第二章 专题三 构造基本图形解决直角三角形的实际问题-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(鲁教版2012 五四学制)

专题三构造基本图形解决直角三角形的实际问题（答案P14) 类型1构造一个直角三角形解决实际问题 翻类型3构造双直角三角形解决问题 1.如图所示，小亮为了测量 3.(2023·泰安泰山区月考)胜利黄河大桥犹如 校园里教学楼AB的高 一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄 度，将测角仪CD竖直放 D30. 河南北“天堑变通途”.如图所示，已知主塔AB 置在与教学楼水平距离C 垂直于桥面BC于点B,其中两条斜拉索AD, 为18√3m的地面上.若测角仪的高度为 AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固 1.5m,测得教学楼的顶部A处的仰角为30°， 定点D,C之间的距离约为33m,求主塔AB 则教学楼的高度是() 的高度.（结果保留整数，参考数据：2≈1.41,3≈ A.55.5mB.54mC.19.5mD.18m 1.73) 类型2锯构造一个非直角三角形解决问题 2.(2023·烟台蓬莱区期中)某校为了丰富学生 社会实践活动，决定组织九年级学生到红色文 化基地A和人工智能科技馆C参观学习.如 60入45⊙ D 图所示，学校在点B处，A位于学校的南偏西 75°方向，C位于学校北偏东30°方向，C在A的 北偏东60°方向60，√2km处.如果将九年级学 生分成两组分别参观学习，两组学生同时从学 校出发，第一组学生乘坐客车前往A地，速度 是40km/h:第二组学生乘坐公交车前往 C地，速度是30km/h.请问：哪组学生先到达 目的地？并通过计算说明理由.（参考数据：2≈ 1.414,3≈1.732,6≈2.449) 48 九年级上册数学·鲁教版 4.(2023·威海乳山二模)学校数学兴趣小组的 甜类型4构造梯形解决问题 同学要测量操场旗杆的高度，示意图如图所 5.(2023·威海环翠区期中)如图①所示是超市 示，小明在旗杆AB的正南方向用1米高的测 的手推车，如图②所示是其侧面示意图，已知 倾器(CD=1米)，测得旗杆顶端A的仰角是 前后车轮半径均为5cm,两个车轮的圆心的连 37°.小强在旗杆AB的正北方向（点F,B,D 线AB与地面平行，测得支架AC=BC= 在同一直线上)2米高的图书馆台阶上，用1米 40cm,AC,CD所在直线与地面的夹角分别为 高的测倾器(EF=3米)测得旗杆顶端A的仰 30°，60°，CD=30cm. 角为18°.已知FD=60米，求旗杆AB的高 (1)求扶手前端D到地面的距离 度.（精确到0.1米，参考数据：sin1g≈0， (2)手推车内装有简易宝宝椅，EF为小坐板， 10, 打开后，椅子的支点H到点C的距离为6cm, cos18°≈3V10 10,tan18°≈ 3 3,sin37°≈3， DF=14cm,EF∥AB,∠EHD=45°，求坐板 EF的宽度.（结果均保留根号） c0s37≈号an37 3 ② 一优学案·课时通 495.D ∴.AG=FG·tan∠AFG=19.6×tan27°≈19.6×0.51= 6.解：如图所示，延长EF交CH于点G,则FG⊥CH,得矩形 9.996(米). AEFB,矩形BFGH,矩形AEGH,.EF=AB=9m,AE= EF BF=GH=1.2 m. 在R△FDE中，tan∠FDE-DE, :G0=Ep=DE·tan∠FDE=6Xtan30=6X3=23为 3.46(米)， ∴.AB=AG+G0-OB=9.996+3.46-1.5≈12.0（米）. 459 即教学楼AB的高度约为12.0米. 10.解：(1)：房屋的侧面示意图是一个轴对称图形，对称轴是房 ∠CFG=45°， 屋的高AB所在的直线，EF∥BC, ∴.∠FCG=45°，∴.FG=CG, AG⊥EP,EG=EP,∠AEG=∠ACB=35. ..GD=CG-CD=(CG-3)m. 在Rt△EDG中，∠EGD=90°，∠DEG=22°，EG=EF+ 在Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠AEG=35°， FG=(9+FG)m.DG=EG·tan22°，.CG-3≈(9+ an∠ABG=mS-8 ,EG=6 m, CG)×0.40,∴.CG=11m,.DG=CG-3=8m, ∴.DH=DG+GH=8+1.2=9.2(m). ∴.AG≈6X0.7=4.2(m). 答：广告牌底部D到水平地面AH的距离为9.2m. 答：屋顶到横梁的距离AG约为4.2m. 7.33 (2)过点E作EH⊥CB于点H,如图所示. 8.解：如图所示，延长AE交CD延长线于点M,过点A作 AN⊥BC于点N,则四边形AMCN是矩形，∴.NC=AM, AN-MC. B 42.16 -35° 460 设EH=xm, 在Rt△EDH中，∠EHD=90°，∠EDH=60° E N---------- :ian∠EDH DH..DH=- tan 60 Q 37 DM 在Rt△ECH中，∠EHC=90°，∠ECH=35°. 