第4章 一元二次方程 本章综合提升-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(青岛版2012)

本章综合提升（答案P39》 本章知识归纳 含有」 个未知数 定义 一元二次方程 未知数的最高次数为 (条件) 的有关概念 方程 元二次方程的一般形式： 一元二次方程 的解法 元二次方程 ←→方程有两个不相等的实根 一元二次方程 ←→方程有两个相等的实根 ←→方程有两个实根 根的判别式 ←→方程无实根 一元二次方程am2+bx+c=0(a0)x+x2= 根与系数的关系 x1x2= 几何图形问题 一元二次方程 增长（降低）率问题 的应用 利润问题 、数字问题 思想方法川纳 A.2020 B.2021 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>> C.2022 D.2023 1.整体思想 2.分类讨论思想 对于给定的数学问题，按常规求解不易时， 《白链接本章…一 可打破常规，将具有共同特征的某一项或某一类 在本章中，利用根的判别式来判断含有 看成一个整体，根据问题的整体特征，关注题目 字母系数的一元二次方程根的情况，或利用 的条件和结论，加以解决，这就是整体思想方法， 一元二次方程根的情况来解决等腰三角形 :白链接本章 问题时，经常用到分类讨论思想. 本章中涉及的整体思想主要是利用一 元二次方程的恒等变形，不解方程而达到求 【例2】已知△ABC的两边AB,AC的长是 含有方程根的代数式的值的目的 关于x的一元二次方程x2-(2k十1)x十k(k十1)= 0的两个实根，第三边BC的长为5，当k为何值 【例1】已知m,n是一元二次方程x2十 时，△ABC是等腰三角形？并求此时△ABC的 x一2021=0的两个实根，则代数式m2+2m+n 周长 的值等于() A.2019 B.2020 C.2021 D.2022 【变式训练1】(2023·泰安肥城一模)已 知m,n是一元二次方程x2一x一2024=0的两 个实数根，则代数式m2一2m一n的值为() 一九年级·上册·数学：QD 134 【变式训练2】(2023·潍坊高密月考)已知 7.(2023·菏泽鄄城二模)若一元二次方程x2 △ABC为等腰三角形，BC=3,另外两边AB, 3x十2=0的两根分别为x1,x2,则x号十x= AC的长是关于x的一元二次方程x2一10x十 =0的两个实根，则的值为 8.(2023·泰安东平期末)已知关于x的一元二 通模拟>22》 次方程x2一2x十m=0有两个不相等的实数 根，若m为非负整数，则m的值为 1.(2023·菏泽鄄城期末)若关于x的方程(m 9.(2023·潍坊三模)某买菜APP今年一月份新 1)x2+x一1=0是一元二次方程，则m的取值 注册用户为200万，三月份新注册用户为338万， 范围是() 则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是 A.m≠1 B.m=1 C.m≥1 D.m≠0 2.(2023·泰安宁阳期中)一元二次方程3x2+ 10.（2023·泰安肥城期末)按要求解下列方程： 1=5x的二次项系数、一次项系数、常数项分 (1)2x2-4x十1=0（配方法）； 别是( ) A.3,5,1 B.3,1,5 C.3,-5,1 D.3,1,-5 3.(2023·聊城阳谷一模)关于x的一元二次方 程(2m一1)x2-3x+1=0有实根，则m的取 (2)(3x+1)2=9(2x+3)2(用自己喜欢的方 值范围是( 法解). A.n≤8且m× Bm<且子 C.m<- 13 D.m≥- 且m≠) 8 4.(多选题)(2023·潍坊高密期中)若关于x的 方程x2+ax十4=0有两个相等的实数根，则 a的值可能为() 11.(2023·菏泽郓城二模)已知关于x的方程 A.-4 B.-2 (x+m)2-4=0. C.2 D.4 (1)一题多解》求证：无论m为何值，该方程 5.(2023·菏泽曹县二模)已知a,b是一元二次 总有两个不相等的实根， 方程x2十x-8=0的两个实根，则代数式a2+ (2)若该方程的两个根p,q满足q=力十q, 2a+b的值等于( 求m的值. A.7 B.8 C.9 D.10 6.(2023·聊城一模)关于x的一元二次方程 kx2一2(k一1)x十k=0有两个不相等的实根， 则的取值范围为 135 优计学案·课时通 12.(2023·潍坊高密期中)已知关于x的一元二14.(2023·潍坊一模)某服装销售商用48000元 次方程x2-(2k-1)x十(k2-k)=0. 