4.2 第3课时 特殊线上点的特征课件 2025-2026学年苏科版（2024） 数学八年级上册

该初中数学课件聚焦垂直于坐标轴的直线及象限角平分线上点的坐标特征，通过“探究”活动导入，如过点A作坐标轴垂线思考垂足坐标及直线上点的坐标共性，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识。 其亮点是以“探究”为主线，结合几何直观与推理意识，通过典型例题（如动点P轨迹问题）和拓展探究（横纵坐标和积为定值的点），培养学生数学眼光和思维。课堂小结系统归纳点的特征，助学生构建知识网络，教师使用可提升教学效率，学生能深化理解并应用。

4.2 第3课时 特殊线上点的特征 M A T H 22251 1 如图是轰炸机机群的一个飞行队形，如果最后两架轰炸机的平面坐标分别为A（-2,1）和B（-2，-3），那么第一架轰炸机C的平面坐标是 ． y x O （2,-1） 垂直于坐标轴的直线上的点和象限角平分线上的点会有什么规律呢？ 新知导入 M A T H 22251 2 1.掌握垂直于坐标轴的直线上的点的特征以及在象限角平分线上的点的特征，能应用其解决相关问题. 学习目标 M A T H 22251 探究垂直于坐标轴的直线上的点的坐标特征 如图，过A(2，3)分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为B、C，思考： 1.B、C两点的坐标分别是什么？ 2.在直线AB上任取一点，它的什么坐标与A、B两点相同？ 3.在直线AC上任取一点，它的什么坐标与A、C两点相同？ 在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线上的点的横坐标都相同；垂直于y轴的直线上的点的纵坐标都相同. 新知探究 M A T H 22251 4 探究在象限角平分线上的点的坐标特征 在射线l上任意取一点，过这点作两坐标轴的垂线段，两条垂线段和坐标轴围成的四边形是正方形. 即这点到两坐标轴距离相等，从而这点的横坐标与纵坐标相等. 如图，在平面直角坐标系中，画出两坐标轴正半轴所成角的平分线l，你发现射 线l上的点的坐标有什么特征？ 新知探究 M A T H 22251 1.射线l反向延长线上的点的坐标有什么特征？ 2.x轴正半轴与y轴负半轴所成角的平分线上的点的坐标、x轴负半轴与y轴正半所成角的平分线上的点的坐标分别又有什么特征呢？ 说一说 在平面直角坐标系中，在第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等；在第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数 M A T H 22251 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(4，0)，动点 P 到点O和点A的距离相等. (1)画出动点P所形成的图形. (2)动点P的坐标有什么特征? (3)当点P到x轴的距离为3时，写出点P的坐标. (1)因为动点P到点O、A的距离相等，所以动点P形成的图形是过点(2，0)且垂直于x轴的一条直线 (2)动点P的横坐标不变，始终为2; (3)因为点P到x轴的距离为3，所以点P的纵坐标为3或-3，点P 的坐标为(2，3)或(2，-3). 若两个点的横坐标相同，则这两个点之间的距离为纵坐标差的绝对值； 若两个点的纵坐标相同，则这两个点之间的距离为横坐标差的绝对值. 典型例题 M A T H 22251 7 在平面直角坐标系中，已知点A，求满足下列条件的点A的坐标： (1)点A在过点且垂直于y轴的直线上； (2)点A在第一、三象限的角平分线上； (3)点A在第二象限，且到两坐标轴的距离之和为10. (1)∵点A在过点且垂直于y轴的直线上，∴a+3=-3，解得a=-6， ∴2a-5=-17，∴点A的坐标为. (2)∵点A在第一、三象限的角平分线上，∴2a-5=a+3，解得a=8， ∴2a-5=a+3=11，∴点A的坐标为. (3)∵点A在第二象限，∴解得-3<a<， ∵点A到两坐标轴的距离之和为10，+=10，∴5-2a+a+3=10，解得a=-2， ∴2a-5=-9，a+3=1，∴点A的坐标为. 巩固练习 M A T H 22251 探究横纵坐标和或积为定值的点的坐标特征 当x=0时，y=3-0=3，坐标为(0,3); 当x=1时，y=3-1=2，坐标为(1,2); 当x=2时，y=3-2=1，坐标为(2,1); 当x=3时，y=3-3=0，坐标为(3,0) 当x =-1时，y=3-(-1)= 4，坐标为(-1,4); 当x=-2时，y=3-(-2)=5，坐标为(-2,5); 当x=4时，y=3-4=-1，坐标为(4,-1)。 所有横坐标与纵坐标之和为 3 的点，都在同一条直线上 已知P（a，b）是平面直角坐标系中一个动点： (1)当a+b=3时，请你在直角坐标系中画出一些符合 条件的点P，观察这些点的位置，你有什么发现？ 拓展探究 M A T H 22251 探究横纵坐标和或积为定值的点的坐标特征 已知P（a，b）是平面直角坐标系中一个动点： (2) 当a×b=4时，请你在直角坐标系中画出一些符合条件的点P，然后按照横坐标从小到大的顺序用光滑的线将它们连起来，多画一些这样的点，你有什么发现？ 将这些点按照横坐标从小到大的顺序， 即(-4.-1),(-2,-2),(-1,-4),(1,4),(2,2),(4,1)， 用光滑的线连接起来. 通过观察可以发现，这些点组成的图形是双曲线，并且关于原点对称. 拓展探究 M A T H 22251 在垂直于坐标轴的直线上 在象限角平分线上 点的特征 一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等 二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数 垂直于x轴的直线上的点的横坐标都相同 垂直于y轴的直线上的点的纵坐标都相同 课堂小结 M A T H 22251 1.在平面直角坐标系中，点A(-4，-5)，若直线AB⊥y轴，则点B的坐标可能是（ ） A.(5，-4) B.(4，5) C.(4，-5) D.(-4，5) C 2.在平面直角坐标系中，AB⊥x轴，AB=2，若点A，点B在点A的上方，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. A 随堂小练 M A T H 22251 3.已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为，若AB⊥x轴于点B，则点B的坐标为 .  AB⊥x轴于点B，点A的坐标为点B的横坐标为-5，纵坐标为0， 4.已知在平面直角坐标系中，直线AB∥y轴，若点A的坐标为，点B在第三象限，则点B的坐标可能是 .(写出一个即可)  直线AB∥y轴点A，B的横坐标相等，点A的坐标为点B在第三象限 5.在平面直角坐标系中，点A在第二、四象限的角平分线上，且到x轴的距离为4，则点A的坐标为 .  由题意得=4y=±4，∵点A在第二、四象限的角平分线上，∴=4x=±4 或 随堂小练 M A T H 22251 $