第4章 专题五 一元二次方程的实际应用-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(青岛版2012)

专题五一元二次方程的实际应用（答案39） 类型1铝几何图形问题 类型2利润问题 1.模型观念》如图所示，在宽为20米、长为32米 3.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部 产品.据市场分析：若按每千克50元销售，一 分)，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为 个月能售出500千克，销售单价每涨2元，月 540平方米，则道路的宽为( 销售量就减少20千克.请你根据以上信息解 32米 答以下问题： (1)当销售单价定为每千克56元时，计算销售 20 量和月销售利润， A.5米 B.3米 (2)商店想在月销售成本不超过10000元的情 C.2米 D.2米或5米 况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价 2.如图所示，A,B,C,D是矩形的四个顶点， 应定为多少？ AB=16cm,AD=6cm,动点P,Q分别从点 A,C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B 移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的 速度向点D移动. (1)P,Q两点从出发开始到几秒时，四边形 PBCQ的面积为33cm2? (2)P,Q两点从出发开始到几秒时，点P和点 Q的距离第一次是10cm? 类型3群古代数学问题 4.数学文化》我国古代数学家杨辉在《田亩比类 乘除捷法》中提出这样一个问题：直田积八百 六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长 各几步.意思是：矩形面积864平方步，宽比长 少12步，问宽和长各几步.你来解决这道古算 题，可以求得矩形的长为 步 5.《九章算术》中有一题：今有二人同立，甲行率 七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与 乙会，问甲乙各行几何？大意是说：甲、乙二人 同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度 为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜 向北偏东方向走了一段后与乙相遇.甲、乙各 走了多少步？请问甲走的步数是 一九年级：上册·数学，Q0 132 类型4链增长率问题 9.如图所示是某年1月的月历表，用矩形方框按 6.(2023·泰安新泰期末)某商城在端午节期间 如图所示的方法任意圈出4个数，请解答下列 促销冰箱，每台进货价为2500元，标价为 问题： 3000元. (1)若方框中最大数与最小数的乘积为180，求 (1)商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动， 最小数 商城将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率 (2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数 相同，最后以每台2430元的价格卖给中奖者， 的和能为124吗？若能，求最小数；若不能，请 求每次降价的百分率. 说明理由. (2)市场调研表明：当每台售价为2900元时， 日一二三四五六 123456 平均每天能售出8台，当每台售价每降50元 78910111213 14151617181920 时，平均每天就能多售出4台.若商城要想使 21222324252627 冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每 28293031 台冰箱的定价应为多少元？ 类型6阻握手问题 10.(2023·潍坊高密月考)一次会议上，每两个 参加会议的人都相互握了一次手.有人统计 一共握了66次手，这次会议到会的人数 有() A.8人 B.10人 C.12人 D.14人 类型5屈数字问题 11.李明去参加聚会，每两人之间都互相赠送礼 7.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小 物，他发现参会人共送礼物30件，则共有 4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两 人参加聚会 位数小4，若设个位数字为a,则可列方程 类型7触传播问题 为() 12.(多选题)有一人患了流感，经过两轮传染后， A.a2+(a-4)2=10(a-4)+a-4 共有64人患了流感，假设每轮传染中平均每 B.a2+(a+4)2=10a+a-4-4 人传染了x人，下列说法正确的有( ) C.a2+(a+4)2=10(a+4)+a-4 A.第1轮后有(x+1)人患了流感 D.a2+(a-4)2=10a+(a-4)-4 B.第2轮又增加(x+1)2人患了流感 8.一个两位数等于它的个位数字的平方，且个位 C.