3.4 第3课时 切线的性质-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(青岛版2012)

∴.∠COB=∠ABD,∴.OC∥DE ,OE⊥ED,.∠OEB+∠BED=90. CE⊥DB,.∠CED=90°， .OB=OE,∴.∠OEB=∠OBE, ∴.∠OCE=90°，即OC⊥CE, .∠OBE+∠BED=90°， ,CE是⊙O的切线. ∠OBE+∠A=90°，∴∠A=∠BED, (2)连接BC,如图所示. '∠BDC=∠BAC, △ABEAE8D,8能-BS 1 ∴.tan∠BAC=tan∠BDC= 2 六BE=AB·BD=25×25=4. 5 AB是⊙0的直径，心∠BCA=90,C-? BE>0,.BE=2, 设BC=x,则AC=2x,由勾股定理，得AB=√5x. .AE=√AB2-BE=√(2√5)2-22=4. .⊙O的半径为5，√5x=25,.x=2, .AC=2x=4. 8.解：如图所示，直线1即为所求 11.解：(1)证明：连接OC,如图所示。 AD是⊙O的直径，∴.∠ACD=90°， ∴.∠ADC+∠CAD=90° 又，OC=OD,∴.∠ADC=∠OCD 9.C10.D11.A 又.∠DCF=∠CAD,∴.∠DCF+∠OCD=90°， 即OC⊥FC,∴.FC是⊙O的切线. 12.2√2解析：连接CP,CQ,如图所示.，PQ为⊙C 的切线，切，点为Q,.PQ⊥CQ,∠PQC=90° (2)∠B=∠ADC,cosB=S. .PQ2=CP2-CQ2=CP2-22=CP2-4,∴.当 CP最小时，PQ最小即PQ取最小值.，△ABC .cos∠ADC=5 是等边三角形，.当CP⊥AB时，CP最小， 在Rt△ACD中， .'AB=BC=AC=4,.'.AP=BP=2,.CP= “a/anc--040-1n. √AC2-AP=2√3，.此时PQ=√CP2-CQ= √/(2√3)2-22=2√2 CD=10×3 6, AC-AD-CD-8.CD-3 ,∠FCD=∠FAC,∠F=∠F, .△FCD∽△FAC, 13.解：(1)点A(0,8),B(0,2),.AB=6. 02 过P作PH⊥AB于点H,如图所示，.AH= BH=3, 设FD=3x,则FC=4x,AF=3x+10, ..OH=5. 又，FC2=FD·FA,即(4x)2=3x(3x+10), 连接PC,PB,如图所示. 解得x二30（负值舍去），FD=3z=90 .⊙P与x轴相切于点C,.PC⊥x轴， 7 .∠PHB=∠PCO=∠COH=90°， .四边形PCOH是矩形，∴.PC=OH=5. .PH=√PB2-BH2=4, .点P的坐标为(4,5). (2)连接AP并延长交⊙P于M点，连接BM,如 第3课时切线的性质 图所示， (含课程标准新增考查内容) 则∠ABM=90°， 1.B2.C3.ABD4.B5.26.3 ∴.BM=√AM2-AB2=√J102-62=8, 7.解：(1)证明：连接OE,如图所示. DE为⊙O的切线，.OE⊥DE 六os∠ACB=cos∠AMB=BM-8-4 AM105 .CD⊥DE,∴.OE∥CD,∴.∠ABC=∠BOE. :∠BOE=2∠A,∴.∠ABC=2∠A. (2)连接BE,如图所示. .⊙O半径为W5,AB:BD=5:1, 2W5 ∴.AB=25,BD= 5· .AB为⊙O的直径，∴.∠AEB=90°， 14.解：(1)证明：AE为⊙O的直径，AB与⊙O相切 .∠AEB=∠D=90°. 于点A, 23 ∴.OA⊥AB,.∠OAB=90° .△OBP≌△OCD(SAS), .BDOB,..∠DBC=90° ..∠OBP=∠OCD=90° .OA=OC,.∴.∠OAC=∠OCA ,OB是⊙O的半径，且PB⊥OB, ,∠OCA=∠BCD,∴.∠OAC=∠BCD: ∴PB是⊙O的切线. ∠OAC+∠BAD=90°，∠D+∠BCD=90°， 第4课时 切线长定理 ,.∠BAD=∠D,.AB=BD 1.B2.A3.C4.50 (2)连接OF,过点D作DM⊥AB,交AB的延长 5.解：设⊙O切AB于点M,切BC于点N,连接OM, 线于点M,如图所示. ON,如图所示， AG 3 在Rt△ABG中，，tan∠ABG= 则∠OMB=∠ONB=90° AB=7 ,四边形ABCD是正方形，.