第3章 一元一次不等式（复习讲义）数学浙教版2024八年级上册

第3章 一元一次不等式（复习讲义） 课标要求：从生活实例（如购物预算、行程规划）中抽象出一元一次不等式的模型，通过求解与推理，掌握其解集在数轴上的表示方法，并用以解决实际问题。核心在于培养模型思想与数形结合能力； 中考命题： 基础题：直接解不等式，并将其解集在数轴上表示出来。 中档题：求解不等式组，或涉及整数解等简单参数问题。 压轴题：不等式与方程（组）、函数结合的应用题，或含参不等式的分类讨论问题； 备考关键： ✅ 概念零混淆（区分“>”与“≥”，解集在数轴上的空心圈与实心点）； ✅ 计算严步骤（变号陷阱：不等式两边乘除负数，不等号方向必须改变）； ✅ 应用重情境（从实际问题中提炼不等式模型，并验证解集的合理性） 层级 训练重点 典型例题 基础层 1. 解简单的一元一次不等式 2. 在数轴上规范表示解集 解不等式 2x−5≤3，并把它的解集在数轴上表示出来。 进阶层 1. 求解一元一次不等式组。 2. 求不等式组的特殊解（如整数解） 3. 利用不等式解决简单实际问题 解不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上 拓展层 1. 不等式与方程（组）的综合应用 2. 分析并解决含参数的不等式问题 关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是 知识点 重点归纳 常见易错点 基本性质 1. 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式），不等号方向不变。 2. 性质2：不等式两边乘（或除）同一个正数，不等号方向不变。 3. 性质3：不等式两边乘（或除）同一个负数，不等号方向必须改变。 忘记变号：在不等式两边乘或除以一个负数时，是最常见的错误。例如：由 -2x > 6 得到 x > -3（❌错），正解为 x < -3（✅对）。 解法步骤 步骤：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1。 核心：最终目标是化为 x > a 或 x < a 的形式 1. 去分母漏乘：不等式中的每一项都要乘以最简公分母。 2. 去括号错误：括号前是负号时，括号内每一项都要变号。 3. 移项不变号：项从一边移到另一边，其符号必须改变。 解集表示 1. 数轴表示： - > 或 <：用空心圈(○) 表示不包含该点。 - ≥ 或 ≤：用实心点(●) 表示包含该点。 2. 符号方向：大于向右，小于向左。 1. 混淆空心与实心：例如，将 x ≥ 2 在数轴上画成空心圈。 2. 方向画反：例如，将 x < 1 的解集向右画。 不等式组 口诀： 1. 同大取大：x > a, x > b，取 x > max(a, b)。 2. 同小取小：x < a, x < b，取 x < min(a, b)。 3. 大小小大中间找：x > a, x < b (a < b)，取 a < x < b。 4. 大大小小无处找：x > a, x < b (a > b)，则无解。 1. 口诀理解错误：没有正确判断不等式组的公共部分。 2. 解集表示不规范：例如，对于 a < x < b，在数轴上没有同时标出两个端点。 实际应用 1. 建模步骤：审题 → 设未知数 → 找出不等关系 → 列不等式 → 求解 → 检验并作答。 2. 关键词转化： - "至少"、"不低于"、"不少于" → ≥ - "至多"、"不超过"、"不大于" → ≤ 1. 忽略实际意义：求出解集后，未考虑未知数（如人数、物品数）应为非负整数等实际情况。 2. 找错不等关系：未能从题目中准确提炼出关键的不等关系。 题型一 不等式的定义 【例1】下列各式：①﹣3＜0；②2x﹣5＞0；③2x＝5；④x2﹣xy+y2；⑤x2﹣y≥1；⑥a≠3．其中不等式的个数是（　　） A．5 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】下列数学表达式中，不等式有（　　） ①﹣3＜0；②a+b；③x＝3；④x2+xy+y2；⑤x≠2；⑥x+2＞y+3． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】在下列数学式子：①﹣2＜0，②2x﹣5＞0，③b＝2，④x2﹣x，⑤3x+2y≥0中，是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-3】按照下列条件，根据不等式的基本性质，写出成立的不等式． （1）x﹣y＞1，两边同加上y． （2），两边同乘﹣6． （3）﹣0.4＞﹣0.8，两边同除以﹣0.4． （4）6x﹣3＞1﹣x，两边同加上x+3，再同除以7． 题型二 不等式的基本性质 【例2】如果﹣a＞﹣b，则　 　 ．（填“＝”，“＞”或“＜”） 【变式2-1】比较大小，用“＞”或“＜”填空；若m＞n，且（a﹣b）m＜（a﹣b）n，则a　 　 b． 【变式2-2】将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式： （1）x+5＜8； （2）； （3）6x≥2x﹣3． 【变式2-3】阅读下列解题过程，解答问题： 已知x＜y，比较2x﹣1与2y﹣1的大小． 解：∵x＜y，且2＞0（已知）， ∴2x①2y（不等式的基本性质2）， ∴2x﹣1②2y﹣1（不等式的基本性质1）． （1）上述材料中横线上应该填的是①　 　 ，②　 　 ． （2）若x＞y，写出2﹣3x与2﹣3y的大小关系，并说明理由． 题型三 一元一次不等式定义 【例3 已知（m﹣3）x|m﹣2|≤5是关于x的一元一次不等式，则m的值为 　 　 ． 【变式3-1】下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式． 根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式可以是 　 　 ．（写出一个符合题意的不等式即可） 【变式3-2】若是关于y的一元一次不等式，则n的值为 　 　 ． 【变式3-3】指出下列不等式中的一元一次不等式： （1）x2+2x+3＜0； （2）3xx＞1； （3）3x﹣2y≤3； （4）． 题型四 解一元一次不等式 【例4】不等式2x＞3x﹣3的解集是　 　 ． 【变式4-1】已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞3，k的取值范围为 　 　 ． 【变式4-2】解不等式： （1）2x﹣1＞4； （2）． 【变式4-3】解不等式2x﹣11＜4（x﹣3）+3，并把它的解集在数轴上表示出来． 题型五 一元一次不等式整数解 【例5】关于x的不等式x﹣a＞1有且只有三个负整数解，则a的取值范围为　 　 ． 【变式5-1】已知关于x的不等式有三个非负整数解，则a的取值范围为　 　 ． 【变式5-2】解不等式：，并写出它的正整数解． 【变式5-3】阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程2x﹣1＝1的解是x＝1，同时x＝1也是不等式x+1＞0的解，则称方程2x﹣1＝1的解x＝1是不等式x+1＞0的“友好解”． （1）试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？　 　 A．是 B．不是 （2）若关于x、y的方程组的解是不等式的“友好解”，求k的取值范围； （3）当k＜6时，方程3（x﹣1）＝k的解是不等式4x﹣1＜x+2m的“友好解”，求m的最小整数值． 题型六 一元一次不等式应用 【例6】小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场．已知小林停车时间不超过24小时． 甲停车场收费标准是： 停车时长t（单位：小时） 0＜t≤1 1＜t≤3 3＜t≤6 6＜t≤9 9＜t≤12 12＜t≤24 收费标准（单位：元） 免费 5 10 15 18 24 乙停车场收费标准是：每小时2元（不足1小时按1小时收费）． （1）若小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，则小林需交的停车费是 　 　 元； （2）若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为 　 　 小时． 【变式6-1】体质指数（BMI）是衡量人体胖瘦程度的标准：，其中w（kg）为体重，h（m）为身高，成年人的BMI正常范围是18.5﹣23.9kg/m2．有一位成年人体重为81kg，根据公式计算得出他的BMI值为25kg/m2，属于超重范围．若想要BMI值不超过21kg/m2，他至少应减重 　 　 kg．（结果保留整数） 【变式6-2】某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金70元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金180元． （1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？ （2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过12100元，且生产B产品不少于48件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？ 【变式6-3】2024年12月26日，我国一架形似银杏叶的划时代飞行器，在一架歼﹣20的伴随下飞上天空，引爆全网，震惊世界．某商家借助这一热点，购进如图所示的甲、乙两款玩具战机进行销售，两次进货信息记录如下（两次进货单价分别相同）： 甲款数量/件 乙款数量/件 进货总费用/元 第一次 10 8 1200 第二次 6 12 1080 （1）求甲、乙两款玩具战机的进货单价； （2）由于销售火爆，该商家决定第三次购进甲、乙两款玩具战机共100件，若每件甲款玩具战机的售价为160元，每件乙款玩具战机的售价为110元，且销售完这100件玩具战机所获得的利润不低于7200元，则商家最少需购进甲款玩具战机多少件？ 题型七 一元一次不等式组定义 【例7】下列各式是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】试写出一个由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组，使它的解集是﹣1＜x≤2，这个不等式组是　 　 ． 【变式7-3】判断下列式子中，哪些是一元一次不等式组？ （1）（2）（3）（4）（5） 题型八 解一元一次不等式组 【例8】不等式组的解集为　 　 ． 【变式8-1】若关于x，y的方程组解满足0＜x+y＜4，则k的取值范围是　 　 ． 【变式8-2】解一元一次不等式组：，并在数轴上表示不等式组的解集． 【变式8-3】解不等式组：，并把它们的解集在数轴上表示出来． 题型九 一元一次不等式组整数解 【例9】若关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于y的方程2y+3＝a的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和是　 　 ． 【变式9-1】若关于x的不等式组的所有整数解的和大于0且小于4，则a的取值范围是　 　 ． 【变式9-2】解不等式组，并写出它的整数解． 【变式9-3】解不等式组，并写出它的所有整数解． 题型十 一元一次不等式组应用 【例10】如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将300mL的水倒进一个容量为500mL的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是 　 　 ． 【变式10-1】有一家人参加登山活动，他们要将矿泉水分装在旅行包内带上山．若每人带2瓶，则剩余5瓶；若每人带4瓶，则有1个人带了矿泉水，但不足3瓶．这家人参加登山的人数为　 　 ． 【变式10-2】为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，彰显学校体育特色，某学校计划购买甲两种品牌的足球．已知购买7个甲种品牌的足球和6个乙种品牌的足球共需要1600元；购买2个甲种品牌足球和3个乙种品牌的足球共需要650元． （1）求每个甲种品牌的足球和每个乙种品牌的足球的价格分别为多少元？ （2）学校计划购买甲、乙两种品牌的足球共50个，总花费不超过6500元，且购买的乙种品牌足球不少于28个，共有几种购买方案？ 