购进了一批时髦服装，通过网络平台进行销 (1)求证：不论k取何值，方程总有两个不相 售，由于行情较好，第二次又用100000元购 等的实根 进了同种服装，第二次购进数量是第一次购 (2)若方程两根的和比两根的积大1，求 进数量的2倍，每件的进价多了10元. 的值. (1)该销售商第一次购进了这种服装多少件？ (3)若△ABC的两边a,b的长是这个方程的 每件进价是多少元？ 两个实数根，第三边c的长为2，当△ABC是 (2)该销售商卖出第一批服装后，统计发现： 等腰三角形时，求k的值. 若按每件300元销售，每天平均能卖出80件， 销售价每降低10元，则多卖出20件.依此行 情，卖第二批服装时，让利促销，并使一天的 利润恰好为3600元，销售价应为多少？ 13.应用意识》为了巩固全国文明城市建设成果， 突出城市品质的提升，近年来，某市积极落实 节能减排政策，推行绿色建筑，据统计，该市 2021年的绿色建筑面积约为950万平方米， 2023年达到了1862万平方米.若2022年、 2023年的绿色建筑面积按相同的增长率逐年 递增，请解答下列问题： (1)求这两年该市推行绿色建筑面积的年平 均增长率. (2)2024年该市计划推行绿色建筑面积达到 2400万平方米.如果2024年仍保持相同的 年平均增长率，请你预测2024年该市能否完 成计划目标？ -九年级·上册·数学：QD 136 15.(2023·菏泽东明一模)毕业在即，某商店抓16.几何直观》劳动是财富的源泉，也是幸福的 住商机，准备购进一批纪念品，若商店花440 源泉.某中学对劳动教育进行积极探索和实 元可以购进50个学生纪念品和10个教师纪 践，创建学生劳动教育基地，让学生参与到农 念品，其中每个教师纪念品的成本比每个学 耕劳作中.如图①所示，该中学有面积为 生纪念品的成本多8元 650m的矩形空地，计划在矩形空地上一边 (1)请问这两种不同纪念品的成本分别是 增加4m,另一边增加5m构成一个正方形区 多少？ 域，作为学生栽种鲜花的劳动教育基地. (2)如果商店购进1200个学生纪念品，第一 (1)求正方形区域的边长. 周以每个10元的价格售出400个，第二周若 (2)在实际建造时，从校园美观和实用的角度 按每个10元的价格仍可售出400个，但商店 考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形区 为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场 域一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建 调查，单价每降低1元，可多售出100个，但 成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜 售价不得低于进价)，单价降低x元销售一周 花，如果栽种鲜花区域的面积为812m2,求小 后，商店对剩余学生纪念品清仓处理，以每个 道的宽度 4元的价格全部售出，如果这批纪念品共获利 2500元，问第二周每个纪念品的销售价格为 650m2 多少元 画廊1m ① ② 137 优计学案·课时通 17.应用意识》某运动品牌销售一款运动鞋，已 通中考》992%999299999》9》 知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为 100元时，平均每天能售出200双；经过一段 18.(2023·聊城中考)若一元二次方程mx2+2x十 时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量 1=0有实数解，则m的取值范围是() y(双)与降低价格x(元)之间存在如图所示 A.m≥-1 B.m≤1 的函数关系 C.m≥-1且m≠0D.m≤1且m≠0 (1)求出y与x的函数表达式. 19.(2023·菏泽中考)一元二次方程x2+3x-1= (2)公司希望平均每天获得的利润达到8910元， 0的两根为工1，则+1的值为() 且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该 定为多少？ A.2 B.-3 (3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本 价的50%，公司每天能否获得9000元的利 C.3 0-号 润？若能，求出定价；若不能，请说明理由 20.