∠B=90° AG-5AB-5 ON=OM,∴.四边形MBNO是正方形 7 ,圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆， ,∠E=45°，∴∠AOF=2∠E=90°， ∴.∠AOF=∠OAB,∴.OF∥AB, .BM-BN-OM-ON-7AB-X6-3. ∴.∠OFG=∠ABG, 由切线长定理，得EM=EP,PF=FN, tan∠OFG=tan∠ABG= ∴△BEF的周长为BF+EF十BE 7 =BF+PF+PE十BE 15 设⊙0的半径为r,则OF=r,0G=r一分： =BF+FN十EM+BE -BN+BM 在RIAOFG中，：tan∠OrG-OC=3, =3+3=6. OF 7' D 15 在Rt△OAB中，：AB=5,OA=15 6.解：如图所示，连接AD,AB 41 ,MA是⊙O的切线， ,∠BDM+∠DBM=90°， .MA⊥AC. ∠ABO+∠DBM=90°， 又，BD⊥AC, .∠ABO=∠BDM,∴.Rt△BDM∽Rt△OBA, ∴.BDMA. BM DM BD OA-AB OB' .BD=AB=5, .'BD-MA, M BM_DM 5 ∴.四边形MADB是平行四边形. MA,MB分别切⊙O于点A,B, 15 5 25,解得BM=3,DM=4. ∴.MA=MB, 4 .平行四边形MADB是菱形， 在Rt△ADM中，，AM=AB+BM=5+3=8, ..AD=BD. DM=4, 'AC为⊙O的直径，BD⊥AC, ∴.AD=√82+4=45. ..AB=AD,..AB=AD, 综上所述，⊙0的半径为5， ,AD的长为45. ∴.△ABD是等边三角形，∴.∠D=60°. .在菱形MADB中，∠AMB=∠D=60° 7.D 8.B解析：如图所示，连接DB,DE.设AB=m. 2部写CD-3AB-8m:AD是0D的* 径，AD⊥AB,.AB是⊙D的切线.⊙D与BC 15.解：(1)a.如图所示，作法：①以点P为圆心、PA的 相切于点E,.BC⊥DE,EB=AB=m,∠CBD= 长为半径作弧，交⊙O于另一点B,②作直线PB, ∠ABD.:AB∥CD,.∠ABD=∠CDB, 直线PB即为所求作的切线 .∠CBD=∠CDB,∴.CB=CD=3m, ∴.CE=CB-EB=3m-m=2m.:∠CED=90°， ∴.DE=√CD2-CE2=√(3m)2-(2m)2=√5m, .'sin C= DE 5m5 CD 3m 3 b.SSS B (2)直径③ (3)证明：由作图，知CD⊥OP于点C,OP=OD, OB=OC, .∠OCD=90° 在△OBP和△OCD中， OP=OD, 9.D10.63 ∠POB=∠DOC, 11.解：(1)不同类型的正确结论有： OB=OC, ①PC=PD,②∠CPO=∠DPA,③CD⊥BA等. 24第3课时切线的性质（答案P23) (含课程标准新增考查内容) 通基》%99999999999 5.(2023·北京中考)如图所示，OA是⊙O的半 径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D,AE是 知识点1切线的性质 ⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E.若 1.如图所示，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O ∠AOC=45°，BC=2,则线段AE的长为 相切于点C,连接AC,若∠ACD=50°，则 ∠BAC的度数为( A.30 B.40° C.50° D.60° 第5题图 第6题图 6.如图所示，已知⊙O上三点A,B,C,半径 OC=√3，∠ABC=30°，切线PA交OC延长 B 线于点P,则PA的长为 第1题图 第2题图 7.(2023·潍坊昌乐模拟)如图所示，AB为⊙O 2.如图所示，AB切⊙O于点B,连接OA交⊙O 的直径，C,E为⊙O上的两点，过点E的切线 于点C,BD∥OA交⊙O于点D,连接CD,若 交CB的延长线于点D,且CD⊥DE,连接 ∠OCD=25°，则∠A的度数为() CE,AE. A.25° B.35 (1)求证：∠ABC=2∠A. C.40° D.45° (2)若⊙O半径为5，AB:BD=5：1,求AE 3.