25.3 用频率估计概率（分层作业）数学人教版九年级上册

25.3 用频率估计概率 题型一 求某事件的频率 1．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）两个同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率 B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率 C．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 2．（22-23九年级上·河南南阳·期末）在掷一枚骰子次的试验中，“偶数朝上”的频数为，则“偶数朝上”的频率为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·青海果洛·期末）学习了用频率估计概率一节后，小聪随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛掷次数的增多，落下后，“朝上的一面的点数是6”的频率最可能接近（    ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有9个，黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 题型二 用频率估计概率的综合应用 1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黄、白两种颜色的乒乓球共40个，某数学兴趣小组做摸球试验，将乒乓球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 300 500 800 1000 摸到黄色乒乓球的次数 69 102 143 213 353 560 701 摸到黄色乒乓球的频率 0.69 0.68 0.715 a 0.706 0.70 b (1)①上表中的_____，_____； ②根据上表估计，当n很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是_____；（精确到0.1） (2)试估计盒子中黄色乒乓球的个数． 2．（23-24九年级上·江西上饶·期末）某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数 200 500 1000 1500 2000 优等品频数 188 471 946 1426 1898 优等品频率 (1)这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是多少？ (2)从这批乒乓球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋中． ①求从袋中摸出一个球是黄球的概率； ②现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？ 3．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）某运动员进行打靶训练，对该名运动员打靶正中靶心的情况进行统计，并绘制了如图所示的统计图，根据图中信息回答问题．    (1)估计该运动员正中靶心的概率为________；（结果精确到0.1） (2)在一次练习中，他一共打了160枪，试估计他正中靶心的枪数为多少枪？ 4．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）在一个不透明的口袋里，装有若干个除颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 78 123 b 402 644 801 摸到白球的频率 a 0.82 0.79 0.804 0.805 0.801 (1)上表中的__________，__________． (2)“摸到白球”的概率的估计值是__________（精确到）． (3)如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，大约还有多少个其他颜色的小球？ 题型三 概率在转盘抽奖中的应用 1．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择： 方案一：是直接获得20元的礼金卷； 方案二：是得到一次播奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少． 指针指向 两红 一红一蓝 两蓝 礼金券（元） 27 9 27 (1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． (2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠． 2．（22-23九年级上·陕西西安·期中）九（1）班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“手工”区域的次数 落在“手工”区域的频率 (1)求出的值； (2)请估计当很大时，频率将会接近______；假如你去转动该转盘一次，你获得“手工”奖品的概率约是______．（精确到） 3．（23-24九年级上·河北沧州·期末）某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获得转如图所示的转盘（转盘被平均分成3份）的机会．为了活跃气氛，该商场设计了两个方案： 方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品； 方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品．