数学文化》（泰安中考)我国古代著作《四元 ↑y/双 玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十 300 钱，遣人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱 200 准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽， 这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费 10 x/元 是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费 恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多 少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题 意的方程是() A.3(x-1)x=6210 B.3(x-1)=6210 C.(3x-1)x=6210 D.3x=6210 21.(潍坊中考)若菱形两条对角线的长度是方程 x2一6x+8=0的两根，则该菱形的边长 为() A.5 B.4 C.25 D.5 22.(菏泽中考)关于x的方程(k一1)2x2+(2k+ 1)x+1=0有实根，则的取值范围 是() A.长>且及≠1 B.k≥}且k≠1 4 c>号 D.k≥4 -九年级，上册·数学：QD 138 23.(聊城中考)关于x的方程x2十4kx十2k2=428.(菏泽中考)列方程（组）解应用题. 的一个解是一2，则值为() 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销 A.2或4 B.0或4 售情况，下面是调查员的对话： C.-2或0 D.-2或2 小王：该水果的进价是每千克22元. 24.（泰安中考)已知关于x的一元二次方程 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售 kx2一(2k一1)x十k一2=0有两个不相等的 出160千克；若每千克降低3元，每天的销售 实根，则实数的取值范围是( ) 量将增加120千克 Ak>-1 BA<号 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每 4 天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾 C且0n5祖0 客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克 多少元 25.(2023·泰安中考)已知关于x的一元二次方 程x2一4x一a=0有两个不相等的实根，则a 的取值范围是 26.(2023·潍坊中考)用与教材中相同型号的计 算器，依次按键刀5○，显示结果为 2.236067977.借助显示结果，可以将一元二 次方程x2十x一1=0的正数解近似表示 为 .(精确到0.001) 27.(2023·杭州中考)设一元二次方程x2+ bx十c=0.在下面的四组条件中选择其中一 组b,c的值，使这个方程有两个不相等的实 根，并解这个方程. ①b=2,c=1;②b=3,c=1;③b=3,c=-1; ④b=2,c=2. 139 优计学案·课时通一解得x1=0.5=50%,x2=-3.5(不合题意，舍去). 解得x1=10,x2=一18（不符合题意，舍去）. 答：进馆人次的月平均增长率为50%. 答：最小数是10. (2)能.理由：由(1)，得进馆人次的月平均增长率 (2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和 为50%， 不能为124.理由如下： ∴.第四个月的进馆人次为128(1+50%)3=432（人次）. 假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和 ,432<500, 能为124，设最小数是y,则另外三个数分别是y+ ∴.校图书馆能接纳第四个月的进馆人次 1,y+7,y+8, 专题五一元二次方程的实际应用 根据题意，得y(y+8)+y+y+1+y+7+y+ 1.C 8=124, 2.解：当运动时间为t秒时，PB=(16一3t)cm,CQ= 整理，得y2+12y-108=0, 2t cm. 解得y1=6,y2=一18（不符合题意，舍去）. (1)依题意，得2×(16-31+2)×6=3， ,y=6在最后一列， 假设不成立， 解得t=5. 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不 答：P,Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ 能为124. 的面积为33cm2. 10.C11.612.ACD (2)过点Q作QM⊥AB于点M,如图所示. 本章综合提升 .PM=PB-CQ=16-5t|cm,QM-6 cm, 【本章知识归纳】 在Rt△PQM中，PQ2=PM2+QM2,即102=(16- 2整式a.x2十b.x十c=0(a≠0)配方法 5t)2+62, 公式法因式分解法△>0△=0△<0△≥0 5:=5(不合题意，舍去). 8 24 解得t:= b c aa 【思想方法归纳】 答：P,Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的【例思路分析：m”是一元二次方程r十x 距离第一次是10cm. 2021=0的两个实根，.m2十m=2021,m+n=-1, 0 ∴.m2+2m+n=(m2+m)+(m+n)=2021+ (-1)=2020. B 【变式训练1】D 【例2】思路分析：要使△ABC为等腰三角形，即有 AB=AC或AB=BC或AC=BC,注意分类讨论，把 已知根代入方程即可求出k的值. B 3.解：(1)当销售单价定为每千克56元时，月销售量为 解：当△ABC是等腰三角形时，分类讨论如下： ①若BC为底，则AB=AC,此时应有△=0，但 500-(56-50)×0 =440(千克)， △=[-(2k+1)]2-4k(k+1)=1≠0， 所以月销售利润为(56-40)×440=7040（元）. 所以这种情况不存在. (2)由题意，得水产品不超过10000÷40= ②若BC为腰，则有AB=BC或AC=BC这两种 情况. 250(千克)，设销售单价定为每千克x元， 则(x-40)[500-10(x-50)]=8000, 当BC为△ABC的腰时， 解得x1=80,x2=60. 则x=5是已知方程的根， 当x1=80时，月销售量为500-10(80-50)= 所以52一5(2k+1)+k(k+1)=0, 200(千克)，200<250，符合题意， 解得k1=4,k2=5. 当x2=60时，月销售量为500一10(60-50)= 当k=4时，方程的两根分别为x1=k=4,x2= 400(千克)，400>250，舍去. k十1=5， 答：商店想在月销售成本不超过10000元的情况 此时△ABC的周长为4十5+5=14. 下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为 当k=5时，方程的两根分别为x1=k=5,x2= 每千克80元. k+1=6, 9 此时△ABC的周长为6+5+5=16. 4.365.2 所以当k为4或5时，△ABC是等腰三角形， 6解：(1)设每次降价的百分率为x, △ABC的周长为14或16. 依题意，得3000(1-x)2=2430, 【变式训练2】25 解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不合题意，舍去). 【通模拟】 答：每次降价的百分率是10%. 1.A2.C3.A4.AD5.A (2)假设下调a个50元，依题意，得 6.k<2且k≠07.58.09.30% 5000=(2900-2500-50a)(8+4a). 解得a1=a2=3.所以50a=150.2900-150=2750(元). 答：每台冰箱的定价应为2750元. 10.解：①)二次项系数化为1，得x-2x十号-0， 7.C8.C 9.解：(1)设最小数是x,则最大数是x十8， 移项，得x2-2x=一 1 根据题意，得x(x+8)=180, 1 整理，得x2十8.x-180=0, 配方，得x-2x+1=一2十1，即（红-1）- 2 39 所以x一1=士 符合题意 2 则48000÷200=240（元）. 答：第一次购进了这种服装200件，每件进价是 所以x-1=2 ,或x-1=-2 , 240元. (2)设销售价为t元：件，则每天销售量为80十 所以x=1士2，x2=1- 300-t×20=(680-21)(件). 10 (2)移项，得(3x十1)2-9(2x十3)2=0. 由题意，得[t-(240+10)]×(680-2t)=3600. 分解因式，得[3.x+1+3(2.x+3)][3.x+1 整理，得t2-590t+86800=0. 3(2x+3)=0. 解得t1=280,t2=310. 即(9.x+10)(-3.x-8)=0. ,让利促销，∴.t2=310舍去，取t1=280, 10 8 小x1=-gx2= 答：销售价定为280元件. 3 15.解：(1)设每个学生纪念品的成本为x元，根据题 11.解：(1)方法1： 意，得 证明：整理原方程，得x2+2mx十m2一4=0. 50x十10(x+8)=440. .b2-4ac=4m2-4(m2-4)=16>0, 解得x=6,∴.x十8=6+8=14（元. ∴.无论为何值，该方程总有两个不相等的实根. 答：每个学生纪念品的成本为6元，每个教师纪念 方法2： 品的成本为14元： 证明：解方程(x十m)=4, (2)设第二周单价降低x元，则第二周的销量为 得x1=2-m,x2=-2-m. (400十100x)个，由题意，得 .2-m≠-2-m, 400×(10-6)+(10-x-6)(400+100x)+(4 ∴.无论m为何值，该方程总有两个不相等的实根. 6)(1200-400)-(400+100x)]=2500, (2)由根与系数的关系，得p十q=一2m,pg= 即1600+(4-x)(400+100.x)-2(400-100.x)= m2-4. 2500. 'pg=p+q,.m2-4=-2n, 整理，得x2一2x+1=0. 解得m1=√5-1，m2=-√5-1. 解得x1=x2=1. 12.解：(1)证明：，x2-(2k-1)x+(k2-k)=0, 则10-x=10-1=9(元). .△=b2-4ac=[-(2k-1)]2-4×1×(k2- 答：第二周每个纪念品的销售价格为9元 k)=1>0, 16.解：(1)设正方形区域的边长为xm,则矩形空地长 为(x一4)m,宽为(x-5)m, ∴.不论k取何值，方程总有两个不相等的实根 由题意，得(.x-4)(x一5)=650， (2)设x1,x2是关于x的一元二次方程x2-(2k 整理，得x2一9.x-630=0, 1)x十(k2一k)=0的两个实根， .x1十x2=2k-1,x1x2=k2-k, 解得x1=30,x2=-21(不合题意，舍去). 答：正方形区域的边长为30m. ,方程两根的和比两根的积大1， (2)设小道的宽度为ym,则栽种鲜花的区域可合 .(x1+x2)-x1x2=1,即2k-1-(k2-k)=1, 成长(30-y)m,宽(30-1-y)m的矩形， 解得k=1或k=2, 由题意，得(30-y)(30-1-y)=812. 故k的值为1或2. (3)原方程分解因式，得(x一k)[x一(k一1)]=0， 整理，得y2-59y+58=0. 解得y1=1,y2=58(不合题意，舍去). ∴.x1=k,x2=k一1， 答：小道的宽度为1m. .△ABC的边a=k,b=k-1. 17.解：(1)设y与x的函数表达式为y=kx十b(k≠0)， △ABC是等腰三角形，第三边c的长为2， 将(0,200)，(10,300)代入y=kx+b,得 .k=2或k-1=2,∴.k=2或3. b=200, ∴.a=2,b=1或a=3,b=2, 10k+b=300, 得合=80。 当a=2,b=1,c=2时，a+b>c,能构成三角形； .y与x的函数表达式为y=10x+200. 当a=3,b=2,c=2时，b十c>a,能构成三角形. (2)根据题意，得(100一60一x)(10x十200)= 故k的值为2或3. 8910. 13.解：(1)设这两年该市推行绿色建筑面积的年平均 整理，得x2-20x+91=0. 增长率为x, 解得x1=7,x2=13. 根据题意，得950(1十x)2=1862. 又要求优惠力度最大， 解得x1=0.4=40%,x2=一2.4（不合题意，舍去）. .x=13, 答：这两年该市推行绿色建筑面积的年平均增长率 .100-x=100-13=87(元). 为40%. 答：每双运动鞋的售价应该定为87元. (2)由题意，得1862(1十40%)=2606.8（万平方米）. (3)公司每天能获得9000元的利润，理由如下： 2606.8>2400,∴.2024年该市能完成计划 根据题意，得(100一60一x)(10.x+200)=9000 目标. 整理，得x2-20x十100=0. 答：如果2024年仍保持相同的年平均增长率， 解得x1=x2=10. 2024年该市能完成计划目标. .·每双运动鞋的利润不低于成本价的50%， 14.