4.1 第1课时 一元二次方程的概念-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(青岛版2012)

第4章一元二次方程 大单元建构 定义 一元二次 一元二次 〔△>0今方程有两个不相等的实根 方程的有 方程根的 △二0今方程有两个相等的实根 关概念 判别式 a.x2+bx+c=0(a≠0) 般形式 △<0今方程没有实根 必备 在化为一般形式时应用 条件 一元二 元二次方程根 (配方法 次方程 与系数的关系 x1+x=-名，xx2=(a≠0》 -b±Jb2-4a0 一元二次 几何图形问题 列一元二次方程 2a 公式法 方程的解 销售问题 (b2-4ac≥0） 法 解决实际问题 增长率问题 (因式分解法) 推导 △≥0时，代入求根 本章核心素养 学科核心素养 具体内容 能通过观察方程形式上的共同点得到一元二次方程的概念及其一般形式；类比其他方程的解 得到一元二次方程根的概念；联系平方根的知识得到直接开平方解一元二次方程的方法，进而循 抽象能力 序渐进地掌握配方法、公式法，归纳得到各种解法的一般步骤；根据两个实数的积等于0的条件 得到运用因式分解解一元二次方程的方法，并归纳出一般步骤；通过大量的实例，采用从特殊到 ·般的方法得到根的判别式的作用和根与系数的关系 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；会用一元二次方程根 运算能力 的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等；了解一元二次方程的根与系数的关系，能利 用根与系数的关系解决一些简单的问题；能根据具体问题的实际意义检验方程解的合理性 能正确地分析问题中的数量关系，根据等量关系列出一元二次方程，在分析解决问题的过程中更 应用意识 深入地体会一元二次方程的应用价值 通过经历完整地建立一元二次方程解决实际问题的过程，深人入地认识一元二次方程与现实生活 模型观念 的联系，加强建模思想，提高运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力 能通过对一元二次方程一般形式的配方推理得到求根公式；能通过求根公式直接计算两根的和 推理能力 与积，进而得出根与系数的关系 通过列一元二次方程解决现实情境中有意义的数学问题，获得数学活动经验，感悟数学的价值， 创新意识 形成批判质疑、克服困难、勇于担当的科学精神，增强创新意识 -九年级·上册数学QD 106 4.1一元二次方程 第1课时 一元二次方程的概念（答案P33) 通基2 知识点2一元二次方程的一般形式 6.一元二次方程3x2一x=1的二次项系数、一次 知识点1一元二次方程的概念 项系数、常数项分别是() 1.抽象能力》下列方程一定是一元二次方程的 A.3,1,1 B.3,-1,-1 是() C.3,-1,0 D.3,1,0 A.√2x2=0 7.(2023·济南历下区期末)关于x的一元二次 B.2x(3x-5)=6x2+4 方程x2=3x十1化为一般形式是 8.把下列关于x的方程化为一元二次方程的一 C.2xz+3=0 般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数 D.(m+3)x2+5x=6 及常数项 2.抽象能力》下列方程：①x2一2x一1=0； (1)(x+2)(x-2)=3x2+2x; ②ar+bz十c=0(a≠0)：@是+3x-5-0, ④-x2=0:⑤(x-1)2+y2=2;⑥(x-1)· (x一3)=x2.其中一元二次方程共有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (2)x(x-a)=a(2x2+x). 3.若方程(m+2)x2一3x一1=0是关于x的一 元二次方程，则m的取值范围是( ) A.m>-2 B.m<-2 C.m≠-2 D.m≠2 4.若关于x的方程(m-2)xm十8x十2m=0是 一元二次方程，则m的值是() A.2 B.-2 知识点3一元二次方程的根 C.士2 D.0 9.(2023·聊城阳谷三模)已知方程x2十x一 5.抽象能力已知关于x的方程(m一1)x2十 6=0的一个根是1，则的值为() x-2=0. A.6 B.5 (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ C.3 D.2 (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 易错三忽视二次项系数不为0致错 10.(2023·泰安新泰一模)关于x的一元二次方 程(m-1)x2一x+m2-1=0的一个解是0， 则m的值为() A.0 B.±1 C.1 D.-1 107 优计学案·课时通一 11.已知关于x的一元二次方程(m一3)x2+16.已知m是方程x2+x一5=0的一个根，求代 2x+m2-9=0有一个根是0，试确定m 数式(m+1)2+(m+2)(m-2)的值. 的值. 通能力》>9999999>9% 12.(2023·济宁任城区期中)若(m-2)xm2-2 通素养> >>>>>>>>>>>>>>>>>》>>>>> mx+1=0是一元二次方程，则m的值为( 17.推理能力若x2a+6-3xa-b+1=0是关于x A.2 B.-2 的一元二次方程，求a,b的值. C.√2 D.-2 下面是两位学生的解法： 13.(2023·泰安期中)若x2-2x-5=0的一个 2a+b=2, 甲：根据题意，得 解方程组， 解为a,则a(2a-3)十a(1-a)的值 a-b=1, 为() |a=1, 得 A.5 B.2√2+4 b=0. C.√6 D.-5 2a+b=2,2a+b=1, 乙：根据题意，得 ”或 解 a-b=1 14.已知关于x的一元二次方程mx2十5x十m2+ a-b=2, 5m=0有一个根为0，则m=() a=1,na=1, 方程组，得 或 b=0b=-1. A.0或-5 B.0 你认为上述两位同学的解法是否正确？如果 C.-5 D.0或5 不正确，请给出正确答案。 15.应用意识》已知x=1是一元二次方程a.x2+ 6x-20=0的二个解，且a≠b,求226 的值 -九年级·上册·数学：QD 108在Rt△FA0中，∠FA0=90°，AF=8,AO=8 ⑤2古2解得份二1 a-b=2, ∴0F=aP+A0=S, 2 4 a= 3 a= 综上所述，〈 或或 3 2 2 或 .FD-OF-OD- b= b=- 3 3 即FD的长为管M-号 2 a= 3 或/a=1, 第4章一元二次方程 4 x16=-1. 4.1一元二次方程 b=一3 第2课时估算一元二次方程的根 第1课时一元二次方程的概念 1.C2.D3.C 1.A2.C3.C4.B 4.(1)x1=2,x2=3(2)0与13与4 5.解：(1)(m-1)x2+x-2=0, 5.0<x<16.B7.3 .当此方程是一元一次方程时，m一1=0， 8.解：(1)-1334-0.010.363.33.4 解得m=1.即m=1时，此方程是一元一次方程 (2)33 (2).'(m-1)x2十x=2=0, ∴.当此方程是一元二次方程时，m-1≠0， 4.2用配方法解一元二次方程 解得m≠1.即m≠1时，此方程是一元二次方程. 第1课时用配方法解二次项系数为1 6.B7.x2-3x-1=0 的一元二次方程 8.解：(1)去括号，得x2-4=3.x十2x, 1.A2.A3.B4.D5.x1=1,x2=3 移项、合并同类项，得一2x2-2x一4=0，即x2十 x十2=0， 6.解：方程变形，得(1一)2=9， 4 所以二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为2. (2)去括号，移项、合并同类项，得 开方，得1一土多 (1-2a)x2-2ax=0, 所以二次项系数为1一2a,一次项系数为一2a,常数 每得=—名=号》 项为0. 7.D8.D9.110.2±√2√2-1-√2-1 9.B10.D 11.解：(1)移项，得x2十2x=8. 11.解：：(m-3)x2+2x十m2-9=0有一个根是0， 配方，得x2十2x十1=9. m2-9=0..m=士3. 即(x+1)2=9. ,方程是一元二次方程， 由平方根的意义，得x十1=3或x十1=一3. .m-3≠0，即m≠3..m=-3. 12.B13.A14.C 所以x1=2,x2=一4. (2)移项，得x2一4x=2. 15.解：把x=1代人方程，得a十b=20.又，a≠b, 所以g-=a十b)(a-a)-a+b20 配方，得x2一4x+4=2+4. 即(x-2)2=6. 2a-2b2(a-b)22 10. 16.解：.m是方程x2+x-5=0的一个根， 由平方根的意义，得x一2=士√6， ∴m2+m-5=0..m2+m=5. 所以x1=2十√6，x2=2-√6. .(m+1)2+(m+2)(m-2) 12.D13.C14.B15.D16.B =m2+2m+1+m2-4 17.118.x1=x2=5 =2m2+2m-3 19.解：(1)移项，得x2一4x=3, =2(m2+m)-3 配方，得x2一4x十4=3十4， =2X5-3 即(x-2)2=7, =7. 开方，得x-2=土√7， 17.解：上述两位同学的解法都不正确. x1=2十√7，x2=2-√7 :x2a+b一3x“b+1=0是关于x的一元二次方程， (2)移项，得x2-2x=3, 2 a=3' 配方，得x2一2x十1=4， ①2a+62解得 即(x-1)2=4, a-b=0. 2 6= x-1=士2， 3 所以x1=3,x2=一1. @2a+b2,解得=1， 20.解：△ABC为直角三角形. a-b=1, b=0. 证明：原式=a2-6a十b2-8b+c2-10c+50= 4 la= a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=(a- ③2a+b号2，解得 3 3)2+(b-4)2+(c-5)2=0. la-b=2, b2 .(a-3)2≥0，(b-4)2≥0，(c-5)2≥0， 3 ∴.a-3=0,b-4=0,c-5=0. 2 .a=3,b=4,c=5. ①亿a0解得a- .a2+b2=32+42=25,c2=52=25, la-b=2, 4 b=一3 .a2+b2=c2. ∴.△ABC为直角三角形. 33