3.4 第4课时 切线长定理-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(青岛版2012)

∴.OA⊥AB,.∠OAB=90° .△OBP≌△OCD(SAS), .BDOB,..∠DBC=90° ..∠OBP=∠OCD=90° .OA=OC,.∴.∠OAC=∠OCA ,OB是⊙O的半径，且PB⊥OB, ,∠OCA=∠BCD,∴.∠OAC=∠BCD: ∴PB是⊙O的切线. ∠OAC+∠BAD=90°，∠D+∠BCD=90°， 第4课时 切线长定理 ,.∠BAD=∠D,.AB=BD 1.B2.A3.C4.50 (2)连接OF,过点D作DM⊥AB,交AB的延长 5.解：设⊙O切AB于点M,切BC于点N,连接OM, 线于点M,如图所示. ON,如图所示， AG 3 在Rt△ABG中，，tan∠ABG= 则∠OMB=∠ONB=90° AB=7 ,四边形ABCD是正方形，.∠B=90° AG-5AB-5 ON=OM,∴.四边形MBNO是正方形 7 ,圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆， ,∠E=45°，∴∠AOF=2∠E=90°， ∴.∠AOF=∠OAB,∴.OF∥AB, .BM-BN-OM-ON-7AB-X6-3. ∴.∠OFG=∠ABG, 由切线长定理，得EM=EP,PF=FN, tan∠OFG=tan∠ABG= ∴△BEF的周长为BF+EF十BE 7 =BF+PF+PE十BE 15 设⊙0的半径为r,则OF=r,0G=r一分： =BF+FN十EM+BE -BN+BM 在RIAOFG中，：tan∠OrG-OC=3, =3+3=6. OF 7' D 15 在Rt△OAB中，：AB=5,OA=15 6.解：如图所示，连接AD,AB 41 ,MA是⊙O的切线， ,∠BDM+∠DBM=90°， .MA⊥AC. ∠ABO+∠DBM=90°， 又，BD⊥AC, .∠ABO=∠BDM,∴.Rt△BDM∽Rt△OBA, ∴.BDMA. BM DM BD OA-AB OB' .BD=AB=5, .'BD-MA, M BM_DM 5 ∴.四边形MADB是平行四边形. MA,MB分别切⊙O于点A,B, 15 5 25,解得BM=3,DM=4. ∴.MA=MB, 4 .平行四边形MADB是菱形， 在Rt△ADM中，，AM=AB+BM=5+3=8, ..AD=BD. DM=4, 'AC为⊙O的直径，BD⊥AC, ∴.AD=√82+4=45. ..AB=AD,..AB=AD, 综上所述，⊙0的半径为5， ,AD的长为45. ∴.△ABD是等边三角形，∴.∠D=60°. .在菱形MADB中，∠AMB=∠D=60° 7.D 8.B解析：如图所示，连接DB,DE.设AB=m. 2部写CD-3AB-8m:AD是0D的* 径，AD⊥AB,.AB是⊙D的切线.⊙D与BC 15.解：(1)a.如图所示，作法：①以点P为圆心、PA的 相切于点E,.BC⊥DE,EB=AB=m,∠CBD= 长为半径作弧，交⊙O于另一点B,②作直线PB, ∠ABD.:AB∥CD,.∠ABD=∠CDB, 直线PB即为所求作的切线 .∠CBD=∠CDB,∴.CB=CD=3m, ∴.CE=CB-EB=3m-m=2m.:∠CED=90°， ∴.DE=√CD2-CE2=√(3m)2-(2m)2=√5m, .'sin C= DE 5m5 CD 3m 3 b.SSS B (2)直径③ (3)证明：由作图，知CD⊥OP于点C,OP=OD, OB=OC, .∠OCD=90° 在△OBP和△OCD中， OP=OD, 9.D10.63 ∠POB=∠DOC, 11.解：(1)不同类型的正确结论有： OB=OC, ①PC=PD,②∠CPO=∠DPA,③CD⊥BA等. 24 (答案不唯一) ∴△DCO是等腰三角形， (2)连接OC,如图所示. ..OD=CD. PC,PD分别切⊙O于点C,D, ∴.PC=PD,∠CPO=∠DPA, .CD⊥AB CD-12,DE-CE-zCD-6. tan∠CPO=),∴在Rt△EPC中，PE=12 D 8.B9.B 由勾股定理，得CP=6√5. 10.B解析：.AB是⊙O的直径，∴.∠ACB=90°， ,PC切⊙O于点C, ∠ADB-90°.，AB=10cm,BC=8cm,∴.AC= .∠OCP=90°. √AB-BC=6(cm).,∠ACB的平分线交⊙O 在Rt△OPC中，：tan∠CPO= 于点D,.∠ACD=∠BCD,∴.AD=BD. 2 ∠ADB=90°，∴.AD2+BD2=AB2,.AD2十 AD2=102,∴.AD=5√2cm,.AD=BD= 5√2cm,.△ABD是等腰直角三角形.设△ABD ∴.OC=3√5，∴.P0=/OC2+CP=15. 内切圆的圆心为I,内切圆分别与AD,BD,AB切 于点E,G,F,半径为rcm,得正方形DGIE, .'.AE=AF=BG=BF=AD-DE=(52-r)cm, ∴.5√2-r十5√2-r=10,解得r=5(√2-1)cm, .△ADB的内切圆半径是5（√2-1）cm. 12.解：(1)证明：，AB∥CD, ∴.∠ABC+∠DCB=180° .AB,BC,CD分别与⊙O相切于点E,F,G, .BO平分∠ABC,CO平分∠DCB. ·∠OBC= 2∠ABC,∠OCB= 2∠DCB, ∠OC+∠0cB=专(ZAc+∠DCB)= 1 D 2×11.B 180°=90°.∴.∠BOC=90°..BO⊥C0. 12.35°解析：如图所示，连接OD,OE,OB,OB交 (2)连接OF,则OF⊥BC. ED于点G.∠ACB=70°，.∠CAB+ .'∠OBF=∠OBC,∠OFB=∠BOC=90, ∠CBA=110°. BF BO :.Rt△BOF∽Rt△BCO,BO-BC ,点O为△ABC的内切圆的圆心，.∠OAB十 ∠OBA=55°，.∠AOB=125°..OE=OD, ,在Rt△BOC中，BO=6cm,CO=8cm, BD=BE,.OB垂直平分DE,∴∠OGE=90°， .BC=√62+82=10(cm). ∴.∠AFD=∠AOB-∠OGF=125°-90°=35°. g-合BF-a6m AB,BC,CD分别与⊙O相切， BE=BF=3.6 cm,CG=CF. CF=BC-BF=10-3.6=6.4(cm), ∴.CG=CF=6.4cm. 13.50°或130° 3.5三角形的内切圆 14.解：(1)：△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分 1.B2.C 别相切于点D,E,F, 3解：如图所示，⊙O即为所作 M ∠DB0-号∠ABC,∠DC0-号∠ACB, ∴∠DB0+∠DC0-号∠ABC+2∠ACB- 2(∠ABC+∠ACB)=62.5, ∴.在△BOC中，∠BOC=180°-（∠DBO+ 4.D5.2:16.2 ∠DC0)=180°-62.5°=117.5° 7.证明：如图所示，连接OC. (2),⊙O是△ABC的内切圆， ,点O是△ABC的内心， ∴.AE=AF,BD=BF,CD=CE ..∠CAD=∠BAD,∠OCA=∠OCB. 设AE=x,BD=y,CD=x. ,∠BAD=∠BCD, 又.AB=13,BC=11,AC=10, .∠COD=∠CAD+∠OCA=∠BAD+∠OCB, (x+y=13, x=6, ∠DCO=∠BCD+∠OCB, .x+z=10,解得y=7,.AF=6. .∠COD=∠DCO, y+之=11， z=4. 25第4课时 切线长定理（答案P24) 通基础> 5.如图所示，圆O是边长为6的正方形ABCD >>>》>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 的内切圆，EF切圆O于P点，交AB,BC于 知识点切线长定理 点E,F,求△BEF的周长. 1.如图所示，PA,PB与⊙O分别相切于点A, B,PA=2,∠P=60°，则AB=( A.3 B.2 C.2√3 D.3 2.新情境》如图所示，是用一把直尺、含60°角的 直角三角板和光盘摆放而成的，点A为60°角 与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若 AB=3,则光盘的直径是( ) 60公 A B 6.如图所示，在⊙O中，AC为直径，MA,MB分 A65B.35C.6 D.3 别切⊙O于点A,B,过点B作BD⊥AC于点 3.如图所示，已知PA,PB是⊙O的两条切线， E,交⊙O于点D,若BD=MA,求∠AMB的 A,B为切点，线段OP交⊙O于点M.给出下 度数. 列四种说法： ①PA=PB;②OP⊥AB; ③四边形OAPB有外接圆； ④M是△AOP外接圆的圆心. 其中正确的说法有() B A.1个B.2个C.3个D.4个 4.如图所示，四边形ABCD是⊙O的外切四边 形，且AB=10,CD=15,则四边形ABCD的 周长为 -九年级·上册·数学：QD 84 通能力922 11.如图所示，已知射线PO与⊙O交于A,B两 点，PC,PD分别切⊙O于点C,D,连接CD, 7.如图所示，PA,PB分别是⊙O的切线，A,B 交AP于点E. 为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°， (1)请写出两个不同类型的正确结论. ∠P的度数为() ②)若CD=12,tm∠CP0-2求P0的长. A.35° B.45° C.60° D.70° 8.如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD, AD⊥AB,以D为圆心、AD的长为半径的弧 拾刻与C相切，切点为，若8-日则 sinC的值是() A号 B c 0通素第》99999999%9999999 9.如图所示，正方形ABCD的边长为4cm,以正 12.如图所示，AB,BC,CD分别与⊙O相切于点 方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作 E,F,G,且AB∥CD,BO=6cm,CO=8cm. 半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于F (1)求证：BO⊥CO 点，与DC相交于E点，则△ADE的面积 (2)求BE和CG的长. 为() A.12 cm2B.24 cm2 C.8 cm2 D.6 cm2 10.如图所示，PA,PB是⊙O的两条切线，切点 分别为点A,B,若直径AC=12,∠P=60°， 弦AB的长为 85 优计学案·课时通一