(多选题)如图所示，AC是⊙O的直径，CD为 的长 弦，过点A的切线与CD延长线相交于点B, 若AB=AC,则下列说法正确的是() A.AD⊥BC B.∠CAB=909 C.DB=AB D.AD=BC 2 第3题图 第4题图 4.如图所示，∠ABC=70°，O为射线BC上一点，以 点0为圆心，20B的长为半径作⊙0，要使射线 BA与⊙O相切，应将射线绕点B按顺时针方向 旋转( A.35°或70° B.40°或100° C.40°或90° D.50°或110° 81 优计学案·课时通一 知识点2过圆外一点作圆的切线（课程标准新 12.(2023·菏泽曹县一模)如图所示，等边三角 增考查内容) 形ABC的边长为4，⊙C的半径为2，P为 8.新视野》经过⊙O上一点M作⊙O的切线. AB上的动点，过点P作⊙C的切线PQ,切 点为Q,则PQ的最小值为 13.(2023·威海中考)如图所示，在平面直角坐 标系中，点P在第一象限内，⊙P与x轴相切 于点C,与y轴相交于点A(0,8),B(0,2).连 易错固忽视点的位置丢解 接AC,BC. 9.(2023·聊城阳谷二模)如图所示，已知PA, (1)求点P的坐标. PB分别与⊙O相切于点A,B,∠P=70°，C (2)求cos∠ACB的值. 为⊙O上一动点，则∠ACB的度数为() A.125° B.120°或60° C.125°或55 D.130° 0 第9题图 第10题图 通能力》222>>>% 14.如图所示，AE为⊙O的直径，点C在⊙O 上，AB与⊙O相切于点A,与OC延长线交 10.如图所示，AB为⊙O的直径，点P在AB的 于点B,过点B作BD⊥OB,交AC的延长线 延长线上，PC,PD与⊙O相切，切点分别为 于点D. C,D.若AB=10,PC=12,则sin∠CAD等 (1)求证：AB=BD. 于() (2)点F为⊙O上一点，连接EF,BF,BF与 12 A.5 R号 12 D.13 AE交于点G.若∠E=45°，AB=5, 11.(2023·泰安岱岳区三模)如图所示，AB是 3 an∠ABG=,求⊙0的半径及AD的长. ⊙O的直径，C,D是⊙O上的点，∠CDB= 15°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于 点E,若OE=2,则⊙O的半径为( A.√3 B.√2 3 D. 2 第11题图 第12题图 -九年级·上册·数学：QD 82 通素养》 ④同弧所对的圆周角相等 (3)拓展小组的作法：如图④所示，连接OP 15.新视野》数学综合实践课上，李老师在黑板 交⊙O于点C,过点C作OP的垂线n,以点 上布置了一道尺规作图题如下： O为圆心、OP的长为半径作弧，交直线n于 利用尺规过圆外一点作圆的切线.已知：如图 点D,连接OD交⊙O于点B,作直线BP,则 ①所示，PA为⊙O的切线，切点为A. 直线BP即为所求作的切线。 求作：圆的另一条切线PB,切点为B. 问题：请你结合该组作图方案给出证明过程。 ⑦ 下面是各个数学小组进行的一系列探究，请 你根据探究内容解决问题， (1)进步小组的作法：以点P为圆心、PA长 为半径作弧，交⊙O于点B(非点A),作直线 PB,则直线PB即为所求作的切线 问题：a.请你在图②中补全进步小组的作图 痕迹. b.进步小组通过连接OB,OP,证明△OBP≌ △OAP,他们证明两个三角形全等的依据为 .(填“SAS”“SSS”或“AAS”) (2)希望小组的作法：如图③所示，连接OP, 作OP的垂直平分线m交OP于点M,以点 M为圆心、MO的长为半径作圆，交⊙O于点 B(非点A),作直线PB,则直线PB即为所求 作的切线. 问题：该组的小华根据作图方案给出如下证 明过程 证明：连接OB,由作图，知OP是⊙M的※ ,∴.∠OBP=90°，（理由：© ) 即OB⊥BP,又OB是⊙O的半径，∴.BP为 ⊙O的切线. 在上述证明过程中，※处应该填写 ◎处应该填写 (填序号) ①一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 的一半 ②90°的圆周角所对的弦是直径 ③直径所对的圆周角是直角 83 优计学案·课时通一