3.6 弧长及扇形面积的计算-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(青岛版2012)

3.6弧长及扇形面积的计算（答案27） 通基仙 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 知识点2扇形面积公式 4.如图所示，点A,B,C在⊙O上，∠ABC=40°， 知识点1弧长公式 连接OA,OC.若⊙O的半径为3，则扇形AOC 1.如图①所示是一段弯管，弯管的部分外轮廓线 (阴影部分)的面积为( ) (如图②所示)是一条圆弧AB,圆弧的半径 OA=20cm,圆心角∠AOB=90°，则AB的长 为() A.3 B.π C D.2π 5.(2023·泰安东平三模)如图所示，点O是半圆 ② 的圆心，BE是半圆的直径，点A,D在半圆上， A.20πcm B.10πcm 且AD∥BO,∠ABO=60°，AB=8,过点D作 C.5πcm D.2πcm DC⊥BE于点C,则阴影部分的面积是() 2.如图所示，四边形ABCD内接于⊙O,⊙O的 半径为3，∠D=120°，则AC的长是( ) E A.64x B. 32π 3 3 cg-83 4π-323 82 D.3 Aπ π 6.运算能力》如图所示，在矩形ABCD中，AB= C.2π D.4π 2,BC=4,E为BC的中点，连接AE,DE.以 3.“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生 E为圆心、EB的长为半径画弧，分别与AE, 产中广泛使用的一种图形.如图所示，分别以 DE交于点M,N.则图中阴影部分的面积 等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长 为 (结果保留π) 为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱 洛三角形”.若等边三角形ABC的边长为3，则 该“莱洛三角形”的周长等于( ) 7.(2023·菏泽巨野一模)如图所示，AB是⊙O 的直径，点D是AB延长线上的一点，点C在 ⊙O上，且AC=CD,∠ACD=120°，半径为 3,图中阴影部分的面积为 A.π B.3π C.2π D.2π-√5 -九年级·上册·数学：QD 92 通能力 (1)求证：DA=DE. (2)若AB=6,CD=4√3，求图中阴影部分的 8.学科融合》如图所示，用一个半径为5cm的定 面积 滑轮带动重物上升，滑轮上一点A旋转了108°， 假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重 物上升了( A.元cm B.2πcmC.3πcm D.5πcm 9.(2023·青岛中考)如图所示，四边形ABCD 通素养》9899 是⊙O的内接四边形，∠B=58°，∠ACD 40°.若⊙0的半径为5，则DC的长为() 13.如图所示，风车的支杆OE垂直于桌面MN, 风车中心O到桌面的距离OE为25cm,风车 在风吹动下绕着中心O不停地转动，转动过 程中，叶片端点A,B,C,D在同一个圆上，已 知⊙0的半径为10cm. A.18 (1)风车在转动过程中，当∠AOE=45°时，求 9 点A到桌面的距离（结果保留根号）. C.x D.27 (2)在风车转动一周的过程中，求点A相对于 10.如图所示，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD 桌面的高度不超过20cm所经过的路径长 (结果保留π). 平分∠BOC交BC于点D,点E为半径OB 的中点.若OB=4,则阴影部分的面 积为 备用图① 备用图② 第10题图 第11题图 11.如图所示，将四边形ABCD绕顶点A顺时针 旋转45°至四边形AB'C'D'的位置，若AB= 16cm,则图中阴影部分的面积为 12.如图所示，AB是⊙O的直径，AM和BN是 ⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作 直线DC分别交AM,BN于点D,C,且 CB=CE. 93 优计学案·课时通一ApD跽0晤高， 13.解：(1)证明：.AB=AC, .∠ABC=∠ACB. ,∠ADB=∠ACB, 丽-景 ∴.∠ADB=∠ABC. DE∥BC,∴∠ABC=∠E. 5.证明：过点D作DF⊥AC于点F. ∴∠ADB=∠E. ∠B=90°，.DB⊥AB (2)由(1)知，∠ADB=∠E. AD是∠BAC的平分线， ∠BAD=∠DAE, .BD=DF,DF是⊙D的半径， .AC是⊙D的切线. △ABDO△ADE,AB=AD. ADAE· 6.证明：连接OM,过点O作ON⊥CD,垂足为点N. AB=6,BE=3,.AE=9, ⊙O与BC相切于点M,∴.OM⊥BC 在正方形ABCD中，CA平分∠BCD, AD-3, ON⊥CD,OM⊥BC,.OM=ON. (3)当D为BC的中点时，DE是⊙O的切线.理由 .点N在⊙O上..CD与⊙O相切， 如下： 7.解：(1)证明：如图所示，作OE⊥AB于点E,连接 OD,OA.AB=AC,点O是BC的中点， D为BC的中点， ∠CAO=∠BAO. AD⊥BC,AD过圆心. AC与半圆O相切于点D,∴OD⊥AC. ,DE∥BC,AD⊥ED OE⊥AB,OD=OE..OE是半圆O的半径. 点D在⊙O上， AB过半圆O的半径的外端点， ∴.DE为⊙O的线. ∴.AB是半圆O所在圆的切线. 3.6弧长及扇形面积的计算 (2)AB=AC,O是BC的中点， 1.B2.C3.B4.D5.B6.4-x ∴.AO⊥BC. 9√3-3π 在Rt△AOB中，OB=AB· 2 解析：连接OC,如图所示.AC=CD, AC=12x号-& ∠AcD=120,∠D=∠CAD=号(180 根据勾股定理，得OA=√AB2-OB=4√5. ∠ACD)=30°.，OA=OC,.∠A=∠OCA=30°， 由三角形的面积公式，得 ∴.∠COD=∠A+∠OCA=60°，.∠OCD=90°. S8m=2AB·0E=20B·0A, .1 OC=3,.DO=2OC=6,由勾股定理，得DC= √D02-OC2=√62-32=3√3，∴.阴影部分的面积 ..OE= OB·OA_8V 3,即半圆0所在圆的半径 awa败=z×35X3-60xX3- 1 AB S=SADCO- 360 为8⑤ 9√33 3· 22元 阶段检测四(3.4~3.5) 1.D2.A3.B4.C5.D D 6.219°7.16π8.359.610.7 11.32+1 12.解：(1)证明：.BC为⊙O的直径，∴.∠BDC=90°. ,CE为⊙O的切线，.CE⊥BC,∴∠BCE=90° 8.C9.C10.3-25+211.32xcm :∠DCE+∠BCD=90°，∠DBC+∠BCD=90°， 12.解：(1)证明：如图所示，连接OE,BE ∴.∠DCE=∠DBC. OB=OE,∴.∠OBE=∠OEB, (2),∠ABC+∠BCE=90°+90°=180°， BC=EC,∠CBE=∠CEB, .AB∥CE,∠A=∠DCE ∴.∠OBC=∠OEC. ,∠DCE=∠DBC,∠A=∠DBC .BC为⊙O的切线，.∠OBC=90°. BC BC ∴.∠OEC=90°. 在Rt△ABC中，tanA= AB-2· ,OE为⊙O的半径，∴.CD为⊙O的切线. 在Rt△BCE中，tan∠EBC-CE-3 ,AD切⊙O于点A,.DA=DE BC BC' (2)如图所示，连接OC,过点D作DF⊥BC于点 即BC、3 2=BCBC2=2X3=6, F,则四边形ABFD是矩形， ∴.AD=BF,DF=AB=6. ∴C-6,⊙0的半径为。 由(1)，知DA=DE,BC=EC, ..DC=BC+AD=43. 27 ,FC=√DC2-DFz=2N3, ∴.∠EAO=∠DAC+∠CAB=60°. ∴.BC-BF=BC-AD=2√3， 又.OA=OE, ∴.△AEO为等边三角形， ,BC+AD=4√5，BC-AD=2√5， ∴.∠AOE=60°. ∴.BC=3√3，AD=√3. .S阴影=S扇形AOE一S△AE0 在Rt△OBC中，tan∠BOC-BC BO =S扇形AOE一 2OA·OE·sin609 .∠BOC=60° 在△OEC与△OBC中， 60π×221 360 2x2x OE=OB, 2 OC=OC, -5. 3 CE=CB, π ∴.△OEC≌△OBC(SSS). “图中阴影部分的面积为3 - ∴.∠BOE=2∠BOC=120°. S张=Saw-S5e=2X2×BC.0B- E 120×π×OB2 360 =95-3π. 13.解：(1)设点A运动到点A1的位置时∠AOE= 45°.作A1F⊥MN于点F,A1G⊥OE于点G, ..A F=GE. 4.A 在Rt△A1OG中，∠A1OG=45°，OA1=10cm, 5.A解析：连接OC,作EF⊥AB于点F,如图所示 :0G=0A1·c0s45°=10x5=52(cm. ,点C是直径AB为4的半圆的中点，∴.∠COB= 90°，∠ABC=45°，.△BOC是等腰直角三角形 .OE=25 cm,.'.GE=OE-OG=(25-52)cm. :分别以点B和C为圆心，以大于2BC的长为半 .A1F=(25-5√2)cm. 径作孤，且OB=OC,.OD垂直平分BC,∴.CE= (2)设点A在旋转过程中分别运动到点A2,A3的 位置时，到桌面的距离等于20cm. BE.∠C0B=90r,EPLAB,EEc,8s 作A2H⊥MN于点H,则A2H=20cm.作 A2K⊥OE于点K,连接OA2,∴.KE=A2H. -1EF是△B0C的中位线EF=0C= BE .OE=25cm,.OK=OE-KE=25-20= 5(cm).在Rt△A2OK中，OA2=10cm,OK= 12AB EF-X4X1-2.0- 5 cm, /A,0K-8然-言/A.0K-sw,由 30B·0C-号×2X2=2,5am=So0m, 圆的对称性可知∠A,OA2=2∠A2OK=120°， .S册影=S半因AB一S△ABE一S号形BC=S*国AB 1 1、1 3π(cm). 心点A所经过的路径长为120X10-20 S扇形BOc= 2S周AB=2X2rX2=元 D 专题四求扇形或不规则图形的面积 1B2 3.解：(1)证明：如图所示，连接OC. 6.π AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90 7.解：连接OA,OB. .OA=OC,∴.∠CAB=∠ACO. AB/∥CD,.S△ABE=S△AOB· ∠ACQ=∠ABC, ∴.S阴影=S扇形AOB, ∴.∠CAB+∠ABC=∠ACO+∠ACQ=∠OCQ= 90°，即OCPQ, AB=2CD=AO=OB=2 cm, ∴.直线PQ是⊙O的切线 ∴.△OAB是等边三角形..∠AOB=60°. (2)连接OE,如图所示. ·S扇形A0B 60π·22_ n∠DAC=号ADLPQ,. 360 3r(cm2). .∠DAC=30°，∠ACD=60°， 即阴形部分的面积为子6m。 ∴.∠ABC=∠ACD=60°， 8.解：将小半圆向右平移，使两个半圆的圆心重合，则 ∴.∠CAB=90°-60°=30°， 阴影部分的面积等于半圆环面积. 28