4.5 一元二次方程根的判别式-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(青岛版2012)

时最大值为号 1 6.解：.a,b是一元二次方程x2-（3+1)x-2=0 的两个根！ 4.5一元二次方程根的判别式 .a+b=√3+1，ab=-2. 1.B2.D3.B 4.有两个不相等的实根 (。 a+b .ab-b .1+b a2+2ab+62 a2-62) ab 5.解：(1)证明：a=1,b=-m,c=2m-4, 「a+b b(a-b) ab .△=b2-4ac=（-m)2-4(2m-4)=m2-8m+ (a+b)2(a+b)(a-b)1+6 16=(m-4)2≥0， ab 方程总有两个实根 a+6a+b)'1+6 (2).△=(m-4)2≥0， 1+b abab x=-6±y6-4ac=m±|m-4l a+6'1+6-a+b’ 2a 2 -2 -2(3-1) .x1=m-2,x2=2. 原式= =1-√3. √3+1(5+1)(5-1) .此方程有一个根小于1，∴.m一2<1..m<3. 7.3 6.D7.C8.四 9.解：，关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两 8.解：(1)证明：.△=(-5)2-4×1×(-m2)=25十 4m2>0, 个相等的实根， 方程有两个不相等的实根 .△=(b十2)2-4(6-b)=0. (2).方程的两个实根分别是x1,x2, 即b2+8b-20=0. x1十x2=5. 解得b1=2,b2=一10（舍去）. x1十2x2=4,.5十x2=4,x2=-1.将x2=-1 ①当a为底，b为腰时，2+2<5，不能构成三角形， 代入方程，得 此种情况不成立； .1+5-m2=0,∴.m2=6,.m=土√6. ②当b为底，a为腰时，5一2<5<5+2，能构成三角 形，此时△ABC的周长为5+5+2=12. 9.D解析：，x1,x2是方程x2-2mx十m2一m一1= ..△ABC的周长是12. 0的两个根，.x1十x2=2m,x1·x2=m2-m-1. 10.D11.A12.C13.A14.C x1十x2=1-x1x2,.2m=1-(m2-m-1), 15.0(答案不唯一) 即m2十m一2=0，解得m1=一2，m2=1.:方程 16.解：(1)证明：a=1,b=-(k+2),c=k-1, x2-2mx十m2-m-1=0有实根，.△= ∴.△=b2-4ac=[-(k+2)]2-4×1×(k-1)= (-2m)2-4(m2-m-1)=4m+4≥0，解得m≥ k2+8>0, -1.∴.m=1. .无论k取何值，此方程总有两个不相等的实根. 10.D1A2.C13.214.-515.8 (2)①把x=2代人方程x-(十2)x十k-1=0, 16.解：(1)证明：，△=[-(2m+1)]2-4(m2+m)= 4m2+4m+1-4m2-4m=1>0, 得子-司+2)十k-1=0,解得长=子 ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实根. (2),该方程的两个实根为a,b, ②方程为x2-11+5 -2x+2=0, ∴.a+b=- -(2m+1) 1 =2m+1,ab= 1 解得x1=2x2=5. m2+m=m2+m. 1 因为这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的 .(2a+b)(a+2b)=2a2+4ab+ab+2b2= 两条边长， 2(a2+2ab+b2)+ab=2(a+b)2+ab, 而号十号<5，所以这个等腰三角形三边长分别为 ..2(a+b)2+ab=20, ∴.2(2m+1)2+m2+m=20, 分5,5，所以△ABC的周长为 整理，得m2+m-2=0,解得m1=一2，m2=1, .m的值为-2或1. 17.解：(1)△ABC是等腰三角形.理由如下： 17.解：(1)，x1,x2是关于x的一元二次方程x2- 把x=-1代入原方程，得a十c一2b+a-c=0,所 以a=b,所以△ABC是等腰三角形. 2(m十1)x十m2+5=0的两个实根，.x1+x2= (2)△ABC是直角三角形.理由如下： 2(m+1),x1x2-m2+5..(x1-1)(x2-1) ,方程有两个相等的实根， x1x2-(x1十x2)+1=m2+5-2(m+1)+1=28. 解得m1=一4，m2=6. ∴.△=(2b)2-4(a+c)(a-c)=0, 整理，得b2-a2+c2=0,∴.a2=b2十c2. .△=[-2(m+1)]2-4(m2+5)≥0， .∴.m≥2.∴.m=6. ∴.△ABC是直角三角形. (2)①当7为底边时，此时方程x2-2(m+1)x十m2+ (3)如果△ABC是等边三角形，那么a=b=c. 5=0有两个相等的实根， 所以方程可化为2ax2十2ax=0, .△=4(m+1)2一4(m2+5)=0.解得m=2. 所以2ax(x+1)=0, .方程变形为x2-6x十9=0.解得x1=x2=3. 解得x1=0,x2=-1. .3十3<7，∴.不能构成三角形，舍去. *4.6一元二次方程根与系数的关系 ②当7为腰时，设x1=7, (课程标准变动为考查内容) 代入方程，得49-14(m+1)+m2+5=0, 1.D2.D3.C4.15.-2025 解得m1=10,m2=4. 364.5一元二次方程根的判别式（答案36） 通基础> 知识点2根据根的判别式确定字母的值或取 值范围 知识点1一元二次方程根的判别式 6.(2023·潍坊寒亭区期中)关于x的一元二次 1.一元二次方程4x2+4x+1=0的根的情况 方程x2一2x十m一2=0有两个不相等的实 是() 根，则m的取值范围是( ) A.有两个不相等的实根 B.有两个相等的实根 A如<号 B.m>3 C.只有一个实根 C.m≤3 D.m<3 D.没有实根 7.(2023·北京中考)若关于x的一元二次方程 2.下列关于x的一元二次方程中一定没有实数 x2一3x十m=0有两个相等的实根，则实数m 根的是() 的值为() A.x2-√1Ix十2=0B.x2-mx-1=0 A.-9 C.x2=2-x D.x2+6x+36=0 3.(2023·泰安泰山区期中)已知a,b,c为常数， D.9 点P(a,c)在第二象限，则关于x的一元二次 8.(2023·泰安泰山区一模)若关于x的一元二 方程ax2+bx十c=0的根的情况为() .1 次方程ax2-x-喜=0(a≠0)有两个不相等 A.有两个相等的实根 B.有两个不相等的实根 的实根，则点P(a+1,一a-3)在第 C.没有实根 象限。 D.无法判断 9.在等腰三角形ABC中，三边分别为a,b,c,其 4.一元二次方程x2一2x一1=0的根的情 中a=5,若关于x的方程x2+(b十2)x十6-b= 0有两个相等的实根，求△ABC的周长. 况为 5.(2023·菏泽牡丹区月考)关于x的一元二次 方程x2-mx十2m-4=0. (1)求证：方程总有两个实根 (2)若方程有一个根小于1，求m的取值范围. 易错运用根的判别式时，忽视二次项系数不 为0 10.(2023·泰安岱岳区期末)若关于x的一元二 次方程(k一2)x2十2x十3=0有两个实根，则 的取值范围是( A6长 B.> 3 C<号且k+2 D,≤且k≠2 -九年级·上册·数学：QD 120 通能力 16.(2023·泰安期中)已知关于x的一元二次方 >>>>>>>>>>>>》>>>>2>> 程x2-(k+2)x十k-1=0. 11.(2023·广州中考)已知关于x的方程x2 (1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不 (2k一2)x十k2一1=0有两个实根，则 相等的实根 √(k-1)严-（√/2-）2的化简结果是( ) A.-1 (2)已知2是关于x的方程x2-(k+2)x十 B.1 C.-1-2k D.2k-3 k一1=0的一个根，而这个方程的两个根恰好 12.函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x 是等腰三角形ABC的两条边长. 的一元二次方程x2十bx+一1=0的根的情 ①求k的值. 况是() ②求△ABC的周长， A.没有实根 y=kx+b B.有两个相等的实根 C.有两个不相等的实根 D.无法确定 13.创新意识》对于实数a,b,定义运算“☒”为 a☒b=b2-ab,例如：3☒2=22-3×2=-2， 通素养》 则关于x的方程(k一3)☒x=k一1的根的情 17.已知关于x的一元二次方程(a十c)x2+ 况，下列说法正确的是() 2bx+(a-c)=0,其中a,b,c分别为△ABC A.有两个不相等的实根 的三边的长 B.有两个相等的实根 (1)如果x=一1是方程的根，试判断△ABC C.没有实根 的形状，并说明理由、 D.无法确定 (2)如果方程有两个相等的实根，试判断 14.推理能力》定义：cx2十bx十a=0是一元二 △ABC的形状，并说明理由. 次方程ax2+十bx十c=0的倒方程.则下列四 (3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一 个结论：①如果x=2是x2十2x十c=0的倒 元二次方程的根。 方程的解，则c= 4;②如果ac<0,那么这 两个方程都有两个不相等的实根；③如果一 元二次方程ax2一2x十c=0无解，则它的倒 方程也无解；④如果一元二次方程ax2十 bx十c=0有两个不相等的实根，则它的倒方 程也有两个不相等的实根， 其中正确的结论有() A.1个B.2个 C.3个 D.4个 15.结论开放》请填写一个常数，使得关于x的 方程x2一2x十 =0有两个不相等的 实根， 优计学案·课时通