4.3 用公式法解一元二次方程-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(青岛版2012)

4.3用公式法解 一元二次方程（答案P34) 通基础>99999999999 7.一元二次方程x2十2√2x一6=0的根 是() 知识点1一元二次方程的求根公式 A.x1=x2=√2 1.(2023·烟台莱州期中)用公式法解一个一元 B.x1=0,x2=-22 二次方程的根为x=一5土V52+4X3X1 ,则 2×3 C.x1=2,x2=-32 此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分 D.x1=-√2，x2=3√2 别为() 8.方程2x2十4x十1=0的解是x1= A.3,5,-1 B.-3,-5,1 x2= C.3,-5,1 D.-3,5,-1 9.关于x的一元二次方程4x2+4kx十k2=1的 2.用公式法解方程(x+2)2=6(x+2)一4时， 一个根是一2，则k等于 b2-4ac的值为() 10.(2023·青岛市南区月考)解方程： A.52 B.32 C.20 D.-12 (1)3x2+8.x一3=0（用配方法）； 3.用公式法解方程2x2十4√3x=22,其中求 得b2-4ac的值是() A.16 B.±4 C.32 D.64 -3±√32+4×2×1 4.抽象能力》x= 是下列哪 2×2 个一元二次方程的根？( (2)x2十3x-1=0(用公式法). A.2x2+3x+1=0B.2x2-3x+1=0 C.2x2+3x-1=0 D.2x2-3.x-1=0 5.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两 根分别为x1=一6十B+4 2 -b-√62+4 ,下列判断一定正确的是() 2 通能力> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> A.a=-1 B.c=1 11.若x=一2是关于x的一元二次方程x2+ C.ac=1 D.C=-1 3 ) a 2az-a2=0的一个根，则a的值为( 知识点2用公式法解一元二次方程 A.-4 B.1 6.一元二次方程x2一x一1=0的两个实数根中 C.-1或-4 D.1或-4 较大的根是() 12.三角形一边长为10，另两边长是方程x2 14x十48=0的两个实数根，则这个三角形 A.1+5 B.1+6 2 是() C5 D.二1+5 A.等边三角形 B.等腰三角形 2 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 -九年级·上册·数学：QD 114 13.已知一元二次方程x2-x-3=0的较小根为19.已知a,b,c为实数，且√a-1+|b+1|+ x1,则下面对x1的估计正确的是() (c+3)2=0,求方程a.x2+bx+c=0的根. A.-2<x1<-1 B.-3<x1<-2 C.2<x1<3 D.-1<x1<0 14.若关于x的一元二次方程2x2-3x一k=0 的一个根为1，则另一个根为() A.2 B.-1 c n 15.在△ABC中，∠C=90°，a,b分别是∠A, ∠B的对边，a2一ab一b2=0,则tanA的值 为() A.1+5 B.16 2 2 C.1±5 2 D.1 通素养》 16.运算能力》一元二次方程2x2十√6x-5=0 20.已知关于x的一元二次方程(m一1)x2 的解是 2mx+m+1=0. 17.定义符号min{a,b}的含义为：当a≥b (1)求出方程的根. 时，min{a,b}=b,当a<b时，min{a,b}=a, (2)当m为何整数时，此方程的两个根都为正 如：min{1,-2}=-2,min{-3,-2}=-3, 整数？ 则方程min{x,-x}=x2-1的解 是 18.(2023·淄博博山区二模)请分别用公式法和 配方法两种方法解方程：x2十2x一1=0. 115 优计学案·课时通一21.解：(1)①x1-x2-1②x1-1,x2-2③x1=1, .无论x,y为何值，代数式4x2一12x+9y2十 x2=3 30y十35的值恒为正. (2)①x1=1,x2=8 16.解：(1)x2一4x+2的三种配方分别为： ②x2-(1+n)x+n=0 x2-4x+2=(x-2)2-2, (3)x2-9x+8=0. x2-4x+2=(x+√2)2-(2√2+4)x, 移项，得x2-9x=一8. 配方，得x-9x+8-8+,即(-2》 x2-4x+2=(W2x-√2)2-x2. 49 4 (2)a2+ab+b2=(a+b)2-ab, x-8=±z1-1=8 a十+-+0f+8.答案不唯- 第2课时用配方法解二次项系数 (3)a2+b2+c2-ab-3b-2c+4 不为1的一元二次方程 11 (-)八+6-2+e-1 1.C2.D3.D4.(1)1(2)3(3)-33 =0. 5.解：(1)二次项系数化为1，得x2-2x-3=0, 1 移项，得x2-2x=3, 从而有a-2b=0,b-2=0,c-1=0. 配方，得x2-2x十1=3十1， 即a=1,b=2,c=1. 即(x-1)2=4, 所以a+b+c=4. .x-1=2或x-1=-2, 4.3用公式法解一元二次方程 解得x1=3,x2=一1. 1.A2.C3.D4.C5.D6.B7.C (2)移项，得3x2-2x=1, 次项采数化成，得号-官 8.二2+2 -2-√2 9.3或5 2 2 10.解：(1)二次项系数化为1，得x2+ 3x-1=0, 2 移项，得x2+8 x=1, 3 1 配方，得+号x+(传)°=1+（传）八， 解得x1=一3x2=1. 6.ABD7.D8.A9.D10.A (+》- 1.1成22.号或-号 7 5 13.解：(1)移项，得3x2-4x=2. 二次项系数化为1，得x2一生x=2 3= =方=-3 3 (2)x2+3x-1=0, 配方得-号》-号 这里a-1,b=3,c=-1, △=32-4×1×(-1)=9+4=13>0， 2 z=-3±3-3±√/13 2×1 2 x=2+10 _2-√10 3x2 -3+√13 3 x1= 2 x2=-3-V13 2 (2)二次项系数化为1，得x2-24x+12=0. 11.D12.C13.A14.C15.A 配方，得(x一12)2=132. .x-12=±2√33. 16.x,=6+46 4 ,x2=6-V46 4 .x1=2√33+12，x2=-233+12. 14.解：m=1,.m=±1. 17.5-1或-5 2或2 又，该方程是一元二次方程， 18.解：配方法：移项，得x2十2x=1, ..m-1≠0. .m≠1..m=-1. 配方，得x2十2x十1=1十1，即(x+1)2=2, .原方程为-2x2+4x十2=0. 开方，得x+1=士√2， ∴.x2-2x-1=0. 解得x1=√2-1，x2=-√2-1. .x2-2x+1=1+1,即(x-1)2=2. 公式法：.a=1,b=2,c=-1, x-1=士√2. .b2-4ac=22-4×1×(-1)=8>0, x1=1+√2，x2=1-√2. ∴x=-2±22 15.证明：，4x2-12x+9y2+30y+35 2 -1±2， =4x2-12x+9+9y2+30y+25+1 x1-√2-1，x2=-√2-1. =(2x-3)2+(3y+5)2+1. 19.解：，√a-1+|b+1|+(c+3)2=0, 又，(2x-3)2≥0，(3y+5)≥0， .a=1,b=-1,c=-3, .(2x-3)2+(3y+5)2+1≥1. .方程为x2-x一3=0. 34 ∴.b2-4ac=(-1)2-4×1×(-3)=13. .(x-4)(x+1)=0. x=1±13 则x十1=0或x一4=0， 2 解得x1=-1,x2=4. 1+√13 1-√/13 ②x2-7x+6=0, x1= 2 ,x2=1 x2+(-6-1)x+(-6)×(-1)=0, 2 20.解：(1)根据题意，得m≠1. ,.(x-6)(x-1)=0. b2-4ac=(-2m)2-4(m-1)(m+1)=4, 则x一6=0或x一1=0， 2m+2m+1 解得x1=6,x2=1. 则x1-2(m-1m-1' 16.解：(1)换元转化 (2)设x2-2x=t, 2m-2 x2-2(m-1) =1. 原方程可化为t2十t-6=0,解得t1=-3,l2=2, (2)由(1)，知x1=m+ 当t=-3时，x2-2x=-3,即x2-2x+3=0,此 n-i1+2 方程无实数解； n-1 .方程的两个根都为正整数，且m为整数， 当t=2时，x2-2x=2, 解得x1=1十√3，x2=1-√3. 2是正整数.m-1=1或m一1=2， .原方程的解为x1=1十√3，x2=1一√3. 解得m=2或m=3, 阶段检测六（4.1~4.4) 即当m为2或3时，此方程的两个根都为正整数. 4.4用因式分解法解一元二次方程 1.A2.A3.D4.C5.A6.D7.A8.A 1.C2.C3.A4.125.06.0或4 9.B10.D11.B12.B 7.解：(1)直接开平方，得x-1=士2， 13.x1=-1,x2=114.①②④15.-8416.6 所以x1=3,x2=一1. (2)原方程可化为2x2一3x十1=0， 17.218.-3±√ 因式分解，得(2x-1)(x-1)=0, 19.解：(1)x2-2x-2=0, 所以2x-1=0或x-1=0, .x2-2x=2, 1 ∴.x2-2x+1=2+1,即(x-1)2=3, 所以x1=2x?=1. x-1=土5， (3)原方程化为一般式为3x2+10x一8=0， x1=1+√3，x2=1-√3 因式分解，得(x+4)(3x-2)=0, (2)(x+4)2=5(x+4), 所以x+4=0或3x-2=0, .(x+4)2-5(x+4)=0, 2 所以x1=一4，x2=3· 则(x十4)(x一1)=0， .x+4=0或x-1=0, (4)原方程可化为(x-3)(x一3+2x)=0, 解得x1=-4,x2=1. 所以x-3=0或x-3十2x=0, (3).a=3,b=6,c=-5, 所以x1=3,x2=1. 8. ∴.△=62-4×3×(-5)=96>0， 9.解：(1)方程可化为x2=18, 则x=-6±46-3士26 3 开方，得x=士3√2， 6 解得x1=3√2，x2=一3√2. x1= 3x=3-2w6 -3+2√6 (2)原方程可化为3x2+2x-2=0, 3· 这里a=3,b=2,c=一2， (4)4x2+2x=1, .△=22-4×3X(-2)=4+24=28>0, .4x2+2x-1=0, x=-2±27--1±7 .a=4,b=2,c=-1, 6 3， .△=2-4×4×(-1)=20>0， 3-1-7 解得x1=一1十万 则x=-2士25=-1±5 8 4 3 (3)移项，得4x(2x十1)-3(2x十1)=0， 分解因式，得(2x十1)(4x一3)=0， 即151 4。 所以2x十1=0或4x一3=0， 20.解：(1).3x2-6x十12=3(x-1)2+9. 1 3 解得x1=一2x2=4 则当x=1时，3x2一6x十12的最小值是9. (2)有最大值. (4)配方，得x2+6x+9=19,即(x+3)2=19, 日-+日+}+ +1--1 .x+3=士√19， .x1=-3+√19，x2=-3-√/19. ，112 10.C11.C12.B13.D 14.x1=-1,x2=-2 15.解：(1)24 (2)①x2-3x-4=0, x2+(-4+1)x+(-4)×1=0, 小多项式-号+号有最大值，即当 35