依题意可列方程(x十1)2=64 数字比十位数字大3，则这个两位数为( D.不考虑其他因素经过三轮一共会有512人 A.25 B.36 感染 C.25或36 D.-25或-36 133 优计学案·课时通一解得x1=0.5=50%,x2=-3.5(不合题意，舍去). 解得x1=10,x2=一18（不符合题意，舍去）. 答：进馆人次的月平均增长率为50%. 答：最小数是10. (2)能.理由：由(1)，得进馆人次的月平均增长率 (2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和 为50%， 不能为124.理由如下： ∴.第四个月的进馆人次为128(1+50%)3=432（人次）. 假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和 ,432500, 能为124，设最小数是y,则另外三个数分别是y+ ∴.校图书馆能接纳第四个月的进馆人次 1,y+7,y+8, 专题五一元二次方程的实际应用 根据题意，得y(y+8)+y+y+1+y+7+y十 1.C 8=124, 2.解：当运动时间为t秒时，PB=(16-3t)cm,CQ= 整理，得y2+12y-108=0, 2t cm. 解得y1=6,y2=一18（不符合题意，舍去）. (1)依题意，得2×(16-31+2)×6=33， ,y=6在最后一列， 假设不成立， 解得t=5. 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不 答：P,Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ 能为124. 的面积为33cm2. 10.C11.612.ACD (2)过点Q作QM⊥AB于点M,如图所示. 本章综合提升 .PM=PB-CQ=16-5t|cm,QM-6 cm, 【本章知识归纳】 在Rt△PQM中，PQ2=PM2+QM2,即102=(16- 2整式a.x2十b.x十c=0(a≠0)配方法 5t)2+62, 公式法因式分解法△>0△=0△<0△≥0 8 (不合题意，舍去). 24 解得t1= b c aa 答，P,Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的 【思想方法归纳】 【例1】思路分析：.m,n是一元二次方程x2+x 距离第一次是10cm. 2021=0的两个实根，∴.m2十m=2021,m十n=-1, 0 .m2+2m+n=(m2+m)+(m+n=2021+ (-1)=2020. B 【变式训练】D 【例2】思路分析：要使△ABC为等腰三角形，即有 AB=AC或AB=BC或AC=BC,注意分类讨论，把 已知根代入方程即可求出k的值. B 3.解：(1)当销售单价定为每千克56元时，月销售量为 解：当△ABC是等腰三角形时，分类讨论如下： ①若BC为底，则AB=AC,此时应有△=0，但 500-(56-50)×号 =440(千克)， △=[-(2k+1)]2-4k(k+1)=1≠0， 所以月销售利润为(56一40)×440=7040（元）. 所以这种情况不存在. (2)由题意，得水产品不超过10000÷40= ②若BC为腰，则有AB=BC或AC=BC这两种 情况. 250(千克)，设销售单价定为每千克x元， 则(x-40)[500-10(x-50)]=8000, 当BC为△ABC的腰时， 解得x1=80,x2=60. 则x=5是已知方程的根， 当x1=80时，月销售量为500-10(80-50)= 所以52一5(2k+1)+k(k+1)=0, 200(千克)，200<250，符合题意， 解得k1=4,k2=5. 当x2=60时，月销售量为500一10(60-50)= 当k=4时，方程的两根分别为x1=k=4,x2= 400(千克)，400>250，舍去. k+1=5, 答：商店想在月销售成本不超过10000元的情况 此时△ABC的周长为4+5+5=14. 下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为 当k=5时，方程的两根分别为x1=k=5,x2= 每千克80元. k+1=6, 9 此时△ABC的周长为6+5+5=16. 4.365.2 所以当k为4或5时，△ABC是等腰三角形， 6解：(1)设每次降价的百分率为x, △ABC的周长为14或16. 依题意，得3000(1-x)2=2430, 【变式训练2】25 解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不合题意，舍去). 【通模拟】 答：每次降价的百分率是10%. 1.A2.C3.A4.AD5.A (2)假设下调a个50元，依题意，得 6.k<2且k≠07.58.09.30% 5000=(2900-2500-50a)(8+4a). 解得a1=a2=3.所以50a=150.2900一150=2750（元）. 答：每台冰箱的定价应为2750元. 10.解：①)二次项系数化为1，得x-2x十号-0， 7.C8.C 移项，得x2-2x=一 1 9.解：(1)设最小数是x,则最大数是x十8， 根据题意，得x(x+8)=180, 整理，得x2十8.x-180=0, 配方，得x-2x+1=一2十1，即（红-1）- 1 2 39