3.5 三角形的内切圆-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(青岛版2012)

3.5三角形的内切圆（答案P25) 通基础 5.(2023·泰安肥城月考)等边三角形的外接圆 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>5> 与内切圆的半径之比是 知识点1三角形的内切圆的相关概念及作图 6.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6, 1.关于三角形的内心：①到三条边的距离相等； BC=8.则△ABC的内切圆半径r= ②到三个顶点的距离相等；③是三条边垂直平 分线的交点；④是三条内角平分线的交点.其 中正确的说法是( A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 7.如图所示，点O是△ABC的内心，AO的延长 2.如图所示，O是△ABC的内心，过点O作EF∥ 线交△ABC的外接圆于点D,连接CD. AB,与AC,BC分别交于点E,F,则( 求证：OD=CD A.EF>AE+BF B.EF<AE+BF C.EF=AE+BF D.EF≤AE+BF 3.新情境》某公园有一块由三条小路围成的三 角形绿地（如图所示）.现准备在其中建一个尽 可能大的圆亭供人们休息，试作出表示这个圆 亭范围的圆 知识点2三角形的内切圆的相关计算 4.如图所示，△ABC的内切圆⊙I与BC,CA, 易精三混淆三角形内心与外心的概念 AB分别相切于点D,E,F,若⊙I的半径为r, 8.(2023·菏泽单县三模)如图所示，点I是 ∠A=a,则(BF+CE一BC)的值和∠FDE的 △ABC的内心，若∠AIB=125°，则∠C等于 大小分别为 ) ) DC A.2r,90°-a B.0,90°-x A.65 B.70° C.2r,90°- 2 D.0,90°- 2 C.75° D.80° 一九年级：上册·数学，Q0 86 通能力》>99992 14.如图所示，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA, AB分别相切于点D,E,F. 9.如图所示，点I为△ABC的内切圆的圆心，连 (1)若∠ABC=50°，∠ACB=75°，求∠BOC 接BI并延长交△ABC的外接圆于点D,连接 的度数 AD,AI,若BD=7,AD=5,则BI的长 (2)若AB=13,BC=11,AC=10,求AF 为() 的长 A.1 B.2 C.2.5 D.3.5 D 第9题图 第10题图 10.如图所示，⊙O的直径AB为10cm,弦BC 为8cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D, △ADB的内切圆半径是( 月 B.5(2-1) 通素第99992”9 15.如图所示，Rt△ABC的两直角边AC长为4， C.5(2+1) n BC长为3，它的内切圆为⊙O,⊙O与边AB, 11.如图所示，在矩形ABCD中， BC,AC分别相切于点D,E,F,延长CO交 AB=4,BC=3,连接AC, 斜边AB于点G: ⊙P和⊙Q分别是△ABC和 (1)求⊙0的半径长. △ADC的内切圆，则PQ的长是( (2)求线段DG的长. B.5 D.22 12.(2023·湖北中考)如图所示，在△ABC中， ∠ACB=70°，△ABC的内切圆⊙O与AB, BC分别相切于点D,E,连接DE,AO的延 长线交DE于点F,则∠AFD= 第12题图 第13题图 13.如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，切点分 别为D,E,F,∠A=80°，点P为⊙O上任意 一点（不与E,F重合），则 ∠EPF= 87 优学案·课时通一(答案不唯一) ∴△DCO是等腰三角形， (2)连接OC,如图所示. ..OD=CD. PC,PD分别切⊙O于点C,D, ∴.PC=PD,∠CPO=∠DPA, .CD⊥AB CD-12,DE-CE-zCD-6. tan∠CPO=),∴在Rt△EPC中，PE=12 D 8.B9.B 由勾股定理，得CP=6√5. 10.B解析：.AB是⊙O的直径，∴.∠ACB=90°， ,PC切⊙O于点C, ∠ADB-90°.，AB=10cm,BC=8cm,∴.AC= .∠OCP=90°. √AB-BC=6(cm).,∠ACB的平分线交⊙O 在Rt△OPC中，：tan∠CPO= 于点D,.∠ACD=∠BCD,∴.AD=BD. 2 ∠ADB=90°，∴.AD2+BD2=AB2,.AD2十 AD2=102,∴.AD=5√2cm,.AD=BD= 5√2cm,.△ABD是等腰直角三角形.设△ABD ∴.OC=3√5，∴.P0=/OC2+CP=15. 内切圆的圆心为I,内切圆分别与AD,BD,AB切 于点E,G,F,半径为rcm,得正方形DGIE, .'.AE=AF=BG=BF=AD-DE=(52-r)cm, ∴.5√2-r十5√2-r=10,解得r=5(√2-1)cm, .△ADB的内切圆半径是5（√2-1）cm. 12.解：(1)证明：，AB∥CD, ∴.∠ABC+∠DCB=180° .AB,BC,CD分别与⊙O相切于点E,F,G, .BO平分∠ABC,CO平分∠DCB. ·∠OBC= 2∠ABC,∠OCB= 2∠DCB, ∠OC+∠0cB=专(ZAc+∠DCB)= 1 D 2×11.B 180°=90°.∴.∠BOC=90°..BO⊥C0. 12.35°解析：如图所示，连接OD,OE,OB,OB交 (2)连接OF,则OF⊥BC. ED于点G.∠ACB=70°，.∠CAB+ .'∠OBF=∠OBC,∠OFB=∠BOC=90, ∠CBA=110°. BF BO :.Rt△BOF∽Rt△BCO,BO-BC ,点O为△ABC的内切圆的圆心，.∠OAB十 ∠OBA=55°，.∠AOB=125°..OE=OD, ,在Rt△BOC中，BO=6cm,CO=8cm, BD=BE,.OB垂直平分DE,∴∠OGE=90°， .BC=√62+82=10(cm). ∴.∠AFD=∠AOB-∠OGF=125°-90°=35°. g-合BF-a6m AB,BC,CD分别与⊙O相切， BE=BF=3.6 cm,CG=CF. CF=BC-BF=10-3.6=6.4(cm), ∴.CG=CF=6.4cm. 13.50°或130° 3.5三角形的内切圆 14.解：(1)：△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分 1.B2.C 别相切于点D,E,F, 3解：如图所示，⊙O即为所作 M ∠DB0-号∠ABC,∠DC0-号∠ACB, ∴∠DB0+∠DC0-号∠ABC+2∠ACB- 2(∠ABC+∠ACB)=62.5, ∴.在△BOC中，∠BOC=180°-（∠DBO+ 4.D5.2:16.2 ∠DC0)=180°-62.5°=117.5° 7.证明：如图所示，连接OC. (2),⊙O是△ABC的内切圆， ,点O是△ABC的内心， ∴.AE=AF,BD=BF,CD=CE ..∠CAD=∠BAD,∠OCA=∠OCB. 设AE=x,BD=y,CD=x. ,∠BAD=∠BCD, 又.AB=13,BC=11,AC=10, .∠COD=∠CAD+∠OCA=∠BAD+∠OCB, (x+y=13, x=6, ∠DCO=∠BCD+∠OCB, .x+z=10,解得y=7,.AF=6. .∠COD=∠DCO, y+之=11， z=4. 25 15.解：(1)如图所示，连接OA,OD,OE,OF.设⊙O ,OC是⊙O的半径，∴.CD是⊙O的切线， 的半径为r. 由切线长定理，得AD=AF,BD=BE,CE=CF. 又，∠ACB=90°， ∴.四边形OECF为正方形，∴.CE=CF=r. 在Rt△ABC中，AC=4,BC=3, 由勾股定理，得AB=5. (2).E是BC的中点，且OA=OB, .AD+BD=AF+BE=AB, .OE是△ABC的中位线，AC=2OE ∴.(4-r)+(3-r)=5,.r=1, .'OE=6 cm,..AC=12 cm. ∴.⊙0的半径长为1. ,AB是⊙O的直径，.∠ACB=90°=∠ADC. (2)如图所示，延长AC到点H,使CH=BC=3, 又∠DAC=∠CAB,.△DAC∽△CAB, 连接BH. ∠ACB=90°，.∠CHB=45° 1220AD=36 把福即0品 5 cm. 又，CG是∠ACB的平分线， 3.解：(1)证明：连接DO,如图所示. .∠ACG=45°.∴.∠ACG=∠CHB.∴.CG∥HB. AC为⊙O的直径，∠ADC=90°， ∴.△ACG∽△AHB. AG-ACAC .∠BDC=180°-90°=90°. 4 'E为BC的中点，'.DE=CE=BE, AB AH AC+BC7 ∴.∠EDC=∠ECD. 解得AG=号X5-9 又OD=OC,∴∠ODC=∠OCD, 而∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°， 又，AD=AF=AC-FC=3, .∠EDC+∠ODC=90°， 六DG=AD-AG=3-20=1 即∠EDO=90°，∴.DE⊥OD, 7=7 ∴.DE与⊙O相切. H (2)由(1)得，∠CDB=90°. 专题三证明直线与圆相切的方法 CE-EB,DE-BC. 1.解：(1)证明：连接OA,如图所示，则OF=OA, ∴.∠OAF=∠OFA. AG=GD,.OF⊥AD,∠AGF=90. :DE 2BC=5. ,四边形ABCD是菱形，∴.AB=AD,AC⊥BD, ∴BD=√BC2-CD=√52-32=4. ∴.∠BAE=∠DAE, ,∠BCA=∠BDC=90°，∠B=∠B, ..∠OAB=∠OAF+∠BAE=∠OFA+∠DAE=90°. ∴.△BCA∽△BDC, ,OA是⊙O的半径，且AB⊥OA, ACBC.AC_5 CD-BD34C0 .AB是⊙O的切线 4 (2)0451 )·AD=8AD=2AG,.2AG=8, ⊙0直径的长为5 赠- 4.解：(1)证明：连接OC,如图所示. 点C是AE的中点，∠ABC=∠DBC 设AG=4m,则OA=5m,∴.OF=OA=5m. .OC=OB,∴.∠ABC=∠OCB, ,∠AGO=90°， ∴∠DBC=∠OCB,.OC∥DB. ∴.0G=√OA2-AG2=√(5m)2-(4m)2=3m, PD⊥BD,.PD⊥CO. .'.FG=OF-OG=5m-3m=2m. 又.OC为⊙O的半径，.PC为⊙O的切线 .∠AED=∠AGF=90°， ∴.∠ADB=∠AFG=90°-∠DAE, AG_4m=2, tan∠ADB=tan∠AFG=FG-2m .tan∠ADB的值为2. (2)连接AE,如图所示，设OB=OC=r. PC=2√2BO=2√2r, .OP=√x2+(2√2r)2=3r. :PB=103+r=10,即r=,则P0=5 2 2.解：(1)证明：连接OC,如图所示。 OCDB,.△PCOp△PDB, .AC平分∠BAD,∴.∠DAC=∠CAO. 515 .OA=OC,∴.∠CAO=∠OCA, ∴.∠DAC=∠OCA,.ADOC. 00品高D=9 2=2 3 ,ADDC,∴.CO⊥DC. AB是⊙O的直径，.AE⊥BD, 26