【变式10-3】“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为a元/辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下： A型车销售量（辆） B型车销售量（辆） 总销售额（元） 第一周 10 12 20000 第二周 20 15 31000 （1）求a，b的值； （2）若计划第三周售出A，B两种规格自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第三周总销售额最大，最大总销售额是多少元？ 题型十一 一元一次不等式综合用 【例11】关于x的不等式mx＞n的解集为，求关于x的不等式（2m﹣n）x+m﹣5n＞0的解集是（　　） A． B． C． D． 【变式11-1】若6a＝3b+12＝2c，且b≥0，c≤9，设t＝2a+b﹣c，则t的取值范围为 　 　 ． 【变式11-2】对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）b，已知T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是　 　 ． 【变式11-3】定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程2x﹣7＝1的解为x＝4，不等式组的解集为2＜x＜5，因为2＜4＜5，所以称方程2x﹣7＝1是不等式组的相伴方程． （1）问方程2（x﹣1）+9＝1是不是不等式组的相伴方程？请说明理由； （2）若关于x的方程2x﹣a＝1是不等式组的相伴方程，求a的取值范围； （3）若方程5x+10＝0和都是关于x的不等式组（k≠﹣2）的相伴方程，求k的取值范围． 基础巩固通关测 1．若a＞b，则下列结论正确的是（　　） A．|a|＞|b| B．a﹣1＞b+2 C．﹣2a＞﹣2b D．2﹣a＜2﹣b 2．已知不等式组的解集为x＞2，则正整数a不可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若关于x的一元一次不等式组恰有两个整数解，则m的取值范围是（　　） A．﹣2＜m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．﹣1≤m＜0 D．﹣1≤m≤0 4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 5．下表是某KTV的两种计费方案的说明．若嘉琪的爸爸和朋友们打算在此KTV的一间包厢里连续欢唱5h，经服务生计算后，告知他们选择包厢计费方案会比人数计费方案便宜，则他们在同一间包厢里欢唱的人数至少有（　　） 包厢计费方案： 包厢每间每小时200元，每人须另付入场费30元 人数计费方案： 每人欢唱2小时180元，接着续唱每人每小时30元 A．4人 B．5人 C．6人 D．7人 6．关于x的不等式组无解，则实数a的取值范围是　 　 ． 7．已知关于x的不等式组无解，且关于x的方程x＝2﹣2（x﹣a）的解为非负数，则满足条件的所有整数a的和为 　 　 ． 8．已知关于x，y的方程组的解满足x+y＞1，则k的取值范围是 　 　 ． 9．已知关于x的不等式（a﹣2）x＞1的解集为x，则a的取值范围　 　 ． 10．随着科技的进步，我们可以通过手机APP实时查看公交车到站情况．如图，小明在距离某站牌192米处拿出手机查看了公交车到站情况，发现最近一辆公交车还有5分钟到达该站牌处．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明的最小平均速度为　 　 米/秒． 三．解答题（共5小题） 11．解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 12．解不等式组：，并写出它的整数解． 13．已知：a，b，c是三个非负数，且满足a+b＝3，4a+2b﹣c＝8． （1）求c值（用含a的代数式表示c）； （2）求代数式2a﹣b+3c的最大值． 14．每年的4月23日为“世界读书日”．为了让学生学会读书，爱上读书，营造浓厚读书氛围，某校计划购买心理学和科技类两种书籍供学生阅读，已知购买1本心理学书籍和3本科技类书籍共需155元，购买3本心理学书籍和2本科技类书籍共需185元． （1）求心理学书籍和科技类书籍的购买单价分别为多少元？ （2）根据需求量，该校决定购入心理学书籍和科技类书籍共90本，其中心理学书籍的购入数量低于科技类书籍的数量，恰逢书店做“读书节”优惠促销活动：心理学书籍每本打8折，科技类书籍每本优惠2元．如果此次买书的总费用不超过2995元，那么有哪几种购买方案？ 15．根据生活中的碳足迹，探索完成以下碳中和任务 探索膳食中的“碳足迹” 素材 中国居民平衡膳食宝塔是根据《中国居民膳食指南》结合中国居民的膳食结构特点设计的．它把平衡膳食的原则转化各类食物的重量，并以直观的宝塔形式表现出来，便于群众理解和在日常生活中应用．下表是根据平衡膳食宝塔计算出的中国居民膳食每天的“碳足迹”． 序号 种类 日消耗量/g 年耗碳量/kg 1 谷物类 250 73.1 2 薯物类 75 10.95 3 蔬菜类 400 43.8 4 水果类 275 50.19 5 动物性食物 160 175.2 6 大豆及豆制品 400 87.6 7 奶及奶制品 400 146 8 油 27.5 25.16 9 盐、水 盐＜5g，水1600ml 忽略不计 合计 / 612 问题解决 任务1 一棵成年树一年大约吸收25kgco2e（1kgco2e是指耗碳量为1kg，下同），根据上表至少需要种植　 　 棵树才能实现碳中和． 任务2 小明践行低碳饮食，减少肉类和奶制品摄入．已知原来每天肉类和奶制品产生的碳足迹共0.5kgco2e，现在减少一定量后，肉类碳足迹变为原来的，奶制品碳足迹变为原来的，此时两者碳足迹共0.3kgco2e，求原来肉类和奶制品每天的碳足迹分别是多少？ 任务3 小红为实现低碳饮食，设定自己每天食物碳足迹不超过1.2kgco2e．已知她每天谷物、蔬菜、水果等碳足迹共0.5kgco2e，其余碳足迹来自动物性食物和奶制品．若动物性食物碳足迹是奶制品碳足迹的2倍，设奶制品碳足迹为x kgco2e，求x的最大值． 能力提升进阶练 1．a是不等式组的一个整数解，a的值可以是（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．4 2．若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤k，且关于y的方程2y＝3+k有正整数解，则符合条件的所有整数k的和为（　　） A．5 B．8 C．9 D．15 3．已知关于x、y的方程组，其中﹣3≤a≤1，给出下列说法：①当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝2﹣a的一个解；②当a＝﹣2时，x、y的值互为相反数；③若x≤1，则1≤y≤4；④是方程组的解．其中说法错误的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．②③ 4．若2a﹣b+1＝0，0＜a+b+2＜3，则下列判断错误的是（　　） A．﹣1＜a＜0 B．﹣1＜b＜1 C．﹣3＜2a+b＜1 D．0＜a﹣b＜1 5．若关于x，y的方程组的解满足x﹣y，则m的最小整数解为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0 6．若a+b＝﹣2，且a≥2b，则（　　） A．有最小值 B．有最大值1 C．有最大值2 D．有最小值 7．已知关于x、y的方程组．①当k＝0时，方程组的解也是3x﹣y＝k+5的解；②若2x+y≥8，则k≥﹣1；③若y≥0，则x≥3；④无论k取何值，x、y的值都不可能互为相反数．以上结论正确的是　 　 ．（只填序号） 8．若关于x的不等式组有且只有5个奇数解，则符合条件的所有整数m的值的和为　 　 ． 9．若关于x的不等式组的解集是x＜4，则m的取值范围是　 　 ． 10．已知关于x的不等式组． （1）若不等式组有解，则m的取值范围是 　 　 ． （2）若该不等式组的所有整数解的和为﹣5，则m的取值范围为 　 　 ． 11．在关于x、y的方程组中，若未知数x、y满足x+y≥0，则m的取值范围为　 　 ． 12．已知方程组中x为非正数，y为负数． （1）求a的取值范围； （2）在a的取值范围中，当a为何整数时，不等式2ax+x＞2a+1的解集为x＜1． 13．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 14．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程x﹣1＝3的解为x＝4，而不等式组的解集为2＜x＜5，不难发现x＝4在2＜x＜5的范围内，所以方程x﹣1＝3是不等式组的“相依方程”． （1）请判断4（x﹣1）﹣1＝3（x﹣2）是否是不等式组的“相依方程”，并说明理由； （2）若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有且只有2个整数解，求m的取值范围； （3）若关于x的方程x+k＝2x﹣1是关于x的不等式组的“相依方程”，求k的取值范围． 15．某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 （1）若工厂计划获利14万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ （2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有哪几种生产方案？ （3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 一元一次不等式（复习讲义） 课标要求：从生活实例（如购物预算、行程规划）中抽象出一元一次不等式的模型，通过求解与推理，掌握其解集在数轴上的表示方法，并用以解决实际问题。核心在于培养模型思想与数形结合能力； 中考命题： 基础题：直接解不等式，并将其解集在数轴上表示出来。 中档题：求解不等式组，或涉及整数解等简单参数问题。 压轴题：不等式与方程（组）、函数结合的应用题，或含参不等式的分类讨论问题； 备考关键： ✅ 概念零混淆（区分“>”与“≥”，解集在数轴上的空心圈与实心点）； ✅ 计算严步骤（变号陷阱：不等式两边乘除负数，不等号方向必须改变）； ✅ 应用重情境（从实际问题中提炼不等式模型，并验证解集的合理性） 层级 训练重点 典型例题 基础层 1. 解简单的一元一次不等式 2. 在数轴上规范表示解集 解不等式 2x−5≤3，并把它的解集在数轴上表示出来。 进阶层 1. 求解一元一次不等式组。 2. 求不等式组的特殊解（如整数解） 3. 利用不等式解决简单实际问题 解不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上 拓展层 1. 不等式与方程（组）的综合应用 2. 分析并解决含参数的不等式问题 关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是 知识点 重点归纳 常见易错点 基本性质 1. 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式），不等号方向不变。 2. 性质2：不等式两边乘（或除）同一个正数，不等号方向不变。 3. 性质3：不等式两边乘（或除）同一个负数，不等号方向必须改变。 忘记变号：在不等式两边乘或除以一个负数时，是最常见的错误。例如：由 -2x > 6 得到 x > -3（❌错），正解为 x < -3（✅对）。 解法步骤 步骤：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1。 核心：最终目标是化为 x > a 或 x < a 的形式 1. 去分母漏乘：不等式中的每一项都要乘以最简公分母。 2. 去括号错误：括号前是负号时，括号内每一项都要变号。 3. 移项不变号：项从一边移到另一边，其符号必须改变。 解集表示 1. 数轴表示： - > 或 <：用空心圈(○) 表示不包含该点。 - ≥ 或 ≤：用实心点(●) 表示包含该点。 2. 符号方向：大于向右，小于向左。 1. 混淆空心与实心：例如，将 x ≥ 2 在数轴上画成空心圈。 2. 方向画反：例如，将 x < 1 的解集向右画。 不等式组 口诀： 1. 同大取大：x > a, x > b，取 x > max(a, b)。 2. 同小取小：x < a, x < b，取 x < min(a, b)。 3. 大小小大中间找：x > a, x < b (a < b)，取 a < x < b。 4. 大大小小无处找：x > a, x < b (a > b)，则无解。 1. 口诀理解错误：没有正确判断不等式组的公共部分。 2. 解集表示不规范：例如，对于 a < x < b，在数轴上没有同时标出两个端点。 实际应用 1. 建模步骤：审题 → 设未知数 → 找出不等关系 → 列不等式 → 求解 → 检验并作答。 2. 关键词转化： - "至少"、"不低于"、"不少于" → ≥ - "至多"、"不超过"、"不大于" → ≤ 1. 忽略实际意义：求出解集后，未考虑未知数（如人数、物品数）应为非负整数等实际情况。 2. 找错不等关系：未能从题目中准确提炼出关键的不等关系。 题型一 图形轴对称 【例1】下列各式：①﹣3＜0；②2x﹣5＞0；③2x＝5；④x2﹣xy+y2；⑤x2﹣y≥1；⑥a≠3．其中不等式的个数是（　　） A．5 B．2 C．3 D．4 【考点】不等式的定义 【分析】一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．运用不等式的定义进行判断． 【解答】解：根据不等式定义逐项分析判断如下： ①﹣3＜0，是不等式； ②2x﹣5＞0，是不等式； ③2x＝5，不是不等式； ④x2﹣xy+y2，不是不等式； ⑤x2﹣y≥1，是不等式； ⑥a≠3，是不等式． 故选：D． 【点评】本题考查不等式的识别，熟练掌握该知识点是关键． 【变式1-1】下列数学表达式中，不等式有（　　） ①﹣3＜0；②a+b；③x＝3；④x2+xy+y2；⑤x≠2；⑥x+2＞y+3． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点】不等式的定义 【分析】用不等号连接的式子是不等式，据此逐个判定即可． 【解答】解：根据用不等号连接的式子是不等式可得： 不等式有①⑤⑥，共3个． 故选：B． 【点评】本题主要考查了不等式的定义，解题的关键熟练掌握用不等号连接的式子是不等式． 【变式1-2】在下列数学式子：①﹣2＜0，②2x﹣5＞0，③b＝2，④x2﹣x，⑤3x+2y≥0中，是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点】不等式的定义 【分析】根据不等式的定义，用不等号（如＜，＞，≥，≤，≠）连接的式子属于不等式，逐一判断每个式子是否符合条件． 【解答】解：根据不等式定义逐项分析判断如下： ①﹣2＜0 使用了“＜”，是不等式； ②2x﹣5＞0 使用了“＞”，是不等式； ③b＝2 是等式，不是不等式； ④x2﹣x 是代数式，不含不等号，不是不等式； ⑤3x+2y≥0 使用了“≥”，是不等式． 故选：B． 【点评】本题考查了不等式的定义，熟练掌握定义是关键． 【变式1-3】按照下列条件，根据不等式的基本性质，写出成立的不等式． （1）x﹣y＞1，两边同加上y． （2），两边同乘﹣6． （3）﹣0.4＞﹣0.8，两边同除以﹣0.4． （4）6x﹣3＞1﹣x，两边同加上x+3，再同除以7． 【考点】不等式的定义 【分析】（1）根据不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即可得到答案； （2）根据不等式的基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即可得到答案； （3）根据不等式的基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即可得到答案； （4）根据不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即可得到答案． 【解答】解：（1）根据不等式的基本性质，不等式两边同时加上y，可得：x＞1+y； （2）根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘﹣6，可得a+6＜﹣3b； （3）根据不等式的基本性质，不等式两边同时除以﹣0.4，可得：1＜2； （4）根据不等式的基本性质，不等式两边同时加上x+3，可得7x＞4，再同时除以7，可得：． 【点评】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键． 题型二 不等式的基本性质 【例2】如果﹣a＞﹣b，则　＜　 ．（填“＝”，“＞”或“＜”） 【考点】不等式的性质 【分析】根据不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，不等式的两边都加（或减）同一个数不等号的方向不变，可得答案． 【解答】解：﹣a＞﹣b，， 则， 故答案为：＜． 【点评】本题考查了不等式的性质，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题关键． 【变式2-1】比较大小，用“＞”或“＜”填空；若m＞n，且（a﹣b）m＜（a﹣b）n，则a　＜　 b． 【考点】不等式的性质 【分析】根据不等式的性质分析出a﹣b＜0即可解答． 【解答】解：由m＞n，且（a﹣b）m＜（a﹣b）n可知： 当不等式两边同时除以一个负数时，不等号的方向发生改变， ∴a＜b， 故答案为：＜． 【点评】本题考查了不等式的运算性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 【变式2-2】将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式： （1）x+5＜8； （2）； （3）6x≥2x﹣3． 【考点】不等式的性质 【分析】（1）不等式两边同时减去5即可， （2）不等式两边同时乘﹣6即可， （3）不等式两边同时减去2x，整理后不等式两边同时除以4即可． 【解答】解：（1）不等式两边同时减去5，x+5﹣5＜8﹣5， ∴x＜3； （2）不等式两边同时乘﹣6， 得2×（﹣6）， ∴x＜﹣12； （3）不等式两边同时减去2x， ∴4x≥﹣3， 不等式两边同时除以4，得． 【点评】本题考查不等式的性质，掌握性质是解决问题的关键． 【变式2-3】阅读下列解题过程，解答问题： 已知x＜y，比较2x﹣1与2y﹣1的大小． 解：∵x＜y，且2＞0（已知）， ∴2x①2y（不等式的基本性质2）， ∴2x﹣1②2y﹣1（不等式的基本性质1）． （1）上述材料中横线上应该填的是①　＜　 ，②　＜　 ． （2）若x＞y，写出2﹣3x与2﹣3y的大小关系，并说明理由． 【考点】不等式的性质 【分析】根据不等式的性质逐项分析判断即可得出答案． 【解答】解：（1）∵x＜y，且2＞0（已知）， ∴2x＜2y（不等式的基本性质2）， ∴2x﹣1＜2y﹣1（不等式的基本性质1）． 故答案为：＜；＜； （2）2﹣3x＜2﹣3y，理由如下： ∵x＞y， ∴﹣3x＜﹣3y， ∴2﹣3x＜2﹣3y． 【点评】本题考查了不等式的基本性质：①在不等式的两边同时加上或者减去同一个代数式，不等式的方向不变；②在不等式的两边同时乘（或除以）一个正数，不等式的方向不变；③在不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等式的方向改变，熟练掌握以上知识点是关键． 题型三 一元一次不等式定义 【例3】已知（m﹣3）x|m﹣2|≤5是关于x的一元一次不等式，则m的值为 　1　 ． 【考点】一元一次不等式的定义；绝对值 【分析】根据一元一次不等式得到|m﹣2|＝1且m﹣3≠0，由此即可求解． 【解答】解：根据题意，得|m﹣2|＝1且m﹣3≠0， ∴m﹣2＝1或m﹣2＝﹣1且m≠3， ∴m＝3或m＝1且m≠3， ∴m＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了一元一次不等式的定义及计算，掌握一元一次不等式的定义列式求解是关键． 【变式3-1】下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式． 根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式可以是 　﹣2x≥﹣10（答案不唯一）　 ．（写出一个符合题意的不等式即可） 【考点】一元一次不等式的定义 【分析】找到未知数系数为负数，并且不等式的解为x≤5即可． 【解答】解：根据题意得出﹣2x≥﹣10， 故答案为：﹣2x≥﹣10（答案不唯一）． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1，以上，只有去分母和系数化为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 【变式3-2】若是关于y的一元一次不等式，则n的值为 　﹣2　 ． 【考点】一元一次不等式的定义 【分析】根据一元一次不等式的定义，列式求解． 【解答】解：由题意得：n2﹣3＝1且n﹣2≠0， 解得：n＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了一元一次不等式的定义，理解一元一次不等式的定义是解题的关键． 【变式3-3】指出下列不等式中的一元一次不等式： （1）x2+2x+3＜0； （2）3xx＞1； （3）3x﹣2y≤3； （4）． 【考点】一元一次不等式的定义 【分析】（1）根据一元一次不等式的定义进行判断即可； （2）根据一元一次不等式的定义进行判断即可； （3）根据一元一次不等式的定义进行判断即可； （4）根据一元一次不等式的定义进行判断即可． 【解答】解：（1）因为该不等式中含有x2， 所以x2+2x+3＜0不是一元一次不等式； （2）因为该不等式中只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1， 所以3xx＞1是一元一次不等式； （3）因为该不等式中含有x，y两种未知数， 所以3x﹣2y≤3不是一元一次不等式； （4）因为该不等式中只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1， 所以是一元一次不等式． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式的定义，熟知一元一次不等式的定义是解题的关键． 题型四 等腰三角形判定 【例4】不等式2x＞3x﹣3的解集是　x＜3　 ． 【考点】解一元一次不等式 【分析】先移项、合并同类项，再根据不等式的性质系数化为1即可解答． 【解答】解：原不等式移项得： 2x﹣3x＞﹣3， ﹣x＞﹣3， x＜3． 故答案为：x＜3． 【点评】本题主要考查了解不等式，掌握不等式的性质是解题的关键． 【变式4-1】已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞3，k的取值范围为 　k＞4　 ． 【考点】解一元一次不等式；二元一次方程组的解 【分析】①+②得到x+y＝k﹣1，然后根据题意得到k﹣1＞3，进而求解即可． 【解答】解：， ①+②得3x+3y＝3k﹣3， 所以x+y＝k﹣1， 因为关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞3， 所以k﹣1＞3， 解得k＞4． 故答案为：k＞4． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式的应用，关键是能得出关于k的不等式． 【变式4-2】解不等式： （1）2x﹣1＞4； （2）． 【考点】解一元一次不等式 【分析】（1）移项合并同类项、系数化为1即可； （2）去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为1即可． 【解答】解：（1）移项得：2x＞4+1， 合并同类项得：2x＞5， 系数化为1得：； （2）去分母得：3（x+1）﹣2（2x﹣1）≤12， 去括号得：3x+3﹣4x+2≤12， 移项得：3x﹣4x≤12﹣3﹣2， 合并同类项得：﹣x≤7， 系数化为1得：x≥﹣7． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【变式4-3】解不等式2x﹣11＜4（x﹣3）+3，并把它的解集在数轴上表示出来． 【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集 【分析】去括号，移项，合并同类项，系数化成1，再在数轴上表示出解集即可． 【解答】解：2x﹣11＜4（x﹣3）+3， 2x﹣11＜4x﹣12+3， 2x﹣4x＜﹣12+3+11， ﹣2x＜2， x＞﹣1， 把解集表示在数轴上为： ． 【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能求出不等式的解集是解此题的关键． 题型五 一元一次不等式整数解 【例5】关于x的不等式x﹣a＞1有且只有三个负整数解，则a的取值范围为　﹣5≤a＜﹣4　 ． 【考点】一元一次不等式的整数解 【分析】首先解不等式即x＞1+a，然后根据条件即可确定1+a的取值范围，即可作答． 【解答】解：由条件可知x＞1+a， ∵不等式有且只有三个负整数解， 则负整数解为﹣1，﹣2，﹣3， ∴﹣4≤1+a＜﹣3， ∴﹣5≤a＜﹣4． 故答案为：﹣5≤a＜﹣4． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式5-1】已知关于x的不等式有三个非负整数解，则a的取值范围为　a＜1　 ． 【考点】一元一次不等式的整数解 【分析】由不等式x﹣a≤0得：x≤3a，根据不等式有三个非负整数解知2≤3a＜3，求解可得． 【解答】解：解不等式x﹣a≤0得：x≤3a， ∵关于x的不等式x﹣a≤0有三个非负整数解， ∴2≤3a＜3， 解得：a＜1， 故答案为：a＜1． 【点评】本题主要考查一元一次不等式的整数解，根据不等式有三个非负整数解得出3a的范围是解题的关键． 【变式5-2】解不等式：，并写出它的正整数解． 【考点】一元一次不等式的整数解；解一元一次不等式 【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【解答】解：去分母得：x+5≥6（x﹣2）， 去括号得，x+5≥6x﹣12， 移项得，x﹣6x≥﹣12﹣5， 合并同类项得，﹣5x≥﹣17， x的系数化为1得，x． 所以不等式的正整数解为：x＝1，2，3． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等等知识点，能求出不等式的解集是解此题的关键． 【变式5-3】阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程2x﹣1＝1的解是x＝1，同时x＝1也是不等式x+1＞0的解，则称方程2x﹣1＝1的解x＝1是不等式x+1＞0的“友好解”． （1）试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？　A　 A．是 B．不是 （2）若关于x、y的方程组的解是不等式的“友好解”，求k的取值范围； （3）当k＜6时，方程3（x﹣1）＝k的解是不等式4x﹣1＜x+2m的“友好解”，求m的最小整数值． 【考点】一元一次不等式的整数解；一元一次方程的解；二元一次方程组的解；解一元一次不等式 【分析】（1）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，判断即可； （2）两个方程相减后，结合不等式，得到关于k的不等式，求解即可； （3）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，求出m的范围，进而求出m的最小整数值即可． 【解答】解：（1）解方程得x＝3， 解得：x＞1， ∴方程的解是x＝3同时也是不等式的解， ∴是“友好解”， 故选：A． （2）解方程组得， ∵关于x、y的方程组的解是不等式的“友好解”， ∴， 解得k＜17． （3）由3（x﹣1）＝k，k＜6得： 3（x﹣1）＜6，解得x＜3． 由4x﹣1＜x+2m得： ， 由条件可得， 解得m≥4， ∴m的最小整数值为4． 【点评】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根据方程组的解的情况，求参数的范围，掌握“友好解”的定义是解题的关键． 题型六 一元一次不等式应用 【例6】小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场．已知小林停车时间不超过24小时． 甲停车场收费标准是： 停车时长t（单位：小时） 0＜t≤1 1＜t≤3 3＜t≤6 6＜t≤9 9＜t≤12 12＜t≤24 收费标准（单位：元） 免费 5 10 15 18 24 乙停车场收费标准是：每小时2元（不足1小时按1小时收费）． （1）若小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，则小林需交的停车费是 　15　 元； （2）若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为 　7　 小时． 【考点】一元一次不等式的应用 【分析】（1）由题意可知，停车时长t＝8小时20分，满足6＜t≤9，即可得出结论； （2）根据当停车时长超过6小时且不超过9小时，小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，列出一元一次不等式，解不等式，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出， ∴停车时长t＝8小时20分，满足6＜t≤9， ∴小林需交的停车费是15元， 故答案为：15； （2）由题意可知，当停车时长超过9小时后，乙停车场比甲停车场更贵， 当停车时长超过6小时且不超过9小时，小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠， 则2t＜15， 解得：t＜7.5， ∵乙停车场收费标准是：每小时2元（不足1小时按1小时收费）， ∴t的最大值为7， 故答案为：7． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【变式6-1】体质指数（BMI）是衡量人体胖瘦程度的标准：，其中w（kg）为体重，h（m）为身高，成年人的BMI正常范围是18.5﹣23.9kg/m2．有一位成年人体重为81kg，根据公式计算得出他的BMI值为25kg/m2，属于超重范围．若想要BMI值不超过21kg/m2，他至少应减重 　16　 kg．（结果保留整数） 【考点】一元一次不等式的应用；有理数的乘法 【分析】根据想要BMI值不超过21kg/m2，列出一元一次不等式，得w，设他至少应减重x kg，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：根据公式计算得出他的BMI值为25kg/m2， ∴25， ∴h2， 当他的BMI值不超过21kg/m2时，21， ∴w， 设他至少应减重x kg， ∴81﹣x， 解得：x≥16.2≈16， 故答案为：16． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【变式6-2】某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金70元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金180元． （1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？ （2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过12100元，且生产B产品不少于48件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？ 【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用 【分析】（1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，依题意，列式，再解出，即可作答； （2）设生产B产品a件，生产A产品（60﹣a）件，依题意，列式，然后解出48≤a≤50，再结合a的值为非负整数，即可作答． 【解答】解：（1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元， 依题意列二元一次方程组得：， 解得． 所以甲种材料每千克30元，乙种材料每千克40元， 答：甲种材料每千克30元，乙种材料每千克40元； （2）设生产B产品a件，生产A产品（60﹣a）件． 根据题意列一元一次不等式组得，， 解得48≤a≤50． ∵a的值为非负整数， ∴a＝48，49，50， 则60﹣a分别等于12、11、10． ∴共有三种符合生产条件的方案：方案1：A产品12个，B产品48个；方案2：A产品11个，B产品49个；方案3：A产品10个，B产品50个． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式6-3】2024年12月26日，我国一架形似银杏叶的划时代飞行器，在一架歼﹣20的伴随下飞上天空，引爆全网，震惊世界．某商家借助这一热点，购进如图所示的甲、乙两款玩具战机进行销售，两次进货信息记录如下（两次进货单价分别相同）： 甲款数量/件 乙款数量/件 进货总费用/元 第一次 10 8 1200 第二次 6 12 1080 （1）求甲、乙两款玩具战机的进货单价； （2）由于销售火爆，该商家决定第三次购进甲、乙两款玩具战机共100件，若每件甲款玩具战机的售价为160元，每件乙款玩具战机的售价为110元，且销售完这100件玩具战机所获得的利润不低于7200元，则商家最少需购进甲款玩具战机多少件？ 【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用 【分析】（1）设甲款玩具战机的进货单价为x元，乙款玩具战机的进货单价为y元，列出方程组然后求解即可； （2）设商家购进甲款玩具战机m件，则购进乙款玩具战机（100﹣m）件，列出不等式然后求解即可． 【解答】解：（1）设甲款玩具战机的进货单价为x元，乙款玩具战机的进货单价为y元． ∴， ∴； 答：甲款玩具战机的进货单价为80元，乙款玩具战机的进货单价为50元； （2）设商家购进甲款玩具战机m件， （160﹣80）m+（110﹣50）（100﹣m）≥7200， ∴m≥60； 答：商家最少需购进甲款玩具战机60件． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．解题的关键在于理解题意，找出等量关系，列出方程组或不等式，然后求解． 题型七 一元一次不等式组定义 【例7】下列各式是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【考点】一元一次不等式组的定义 【分析】根据一元一次不等式组的定义逐项判断即可． 【解答】解：根据一元一次不等式组的定义逐项判断如下： A、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； B、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； C、是一元一次不等式组，故该选项符合题意； D、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键． 【变式7-1】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【考点】一元一次不等式组的定义 【分析】根据一元一次不等式组的定义判定则可． 【解答】解：A选项是一元一次不等式组； B选项中有2个未知数； C选项中是一元二次不等式； D选项中含有分式，不属于一元一次不等式的范围． 故选：A． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的定义． 定义：不等式的两边是整式，只含有1个未知数，并且未知数最高次数是1次的不等式叫做一元一次不等式，由几个一元一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组． 【变式7-2】试写出一个由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组，使它的解集是﹣1＜x≤2，这个不等式组是　（答案不唯一）　 ． 【考点】一元一次不等式组的定义 【分析】本题为开放性题，按照口诀大小小大中间找列不等式组即可．如：根据“大小小大中间找”可知只要写2个一元一次不等式x≤a，x＞b，其中a＞b即可． 【解答】解：根据解集﹣1＜x≤2，构造的不等式为． 答案不唯一． 【点评】本题考查了一元一次不等式解集与不等式组之间的关系．本题为开放性题，按照口诀列不等式组即可．解不等式组的简便求法就是用口诀求解，构造已知解集的不等式是它的逆向运用．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 【变式7-3】判断下列式子中，哪些是一元一次不等式组？ （1）（2）（3）（4）（5） 【考点】一元一次不等式组的定义 【分析】根据一元一次不等式组的定义作答． 【解答】解：（1）中x＝42是方程，不是不等式，故不是一元一次不等式组； （2）中x2＜81是一元二次不等式，故不是一元一次不等式组； （3）符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组； （4）含有两个未知数，是二元一次不等式组，故不是一元一次不等式组； （5）符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组． 综上，可知（3）（5）是一元一次不等式组． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的定义：把几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来组成的不等式组叫做一元一次不等式组． 题型八 解一元一次不等式组 【例8】不等式组的解集为　2＜x＜3　 ． 【考点】解一元一次不等式组 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【解答】解：， 解不等式①得：x＞2， 解不等式②得：x＜3， ∴原不等式组的解集为2＜x＜3， 故答案为：2＜x＜3． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握该知识点是关键． 【变式8-1】若关于x，y的方程组解满足0＜x+y＜4，则k的取值范围是　﹣2＜k＜2　 ． 【考点】解一元一次不等式组；二元一次方程组的解；解二元一次方程组 【分析】将两不等式相加，变形得到x+y＝k+2，根据0＜x+y＜4列出关于k的不等式组，解之可得． 【解答】解：将两个不等式相加可得3x+3y＝3k+6， 则x+y＝k+2， ∵0＜x+y＜4， ∴0＜k+2＜4， 解得﹣2＜k＜2， 故答案为：﹣2＜k＜2． 【点评】本题考查了一元一次不等式组以及二元一次方程组的解法，正确利用含k的式子表示出x+y的值是关键． 【变式8-2】解一元一次不等式组：，并在数轴上表示不等式组的解集． 【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，再在数轴上表示即可． 【解答】解：由不等式2x﹣2＜0得x＜1， 由不等式2x+1得x＞﹣1， ∴原不等式组的解集为﹣1＜x＜1， 数轴表示为： ． 【点评】本题考查解一元一次不等式组，并在数轴上表示不等式组的解集．正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【变式8-3】解不等式组：，并把它们的解集在数轴上表示出来． 【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集 【分析】先分别求解两个不等式，再求公共解，并在数轴上表示解集． 【解答】解：由①得x﹣3x+3≥1， 解得x≤1， 由②去分母得2（x+2）﹣3（x﹣1）＜12， 去括号得2x+4﹣3x+3＜12， 移项得2x﹣3x＜12﹣4﹣3， 合并同类项得﹣x＜5， 两边同除以﹣1得x＞﹣5， ∴不等式组的解集为﹣5＜x≤1， 在数轴上表示如下： 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键． 题型九 一元一次不等式组整数解 【例9】若关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于y的方程2y+3＝a的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和是　8　 ． 【考点】一元一次不等式组的整数解；一元一次方程的解；解一元一次不等式组 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解的情况求出a的第1个范围；解关于y的方程，根据方程的解为非负整数求出a的第2个范围，综合两个范围得出答案． 【解答】解：由3x+4＞﹣8得：x＞﹣4， 由5x﹣a＜﹣1得：x， ∵不等式组有且只有4个整数解， ∴0， 解得1＜a≤6， 解关于y的方程2y+3＝a得y， ∵该方程解为非负整数， ∴0， 解得a≥3， 所以3≤a≤6， 则符合条件的所有整数a的和是3+5＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查的是一元一次方程和一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【变式9-1】若关于x的不等式组的所有整数解的和大于0且小于4，则a的取值范围是　﹣2≤a＜﹣1　 ． 【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组 【分析】首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组的所有整数解的和大于0且小于4，确定整数解，则可以得到一个关于a的不等式组求得a的范围． 【解答】解：， 由5x+1＞3（x﹣1）得：x＞﹣2， 由得：x≤a+4． 则不等式组的解集是：﹣2＜x≤4+a． 不等式组的所有整数解的和大于0且小于4， 则不等式组的整数解，是﹣1和0，1，2． ∴2≤4+a＜3． 解得：﹣2≤a＜﹣1． 故答案为：﹣2≤a＜﹣1． 【点评】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 【变式9-2】解不等式组，并写出它的整数解． 【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，然后写出符合题意的整数解即可． 【解答】解：， 由①得，x＞3； 由②得，x≤5， ∴不等式组的解集为：3＜x≤5， ∴在这个范围内的整数解为4，5． 【点评】本题考查了不等式组的解集的求法，求不等式组的解集时，可利用口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”进行求解． 【变式9-3】解不等式组，并写出它的所有整数解． 【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再求出其整数解即可． 【解答】解：解不等式x﹣3（x﹣1）＞1得x＜1， 解不等式得x＞﹣1， ∴不等式组的解集为﹣1＜x＜1， ∴不等式组的整数解为0． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，熟练掌握以上知识点是关键． 题型十 一元一次不等式组应用 【例10】如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将300mL的水倒进一个容量为500mL的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是 　40cm3＜a＜50cm3　 ． 【考点】一元一次不等式组的应用 【分析】设这样一颗玻璃球的体积为a cm3，根据将300mL的水倒进一个容量为500mL的杯子中，将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【解答】解：设这样一颗玻璃球的体积为a cm3， 由题意得：， 解得：40＜a＜50， 故答案为：40cm3＜a＜50cm3． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 【变式10-1】有一家人参加登山活动，他们要将矿泉水分装在旅行包内带上山．若每人带2瓶，则剩余5瓶；若每人带4瓶，则有1个人带了矿泉水，但不足3瓶．这家人参加登山的人数为　4　 ． 【考点】一元一次不等式组的应用 【分析】设登山人数为x人，则矿泉水有（2x+5）瓶，根据题意列出不等式组，解不等式组后确定整数解即可． 【解答】解：设登山人数为x人，则矿泉水有（2x+5）瓶， 依题列方程组得：， 解得， ∵人数应为整数， ∴x＝4， 即这家人参加登山的人数为4人， 答：这家人参加登山的人数为4人． 故答案为：4． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题关键是正确理解题意并列出一元一次不等式组． 【变式10-2】为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，彰显学校体育特色，某学校计划购买甲两种品牌的足球．已知购买7个甲种品牌的足球和6个乙种品牌的足球共需要1600元；购买2个甲种品牌足球和3个乙种品牌的足球共需要650元． （1）求每个甲种品牌的足球和每个乙种品牌的足球的价格分别为多少元？ （2）学校计划购买甲、乙两种品牌的足球共50个，总花费不超过6500元，且购买的乙种品牌足球不少于28个，共有几种购买方案？ 【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用 【分析】（1）设每个甲种品牌的足球的价格为x元，每个乙种品牌的足球的价格为y元，根据购买费用相等列出方程组，求出解即可； （2）设购买甲种品牌的足球a个，则购买乙种品牌的足球（50﹣a）个，根据总费用不超过6500，购买乙种品牌足球的个数不少于28个列出不等式组，求出解集，并确定正整数解，即可得出符合题意的方案． 【解答】解：（1）设每个甲种品牌的足球的价格为x元，每个乙种品牌的足球的价格为y元，根据题意，得： ， ∴， 答：每个甲种品牌的足球的价格为100元，每个乙种品牌的足球的价格为150元； （2）设购买甲种品牌的足球a个， ∴， ∴20≤a≤22， 故有3种购买方案， 购买甲种品牌的足球22个，则购买乙种品牌的足球28个； 购买甲种品牌的足球21个，则购买乙种品牌的足球29个； 购买甲种品牌的足球20个，则购买乙种品牌的足球30个． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确进行计算是解题关键． 【变式10-3】“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为a元/辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下： A型车销售量（辆） B型车销售量（辆） 总销售额（元） 第一周 10 12 20000 第二周 20 15 31000 （1）求a，b的值； （2）若计划第三周售出A，B两种规格自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第三周总销售额最大，最大总销售额是多少元？ 【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用 【分析】（1）根据前两周两种自行车的销售数量及总销售额，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出a，b的值； （2）设第三周售出A种规格自行车x辆，则售出B种规格自行车（25﹣x）辆，根据“B型车的销售量大于A型车的售量，且不超过A型车销售量的2倍”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为整数，利用一次函数的性质即可求解． 【解答】解：（1）由题意得， 解得：， 所以a的值为800，b的值为1000； （2）设该专卖店第三周售出A型车x辆，B型车（25﹣x）辆，销售总额为W元， 由题意得：W＝800x+1000（25﹣x）＝﹣200x+25000， 由x＜25﹣x≤2x， 解得； x取整数，x＝9，10，11，12， ∵W随着x的增大而减小， ∴当x＝9时，W取得最大值，此时W＝﹣200×9+25000＝23200（元），25﹣x＝16（辆）． 所以该专卖店第三周售出A型车9辆，B型车16辆，销售总额为最大，为23200元， 答：该专卖店第三周售出A型车9辆，B型车16辆，销售总额为最大，为23200元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 题型十一 一元一次不等式综合用 【例11】关于x的不等式mx＞n的解集为，求关于x的不等式（2m﹣n）x+m﹣5n＞0的解集是（　　） A． B． C． D． 【考点】不等式的解集 【分析】根据不等式的解集，可令m＝﹣5a，n＝﹣3a（a为正整数），根据解不等式的步骤即可求解． 【解答】解：不等式mx＞n，即，其解集为， 故m＜0，n＜0，且， 令m＝﹣5a，n＝﹣3a（a为正整数），代入不等式（2m﹣n）x+m﹣5n＞0， 得[2⋅（﹣5a）﹣（﹣3a）]x+（﹣5a）﹣5⋅（﹣3a）＞0， 移项合并得﹣7ax＞﹣10a， ∵a为正整数， ∴﹣7x＞﹣10， 即不等式的解集为， 故选：B． 【点评】本题考查了求不等式的解集，掌握解不等式的一般步骤是解题的关键． 【变式11-1】若6a＝3b+12＝2c，且b≥0，c≤9，设t＝2a+b﹣c，则t的取值范围为 　﹣2≤t≤﹣1　 ． 【考点】不等式的性质 【分析】运用不等式的基本性质解决此题． 【解答】解：∵6a＝3b+12＝2c， ∴3a＝c，2a＝b+4． ∴b＝2a﹣4． ∴t＝2a+b﹣c＝2a+2a﹣4﹣3a＝a﹣4． ∵b≥0，c≤9， ∴3b+12≥12，2c≤18． ∴6a≥12，6a≤18． ∴2≤a≤3． ∴﹣2≤a﹣4≤﹣1． ∴﹣2≤t≤﹣1． 故答案为：﹣2≤t≤﹣1． 【点评】本题主要考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解决本题的关键． 【变式11-2】对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）b，已知T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是　﹣2≤P　 ． 【考点】一元一次不等式组的整数解 【分析】根据已知得出关于a、b的方程组，求出a、b的值，代入求出不等式组的每个不等式的解集，根据已知即可得出P的范围． 【解答】解：∵T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝1， ∴2，1， 解得：a＝1，b＝3， T（2m，5﹣4m）4，解得m， T（m，3﹣2m）P，解得m， ∵关于m的不等式组恰好有3个整数解， ∴23， ∴﹣2≤P， ∴实数P的取值范围是﹣2≤P， 故答案为：﹣2≤P． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组的应用，能求出a、b的值是解此题的关键． 【变式11-3】定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程2x﹣7＝1的解为x＝4，不等式组的解集为2＜x＜5，因为2＜4＜5，所以称方程2x﹣7＝1是不等式组的相伴方程． （1）问方程2（x﹣1）+9＝1是不是不等式组的相伴方程？请说明理由； （2）若关于x的方程2x﹣a＝1是不等式组的相伴方程，求a的取值范围； （3）若方程5x+10＝0和都是关于x的不等式组（k≠﹣2）的相伴方程，求k的取值范围． 【考点】解一元一次不等式组；一元一次方程的解 【分析】（1）先求解方程和不等式组，判断一元一次方程的解是不是一元一次不等式组的解即可； （2）先求解方程和不等式组，再将含有a的方程的解代入一元一次不等式组的解中，即可求出a的取值范围； （3）分别求出两个方程的解，再根据k≠﹣2分为两种情况：①当k＜﹣2时，求出不等式组的解集，再进行判断即可；②当k＞﹣2时，求出不等式组的解集，再进行判断即可． 【解答】解：（1）方程2（x﹣1）+9＝1是不等式组的相伴方程． 理由如下： 解不等式组，得：x≤﹣2， 解方程2（x﹣1）+9＝1，得：x＝﹣3， ∵﹣3＜﹣2， ∴方程2（x﹣1）+9＝1是不等式组的相伴方程． （2）解不等式组，得：x≤3， 解方程2x﹣a＝1，得：x， ∵关于x的方程2x﹣a＝1是不等式组的相伴方程， ∴3， 解得：0＜a≤5， 即a的取值范围是0＜a≤5． （3）解方程5x+10＝0，得：x＝﹣2， 解方程，得：x＝﹣1， ∵方程5x+10＝0和都是关于x的不等式组（k≠﹣2）的相伴方程， ∴分为两种情况： ①当k＜﹣2时，不等式为：，此时不等式组的解集为：x＞1，不符合题意，舍去； ②当k＞﹣2时，不等式为：，此时不等式组的解集为：k﹣3≤x＜1， ∴根据题意，得：， 解得：﹣2＜k≤1， 即k的取值范围为﹣2＜k≤1． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组和一元一次方程的解，正确解方程和不等式组是解题的关键． 基础巩固通关测 1．若a＞b，则下列结论正确的是（　　） A．|a|＞|b| B．a﹣1＞b+2 C．﹣2a＞﹣2b D．2﹣a＜2﹣b 【考点】不等式的性质；绝对值 【分析】根据绝对值的性质，不等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：A、若a＝﹣1，b＝﹣2，a＞b，则|a|＜|b|，故A选项错误； B、若a＝﹣1，b＝﹣2，则a﹣1＜b+2，故B选项错误； C、∵a＞b，∴﹣2a＜﹣2b，故C选项错误； D、∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴2﹣a＜2﹣b，故D选项正确； 故选：D． 【点评】本题考查了绝对值的性质，不等式的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 2．已知不等式组的解集为x＞2，则正整数a不可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组 【分析】分别求两个不等式的解集，根据公共解集的确定方法，列出关于a的不等式，解不等式即可． 【解答】解：， 解不等式①得x＞a﹣1， 解不等式②得x＞2， ∵不等式组的解集为x＞2， ∴a﹣1≤2， 解得a≤3， ∴正整数a不可能是4． 故选：D． 【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握不等式解集的规律． 3．若关于x的一元一次不等式组恰有两个整数解，则m的取值范围是（　　） A．﹣2＜m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．﹣1≤m＜0 D．﹣1≤m≤0 【考点】一元一次不等式组的整数解 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：， 解不等式①得：x＜1， 解不等式②得：x＞m﹣1， ∴原不等式组的解集为： m﹣1＜x＜1， ∵不等式组恰有两个整数解， ∴﹣2≤m﹣1＜﹣1， 解得：﹣1≤m＜0， 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集 【分析】分别求出两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分得出不等式组的解集，根据解集在数轴上表示方法即可得答案． 【解答】解：解不等式x+2＞0得：x＞﹣2， 解不等式1得：x≤1， ∴不等式的解集为：﹣2＜x≤1， ∴不等式组的解集在数轴上表示如下： 故选：B． 【点评】本题考查解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式的解集，正确得出各不等式的解集，熟练掌握解集的表示方法是解题关键． 5．下表是某KTV的两种计费方案的说明．若嘉琪的爸爸和朋友们打算在此KTV的一间包厢里连续欢唱5h，经服务生计算后，告知他们选择包厢计费方案会比人数计费方案便宜，则他们在同一间包厢里欢唱的人数至少有（　　） 包厢计费方案： 包厢每间每小时200元，每人须另付入场费30元 人数计费方案： 每人欢唱2小时180元，接着续唱每人每小时30元 A．4人 B．5人 C．6人 D．7人 【考点】一元一次不等式的应用 【分析】设他们在同一间包厢里欢唱的人数有x人，根据他们选择包厢计费方案会比人数计费方案便宜，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【解答】解：设他们在同一间包厢里欢唱的人数有x人， 根据题意得：200×5+30x＜180x+30×（5﹣2）x， 解得：x， 又∵x为正整数， ∴x的最小值为5， ∴他们在同一间包厢里欢唱的人数至少有5人． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 6．关于x的不等式组无解，则实数a的取值范围是　a≤2　 ． 【考点】解一元一次不等式组 【分析】分别解两个不等式得到x＜a+1和x＞3，根据大大小小找不到得到a+1≤3，然后解关于a的不等式即可． 【解答】解：∵， ∴， ∵关于x的不等式组无解， ∴a+1≤3， 解得a≤2， 即实数a的取值范围为a≤2． 故答案为：a≤2． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集；确定解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 7．已知关于x的不等式组无解，且关于x的方程x＝2﹣2（x﹣a）的解为非负数，则满足条件的所有整数a的和为 　9　 ． 【考点】解一元一次不等式组；一元一次方程的解 【分析】根据一元一次方程的解的情况求参数的范围，根据题意，求出满足题意的整数a的值，求和即可． 【解答】解：由，得：， ∵不等式组无解， ∴， ∴a≤4， ∵x＝2﹣2（x﹣a）， ∴， ∵x＝2﹣2（x﹣a）的解为非负数， ∴， ∴a≥﹣1， ∴﹣1≤a≤4， ∴满足题意的整数a＝﹣1，0，1，2，3，4， ∴满足条件的所有整数a的和为﹣1+0+1+2+3+4＝9； 故答案为：9． 【点评】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数的范围，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 8．已知关于x，y的方程组的解满足x+y＞1，则k的取值范围是 　k＞4　 ． 【考点】解一元一次不等式；二元一次方程组的解 【分析】将两个二元一次方程相加，得到x+y的值，根据x+y＞1，求出k的取值范围即可． 【解答】解：， ①+②得：3x+3y＝2k﹣1﹣4， 即：； ∵x+y＞1， ∴，解得：k＞4； 故答案为：k＞4． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式及二元一次方程组的解，求参数的取值范围，熟练掌握加减法解二元一次方程组是解题的关键． 9．已知关于x的不等式（a﹣2）x＞1的解集为x，则a的取值范围　a＜2　 ． 【考点】解一元一次不等式 【分析】根据不等式的基本性质，由不等式（a﹣2）x＞1的解集为x，可得：a﹣2＜0，据此求出a的取值范围即可． 【解答】解：∵不等式（a﹣2）x＞1的解集为xx， ∴a﹣2＜0， ∴a的取值范围为：a＜2． 故答案为a＜2． 【点评】此题主要考查了不等式的解集，要熟练掌握，注意不等式的基本性质的应用． 10．随着科技的进步，我们可以通过手机APP实时查看公交车到站情况．如图，小明在距离某站牌192米处拿出手机查看了公交车到站情况，发现最近一辆公交车还有5分钟到达该站牌处．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明的最小平均速度为　0.64　 米/秒． 【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用 【分析】根据小明在距离某站牌192米处拿出手机查看了公交车到站情况，发现最近一辆公交车还有5分钟到达该站牌处．要保证小明不会错过这辆公交车，得出5×60r≥192，再进行解不等式，即可作答． 【解答】解：设小明的平均速度为r米/秒， 5×60r≥192， ∴r≥0.64， 故答案为：0.64． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，正确进行计算是解题关键． 11．解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集 【分析】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，再把不等式的解集在数轴上表示出来即可． 【解答】解：由题意得，x+4＞2（x﹣3）+8， x+4＞2x﹣6+8， x﹣2x＞﹣6+8﹣4， ﹣x＞﹣2， x＜2， 解集表示在数轴上如下： ． 【点评】本题主要考查的是解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟知以上知识是解题的关键． 12．解不等式组：，并写出它的整数解． 【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组 【分析】按照解一元一次不等式的一般步骤，求出各个不等式的解集，再根据判断不等式组解集的口诀求出不等式组的解集，从而求出不等式组的整数解即可． 【解答】解：， 由①得：3x+3＜2x+6， 3x﹣2x＜6﹣3， x＜3， 由②得：3x﹣4＜5x， 3x﹣5x＜4， ﹣2x＜4， x＞﹣2， ∴不等式组的解集为：﹣2＜x＜3， ∴不等式组的整数解为：﹣1，0，1，2． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤． 13．已知：a，b，c是三个非负数，且满足a+b＝3，4a+2b﹣c＝8． （1）求c值（用含a的代数式表示c）； （2）求代数式2a﹣b+3c的最大值． 【考点】解一元一次不等式组；列代数式；代数式求值；等式的性质 【分析】（1）由已知条件易得b＝3﹣a，将其代入4a+2b﹣c＝8中计算即可； （2）将b＝3﹣a代入2a﹣b+3c中计算并整理，然后根据a，b，c是三个非负数求得a的取值范围，继而求得答案． 【解答】解：（1）∵a+b＝3， ∴b＝3﹣a， ∵4a+2b﹣c＝8， ∴4a+2（3﹣a）﹣c＝8， 整理得：4a+6﹣2a﹣c＝8， 那么c＝2a﹣2； （2）∵b＝3﹣a， ∴2a﹣b+3c ＝2a﹣（3﹣a）+3（2a﹣2） ＝2a﹣3+a+6a﹣6 ＝9a﹣9， ∵a，b，c是三个非负数， ∴a≥0，3﹣a≥0，2a﹣2≥0， ∴1≤a≤3， ∴当a取最大值3时，9a﹣9有最大值18 即2a﹣b+3c的最大值是18． 【点评】本题考查解一元一次不等式组，等式的性质，列代数式，代数式求值，熟练掌握相关性质及解不等式组的方法是解题的关键． 14．每年的4月23日为“世界读书日”．为了让学生学会读书，爱上读书，营造浓厚读书氛围，某校计划购买心理学和科技类两种书籍供学生阅读，已知购买1本心理学书籍和3本科技类书籍共需155元，购买3本心理学书籍和2本科技类书籍共需185元． （1）求心理学书籍和科技类书籍的购买单价分别为多少元？ （2）根据需求量，该校决定购入心理学书籍和科技类书籍共90本，其中心理学书籍的购入数量低于科技类书籍的数量，恰逢书店做“读书节”优惠促销活动：心理学书籍每本打8折，科技类书籍每本优惠2元．如果此次买书的总费用不超过2995元，那么有哪几种购买方案？ 【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用 【分析】（1）设心理学书籍购买单价为x元，科技类书籍的购买单价为y元，根据“购买1本心理学书籍和3本科技类书籍共需155元，购买3本心理学书籍和2本科技类书籍共需185元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m本心理学书籍，则购买（90﹣m）本科技类书籍，根据“心理学书籍的购入数量低于科技类书籍的数量，且此次买书的总费用不超过2995元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案． 【解答】解：（1）设心理学书籍购买单价为x元，科技类书籍的购买单价为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：心理学书籍购买单价为35元，科技类书籍的购买单价为40元； （2）设购买m本心理学书籍，则购买（90﹣m）本科技类书籍， 根据题意得：， 解得：42.5≤m＜45， 又∵m为正整数， ∴m可以为43，44， ∴共有2种购买方案， 方案1：购买43本心理学书籍，47本科技类书籍； 方案2：购买44本心理学书籍，46本科技类书籍． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 15．根据生活中的碳足迹，探索完成以下碳中和任务 探索膳食中的“碳足迹” 素材 中国居民平衡膳食宝塔是根据《中国居民膳食指南》结合中国居民的膳食结构特点设计的．它把平衡膳食的原则转化各类食物的重量，并以直观的宝塔形式表现出来，便于群众理解和在日常生活中应用．下表是根据平衡膳食宝塔计算出的中国居民膳食每天的“碳足迹”． 序号 种类 日消耗量/g 年耗碳量/kg 1 谷物类 250 73.1 2 薯物类 75 10.95 3 蔬菜类 400 43.8 4 水果类 275 50.19 5 动物性食物 160 175.2 6 大豆及豆制品 400 87.6 7 奶及奶制品 400 146 8 油 27.5 25.16 9 盐、水 盐＜5g，水1600ml 忽略不计 合计 / 612 问题解决 任务1 一棵成年树一年大约吸收25kgco2e（1kgco2e是指耗碳量为1kg，下同），根据上表至少需要种植　25　 棵树才能实现碳中和． 任务2 小明践行低碳饮食，减少肉类和奶制品摄入．已知原来每天肉类和奶制品产生的碳足迹共0.5kgco2e，现在减少一定量后，肉类碳足迹变为原来的，奶制品碳足迹变为原来的，此时两者碳足迹共0.3kgco2e，求原来肉类和奶制品每天的碳足迹分别是多少？ 任务3 小红为实现低碳饮食，设定自己每天食物碳足迹不超过1.2kgco2e．已知她每天谷物、蔬菜、水果等碳足迹共0.5kgco2e，其余碳足迹来自动物性食物和奶制品．若动物性食物碳足迹是奶制品碳足迹的2倍，设奶制品碳足迹为x kgco2e，求x的最大值． 【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用 【分析】任务一：设需要种植m棵树才能实现碳中和，依题意列出一元一次不等式，求出m的取值范围，考虑到m为整数，即可解答； 任务二：设原来肉类每天碳足迹为a kgco2e，奶制品每天碳足迹为y kgco2e，根据题意得二元一次方程组，即可解答； 任务三：依题意，列出一元一次不等式，求解即可． 【解答】解：任务1：设需要种植m棵树才能实现碳中和，依题意， 得25m≥612， 解得， ∴至少需要种植25棵树才能实现碳中和， 故答案为：25； 任务2：设原来肉类每天碳足迹为a kgco2e，奶制品每天碳足迹为y kgco2e， 根据题意得， 解得， 答：原来肉类每天碳足迹为0.2kgco2e，奶制品每天碳足迹为0.3kgco2e； 任务3：动物性食物碳足迹是2x kgco2e， 依题意，得0.5+2x+x≤1.2， 解得， 答：x的最大值是． 【点评】本题考查一元一次不等式，二元一次方程组的应用，掌握知识点是解题的关键． 能力提升进阶练 1．a是不等式组的一个整数解，a的值可以是（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．4 【考点】一元一次不等式组的整数解 【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有一个整数解可得到a的取值范围，据此可得答案． 【解答】解：解不等式x﹣1＞0，得：x＞1， 解不等式x﹣3≤0，得：x≤3， 则不等式组的解集为1＜x≤3， ∴a的取值可以是3． 故选：C． 【点评】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 2．若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤k，且关于y的方程2y＝3+k有正整数解，则符合条件的所有整数k的和为（　　） A．5 B．8 C．9 D．15 【考点】一元一次不等式组的整数解；一元一次方程的解；解一元一次不等式组 【分析】先解该不等式组并求得符合题意的k的取值范围，再解分式方程并求得符合题意的k的取值范围，然后确定k的所有取值，最后计算出此题结果． 【解答】解：， 解不等式①得x≤k， 解不等式②得x＜7， 由题意得k＜7， 解关于y的方程2y＝3+k得， y， 由题意得，1， 解得k≥﹣1， ∴k的取值范围为：﹣1≤k＜7，且k为整数， ∴k的取值为﹣1，0，1，2，3，4，5，6， 当k＝﹣1时，y1， 当k＝0时，y， 当k＝1时，y2， 当k＝2时，y， 当k＝3时，y3， 当k＝4时，y， 当k＝5时，y4， 当k＝6时，y， ∵为整数，且k为整数， ∴符合条件的整数k为﹣1，1，3，5， ∵﹣1+1+3+5＝8， ∴符合条件的所有整数k的和为8． 故选：B． 【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，解一元一次不等式组，解决本题的关键是能对以上问题准确求解，并根据题意确定字母参数的取值． 3．已知关于x、y的方程组，其中﹣3≤a≤1，给出下列说法：①当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝2﹣a的一个解；②当a＝﹣2时，x、y的值互为相反数；③若x≤1，则1≤y≤4；④是方程组的解．其中说法错误的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．②③ 【考点】解一元一次不等式组；二元一次方程的解；二元一次方程组的解 【分析】根据题目中的方程组可以判断各个小题的结论是否成立，从而可以解答本题． 【解答】解：当a＝1时，，解得，，∴x+y＝0≠2﹣1，故①错误， 当a＝﹣2时，，解得，，则x+y＝6，此时x与y不是互为相反数，故②错误， ∵，解得，， ∵x≤1，则1，得a≥0， ∴0≤a≤1，则1，即1≤y，故③错误， ∵，解得，，当x4时，得a，y，故④错误， 故选：A． 【点评】本题考查解一元一次不等式组、二元一次方程（组）的解，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程和不等式的性质解答． 4．若2a﹣b+1＝0，0＜a+b+2＜3，则下列判断错误的是（　　） A．﹣1＜a＜0 B．﹣1＜b＜1 C．﹣3＜2a+b＜1 D．0＜a﹣b＜1 【考点】不等式的性质；等式的性质 【分析】先求得b＝2a+1，得到0＜3a+3＜3，解得﹣1＜a＜0，再分别求得b、2a+b和a﹣b的取值范围即可得解． 【解答】解：由条件可知b＝2a+1， ∵0＜a+b+2＜3， ∴0＜3a+3＜3，解得﹣1＜a＜0； ∴﹣2＜2a＜0，则﹣1＜2a+1＜1， 即﹣1＜b＜1； ∵2a+b＝4a+1，﹣1＜a＜0， ∴﹣4＜4a＜0， ∴﹣3＜2a+b＜1； ∵a﹣b＝﹣a﹣1，﹣1＜a＜0， ∴0＜﹣a＜1， ∴﹣1＜﹣a﹣1＜0，即﹣1＜a﹣b＜0， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了不等式的性质．熟练掌握该知识点是关键． 5．若关于x，y的方程组的解满足x﹣y，则m的最小整数解为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0 【考点】解一元一次不等式；解二元一次方程组 【分析】方程组中的两个方程相减得出x﹣y＝3m+2，根据已知得出不等式，求出不等式的解集即可． 【解答】解：， ①﹣②得：x﹣y＝3m+2， ∵关于x，y的方程组的解满足x﹣y， ∴3m+2， 解得：m， ∴m的最小整数解为﹣1， 故选：C． 【点评】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键． 6．若a+b＝﹣2，且a≥2b，则（　　） A．有最小值 B．有最大值1 C．有最大值2 D．有最小值 【考点】不等式的性质 【分析】由已知条件，根据不等式的性质求得b0和a；然后根据不等式的基本性质求得2 和当a＞0时，0；当a＜0时，；据此作出选择即可． 【解答】解：∵a+b＝﹣2， ∴a＝﹣b﹣2，b＝﹣2﹣a， 又∵a≥2b， ∴﹣b﹣2≥2b，a≥﹣4﹣2a， 移项，得 ﹣3b≥2，3a≥﹣4， 解得，b0（不等式的两边同时除以﹣3，不等号的方向发生改变），a； 由a≥2b，得 2 （不等式的两边同时除以负数b，不等号的方向发生改变）； A、当a＞0时，0，即的最小值不是，故本选项错误； B、当a＜0时，，有最小值是，无最大值；故本选项错误； C、有最大值2；故本选项正确； D、无最小值；故本选项错误． 故选：C． 【点评】主要考查了不等式的基本性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 7．已知关于x、y的方程组．①当k＝0时，方程组的解也是3x﹣y＝k+5的解；②若2x+y≥8，则k≥﹣1；③若y≥0，则x≥3；④无论k取何值，x、y的值都不可能互为相反数．以上结论正确的是　①④　 ．（只填序号） 【考点】解一元一次不等式组；二元一次方程的解；二元一次方程组的解；解二元一次方程组；解一元一次不等式 【分析】将k＝0代入原方程组得，解得，经检验得是3x﹣y＝k+5的解，故①正确；方程组，两方程相加得2x+y＝5﹣3k，根据2x+y＝8，得到5﹣3k＝8，解得k＝﹣1，故②错误；再解方程组，可得x＝2﹣3k，y＝3k+1，再结合不等式与相反数的定义可判断③，④． 【解答】解：将k＝0代入原方程组得， ∴， 解得， 将与k＝0代入方程3x﹣y＝k+5左右两边， 左边＝6﹣1＝5，右边＝0+5＝5， ∴当k＝0时，方程组的解也是3x﹣y＝k+5的解，故①符合题意； 方程组， ①+②得2x+y＝5﹣3k， 若2x+y＝8，则5﹣3k＝8，解得k＝﹣1， 所以若2x+y≥8，则k≥﹣1． 故②不符合题意； 方程组， ∴②﹣①得：3y＝9k+3， ∴y＝3k+1， ∴x＝3k+1+1﹣6k＝2﹣3k， ∵y≥0， ∴3k+1≥0， ∴﹣3k≤1， ∴2﹣3k≤3， ∴x≤3； 故③不符合题意； ∵x＝2﹣3k，y＝3k+1， ∴x+y＝3， ∴无论k取何值，x、y的值都不可能互为相反数，故④符合题意． 故答案为：①④． 【点评】本题考查了消元法解二元一次方程组，二元一次方程解的定义，一元一次不等式的解法等知识，理解消元法解二元一次方程组的根据是等式的性质和等量代换是解题关键． 8．若关于x的不等式组有且只有5个奇数解，则符合条件的所有整数m的值的和为　4　 ． 【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组 【分析】根据题意得出关于m的不等式组，据此求出m的取值范围，再求出范围内所有整数的和即可． 【解答】解：由题知， 解不等式得，x≤9； 解不等式4x+1﹣m＞0得，x； 因为此不等式组有且只有5个奇数解， 则这5个奇数解为9，7，5，3，1， 所以， 解得﹣3≤m＜5， 所以符合条件的所有整数m的值的和为：﹣3﹣2﹣1+0+1+2+3+4＝4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 9．若关于x的不等式组的解集是x＜4，则m的取值范围是　m≥4　 ． 【考点】解一元一次不等式组 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式2x+2＜x+6得：x＜4， ∵关于x的不等式组的解集是x＜4， ∴m≥4， 故答案为：m≥4． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 10．已知关于x的不等式组． （1）若不等式组有解，则m的取值范围是 　m＞﹣1　 ． （2）若该不等式组的所有整数解的和为﹣5，则m的取值范围为 　m＜0或m＜1　 ． 【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组 【分析】（1）根据题意得到关于m的不等式，解不等式即可． （2）根据已知该不等式组的所有整数解的和为﹣5，可得对应整数解为﹣3，﹣2或﹣3，﹣2，﹣1，0，1，分别得出不等式求解即可； 【解答】解：（1）， 由①得x≤3m﹣1， ∵不等式组有解， ∴3m﹣1＞﹣4， ∴m＞﹣1， 故答案为：m＞﹣1； （2）∵不等式组所有整数解的和为﹣5， 则不等式组的整数解为﹣3、﹣2或﹣3、﹣2、﹣1、0、1， 当不等式组的整数解为﹣3、﹣2时， ﹣2≤3m﹣1＜﹣1， 解得m＜0， 当不等式组的整数解为﹣3、﹣2、﹣1、0、1时， 1≤3m﹣1＜2， 解得m＜1． 故答案为：m＜0 或m＜1． 【点评】本题考查解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，熟练掌握不等式组的解法，进行分情况分析，找到题中的不等关系是解题的关键． 11．在关于x、y的方程组中，若未知数x、y满足x+y≥0，则m的取值范围为　m≤5　 ． 【考点】解一元一次不等式；二元一次方程组的解；解二元一次方程组 【分析】根据题意，用含m的代数式表示出x+y，据此得出关于m的不等式，再进行计算即可． 【解答】解：由题知， 两式相加得， 3x+3y＝5﹣m， 则x+y． 因为x+y≥0， 所以， 解得m≤5． 故答案为：m≤5． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式、二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组及解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 12．已知方程组中x为非正数，y为负数． （1）求a的取值范围； （2）在a的取值范围中，当a为何整数时，不等式2ax+x＞2a+1的解集为x＜1． 【考点】解一元一次不等式组；解二元一次方程组；解一元一次不等式 【分析】（1）先求出方程组的解，即可得出不等式组，求出不等式组的解集即可； （2）根据不等式的解集求出a的范围，即可得出答案． 【解答】解：（1）解方程组得：， ∵方程组中x为非正数，y为负数， ∴， 解得：﹣2＜a≤3， 即a的取值范围是﹣2＜a≤3； （2）2ax+x＞2a+1， （2a+1）x＞2a+1， ∵要使不等式2ax+x＞2a+1的解集为x＜1， 必须2a+1＜0， 解得：a＜﹣0.5， ∵﹣2＜a≤3，a为整数， ∴a＝﹣1， 所以当a为﹣1时，不等式2ax+x＞2a+1的解集为x＜1． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式或解一元一次不等式组等知识点，能求出a的取值范围是解此题的关键． 13．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用 【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电扇收入1200元，5台A型号6台B型号的电扇收入1900元，列方程组求解； （2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50﹣a）台，根据金额不多余7500元，列不等式求解； （3）根据A种型号电风扇的进价和售价、B种型号电风扇的进价和售价以及总利润＝一台的利润×总台数，列出不等式，求出a的取值范围，再根据x为整数，即可得出答案． 【解答】解：（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元． （2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50﹣a）台． 依题意得：160a+120（50﹣a）≤7500， 解得：a≤37， ∵a是整数， ∴a最大是37， 答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元． （3）设采购A种型号电风扇x台，则采购B种型号电风扇（50﹣x）台，根据题意得： （200﹣160）x+（150﹣120）（50﹣x）＞1850， 解得：x＞35， ∵x≤37，且x应为整数， ∴在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种： 当x＝36时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台； 当x＝37时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台． 【点评】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解． 14．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程x﹣1＝3的解为x＝4，而不等式组的解集为2＜x＜5，不难发现x＝4在2＜x＜5的范围内，所以方程x﹣1＝3是不等式组的“相依方程”． （1）请判断4（x﹣1）﹣1＝3（x﹣2）是否是不等式组的“相依方程”，并说明理由； （2）若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有且只有2个整数解，求m的取值范围； （3）若关于x的方程x+k＝2x﹣1是关于x的不等式组的“相依方程”，求k的取值范围． 【考点】一元一次不等式组的整数解；一元一次方程的解；解一元一次不等式组 【分析】（1）先求一元一次方程的解为x＝﹣1，再求不等式组的解集为2＜x≤8，根据定义即可判断； （2）先求一元一次方程的解为，根据不等式组有两个整数解，可得23，解得5＜m≤8，再由方程是不等式组的“相依方程”，可得1m，最后求出6≤m≤8； （3）先求一元一次方程的解为x＝k+1，不等式组的解集分情况讨论：①当k﹣2＞0时，x，根据题意可得11，k+1≤11，此情况下k的取值为3＜k≤10；②当k﹣2＜0时，x，根据题意可得11，k+1，此情况下k的取值为k＜﹣2；综上所述：k＜﹣2或3＜k≤10． 【解答】解：（1）4（x﹣1）﹣1＝3（x﹣2）不是不等式组的“相依方程”，理由如下： 4（x﹣1）﹣1＝3（x﹣2）， 4x﹣4﹣1＝3x﹣6， 解得x＝﹣1， ， 由①得：2x﹣x≤11﹣3， 解得，x≤8， 由②得：2x+5﹣3＞12﹣3x， 2x+2＞12﹣3x， 2x+3x＞12﹣2， 5x＞10， x＞2， ∴2＜x≤8， ∵x＝﹣1不在2＜x≤8的范围内， ∴4（x﹣1）﹣1＝3（x﹣2）不是不等式组的“相依方程”； （2）， ， 4x+2x＝m， 6x＝m， ， 解不等式组：， 由①得x， 由②得x≥1， ∴不等式组的解集是1≤x， ∵不等式组有两个整数解， ∴23， 解得5＜m≤8， ∵方程是不等式组的“相依方程”， ∴1m， 解得m≥6， ∴6≤m≤8； （3）x+k＝2x﹣1， 解得x＝k+1， ， 由①得（k﹣2）x＞4， 由②得x≤11， ①当k﹣2＞0时，x， ∴11， ∵方程x+k＝2x﹣1是关于x的不等式组的“相依方程”， ∴k+1≤11， 解得3＜k≤10或﹣2＜k＜2； ∴此情况下k的取值为3＜k≤10， ②当k﹣2＜0时，x， 此时11，即k＜2或k， 不等式组的解集为x， ∴k+1， 解得2＜k＜3或k＜﹣2， ∴此情况下k的取值为k＜﹣2， ③当k﹣2＞0时，无解，不合题意， 综上所述：k＜﹣2或3＜k≤10． 【点评】本题考查一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，弄懂定义，分类讨论是解题的关键． 15．某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 （1）若工厂计划获利14万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ （2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有哪几种生产方案？ （3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润． 【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用 【分析】（1）设A种产品应生产x件，则B种产品应生产（10﹣x）件，列出方程即可解决． （2）设A种产品应生产m件，则B种产品应生产（10﹣m）件，列出不等式组解决问题． （3）得出利润y与A产品数量x的函数关系式，根据增减性可得，B产品生产越多，获利越大，因而B取最大值时，获利最大，据此即可求解． 【解答】解：（1）设A种产品应生产x件，则B种产品应生产（10﹣x）件， 由题意，x+3（10﹣x）＝14， 解得x＝8， ∴10﹣x＝2， ∴A种产品应生产8件，B种产品应生产2件． （2）设A种产品应生产m件，则B种产品应生产（10﹣m）件， 由题意得， 解这个不等式组，得2≤m＜5， ∵m为正整数，m可以取2或3或4； ∴生产方案有3种： ①生产A种产品2件，B种产品8件； ②生产A种产品3件，B种产品7件． ③生产A种产品4件，B种产品6件． （3）设总利润为y万元，生产A种产品x件，则生产B种产品（10﹣x）件， 则利润y＝x+3（10﹣x）＝﹣2x+30， 则y随x的增大而减小，即可得，A产品生产越少，获利越大， 所以当生产A种产品2件，B种产品8件时可获得最大利润，其最大利润为2×1+8×3＝26（万元）． 【点评】本题考查一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是学会构建方程或不等式解决问题，属于中考常考题型． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/10 15:40:14；用户：15268541991；邮箱：15268541991；学号：21383301 1 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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