（若指针指向分界线，则重转） (1)若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为________； (2)若转动转盘两次，用树状图列举出所有等可能出现的结果； (3)如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由． 4．（24-25九年级下·云南大理·阶段练习）如图，甲、乙是两个可以自由转动的带指针的转盘，甲被分成面积相等的5个扇形，分别标有数字1，3，5，6，8；乙被分成面积相等的4个扇形，分别标有数字2，4，7，9．规则：小明转动甲转盘，小丁转动乙转盘，将两个转盘指针指向的数字之和进行大小比较，若数字之和大于10，则小明获胜；小于10，则小丁获胜；等于10，则平局．（若指针恰好停在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）． (1)小明随机转动甲转盘一次，指针所指的数字是偶数的概率为___________； (2)若小明、小丁按照上述规则用这两个转盘做游戏，请用列表或画树状图的方法，判断该游戏是否公平． 题型四 概率在比赛中的应用 1．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字，乙口袋中的小球上分别标有数字，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n． (1)请用列表或画树状图的方法表示出所有可能的结果； (2)若m，n都是方程的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？说明理由． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 3．（21-22九年级上·河北廊坊·期末）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题， (1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率； (2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？ 4．（22-23九年级上·全国·单元测试）某篮球运动员去年共参加40场比赛，其中3分球的命中率为0.25，平均每场有12次3分球未投中． (1)该运动员去年的比赛中共投出多少个3分球？共投中多少个3分球？ (2)在其中的一场比赛中，该运动员3分球共出手20次，小明说，该运动员这场比赛中一定投中了5个3分球，你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 1．（2025·甘肃武威·模拟预测）某班学生就老百姓最关注的热点问题，在网络上发布了相应的调查问卷．到目前为止，共有不同年龄段的2880人参与，具体情况统计如下： 抽取的30-35岁人群的关注情况 关心问题 频数 频率 收入分配 90 0.25 住房问题 0.15 物价调控 36 0.1 医疗改革 18 养老保险 0.15 其他 108 合计 所调查的2880人年龄的分布情况 (1)根据统计表可得： _____， _____， _____， _____． (2)扇形图中表示30-35岁的扇形的圆心角是多少度？ (3)在参加调查的30-35岁段中随机抽取一人，关心物价调控或医疗改革的概率是多少？ (4)从上表中，你还能获得其他的信息吗（写出一条即可）？ 2．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）某快递公司收取快递费用的标准如下：重量不超过的包裹收费10元，重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足，按计算）收取5元．该快递公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如表： 包裹的重量（单位：） 1 2 3 4 5 包裹的件数 40 35 14 7 4 该快递公司对近60天，每天揽件数量统计如表： 包裹的件数范围 包裹的件数（近似处理） 50 150 250 350 450 天数 8 8 28 10 6 以上数据已做近似处理． (1)现从近60天中随机抽取1天，求这一天揽件数在之间的概率． (2)该快递公司将快递费的作为前台工作人员的工资和经理的工资，剩余的用作其他费用． ①估计该快递公司对每件包裹收取的快递费的平均值． ②目前快递公司经理有1人，前台工作人员有3人，每位前台工作人员每天揽件不超过150件，前台工作人员每日工资200元．经理正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，如果仅从近60天经理平均每日工资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识帮经理选择，并说明理由． 3．（2025·江苏无锡·模拟预测）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)请估计：当 很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到 ）； (2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ (3)在（）的条件下，若从中先摸出一只球，不放回，再摸出一只球，请用列表或树状图的方法求两次都摸到白球的概率． 4．（2025·陕西榆林·二模）围棋是一种古老的中国传统游戏，起源于中国古代．赵婷和李海是围棋爱好者，他们在某次对弈前约定规则来决定由谁执黑棋（围棋的第一原则：黑棋先下子，白棋后下子，然后双方轮流下子）．将两枚白棋和三枚黑棋装入不透明的围棋罐中，摇匀． (1)从罐中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回罐中摇匀，不断重复这个过程，共摸棋子20次，其中有7次摸到白棋．则这20次摸棋子中，摸出白棋的频率是________； (2)他们约定的规则如下：赵婷先从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回，摇匀，然后李海再从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色．若摸出的两枚棋子颜色不同由赵婷执黑棋，若摸出的两枚棋子颜色相同由李海执黑棋．请用画树状图或列表的方法判断这个规则对双方是否公平？若不公平，他们两人中谁执黑棋的概率更大． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3 用频率估计概率 题型一 求某事件的频率 1．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）两个同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率 B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率 C．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 【答案】C 【分析】本题考查频率的计算，根据频数、频率的定义，确定各选项中，符合条件的对象的频率，作出判断． 【详解】解：根据统计图可知，试验结果在附近波动， A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率约为，不合题意； B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率为，不合题意； C．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率约为，符合题意； D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率约为，不合题意； 故选：C． 2．（22-23九年级上·河南南阳·期末）在掷一枚骰子次的试验中，“偶数朝上”的频数为，则“偶数朝上”的频率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用频率频数总次数，进行计算即可解答．本题考查了频数与频率，熟练掌握频率频数总次数是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， “偶数朝上”的频率为， 故选：C． 3．（23-24九年级上·青海果洛·期末）学习了用频率估计概率一节后，小聪随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛掷次数的增多，落下后，“朝上的一面的点数是6”的频率最可能接近（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是频率的计算应用． 频率∶每个对象出现的次数与总次数的比值称为频率，熟知频率公式是解题的关键； 由骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，利用频率公式直接求解即可求得答案． 【详解】骰子的六个面上分别刻有1到6的点数， 掷得朝上一面的点数是6的频率为：， 故选：B． 4．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有9个，黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据题意可得＝0.4，解方程即可求解． 【详解】根据题意得： ＝0.4， 解得：n＝6， 经检验：n＝6是分式方程的解且符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了频率估计概率，利用频率估计概率的计算方法列式是解题的关键． 题型二 用频率估计概率的综合应用 1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黄、白两种颜色的乒乓球共40个，某数学兴趣小组做摸球试验，将乒乓球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 300 500 800 1000 摸到黄色乒乓球的次数 69 102 143 213 353 560 701 摸到黄色乒乓球的频率 0.69 0.68 0.715 a 0.706 0.70 b (1)①上表中的_____，_____； ②根据上表估计，当n很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是_____；（精确到0.1） (2)试估计盒子中黄色乒乓球的个数． 【答案】(1)①0.71，0.701； ②0.7 (2)盒子中黄色乒乓球的个数大约是28个 【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率， 对于（1）①，利用概率公式求出，的值即可； ②根据表格中的数据即可得出结论； 对于（2），根据②中的概率计算即可得出结论． 【详解】（1）解：①由题意得， 故答案为：0.71，0.701； ②由表格中的数据可知，摸到黄色乒乓球的频率在0.7附近， 当很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是0.7， 故答案为：0.7； （2）解：由（1）可知，摸到黄色乒乓球的概率约是0.7， 盒子中黄色乒乓球的个数（个）． 答：盒子中黄色乒乓球的个数大约是28个． 2．（23-24九年级上·江西上饶·期末）某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数 200 500 1000 1500 2000 优等品频数 188 471 946 1426 1898 优等品频率 (1)这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是多少？ (2)从这批乒乓球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋中． ①求从袋中摸出一个球是黄球的概率； ②现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？ 【答案】(1) (2)①；②9个 【分析】本题主要考查利用频率估计概率： （1）根据频率估计概率，频率都在0.946左右波动，所以可以估计这批乒乓球“优等品”概率的估计值是0.946； （2）①用黄球的个数除以球的总个数即可；②设从袋中取出了x个黑球，根据搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于， 列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：这批乒乓球“优等品”概率的估计值是0.946； （2）解：①∵袋中一共有球个，其中有5个黄球， ∴从袋中摸出一个球是黄球的概率为：；          ②设从袋中取出了个黑球，由题意得 ，解得， 故至少取出了9个黑球． 3．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）某运动员进行打靶训练，对该名运动员打靶正中靶心的情况进行统计，并绘制了如图所示的统计图，根据图中信息回答问题．    (1)估计该运动员正中靶心的概率为________；（结果精确到0.1） (2)在一次练习中，他一共打了160枪，试估计他正中靶心的枪数为多少枪？ 【答案】(1)0.8 (2)128枪 【分析】本题考查了频率，用频率估计概率，用样本估计总体等知识．解题的关键在于从图中获取准确的信息． （1）由图可确定频率，根据频率与概率的关系确定概率即可； （2）根据估计他正中靶心的枪数为，计算求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，该运动员正中靶心的频率在0.8附近摆动，他正中靶心的概率估计值为0.8， 故答案为：0.8； （2）解：由题意知，， ∴估计他正中靶心的枪数为128枪． 4．（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）在一个不透明的口袋里，装有若干个除颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 78 123 b 402 644 801 摸到白球的频率 a 0.82 0.79 0.804 0.805 0.801 (1)上表中的__________，__________． (2)“摸到白球”的概率的估计值是__________（精确到）． (3)如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，大约还有多少个其他颜色的小球？ 【答案】(1)；158 (2) (3)除白球外，还有大约3个其它颜色的小球． 【分析】本题考查了频率估计概率． （1）根据表中的数据，计算得出摸到白球的频率； （2）由表中数据即可得； （3）根据摸到白球的频率即可求出摸到白球概率．根据口袋中白球的数量和概率即可求出口袋中球的总数，用总数减去白颜色的球数量即可解答． 【详解】（1）解：，； 故答案为：；158； （2）解：由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近， ∴摸到白球的概率估计值是； 故答案为：； （3）解：（个）； 答：除白球外，还有大约3个其它颜色的小球． 题型三 概率在转盘抽奖中的应用 1．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择： 方案一：是直接获得20元的礼金卷； 方案二：是得到一次播奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少． 指针指向 两红 一红一蓝 两蓝 礼金券（元） 27 9 27 (1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． (2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠． 【答案】(1) (2)方案一比较实惠 【分析】（1）根据题意列出表格，然后根据概率公式求出结果即可； （2）先分别算出指针指在两个红色区域，两个蓝色区域的概率，算出按方案二获得礼金券的平均值，最后进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：列表格如下： 蓝 蓝 红 蓝 （蓝，蓝） （蓝，蓝） （蓝，红） 红 （红，蓝） （红，蓝） （红，红） 红 （红，蓝） （红，蓝） （红，红） ∵由表格可知，共有9种等可能结果，其中转盘指针分别指向一红区和一蓝区的情况数有5种， ∴两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． （2）解：∵， ∴如果选择方案二，获得礼金券的平均值为： （元）， ∵， ∴选择方案一比较实惠． 【点睛】本题主要考查了列表法或画树状图法求概率，解题的关键是根据题意列出表格或画出树状图，熟练掌握概率的基本公式． 2．（22-23九年级上·陕西西安·期中）九（1）班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“手工”区域的次数 落在“手工”区域的频率 (1)求出的值； (2)请估计当很大时，频率将会接近______；假如你去转动该转盘一次，你获得“手工”奖品的概率约是______．（精确到） 【答案】(1)， (2)， 【分析】 (1)根据频率频数总数求解即可； (2)根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“手工”的概率． 【详解】（1） 解：∵转动转盘的次数为，落在“手工”区域的频率为， ∴， ∵转动转盘的次数为，落在“手工”区域的频率为， ∴， （2） 解：∵根据表格信息可知：落在“手工”区域的频率的平均数大约为：, ∴当n很大时，频率将会接近， ∴假如你去转动该转盘一次，你获得“手工”奖品的概率约是． 故答案为：，． 【点睛】 本题考查了利用频率估计概率，明确题意，利用数形结合的思想是解题的关键． 3．（23-24九年级上·河北沧州·期末）某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获得转如图所示的转盘（转盘被平均分成3份）的机会．为了活跃气氛，该商场设计了两个方案： 方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品； 方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品．（若指针指向分界线，则重转） (1)若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为________； (2)若转动转盘两次，用树状图列举出所有等可能出现的结果； (3)如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由． 【答案】(1) (2)图见解析，共有9种等可能的结果 (3)会选择方案二；理由见解析 【分析】本题考查了概率公式以及列表法与树状图法求概率，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用概率公式求解； （2）根据题意画出树状图即可解决； （3）利用（2）中树状图求出方案二中领取一份奖品的概率，然后比较两个方案中领取一份奖品的概率的大小来判断选择哪个方案． 【详解】（1）解：若转动一次转盘，指针指向数字1的概率为， 故答案为：； （2）解：树状图如图，共有9种等可能的结果； （3）解：会选择方案二． 理由：由（2）可得，方案二中，领取到一份奖品的概率为， ， 选择方案二． 4．（24-25九年级下·云南大理·阶段练习）如图，甲、乙是两个可以自由转动的带指针的转盘，甲被分成面积相等的5个扇形，分别标有数字1，3，5，6，8；乙被分成面积相等的4个扇形，分别标有数字2，4，7，9．规则：小明转动甲转盘，小丁转动乙转盘，将两个转盘指针指向的数字之和进行大小比较，若数字之和大于10，则小明获胜；小于10，则小丁获胜；等于10，则平局．（若指针恰好停在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）． (1)小明随机转动甲转盘一次，指针所指的数字是偶数的概率为___________； (2)若小明、小丁按照上述规则用这两个转盘做游戏，请用列表或画树状图的方法，判断该游戏是否公平． 【答案】(1) (2)游戏公平 【分析】本题考查的是求简单事件的概率，游戏公平性的判断． （1）根据偶数可能的次数除以总次数即可； （2）列表求出所有的可能情况，再分别求出两人获胜的概率，最后比较大小即可． 【详解】（1）解：1，3，5，6，8数字中，偶数有2个， ∴小明随机转动甲转盘一次，指针所指的数字是偶数的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下： 和 1 3 5 6 8 2 3 5 7 8 10 4 5 7 9 10 12 7 8 10 12 13 15 9 10 12 14 15 17 ∴共有种结果，其中数字之和大于10有8种，小于10有8种，等于10有4种， ∴小明获胜概率为，小丁获胜概率为， ∴该游戏公平． 题型四 概率在比赛中的应用 1．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字，乙口袋中的小球上分别标有数字，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n． (1)请用列表或画树状图的方法表示出所有可能的结果； (2)若m，n都是方程的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)小明获胜的概率大，理由见解析 【分析】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方程的解法以及概率公式；画出树状图是解题的关键． （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果； （2）画树状图展示所有种等可能的结果数，m，n都是方程的解的结果有4个，m，n都不是方程的解的结果有2个，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：树状图如图所示： 所有可能的结果有 共种结果； （2）小明获胜的概率大， 理由：∵m，n都是方程的解， ∴，或， 由树状图得：共有个等可能的结果，m，n都是方程的解的结果有4个（包括和两种情况），m，n都不是方程的解的结果有2个（包括与）， 小明获胜的概率为，小利获胜的概率为， ∴小明获胜的概率大． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查了概率的计算，逐局分析胜负计算概率即可解题． （2）本题考查了用列举法求概率，考虑前4局中乙恰好当1次裁判出现的局数，逐一计算概率，即可解题． 【详解】（1）解：要第4局甲当裁判，则第3局甲输， 第1局甲当裁判， 第2局甲为选手， 每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判， 第2局甲获胜， 第4局甲当裁判的概率； （2）解：第1局甲当裁判， 乙恰好当1次裁判出现在第2、3、4局， 当在第2局时的概率， 当在第3局时的概率， 当在第4局时的概率， 乙恰好当1次裁判的概率． 3．（21-22九年级上·河北廊坊·期末）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题， (1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率； (2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？ 【答案】(1) (2)甲 【分析】（1）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉两次所有可能出现的情况，进而求出捉2次，捉到丙的概率； （2）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉三次所有可能出现的情况，通过甲、乙、丙被捉到的次数得出结论． 【详解】（1）解：如图1，甲为开始蒙眼人，捉两次，所有可能出现的结果如下：    共有4种可能出现的结果，其中第2次捉到丙的只有1种， 所以甲为开始蒙眼人，捉两次，第二次捉到丙的概率为． （2）如图2，若甲为开始蒙眼人，捉三次，所有可能出现的结果情况如下：    共有8种可能出现的结果，其中第3次提到甲的有2种，捉到乙的有3种，捉到丙的有3种， 根据所有结果出现的可能性都是相等的，所以要使第三次捉到甲的概率最小，应该甲为开始蒙眼人． 【点睛】本题考查用树状图法求随机事件发生的概率．列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键． 4．（22-23九年级上·全国·单元测试）某篮球运动员去年共参加40场比赛，其中3分球的命中率为0.25，平均每场有12次3分球未投中． (1)该运动员去年的比赛中共投出多少个3分球？共投中多少个3分球？ (2)在其中的一场比赛中，该运动员3分球共出手20次，小明说，该运动员这场比赛中一定投中了5个3分球，你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1)共投出640个3分球，共投中160个3分球 (2)说法不正确；理由见解析 【分析】（1）设该运动员共出手x个3分球，则3分球命中0.25x个，未投中0.75x个，根据“某篮球运动员去年共参加40场比赛，平均每场有12次3分球未投中”列出方程，解方程即可； （2）根据概率的意义知某事件发生的概率，就是在大量重复试验的基础上事件发生的频率稳定到的某个值；由此加以理解即可． 【详解】（1）解：设该运动员共投出x个3分球． ∵3分球的命中率为0.25， ∴3分球的未命中率为1－0.25＝0.75． 根据题意，得 ＝12． 解得x＝640． ∴0.25x＝0.25×640＝160(个)． 答：运动员去年的比赛中共投出640个3分球，共投中160个3分球． （2）解：小明的说法不正确；3分球的命中率为0.25，是相对于40场比赛来说的，而在其中的一场比赛中，虽然该运动员3分球共出手20次，但是该运动员在这场比赛中不一定投中了5个3分球． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、概率的意义．解题的关键是理解概率的意义． 1．（2025·甘肃武威·模拟预测）某班学生就老百姓最关注的热点问题，在网络上发布了相应的调查问卷．到目前为止，共有不同年龄段的2880人参与，具体情况统计如下： 抽取的30-35岁人群的关注情况 关心问题 频数 频率 收入分配 90 0.25 住房问题 0.15 物价调控 36 0.1 医疗改革 18 养老保险 0.15 其他 108 合计 所调查的2880人年龄的分布情况 (1)根据统计表可得： _____， _____， _____， _____． (2)扇形图中表示30-35岁的扇形的圆心角是多少度？ (3)在参加调查的30-35岁段中随机抽取一人，关心物价调控或医疗改革的概率是多少？ (4)从上表中，你还能获得其他的信息吗（写出一条即可）？ 【答案】(1) (2)度； (3) (4)所调查的2880人中年龄在-40岁的人数最多． 【分析】此题考查了频率估计概率，频数分布统计表，扇形圆心角等知识． （1）根据频数分布统计表求出相关数据即可； （2）用占比乘以即可得到答案； （3）用频率估计概率即可； （4）根据数据进行回答即可． 【详解】（1）解：观察频数统计表可知：, 故答案为： （2） 即扇形图中表示30-35岁的扇形的圆心角是度； （3）关心物价调控或医疗改革的概率是 （4）所调查的2880人中年龄在-40岁的人数最多（答案不唯一） 2．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）某快递公司收取快递费用的标准如下：重量不超过的包裹收费10元，重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足，按计算）收取5元．该快递公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如表： 包裹的重量（单位：） 1 2 3 4 5 包裹的件数 40 35 14 7 4 该快递公司对近60天，每天揽件数量统计如表： 包裹的件数范围 包裹的件数（近似处理） 50 150 250 350 450 天数 8 8 28 10 6 以上数据已做近似处理． (1)现从近60天中随机抽取1天，求这一天揽件数在之间的概率． (2)该快递公司将快递费的作为前台工作人员的工资和经理的工资，剩余的用作其他费用． ①估计该快递公司对每件包裹收取的快递费的平均值． ②目前快递公司经理有1人，前台工作人员有3人，每位前台工作人员每天揽件不超过150件，前台工作人员每日工资200元．经理正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，如果仅从近60天经理平均每日工资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识帮经理选择，并说明理由． 【答案】(1) (2)①15元；②公司应将前台工作人员裁员1人，理由见解析 【分析】本题考查了频率估计概率，概率公式，求一组数据的平均数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出样本中包裹件数在之间的天数，再运用概率公式列式计算，即可作答． （2）①运用求平均数的公式进行列式计算，即可作答． ②先求出每个范围的频率，再结合该快递公司将快递费的作为前台工作人员的工资和经理的工资，剩余的用作其他费用，进行列式，求出裁员和不裁员的收入，即可作答． 【详解】（1）解：样本中包裹件数在之间的天数为， ∴概率， ∴从近60天中随机抽取1天，求这一天揽件数在之间的概率； （2）解：①结合题干的样本中快递费用及包裹件数表中的数据， 得， ∴（元）， 故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元． ②根据题意及①，揽件数每增加1，公司快递收入增加15（元）， 若不裁员，则每天可揽件的上限为450件， 则，，， 公司每日揽件数情况如下： 包裹的件数范围 包裹的件数（近似处理） 50 150 250 350 450 天数 8 8 28 10 6 频率 ∴ 故经理平均每日工资收入的期望值为（元） 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下： 包裹件数范围 包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450 实际揽件数 50 150 250 300 300 频率 则 故经理平均每日工资收入的期望值为（元） ∵ ∴公司应将前台工作人员裁员1人． 3．（2025·江苏无锡·模拟预测）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)请估计：当 很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到 ）； (2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ (3)在（）的条件下，若从中先摸出一只球，不放回，再摸出一只球，请用列表或树状图的方法求两次都摸到白球的概率． 【答案】(1) (2)口袋中黑色的球只，白色的球有只 (3)两次都摸到白球的概率为 【分析】本题考查了频率估计概率，画树状图或列表法求概率，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据表中的数据，估计出摸到白球的频率； （）通过摸到白球的频率即可求出摸到白球和黑球的概率，然后通过口袋中黑、白两种颜色的球的概率即可求出口袋中黑、白两种颜色的球； （）画出树状图，一共有种等可能结果，两次都摸到白球的情况有种结果，然后利用概率公式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得当很大时，摸到白球的频率将会接近， 故答案为：； （2）解：∵当很大时，摸到白球的频率将会接近， ∴摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是， ∴口袋中有白球（只），黑球（只）， 答：口袋中黑色的球只，白色的球有只； （3）解：画树状图如图， 一共有种等可能结果，两次都摸到白球的情况有种结果， ∴两次都摸到白球的概率为． 4．（2025·陕西榆林·二模）围棋是一种古老的中国传统游戏，起源于中国古代．赵婷和李海是围棋爱好者，他们在某次对弈前约定规则来决定由谁执黑棋（围棋的第一原则：黑棋先下子，白棋后下子，然后双方轮流下子）．将两枚白棋和三枚黑棋装入不透明的围棋罐中，摇匀． (1)从罐中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回罐中摇匀，不断重复这个过程，共摸棋子20次，其中有7次摸到白棋．则这20次摸棋子中，摸出白棋的频率是________； (2)他们约定的规则如下：赵婷先从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回，摇匀，然后李海再从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色．若摸出的两枚棋子颜色不同由赵婷执黑棋，若摸出的两枚棋子颜色相同由李海执黑棋．请用画树状图或列表的方法判断这个规则对双方是否公平？若不公平，他们两人中谁执黑棋的概率更大． 【答案】(1)0.35（或） (2)这个规则对双方不公平，李海执黑棋的概率更大 【分析】此题考查了频率的计算，游戏的公平性、用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． （1）用摸到白球的个数除以摸球的总数即可； （2）画出树状图，分别求出李海执黑棋和李海执黑棋的概率即可求解． 【详解】（1）； （2）画树状图如下： 由树状图可知，共有25种等可能的结果，其中摸出的两枚棋子颜色不同的结果有12种，颜色相同的结果有13种， （赵婷执黑棋），P（李海执黑棋）， （赵婷执黑棋）（李海执黑棋）， 这个规则对双方不公平，李海执黑棋的概率更大． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $