3.6 弧长及扇形面积的计算-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(青岛版)

AEpD能8盼E-高 13.解：(1)证明：AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB. 3 :∠ADB=∠ACB, g ∴.∠ADB=∠ABC. DE∥BC,∴∠ABC=∠E. 5.证明：过点D作DF⊥AC于点F ∴∠ADB=∠E. ,∠B=90°，.DB⊥AB. (2)由(1)知，∠ADB=∠E AD是∠BAC的平分线， ∠BAD=∠DAE, ∴.BD=DF,.DF是⊙D的半径， ∴.AC是⊙D的切线. △ABD△ADE.:AB=AD AD AE' 6.证明：连接OM,过点O作ON⊥CD,垂足为点N. AB=6,BE=3,AE=9, ⊙O与BC相切于点M,∴.OM⊥BC 在正方形ABCD中，CA平分∠BCD, 品9AD=36 ON⊥CD,OM⊥BC,.OM=ON. (3)当D为BC的中点时，DE是⊙O的切线.理由 .点N在⊙O上.CD与⊙O相切. 如下： 7.解：(1)证明：如图所示，作OE⊥AB于点E,连接 OD,OA.:AB=AC,点O是BC的中点， D为BC的中点， .∠CAO=∠BAO. AD⊥BC,AD过圆心. ,DE∥BC,.AD⊥ED. AC与半圆O相切于点D,.OD⊥AC 点D在⊙O上， :OE⊥AB,∴.OD=OE.∴.OE是半圆O的半径. AB过半圆O的半径的外端点， ∴.DE为⊙O的切线 AB是半圆O所在圆的切线. 3.6弧长及扇形面积的计算 (2),AB=AC,O是BC的中点， 1.B2.C3.B4.D5.B6.4-x .AO⊥BC. 93-3π 在Rt△AOB中，OB=AB· 2 解析：连接OC,如图所示.AC=CD, s∠AC=12x号-8 ∠ACD=120,∠D=∠CAD=(180 根据勾股定理，得OA=√AB一OB=45. ∠ACD)=30°.：OA=OC,∴.∠A=∠OCA=30°， 由三角形的面积公式，得 .∠COD=∠A+∠OCA=60°，∴.∠OCD=90°. SAm=2AB·0E=20B·0A, OC=3,∴.D0=2OC=6,由勾股定理，得DC= √DO一OC=√6一3=35，.阴影部分的面积 ..OE= OB·OA85 AB ，即半圆0所在圆的半径 5=5am,-54sc=号×35X3-60X 1 360 为 933 2 2. 阶段检测四（3.4~3.5) 1.D2.A3.B4.C5.D D 6.219°7.16元8.339.610.7 11.3√2+1 12.解：(1)证明：，BC为⊙O的直径，∴∠BDC=90. ,CE为⊙O的切线，.CE⊥BC,.∠BCE=90°. 8.C9.C10.3x-23+211,32xcm :∠DCE+∠BCD=90°，∠DBC+∠BCD=90°， 12.解：(1)证明：如图所示，连接OE,BE. ∴.∠DCE=∠DBC. ,OB=OE,.∠OBE=∠OEB. (2),∠ABC+∠BCE=90°+90°=180°， ,BC=EC,∴.∠CBE=∠CEB .ABCE,∴.∠A=∠DCE. ∴.∠OBC=∠OEC. :∠DCE=∠DBC,∠A=∠DBC ,BC为⊙O的切线，.∠OBC=90 BC BC ∴.∠OEC=90°. 在Rt△ABC中，tanA= AB2· ,OE为⊙O的半径，∴.CD为⊙O的切线 在R△BCE中，an∠EBC-货-2， ,AD切⊙O于点A,.DA=DE. (2)如图所示，连接OC,过点D作DF⊥BC于点 即BC3 2-BCBC:=2X3-6. F,则四边形ABFD是矩形， ∴AD=BF,DF=AB=6. C=6⊙0的半径为停 由(1)，知DA=DE,BC=EC, :.DC=BC+AD=43. 27 ,FC=√DC-DF=23, ∴.∠EAO=∠DAC+∠CAB=60. ∴.BC-BF=BC-AD=2W3 又OA=OE, .△AEO为等边三角形， .BC+AD=4W3,BC-AD=2√5， ∴.∠AOE=60 ∴BC=33,AD=3」 ∴.S留影=S前形AE一S△ABm 在Ri△OBC中，an∠BOC-BC =S第形E 20A·0E·sin60 .∠BOC=60° 60π×21 在△OEC与△OBC中， 360 ×2x2x9 2 OE=OB. OC=0C. 3 CE=CB, ∴.△OEC≌△OBC(SSS). 图中阴影部分的面积为-。 ∴.∠BOE=2∠BOC=120 ∴.S阴墨=S四边影，一S前带复E=2× 2XBC·OB 120×x×0B=93-3元 360 13.解：(1)设点A运动到点A,的位置时∠AOE= 45°.作A,F⊥MN于点F,A,G⊥OE于点G, .A F=GE. 4.A 在Rt△AOG中，∠A,OG=45°，OA,=10cm, 5.A解析：连接OC,作EF⊥AB于点F,如图所示 0G=0A,·cos45=10x2 ,点C是直径AB为4的半圆的中点，.∠COB =5√2(cm). 90°，∠ABC=45°，·△BOC是等腰直角三角形. OE=25 em,..GE=OE-OG=(25-52)em. :分别以点B和C为国心，以大于2BC的长为半 ..A,F=(25-5√2)cm. 径作孤，且OB=OC,.OD垂直平分BC,.CE= (2)设点A在旋转过程中分别运动到点A:,A:的 位置时，到桌面的距离等于20cm. BE.∠COB=90,EFLAB,dEF/OC∴BF 作A:H⊥MN于点H,则A,H=20em.作 B AK⊥OE于点K,连接OA2,.KE=AH. CE-1EF是△BOC的中位线EF=20C- ,OE=25cm,.OK=OE-KE=25-20= 5(cm).在Rt△A2OK中，OA,=10cm,OK 1Sam-2AB·EF=号X4X1=2.Sm 5 cm. cos∠A:0K8=2∴∠A,0K=60.由 20B0C=号X2X2=2,∴SAAm=Sam. 圆的对称性可知∠AOA:=2∠A:OK=120°， SR移=S*A一S△A一S4=S本隔一 1.1 =3x(cm). “点A所经过的路径长为20X10-9 +仙=2X2元X2=元 2 专题四 求扇形或不规则图形的面积 1.B2.受 3.解：(1)证明：如图所示.连接OC 6.π AB是⊙O的直径，.∠ACB=90°. 7.解：连接OA,OB. OA=OC,.∠CAB=∠ACO. ABCD,.S△AE=S△wm :∠ACQ=∠ABC, ,S明影=S用形出， ∴.∠CAB+∠ABC=∠ACO+∠ACQ=∠OCQ= 90°，即OC⊥PQ, AB= 2CD=AO=OB=2 em, ∴.直线PQ是⊙O的切线， ∴.△OAB是等边三角形..∠AOB=60°. (2)连接OE,如图所示. 60π·2 .S第带w用= :sn∠DAC=7 ADLPQ, 360 3r(cm'). .∠DAC=30°，∠ACD=60°， 即阴影部分的面积为号m。 .∠ABC=∠ACD=60°， 8.解：将小半圆向右平移，使两个半圆的圆心重合，则 ∴.∠CAB=90°-60°=30°， 阴影部分的面积等于半圆环面积. 283.6弧长及扇形面积的计算（答案P27) 通基础 知识点2扇形面积公式 4.如图所示，点A,B,C在⊙O上，∠ABC=40°， 知识点1，弧长公式 连接OA,OC.若⊙O的半径为3，则扇形AOC 1.如图①所示是一段弯管，弯管的部分外轮廓线 (阴影部分)的面积为( (如图②所示)是一条圆弧AB,圆弧的半径 OA=20cm,圆心角∠AOB=90°，则AB的长 为() 2 A. B.π D.2π 5.(2023·泰安东平三模)如图所示，点O是半圆 ② 的圆心，BE是半圆的直径，点A,D在半圆上， A.20x cm B.10x cm 且AD∥BO,∠ABO=60°，AB=8,过点D作 C.5πcm D.2πcm DC⊥BE于点C,则阴影部分的面积是() 2.如图所示，四边形ABCD内接于⊙O,⊙O的 半径为3，∠D=120°，则AC的长是( A” B号 c.g-85 64π-323 D. A.π 3 6.运算能力》如图所示，在矩形ABCD中，AB C.2x D.4π 2,BC=4,E为BC的中点，连接AE,DE.以 3.“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生 E为圆心、EB的长为半径画弧，分别与AE, 产中广泛使用的一种图形.如图所示，分别以 DE交于点M,N.则图中阴影部分的面积 等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长 为 (结果保留π) 为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱 洛三角形”.若等边三角形ABC的边长为3，则 该“莱洛三角形”的周长等于( 7.(2023·菏泽巨野一模)如图所示，AB是⊙O 的直径，点D是AB延长线上的一点，点C在 ⊙O上，且AC=CD,∠ACD=120°，半径为 3,图中阴影部分的面积为 A. B.3x C.2π D.2π-3 一九详级~上带数学00 92 通能力 (1)求证：DA=DE. (2)若AB=6,CD=43,求图中阴影部分的 8.学科融合如图所示，用一个半径为5cm的定 面积. 滑轮带动重物上升，滑轮上一点A旋转了108°， 假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重 物上升了( A.元cm B.2x cm C.3x cm D.5πcm 9.(2023·青岛中考)如图所示，四边形ABCD 是⊙O的内接四边形，∠B=58°，∠ACD 40°.若⊙O的半径为5，则DC的长为() 13.如图所示，风车的支杆OE垂直于桌面MN, 风车中心O到桌面的距离OE为25cm,风车 在风吹动下绕着中心O不停地转动，转动过 程中，叶片端点A,B,C,D在同一个圆上，已 知⊙0的半径为10cm. 3 B.lo (1)风车在转动过程中，当∠AOE=45°时，求 9 点A到桌面的距离（结果保留根号）. C.π D.2 (2)在风车转动一周的过程中，求点A相对于 10.如图所示，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD 桌面的高度不超过20cm所经过的路径长 (结果保留π). 平分∠BOC交BC于点D,点E为半径OB 的中点，若OB=4,则阴影部分的面 积为 备用图① 备用图② 第10题图 第11题图 11.如图所示，将四边形ABCD绕顶点A顺时针 旋转45°至四边形AB'C'D'的位置，若AB 16cm,则图中阴影部分的面积为 12.如图所示，AB是⊙O的直径，AM和BN是 ⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作 直线DC分别交AM,BN于点D,C,且 CB=CE. 优十学潘课阴造一