2.1.1倾斜角与斜率（3知识点+8题型）讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.1.1 倾斜角与斜率 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 直线的倾斜角 1.倾斜角的定义： (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2.倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 注意点： (1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角；未作旋转时，倾斜角为0°. (2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度. (3)一条直线的倾斜角必存在且唯一. 知识点2 直线的斜率 1.把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k=tan α.  2. 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=当x1=x2时，直线P1P2的斜率不存在. 3.直线的方向向量与斜率的关系： (1)直线P1P2的方向向量=(x2-x1，y2-y1)，当x1≠x2时，直线P1P2与x轴不垂直，其一个方向向量为=(1，k)，其中k为直线P1P2的斜率. (2)当x1=x2时，直线P1P2与x轴垂直，直线没有斜率，其一个方向向量为(0，1). 注意点： (1)当x1=x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (2)当y1=y2时，直线斜率为0，倾斜角为0°. (3)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关. (4)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换. (5)直线的方向向量与斜率的关系：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k=. 知识点3 倾斜角和斜率的应用 知识梳理　设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k=0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 随α的增大而增大 随α的增大而增大 思路方法总结 1.求直线的斜率的两种方法 (1)利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k=tan α. (2)利用斜率公式：k=(x1≠x2). 2.三点共线问题 第一步：先判断两个点的横坐标是否相等，若其中有两个点横坐标相等，那么第三点的横坐标与其相等时，三点共线；若横坐标均不相等，则继续第二步； 第二步：计算三点中任意两个点确定的直线的斜率，若斜率相等，则三点共线． 3.利用斜率的几何意义求最值两点注意 （1）直线的斜率反映了直线的倾斜程度，且（，是直线上横坐标不等的两点）； （2）在求形如的式子的最值时，可以将看作动点与定点所确定的直线的斜率，数形结合求出最值（或取值范围），即将代数问题转化为几何问题来处理． 典例·举一反三 题型一 直线的倾斜角 1．设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角为（   ） A． B． C． D．当时，倾斜角为；当时，倾斜角为 2．1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.如图，以大五角星的中心点为原点建立直角坐标系，，，，分别是大五角星中心点与四颗小五角星中心点的连线，，则第三颗小五角星的一条边所在直线的倾斜角约为（    ）    A． B． C． D． 3．(多选)若直线l的向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角可能为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 4．设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角可能为（    ） A． B． C． D． 题型二 直线的斜率 5．已知直线经过点，，则的斜率为（   ） A． B．2 C． D． 6．已知直线过点，且倾斜角为，则（    ） A． B． C． D．2 7．若将直线l沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则l的斜率是（   ） A． B． C． D． 8．已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 9．图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.725，则（    ）    A．0.9 B．0.85 C．0.8 D．0.75 题型三 倾斜角与斜率的概念辨析 10．若直线l过两点和，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 11．下列说法正确的是（    ） ①直线的倾斜角的取值范围是； ②平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率； ③直线的倾斜角越大，其斜率就越大. A．① B．②③ C．①③ D．①② 12．下列说法中，正确的是（    ） A．任何一条直线都有唯一的斜率 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C．任何一条直线都有唯一的倾斜角 D．垂直于轴的直线倾斜角为 13．在下列四个命题中，正确的有（   ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 14．下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有（    ） A．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角 B．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率 C．若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 题型四 斜率与倾斜角的变化关系 15．如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 16．若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．已知，且点，，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．设直线的方程为，则直线l的倾斜角a的范围是（   ） A． B． C． D． 19．若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型五 方向向量与斜率 20．设直线的一个方向向量是，则直线斜率是（    ） A． B． C． D． 21．已知点，若向量是直线的方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 22．经过两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A． B． C． D．1 23．已知直线的倾斜角为，方向向量．则（    ） A． B． C． D． 24．已知直线的一个方向向量为，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D． 题型六 三点共线问题 25．已知三点，，在同一条直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 26．若点、、在同一直线上，则实数k的值为 ． 27．若三点，， (其中)共线，则 . 28．已知、、三点构成一个三角形，求实数的取值范围． 题型七 线段相交问题 29．已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 30．已知坐标平面内三点，，，直线过点.若直线与线段相交，则直线的倾斜角的取值范围 A． B． C． D． 31．某县相邻两镇在平面直角坐标系下的坐标分别为，，计划经过交通枢纽修建一条公路（看成一条直线，的斜率为）.若两镇位于公路的两侧，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 32．已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 题型八 斜率几何意义的应用 33．点在函数的图象上，当时，可能等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．0 34．已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 35．若实数、满足，，则代数式的取值范围为 36．已知曲线，则的取值范围是 ． 37．已知实数满足，则的最大值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.1 倾斜角与斜率 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 直线的倾斜角 1.倾斜角的定义： (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2.倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 注意点： (1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角；未作旋转时，倾斜角为0°. (2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度. (3)一条直线的倾斜角必存在且唯一. 知识点2 直线的斜率 1.把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k=tan α.  2. 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=当x1=x2时，直线P1P2的斜率不存在. 3.直线的方向向量与斜率的关系： (1)直线P1P2的方向向量=(x2-x1，y2-y1)，当x1≠x2时，直线P1P2与x轴不垂直，其一个方向向量为=(1，k)，其中k为直线P1P2的斜率. (2)当x1=x2时，直线P1P2与x轴垂直，直线没有斜率，其一个方向向量为(0，1). 注意点： (1)当x1=x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (2)当y1=y2时，直线斜率为0，倾斜角为0°. (3)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关. (4)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换. (5)直线的方向向量与斜率的关系：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k=. 知识点3 倾斜角和斜率的应用 知识梳理　设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k=0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 随α的增大而增大 随α的增大而增大 思路方法总结 1.求直线的斜率的两种方法 (1)利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k=tan α. (2)利用斜率公式：k=(x1≠x2). 2.三点共线问题 第一步：先判断两个点的横坐标是否相等，若其中有两个点横坐标相等，那么第三点的横坐标与其相等时，三点共线；若横坐标均不相等，则继续第二步； 第二步：计算三点中任意两个点确定的直线的斜率，若斜率相等，则三点共线． 3.利用斜率的几何意义求最值两点注意 （1）直线的斜率反映了直线的倾斜程度，且（，是直线上横坐标不等的两点）； （2）在求形如的式子的最值时，可以将看作动点与定点所确定的直线的斜率，数形结合求出最值（或取值范围），即将代数问题转化为几何问题来处理． 典例·举一反三 题型一 直线的倾斜角 1．设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角为（   ） A． B． C． D．当时，倾斜角为；当时，倾斜角为 【答案】D 【分析】分类讨论，结合倾斜角概念可解. 【详解】根据题意，画出图形，如图所示： 因为，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意， 通过画图（如图所示）可知： 当时，的倾斜角为； 当时，的倾斜角为． 故选：D． 2．1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.如图，以大五角星的中心点为原点建立直角坐标系，，，，分别是大五角星中心点与四颗小五角星中心点的连线，，则第三颗小五角星的一条边所在直线的倾斜角约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作轴平行线，由五角星的内角和可求出，即可求出答案. 【详解】因为，分别为大五角星和第三颗小五角星的中心点， 所以平分第三颗小五角星的一个角， 又由五角星的角尖为知. 过作轴的平行线，如图，则. 所以直线的倾斜角约为.    故选：C. 3．(多选)若直线l的向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角可能为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】BC 【分析】由轴正方向对应的直线的倾斜角为，可得结论． 【详解】轴正方向对应的直线的倾斜角为，因此所求直线的倾斜角为或． 故选：BC． 4．设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】分类讨论，结合倾斜角概念可解. 【详解】根据题意，画出图形，如图所示． 通过图象可知， 当时，的倾斜角为； 当时，的倾斜角为． 故选：AB 题型二 直线的斜率 5．已知直线经过点，，则的斜率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用斜率公式求解. 【详解】解：直线的斜率． 故选：C 6．已知直线过点，且倾斜角为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据斜率等于倾斜角的正切值建立等式求解即可． 【详解】， 解得， 故选：C． 7．若将直线l沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则l的斜率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，写出平移后点的坐标，由此点也在原直线上，计算斜率即可． 【详解】解：设是直线上任意一点，则平移后得点， 则直线的斜率． 故选：A． 8．已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据直线的斜率为，求出倾斜角，再根据直线的倾斜角比直线的倾斜角的关系，求出直线的倾斜角，即可进一步求出斜率． 【详解】直线的斜率为，则倾斜角为， 直线的倾斜角比直线的倾斜角小， 则直线的倾斜角为， 则直线的斜率. 故选：C． 9．图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.725，则（    ）    A．0.9 B．0.85 C．0.8 D．0.75 【答案】A 【分析】设，则利用举步之比可表示出，结合条件，由直线的斜率建立方程，解之即得. 【详解】设，则,， 因,则 由直线的斜率为0.725，可得， 即，解得. 故选：A. 题型三倾斜角与斜率的概念辨析 10．若直线l过两点和，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不与轴垂直的直线斜率与倾斜角的关系,根据正切值求即可. 【详解】该直线不与轴垂直，设倾斜角为， 斜率,. 故选：B 11．下列说法正确的是（    ） ①直线的倾斜角的取值范围是； ②平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率； ③直线的倾斜角越大，其斜率就越大. A．① B．②③ C．①③ D．①② 【答案】D 【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系逐项分析判断即可． 【详解】对于①，直线的倾斜角的范围为，①正确； 对于②，平面内所有直线都有倾斜角，当倾斜角为时没有斜率，②正确； 对于③，倾斜角为锐角时斜率为正，倾斜角为钝角时斜率为负，③错误. 故选：D. 12．下列说法中，正确的是（    ） A．任何一条直线都有唯一的斜率 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C．任何一条直线都有唯一的倾斜角 D．垂直于轴的直线倾斜角为 【答案】CD 【分析】根据直线斜率与倾斜角的定义分别判断各选项. 【详解】A选项：当直线垂直于轴时，斜率不存在，A选项错误； B选项：当倾斜角为锐角时，斜率为正，且倾斜角越大斜率越大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，且倾斜角越大斜率越大，B选项错误； C选项：任何一条直线的倾斜角均存在且，C选项正确； D选项：垂直于轴的直线与轴平行，由倾斜角定义可知该直线倾斜角为，D选项正确； 故选：CD. 13．在下列四个命题中，正确的有（   ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 【答案】BC 【分析】由直线倾斜角与斜率的关系逐项判断即可； 【详解】对于A，与轴平行的直线没有斜率，故A错误； 对于B，由直线倾斜角的取值范围可知直线的倾斜角的取值范围是，故B正确； 对于C，由题意可得直线的倾斜角的正切值为1，所以直线的倾斜角为，故C正确； 对于D，若直线的倾斜角为，则直线无斜率，故D错误； 故选：BC. 14．下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有（    ） A．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角 B．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率 C．若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 【答案】AD 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，得出结论； 【详解】平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，故A正确； 若直线的倾斜角为，而不存在，所以斜率不存在，故B错； 若一条直线的斜率为，因为，即斜率为，则该直线的倾斜角为，故C错； 若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，故D正确； 故选：AD. 【点睛】本题主要考查斜率与倾斜角的相关概念，属于基础题型. 题型四 斜率与倾斜角的变化关系 15．如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【详解】设直线、、的倾斜角为、、，由图可知， 所以，即. 故选：A. 16．若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合倾斜角与斜率的关系，分斜率不存在与斜率存在计算即可得. 【详解】当时，直线的斜率不存在，两点横坐标相等，即； 当时，直线的斜率存在， 则或，解得或； 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 17．已知，且点，，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据斜率公式求出斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 【详解】设直线的倾斜角为， 由题意，     因为，所以，所以， 所以，即， 所以， 即直线的倾斜角的取值范围是. 故选：D． 18．设直线的方程为，则直线l的倾斜角a的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线方程互化及斜率公式，结合三角函数的性质即可， 【详解】直线的方程为， 当时直线方程为，倾斜角， 当时，直线方程化为，斜率， 因为，所以，即， 又因为，所以，综上可得， 故选：D. 19．若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据斜率与倾斜角关系及正切函数性质依次判断各项的正误. 【详解】A：由表明斜率存在，则， 由正切函数在上，倾斜角和斜率一一对应，故，对； B：若，时，相应的倾斜角，，不满足，错； C：由正切函数的图象知： 当和时，； 当，时，； 当或时，或不存在，错； D：因为，结合正切函数的图象知，， 所以，对. 故选：AD 题型五 方向向量与斜率 20．设直线的一个方向向量是，则直线斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合直线的方向向量的定义，即可求解. 【详解】由题意知，直线的一个方向向量是， 根据直线方向向量的定义，可得直线斜率为. 故选：B. 21．已知点，若向量是直线的方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的方向向量、斜率公式及倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】直线的斜率， 所以直线的倾斜角为. 故选：. 22．经过两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】直接根据两点斜率公式计算即可. 【详解】由已知得. 故选：A. 23．已知直线的倾斜角为，方向向量．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的倾斜角可得直线斜率，再根据方向向量可得直线斜率，即可求解. 【详解】直线的倾斜角为，所以， 方向向量，则，. 故选：A. 24．已知直线的一个方向向量为，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得直线的斜率，进而求得的值，得到答案. 【详解】因为直线的一个方向向量为，可得直线的斜率为，即. 故选：C. 题型六 三点共线问题 25．已知三点，，在同一条直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的条件，利用列式计算即得. 【详解】由，，三点共线，得，即，解得． 故选：B 26．若点、、在同一直线上，则实数k的值为 ． 【答案】 【分析】由的斜率和的斜率相等，求出实数m的值． 【详解】因为三点、、在同一直线上， ∴的斜率和的斜率相等， 即， ∴. 故答案为：． 27．若三点，， (其中)共线，则 . 【答案】 【分析】依题意可得，利用斜率公式得到方程，解得即可. 【详解】由于，，三点共线且、， 显然、的斜率存在，则， 所以，所以，所以. 故答案为： 28．已知、、三点构成一个三角形，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】首先求出的斜率，再分、两种情况讨论，由得到不等式，解得即可. 【详解】因为、、， 所以， 当，即，此时，，，则的斜率不存在， 此时、、三点能构成一个三角形， 当，即时，， 要使、、三点能构成一个三角形，则，即，解得， 综上可得实数的取值范围. 题型七 线段相交问题 29．已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案． 【详解】记为点，直线的斜率，直线的斜率， 因为直线l过点，且与线段相交， 结合图象，可得直线的斜率的取值范围是． 故选：B． 30．已知坐标平面内三点，，，直线过点.若直线与线段相交，则直线的倾斜角的取值范围 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先求出直线的斜率，再求出直线的斜率，然后结合图像观察即可得直线的斜率取值范围为，然后求出线的倾斜角的取值范围即可. 【详解】解：∵，，∴直线的斜率， 同理可得直线的斜率．设直线与线段交于点， 当直线的倾斜角为锐角时，随着从向移动的过程中，的倾斜角变大， 的斜率也变大，直到平行轴时的斜率不存在，此时的斜率； 当直线的倾斜角为钝角时，随着的倾斜角变大，的斜率从负无穷增大到直线的斜率，此时的斜率．由图可得直线的斜率取值范围为：． 即直线的倾斜角的取值范围. 故选：A. 【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题. 31．某县相邻两镇在平面直角坐标系下的坐标分别为，，计划经过交通枢纽修建一条公路（看成一条直线，的斜率为）.若两镇位于公路的两侧，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两镇位于公路的两侧等价于它们的坐标代入后异号，然后解不等式即可. 【详解】由已知得的方程为，而点在的侧取决于的符号. 所以条件等价于，即，此即或. 故选：B. 32．已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围． 【详解】直线的方程可化为， 令，可得，所以直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点，    将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 题型八 斜率几何意义的应用 33．点在函数的图象上，当时，可能等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．0 【答案】C 【分析】先画出指数函数图象再结合斜率公式数形结合得出范围. 【详解】表示点与点所成直线的斜率k， 又是在部分图象上的动点， 如图，当接近时， 当为时，，则，只有C满足. 故选：C. 34．已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把，，分别看作函数图象上的点与原点确定直线的斜率，结合图象即可得答案． 【详解】由，得的几何意义是过点和原点的直线的斜率， 画出函数的图象，如图， 直线的斜率分别为，，，而， 所以，，的大小关系是. 故选：A 35．若实数、满足，，则代数式的取值范围为 【答案】 【分析】作图，根据代数式的几何意义，结合图象即可得出答案. 【详解】 如图，，，， 则，. 因为，可表示点与线段上任意一点连线的斜率， 由图象可知，， 所以有. 故答案为：. 36．已知曲线，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先画出函数的图象，表示曲线上的点与连线的斜率，求出临界点处的斜率，即可求出的取值范围. 【详解】函数， 则函数在上单调递增，在上单调递减，函数图象如下所示： 当时，即，当时，则， 表示曲线上的点与连线的斜率，令， 又，， 由图可得或， 即的取值范围为. 故答案为： 37．已知实数满足，则的最大值为 ． 【答案】8 【分析】根据斜率的两点式确定目标式的几何意义，再应用数形结合求目标式的最大值. 【详解】由的几何意义是图象上的点与点连线的斜率． 如图所示，直线的倾斜角始终为锐角，结合正切函数在上单调递增， 当直线过点时斜率最大，将代入，得最大值为8． 故答案为：8 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $