4.4 用因式分解法解一元二次方程-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(青岛版2012)

4.4用因式分解法解一元二次方程（答案35） 通基>9999沙99999999 (4)(x-3)2+2x(x-3)=0. 知识点1用因式分解法解一元二次方程 1.方程x(x一1)=0的根是( ) A.x=0 B.x=1 C.x1=0,x2=1 D.x1=1,x2=-1 知识点2用合适的方法解方程 2.一元二次方程x(x一2)=x的根是() 8.解下列方程：①2x2-18=0;②9x2-12x-1= A.0 B.2 0;③3x2+10x+2=0;④2(5x-1)2=2(5.x C.3或0 D.0或-3 1).用较简便的方法依次是() 3.(2023·临沂兰山区二模)方程x2+7x十12= A.①直接开平方法、②配方法、③公式法、④因 0的两个根为() 式分解法 A.x1=-3,x2=-4B.x1=-3,x2=4 B.①直接开平方法、②公式法、③④因式分 C.x1=3,x2=-4 D.x1=3,x2=4 解法 4.一个三角形两边的长分别为2和5，第三边的 C.①因式分解法、②公式法、③配方法、④因式 长是方程x2一8.x十15=0的根，则该三角形的 分解法 周长为 D.①直接开平方法、②③公式法、④因式分 5.关于x的一元二次方程(k一1)x2+6x十k2 解法 9.(2023·泰安东平期末)用合适的方法解下列 k=0的一个根是0，则k的值是 方程： 6.若两个代数式x2+1,4x十1的值相等，则x的 (1)3x2=54; 值为 7.运算能力根据要求解下列一元二次方程： (1)(x-1)2=4; (2)(x+1)(3x-1)=1; (2)2x2+1=3x; (3)4x(2x+1)=3(2x+1); (3)(3x+2)(x+3)=x+14; (4)x2+6x=10. -九年级·上册·数学：QD 116 易错三方程两边同除以一个含有未知数的因 (2)应用：请用上述方法解方程： 式导致漏解 ①x2-3x-4=0; 10.(2023·泰安岱岳区期末)一元二次方程 ②x2-7x十6=0. 2x2=x的解为( 1 A.x=0 B.x=2 1 D.x1=0,x2= 1 C.x1=0,x2= 2 2 通能力》>29929%9>9>>% 通素养》>29>822929>9%2% 11.(2023·潍坊期中)已知方程x2+2x-3=0 16.为解方程x4一5x2十4=0，我们可以将x2视 的解是x1=1,x2=一3，则给出另一个方程 为一个整体，然后设x2=y,则x4=y2,原方 (2x+3)2+2(2x+3)-3=0,它的解 程可化为y2-5y+4=0.① 是() 解得y1=1,y2=4. A.x=-1或x=3B.x=1或x=3 当y=1时，x2=1,.x=士1； C.x=-1或x=-3D.x=1或x=-3 当y=4时，x2=4,x=士2. 12.(2023·泰安期中)若(a十b+1)(a+b-1)= ∴.原方程的解为x1=1,x2=一1，x3=2, 15,则a十b的值是() x4=-2. A.±2 B.±4 解答问题： C.2 D.4 (1)填空：在由原方程得到方程①的过程中， 13.（2023·聊城冠县二模)已知等腰三角形 利用 法达到了降次的目的，体现了 ABC的边是方程x2一7x十10=0的根，则 的数学思想。 △ABC的周长为() (2)解方程：(x2-2x)2+x2-2x一6=0. A.9 B.9或12 C.6或15 D.6或12或15 14.新定义：[a,b]为一次函数y=ax十b(a≠0， a,b为实数)的“关联数”.若“关联数” [1,m一2]的一次函数是正比例函数，则关于 x的方程x2+3x+m=0的解为 15.由多项式乘法：(x十a)(x十b)=x2十(a十 b)x十ab,将该式从右到左使用，即可得到“十字 相乘法”进行因式分解的公式：x2+(a十b)x十 ab=(x+a)(x+b). 示例：分解因式：x2十5x十6=x2+(2+3)x十 2X3=(x+2)(x+3). (1)尝试：分解因式：x2+6x十8=(x十)· (x+ 优计学案·课时通一∴.b2-4ac=(-1)2-4×1×(-3)=13. .(x-4)(x+1)=0. x=1±13 则x十1=0或x一4=0， 2 解得x1=-1,x2=4. 1+√13 1-√/13 ②x2-7x+6=0, x1= 2 ,x2=1 x2+(-6-1)x+(-6)×(-1)=0, 2 20.解：(1)根据题意，得m≠1. ,.(x-6)(x-1)=0. b2-4ac=(-2m)2-4(m-1)(m+1)=4, 则x一6=0或x一1=0， 2m+2m+1 解得x1=6,x2=1. 则x1-2(m-1m-1' 16.解：(1)换元转化 (2)设x2-2x=t, 2m-2 x2-2(m-1) =1. 原方程可化为t2十t-6=0,解得t1=-3,l2=2, (2)由(1)，知x1=m+ 当t=-3时，x2-2x=-3,即x2-2x+3=0,此 n-i1+2 方程无实数解； n-1 .方程的两个根都为正整数，且m为整数， 当t=2时，x2-2x=2, 解得x1=1十√3，x2=1-√3. 2是正整数.m-1=1或m一1=2， .原方程的解为x1=1十√3，x2=1一√3. 解得m=2或m=3, 阶段检测六（4.1~4.4) 即当m为2或3时，此方程的两个根都为正整数. 4.4用因式分解法解一元二次方程 1.A2.A3.D4.C5.A6.D7.A8.A 1.C2.C3.A4.125.06.0或4 9.B10.D11.B12.B 7.解：(1)直接开平方，得x-1=士2， 13.x1=-1,x2=114.①②④15.-8416.6 所以x1=3,x2=一1. (2)原方程可化为2x2一3x十1=0， 17.218.-3±√ 因式分解，得(2x-1)(x-1)=0, 19.解：(1)x2-2x-2=0, 所以2x-1=0或x-1=0, .x2-2x=2, 1 ∴.x2-2x+1=2+1,即(x-1)2=3, 所以x1=2x?=1. x-1=土5， (3)原方程化为一般式为3x2+10x一8=0， x1=1+√3，x2=1-√3 因式分解，得(x+4)(3x-2)=0, (2)(x+4)2=5(x+4), 所以x+4=0或3x-2=0, .(x+4)2-5(x+4)=0, 2 所以x1=一4，x2=3· 则(x十4)(x一1)=0， .x+4=0或x-1=0, (4)原方程可化为(x-3)(x一3+2x)=0, 解得x1=-4,x2=1. 所以x-3=0或x-3十2x=0, (3).a=3,b=6,c=-5, 所以x1=3,x2=1. 8. ∴.△=62-4×3×(-5)=96>0， 9.解：(1)方程可化为x2=18, 则x=-6±46-3士26 3 开方，得x=士3√2， 6 解得x1=3√2，x2=一3√2. x1= 3x=3-2w6 -3+2√6 (2)原方程可化为3x2+2x-2=0, 3· 这里a=3,b=2,c=一2， (4)4x2+2x=1, .△=22-4×3X(-2)=4+24=28>0, .4x2+2x-1=0, x=-2±27--1±7 .a=4,b=2,c=-1, 6 3， .△=2-4×4×(-1)=20>0， 3-1-7 解得x1=一1十万 则x=-2士25=-1±5 8 4 3 (3)移项，得4x(2x十1)-3(2x十1)=0， 分解因式，得(2x十1)(4x一3)=0， 即151 4。 所以2x十1=0或4x一3=0， 20.解：(1).3x2-6x十12=3(x-1)2+9. 1 3 解得x1=一2x2=4 则当x=1时，3x2一6x十12的最小值是9. (2)有最大值. (4)配方，得x2+6x+9=19,即(x+3)2=19, 日-+日+}+ +1--1 .x+3=士√19， .x1=-3+√19，x2=-3-√/19. ，112 10.C11.C12.B13.D 14.x1=-1,x2=-2 15.解：(1)24 (2)①x2-3x-4=0, x2+(-4+1)x+(-4)×1=0, 小多项式-号+号有最大值，即当 35