章特殊的平行四边形单元测试 答题卡 姓 名： 贴条形码区 准考证号： 注意事项 自己的姓名，学号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、学号，在规定位置贴好条形码。 笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 要折叠卧不要弄破。 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、单选题（请） 1.[A][ 3][C][ D] 4.[A][ ][c] [D] 7.[A][B][C][D]8.[A][B][C][D]9.[A][B][C] [D] 10.[A][B][C][D] 二、填空题（请用2B铅笔填涂，每题3分，共24分） 11. 12. 13. 14 15. 16. 17. 18. 三、解答题（共66分） 19.(本题8分) E F 20.(本题9分) A 0 E 21.(本题9分) D D B 22.(本题9分) D O F E B C 23.(本题9分) E M 24.(本题10分) D E C G 25.(本题12分) B 备用图参考答案 题号 2 3 4 5 6 7 9 10 答案 0 D b D A B A D A B 1.D 【分析】本题考查了矩形的判定方法：①有一个角是直角的平行四边形是矩形：②对角线相等的平行四边 形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形：④对角线相等且互相平分的四边形是矩形. 根据矩形的判定方法逐一判断即可. 【详解】A.:AB L AC,∴.∠BAC=90°，即∠BAD>90°，平行四边形ABCD不是矩形 B.AB=AD,无法判定平行四边形ABCD是矩形 C.BC=CD,无法判定平行四边形ABCD是矩形 D..AB⊥AD,∴.∠BAD=9O°，平行四边形ABCD是矩形 故选：D 2.D 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角 三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键.先求出∠C=35°，∠ADC=90°，再根据直角三角形斜 边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE,然后根据等腰三角形的性质可得∠CDE=∠C=35°，最后根 据∠ADE=∠ADC-∠CDE求解即可得. 【详解】解：在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=55°， .∠C=90°-∠B=35°， ,AD⊥BC,点E为AC的中点， ∴.DE=CE,∠ADC=90°， ∴.∠CDE=∠C=35°， .∠ADE=∠ADC-∠CDE=55°， 故选：D 3.B 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质与面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键.根据菱形的性质， 可得∠AOB=90,BD=2B0,4C=2A0,然后利用勾股定理求得B0'最后利用24C:BD求出面积即可. 【详解】解：四边形ABCD为菱形， B0=D0=8D,A0=C0-=4C,∠A0B=90 2 2 答案第1页，共29页 A2,0) .∴.AO=2,AC=4 AB=3, B0=VAB2-A02=V32-22=√5 :BD=2B0=2√5 4c-B0-4×25=45, :.菱形ABCD的面积为： 故选：B. 4.D 【分析】本题主要考查了矩形的性质与三角形中位线定理，熟练掌握矩形的对角线相等是解题的关键.先 根据三角形中位线定理求出OD的长，再利用矩形对角线相等的性质求出AC的长. 【详解】解：点E、F分别是AD、OA的中点， .EF是△AOD的中位线. EF=2, ..OD=2EF=4 四边形ABCD是矩形， ∴.AC=BD=2OD=8. 故选：D 5.A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，矩形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出 AE=CD.设CD=x,根据矩形的性质得出AB=CD,AD=BC,∠A=∠D=90°，求出∠AFE=∠DEC, 证AFE≌aDCE,推出E=DC=x,求出AD=BC=x+2,得出方程2x+x+2列=16 ,求出即可。 【详解】设CD=x, :四边形ABCD是矩形， ∴.AB=CD,AD=BC,∠A=∠D=90°， ·EF⊥EC, .∠FEC=90°， 答案第2页，共29页 ∴.∠AFE+∠AEF=90°，∠AEF+∠DEC=90°， ∴.∠AFE=∠DEC, 在△AFE和△DCE中， ∠AFE=∠DEC ∠A=∠D EF=EC .△AFE≌△CE AAS) .AE DC=x, :DE=2, .AD=BC=x+2, 矩形ABCD的周长为16， :2(x+x+2)=16 x=3, 即AE=3. 故选：A 6.B 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键 由菱形的性质得出BD=5cm，由菱形的面积得出AC=8cm,再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结 果。 【详解】解：四边形ABCD是菱形， BD⊥AC,点O是AC的中点， 1 BD =5cm' S菱影cn=24CxBD=20cm2, .AC=8cm, :AE⊥BC, .∠AEC=90°， oE=4c=4cm 故选：B 7.A 答案第3页，共29页 【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形对角相等、对角线平分每组对角及三角形内角和定理和等腰三 角形的性质是解题的关键.利用菱形的性质得：∠B=∠C=40°，∠ACB=∠ACD=70°，又根据AE=AC, 得∠AEC=∠ACD=70°，进而求出∠CAE=40°，再根据菱形的性质得到∠BAC=70°，最后利用角的和差 即可求解： 【详解】解：，四边形ABCD是菱形， ∴.∠B=∠D,AD∥BC,∠ACB=∠ACD. .∠B=40° .∠B=∠D=40°，∠BCD=180°-40°=140° ∠ACD=1∠BCD=70°， 2 AE=AC, ∴.∠ACE=∠AEC=70°， ∴.∠CAE=180°-∠AEC-∠ACE=40°， AB CD .∠BAC=∠ACD=70°， ∴.∠BAE=∠BAC+∠CAE=110° 故选：A. 8.D 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握菱形的判定与性质是 解题的关键。 先根据平行四边形及邻边相等的条件判定图形为菱形，再利用菱形性质、等腰三角形性质等，逐一分析与 ∠AEB相等的角， 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD ∴.四边形ABCD是菱形 .AB=BC=CD=AD,AB∥CD,AD∥BC,∠ABE=∠CBE=∠CDF, .BE=BC, .AB=BE, ∴.∠BAE=∠AEB,故①符合题意， .AE CF 答案第4页，共29页 ,∠AEB=∠DFC,故②符合题意， AB‖CD, ∴.∠ABE=∠CDF, 又：AB=CD,∠AEB=∠DFC, ∴.△ABE≌ACDF(AAS .DF=BE. .DF=CD, .∠DFC=∠DCF=∠AEB,故③符合题意， 故选：D 9.A 【分析】本题主要考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，解决此题的关键是 判断出△ADE是等腰三角形；根据正方形和等边三角形的性质，得到AD=DE,判断出△ADE是等腰三角 形，算出其底角的度数，进而利用∠EAC=∠DAC-∠DAE得到答案即可. 【详解】解：，在正方形ABCD的外侧，作等边△DCE, AD =DE,PADC90,DCDE=60,DAC=45 ∴.∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°+60°=150°， AD=DE, 片DDAE=DDEA-180,150°=50 2 ∴.∠EAC=∠DAC-∠DAE=45°-15°=30°， 故选：A. 10.B 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键.连接BP,根 据菱形的性质得BA=BC=25S4c= 2S菱彩cD=6,然后利用三角形面积公式，由ScC=Sp+S,PC' 得到)×2.5×PE+)×2.5×PF=6,再整理即求解. 2 【详解】解：连接BP,如图， 答案第5页，共29页 ,四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为10， ÷BA=BC=2.5,Sc=)S变形ACD=6, 1 2 S.ABC=SPAB+SP8C 1 5×2.5×PE+5×2.5×PF=6, 2 .PE+PF= 24 5 故选：B. 11.菱形 【分析】本题考查了菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定定理.根据菱形的判定定理直接得出结论 即可 【详解】解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形. 故答案为：菱形 12.5 【分析】本题考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半. 根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解. 【详解】解：菱形的对角线的长分别为2和5， 1 一这个菱形的面积是2×2x5=5, 故答案为：5. 13.3 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，由此即可计算. 【详解】解：Rt△ABC中，D是斜边AC的中点， :BD=4C=x6=3 1 2 2 故答案为：3. 答案第6页，共29页 14.8 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键. 由四边形ABCD是正方形，则AB=BC=CD=AD=4,则有 AH=HD=DG=GC=FC=BF=BE=AE=2,然后通过四边形EFGH的面积为 SE彩1cn-S,4Bm-S.G-S.ca-S,即可求解. 【详解】解：四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC=CD=AD=4, E,F,G,H AB,BC,CD,AD ,点 分别为边 的中点， AH=HD=DG=GC=FC=BF=BE=AE=x4=2 “四边形EFGH的面积为SEm-SAeM-SmG一S.ce-S.r =4x4-x2x2- x2×2-x2x2-x2x2 2 2 =16-2-2-2-2 =8, 故答案为：8. 15.5 【分析】本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质定理，根据AC平分∠DAC即可求解。 【详解】解：由题意得：AC平分∠DAC ,'点P到AB的距离PE=5cm, ∴.点P到直线AD的距离为5cm. 故答案为：5 16.9 【分析】本题主要考查了勾股定理，在Rt△ABC由勾股定理得到AB2=9,由题意得，AB=EF,则 EF2=9 Rt△EFP EF2=EP2+PF2=9 ’在 中，根据勾股定理得出： ,则阴影部分面积 =PF2+PE2=EF2=9 【详解】解：如图所示： 答案第7页，共29页 S Rt△ABC 在 中，根据勾股定理得出： AB2=AC2-BC2=52-42=9 由题意得，AB=EF, .EF2=9 在Rt△EF 中，根据勾股定理得出： EF2=EP2+PF2=9 阴影部分面积PF2+PE=EF2=9 故答案为：9. 17.30 【分析】本题考查勾股定理，矩形的性质，根据勾股定理构造方程是解题的关键。 设DE=x(x>0),则EO=2x,根据矩形的性质得到CO=DO=3x,在Rt△COE中，根据勾股定理构 造方程，求解得到DE=√5，进而在Rt△CDE中根据勾股定理求出CD,再根据矩形的对边相等即可求出 AB 【详解】解：EO=2DE, .设DE=x(x>0),则E0=2x, .'DO=DE+EO=3x, 四边形ABCD是矩形， CO-24C,DO=ZBD,AC=BD 2 ∴.C0=D0=3x, CE⊥BD, 在Rt△COE中，CE+E0=C0】 答案第8页，共29页 即5+(2x'=(3x2 解得tV5 .DE-V5 在R△CDE中，CD=VCE+DE2=VS2+V5=30, 在矩形1BCD中，AB=CD=V30 故答案为： √30 18. 2W10 【分析】本题主要考查了正方形与折叠的问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，由正方形和线段中 点的定义可得BE=CE=3,由折叠的性质和正方形的性质可得AF=AB=AD,∠AFG=∠D=90°，则可 证明RtAAFGS≌RtAADG,得到DG=FG;设DG=FG=x,则EG=x+3,CG=6-x,由勾股定理得 (x+3=3+6-,解方程得到DG=2,由勾股定理得AG=VAD+DG=2而 【详解】解：四边形ABCD是正方形， .AB=AD=BC=CD=6,∠B=∠C=∠D=90°， ,点E是BC的中点， BE-CE-1BC-3: 由折叠的性质可得AF=AB,EF=BE=3,∠AFE=∠B=90°， .∠AFG=90°=∠D,AF=AD, 又：AG=AG, :.Rt△AFG≌RtADG(HL) .'.DG=FG, 设DG=FG=x,则EG=x+3,CG=6-x, 在Rt△CEG中，由勾股定理得EG=CE2+CG, :(x+3到2=32+(6-x2 答案第9页，共29页 解得x=2, DG=2, 在Rt△1DG中，由勾股定理得AG=VAD'+DG=2而 210 故答案为： 19.(1)见解析 2 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理， 对于(I),连结DE,根据直角三角形的性质得AB=2DE,进而得CD=DE,再根据直角三角形两个锐 角互余得出答案： 对于(2)，先根据勾股定理求出EC=10,可得CF=5,再结合(1)得CD=DE=6,最后根据勾股定理 可得答案， 【详解】(I)证明：连结DE,如图， E B D ,AD是BC边上的高线， ∴.∠ADB=∠ADC=90° ,CE是AB边上的中线， E是AB边上的中点， .AB=2DE, AB=2CD, .'CD=DE, 点F是CE中点， .DF⊥EC, .∠DFC=90°， ∴.∠FDC+∠DCF=90 .∠ADC=90°， ∴.∠FDC+∠ADF=90°， 答案第10页，共29页