4.5 一元二次方程根的判别式（分层作业）数学青岛版九年级上册

4.5 一元二次方程根的判别式 题型一 根据判别式判断方程解的情况 1．关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．实数根的个数由b的值确定 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 2．不解方程，请你判断一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3．下列方程中，没有实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 4．关于x的一元二次方程 的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定 5．定义运算：．例如：，则方程的根的情况为 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 6．方程的根的判别式的值为 ． 7．已知关于x的一元二次方程，如果方程有两个不相同的实数根，则k的取值范围是 ；如果方程有两个相同的实数根，则 ． 8．已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根； (2)求证：不论为何值时，方程总有两个实数根． 9．已知关于x的一元二次方程． (1)当时，判断方程根的情况； (2)当时，求方程的根． 10．已知关于x的方程．求证：不论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 题型二 根据一元二次方程解得情况求参 11．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（    ） A．13 B．12 C．11 D．8 13．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为 (    ) A． B．   C． D． 14．关于x的一元二次方程有一根为0，则m的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 15．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以为 ．（写出一个满足条件的值即可） 16．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围 ． 17．已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则的形状为 ． 18．已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个相等的实数根，则a的值为 ； （2）若该方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围为 ； （3）若该方程没有实数根，则a的取值范围为 ； （4）若该方程有实数根，则a的取值范围为 ． 19．已知：关于x的一元二次方程． 有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)当k取最大整数值时，用合适的方法求该方程的解． 20．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有实数根； (2)若等腰的一边长，另两边恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？ 21．对于任意实数k，关于x的方程的实数根的情况为 ． 22．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 23．已知关于x的一元二次方程．其中a，b，c分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (3)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.5 一元二次方程根的判别式 题型一 根据判别式判断方程解的情况 1．关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．实数根的个数由b的值确定 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．先计算出，根据的意义得到方程有两个不相等的实数根即可． 【详解】解：因为， 所以方程有两个不相等的实数根， 故选B． 2．不解方程，请你判断一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．熟练掌握判别式与根的个数的关系，是解题的关键．求出判别式的值，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选B． 3．下列方程中，没有实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由根的判别式判断一元二次方程根的情况，掌握根的判别式“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根．”是解题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A.，方程有两个不相等的实数根，故不合题意； B.，方程没有实数根，故符合题意； C.，方程有两个不相等的实数根，故不合题意； D.，方程有两个相等的实数根，故不合题意． 故选：B． 4．关于x的一元二次方程 的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据分别对应的是有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴有两个不相等的实数根， 故选：A 5．定义运算：．例如：，则方程的根的情况为 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据新运算得到，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义确定方程根的情况． 【详解】解：根据题意得， ∵ ∴方程有两个不相等的实数根 故选：A． 6．方程的根的判别式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根的判别式为． 【详解】解：， 故答案为：． 7．已知关于x的一元二次方程，如果方程有两个不相同的实数根，则k的取值范围是 ；如果方程有两个相同的实数根，则 ． 【答案】 且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义与根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 先根据一元二次方程的定义得到，再根据一元二次方程的根的判别式，有两个不同的实数根，，有两个相同的实数根这两种情况解答即可． 【详解】解：方程是关于x的一元二次方程， ， ． 如果方程有两个不相同的实数根，则其根的判别式 方程有两个不相同的实数根：且， 方程有两个相同的实数根， 故答案为：且，． 8．已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根； (2)求证：不论为何值时，方程总有两个实数根． 【答案】(1)，另一个根为2 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查方程根的定义、解一元二次方程及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）把代入方程可求得的值，再解方程可求得另一根； （2）由方程根的情况可得到关于的不等式，即可证明． 【详解】（1）解：把代入方程可得， 解得， 当时，原方程为， 解得， 即方程的另一根为2； （2），，， ， 不论为何值时，方程总有两个实数根． 9．已知关于x的一元二次方程． (1)当时，判断方程根的情况； (2)当时，求方程的根． 【答案】(1)方程没有实数根 (2) 【分析】（1）利用判别式的符号，来判断方程根的情况； （2）利用因式分解法，解一元二次方程． 【详解】（1）解：当时：方程为：， ， ， 方程没有实数根； （2）解：当时，方程为：， ， 解得：． 【点睛】本题考查一元二次方程根与判别式，以及解一元二次方程；熟练掌握判别式与根的个数的关系，以及因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 10．已知关于x的方程．求证：不论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 【答案】见解析 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【详解】证明：， ∵， ∴，即， ∴不论取何值，方程必有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式． 题型二 根据一元二次方程解得情况求参 11．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，掌握“一元二次方程有实数根，则”是解题的关键． 根据一元二次方程有实数根，则列出不等式，解不等式即可，需要注意． 【详解】解：由题意得， 解得：且， 故选：D． 12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（    ） A．13 B．12 C．11 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故选：D． 13．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为 (    ) A． B．   C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，解答时注意方程有两个相等的实数根． 由一元二次方程有两个相等的实数根，则可以知道一元二次方程根的判别式值为零，解一元二次方程即可． 【详解】解：原方程可化为：， 由题意得， 解得：， 故选：B． 14．关于x的一元二次方程有一根为0，则m的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程的定义，解答本题的关键是明确题意，利用一元二次方程的解和定义求出m的值．根据一元二次方程（有一根为0得到，结合一元二次方程的定义，可以求得m的值，本题得以解决． 【详解】解：∵一元二次方程有一根为0， ∴， 解得，， 故选：A． 15．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以为 ．（写出一个满足条件的值即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于b的不等式，解之即可得出b的取值范围，在b的范围内选一个即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴或， 取， 故答案为：4（答案不唯一）． 16．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据题意可得，且，求解即可． 【详解】解：根据题意，可得，且， 即且， 解得：且， 故答案为：且． 17．已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则的形状为 ． 【答案】直角三角形 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．原方程可以化为，由题意得出，推出，即可得解． 【详解】解：原方程可以化为：， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴为直角三角形， 故答案为：直角三角形． 18．已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个相等的实数根，则a的值为 ； （2）若该方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围为 ； （3）若该方程没有实数根，则a的取值范围为 ； （4）若该方程有实数根，则a的取值范围为 ． 【答案】 4 且 且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义进行求解作答即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：4． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，， 解得且， ∴a的取值范围为且， 故答案为：且． （3）解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， 解得， 故答案为：． （4）∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，， 解得且． ∴a的取值范围为且， 故答案为：且． 19．已知：关于x的一元二次方程． 有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)当k取最大整数值时，用合适的方法求该方程的解． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了根的判别式和因式分解法解方程的知识； （1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围． （2）从上题中找到k的最大整数，代入方程后求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程． 有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：； （2）解：∵， ∴当k取最大整数值时，， 此时方程为：， 左边因式分解，得：， ∴，． 20．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有实数根； (2)若等腰的一边长，另两边恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？ 【答案】(1)证明过程见详解 (2)这个等腰三角形的周长是 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，等腰三角形的性质， （1）根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解； （2）根据一元二次方程根的情况，分类讨论，当为腰时，，解得，根据解一元二次方程的方法得到两根，再结合等腰三角形的性质进行分析；当为腰时，，同理解得，解一元二次方程得两根，再结合等腰三角形的性质进行分析即可求解． 【详解】（1）证明：关于的方程中，， ∴ ∵， ∴无论取何值，此方程总有实数根； （2）解：是关于的方程的两根， 当是等腰的底边，是腰时，， ∴， 解得，， ∴关于的方程为，即， 解得，， 此时，，不能构成等腰三角形，不符合题意，舍去； 当是等腰的腰，是腰，是底边时，， ∴是关于的方程的一个根， ∴， 解得，， ∴，即， 解得，， ∴， ∴等腰的边长分别为，能构成等腰三角形； ∴这个等腰三角形的周长是． 21．对于任意实数k，关于x的方程的实数根的情况为 ． 【答案】方程没有实数根 【分析】本题考查了根的判别式，计算方程根的判别式，判断其符号即可，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键． 【详解】∵， ∴ ， ∴不论k为何值，，即， ∴方程没有实数根， 故答案为：方程没有实数根． 22．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和根的判别式的意义得到，求解公共部分即可； 【详解】解：根据题意得， 解得且． 故答案为且． 23．已知关于x的一元二次方程．其中a，b，c分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (3)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】(1)为等腰三角形，理由见解析 (2)为直角三角形，理由见解析 (3)， 【分析】（1）把代入原方程，得出，即可得出为等腰三角形； （2）根据方程有两个相等的实数根，得出，从而得出，即可判定出为直角三角形； （3）根据是等边三角形，得出，代入原方程得出，整理得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：将代入原方程得：， 即， ∴为等腰三角形． （2）解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴为直角三角形． （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∴原方程为：， ∵， ∴， ∴， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根，勾股定理，等边三角形的性质，等腰三角形的判定，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，准确计算． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$