解：(1)设第一次购进了这种服装x件， ∴.100-60-x≥60×50%， 由题意，得48000+10=100000 ∴.x10, 2.x ∴.x=10符合题意， 解得x=200,经检验，x一200是分式方程的解，且 ∴.公司每天能获得9000元的利润。 40 【通中考】 1.2怎样判定三角形相似(3) 18.D19.C 1.证明：点D,E,F分别是AC,AB,BC的中点， 20.A解析：，这批椽的数量为x株，每株椽的运费 .DE,DF,EF是△ABC的中位线， 是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于 DE-DF-EFCAB 一株椽的价钱，.一株椽的价钱为3(x一1)文.依 BC-AB-AC-2' 题意，得3(x-1)x=6210. ∴.△ABC∽△FDE. 21.A22.D23.B24.C BC CA 25.a>-426.0.618 2解：相似.理由如下：AB ·BD=BE=ED 27.解：使这个方程有两个不相等的实根， .△ABC△DBE, .b2-4ac>0,即b2>4c, ∠ABC=∠DBE, ∴.②③均可， ,.∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC, 选②解方程，则这个方程为x2+3.x十1=0， 即∠ABD=∠CBE. x=-6±/6-4ac_-3±5 AB BC .AB BD BD-BE·BC=BE 2a 2 ∴，△ABD∽△CBE. ∴x1= -3+5 -3-√5 2 x2= 1.2怎样判定三角形相似(4) 2 1.解：DE∥BC,∴△AED△ACB, 选③解方程，则这个方程为x2+3x一1=0， x1=-3+ 3,x,=-3, 能肥 2 .'AE=20 cm,EC=40 cm,..AC=60 cm. 28.解：设每千克降低x元，超市每天可获得销售利润 设屏幕上图形BC的高度是xcm, 3640元，由题意，得 则沿解得x=18 (38-x-22160+号×120)=3640. ∴.屏幕上图形BC的高度为18厘米。 整理，得x2-12x+27=0. 2.解：如图所示，设小张与教学楼的距离为xm时，恰 好看不到水塔，连接FD,由题意知，点A在FD上， .x1=3,x2=9. 要尽可能让顾客得到实惠， 过点F作FG⊥CD于点G,交AB于点H,则四边 形FEBH,四边形BCGH都是矩形 ∴.x=9,.售价为38-x=38-9=29(元). D 答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获 得销售利润3640元. 限时训练 第1章图形的相似 G 777777777 1.2怎样判定三角形相似(1) AB∥CD,.△AFH△DFG, 1.证明：AB=AC,∠A=36°， ,∴.AH：DG=FH:FG, ∴.∠ABC=∠C=72°， 即(20-1.6)：(30-1.6)=x:(x+30), ,BD是∠ABC的平分线， 解得x=55.2. .∠ABD=∠DBC=36°， 经检验，x=55.2是分式方程的解. .∠A=∠CBD.又，∠C=∠C, 答：小张与教学楼之间的距离至少应有55.2米。 .△ABC∽△BDC 1.3相似三角形的性质(1) 2.证明：，△ABC是等边三角形， 解：.△ABC∽△A'B'C',且AB=15cm,A'B'=10cm, ∴.∠B=∠C=60°， .∴.∠ADB=∠CAD+∠C=∠CAD+60°. 治 .∠ADE=60°， ,AD与A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分 ∴.∠ADB=∠BDE+60°， 线，△ABC△A'B'C', ∴.∠CAD=∠BDE, AD 3 ∴.△ADC∽△DEB. DAD+A'D'=15 cm. 1.2怎样判定三角形相似(2) ..AD=9 cm,A'D'=6 cm. 1.证明：，BD∥AC,∴.∠EAC=∠ABD. 1.3相似三角形的性质(2) .'AB=3AC,BD=3AE, CE AC AB AE·△ABD∽△CAE. B 解：(1)：AC//BD,DE-DB AC=3 ,CE_6-3 2.证明：，AB·BF=BC·BD, :AC=6,BD=4DE=4=2 部架 :△BEF和△CEF同高， 且S△BEF:S△EFc=2：3, 又，∠B=∠B,∴.△ABCp△DBF, ∴∠A=∠D. 器是茶BD, 又.∠AEF=∠DEC, .EF CE ∴.△AEFD△DEC, BD BC' AEEF EDEC,即AE·EC=EF·ED. 4-5.EF=12 (2)'AC∥BD,EF∥BD,∴.EF∥AC, 41