在Rt△EMD中，∠EDM=37°. tan∠ECH-H,cH 'sin∠EDM ED,cos∠EDM=DM, E tan 35. ED· .CH-DH=CD=8 m, EM=EDXn37≈20X号-12（米），DM=EDXs37 2 x an35an60=8, 解得x≈9.52， 20×音=16（米）. ∴.AB=AG+BG=4.2+9.52=13.72≈14(m) ∴.AN=MC=CD+DM=74+16=90(米). 答：房屋的高AB约为14m. 在Rt△ANB中，∠BAN=42.1°， 专题三构造基本图形解决 9 tan∠BAN=8N,BN=AN X tan42.1°≈90X7g 直角三角形的实际问题 1.C 81(米)，∴.BC=BN+AE+EM=81+3+12=96(米). 答：大楼BC的高度约为96米. 2.解：如图所示，过点B作BD⊥AC交北 9.解：如图所示，过点F作FG⊥AB于点G,延长ED,AB交于 于点D, 点O,过点C作CH⊥OE于点H,则CB=10米，CD= 由题意可知∠FAC=60°，∠EBC= 3.9米，DE=6米，EF=GO,FG=EO,OB=CH,∠AFG= 30°，∠ABH=75°， D 27°，∠DFG=∠FDE=30° ∴.∠GAB=∠GBA=15°， ∴.AG=GB,∠DGB=30°， ∴.∠GBD=60°， .∠DBE=30° .'∠EBC=30°， ∴.∠DBC=60°， EDH 0 ∴.∠C=30°. 斜坡CD的坡比为1：2.4，.CH:DH=1:2.4=5:12, 设DB=xkm,则BC=2xkm,CD=√3xkm. .设CH=5x米，则DH=12x米. 在Rt△CDH中，由勾股定理得CD2=CH2+DH,即 在Rt△DBG中，GB=2BD=2xkm,GD=√3xkm. 3.92=(5x)2+(12x)2,解得x=0.3,即CH=5x=1.5米， "AC=60√2km, DH=12x=3.6米， .602=2x十3x十√5x, .E0=ED+DH+H0=6+3.6+10=19.6(米)， 解得x=15(6-√2)， .FG=E0=19.6米. AG .BC=2x=30(√6-√2)≈31.05(km),AB= 在Rt△AFG中，tan∠AFG-FG' W√/AD2+BD2=60(km), 14 .第一组学生用时为60÷40=1.5(h), ,EF∥CG∥AB,.∠EFH=∠DCG=60°.CD=30cm, 第二组学生用时为31.05÷30=1.035(h) 椅子的支点H到点C的距离为6cm,DF=14cm,.FH .第二组学生先到达目的地 10cm. 3.解：在Rt△ADB中，∠ADB=60°， 在Rt△EQF中，∠EFH=60°， tan∠ADB- DBD=ABAB AB tan 603 ∴.EF=2FQ=2xcm,EQ=√EF2-FQ=√3xcm. 在Rt△EQH中，∠EHD=45°，∴.HQ=EQ=√3xcm 在Rt△ABC中，∠C=45°，tanC- .HQ+FQ=FH=10 cm, BC ∴√3x+x=10,解得x=5√3-5， ..BC=AB tan 45-AB.BC-BD=CD=33 m, .EF=2(5√/5-5)=(103-10)(cm) ..AB-AB =33,4B=99+333 ∴.坐板EF的宽度为(10V3一10)cm. ≈78(m). 3 2 阶段检测三（4~6) 答：主塔AB的高约为78m. 4.解：过点C作CG⊥AB,垂足为点G,过点E作EH⊥AB,垂 :6.83km 足为点H,如图所示. 1.C 2.A 3.A 4.D 5.3 7.解：(1)过点B作BC⊥OA于点C,如图所示。 D 由题意得CG=BD,EH=BF,CD=GB=1米，EF=HB A 3米. 设CG=BD=x米.DF=60米， ∴.EH=BF=(60一x)米. 在R△B0C中，OB=4,sn∠A0B=, 在Rt△ACG中，∠ACG=37°， AG=CG·tam37≈3 BC=OB·sin∠AOB=4X3 x(米)， 3, .0C=√OB2-BC=√4-3=√7， AB=AG+BG=(x+1)米 点B的坐标为（√7,3）. 在Rt△AEH中，∠AEH=18°， (2)点A的坐标为(37,0)， .OA=3√7，.AC=OA-OC=3√7-√7=2W7. AH=EH·tan18≈3(60-x)米， ∠ACB=90°， ∴AB=AH+BH= [号(60-x)+3米， .AB=√BC2+AC=√J32+(2√7)2=√37， 3 2x十1=号(60-x)+3,解得x*20.3, ∴sin∠0AB=BC-3=3V37 AB √37 37 AB=3 x+1≈16.2（米）， 即<018角雀为2 ∴旗杆AB的高度约为16.2米. 8.解：(1)延长AC交EG于点H, 5.解：(1)如图所示，过点C作CM⊥AB,垂足为点M,过点D 则AB=CD=EH=1.7米，AC=BD,AH=BE. 作DN⊥AB,垂足为点N,过点C作CG⊥DN,垂足为点G, GE=18.5米， ∴.∠DCG=60°.：AC=BC=40cm,AC所在直线与地面的 ∴.HG=EG-HE=18.5-1.7=16.8(米). 夹角为30°，∴∠A=∠B=30°.在Rt△AMC中，CM= 在Rt△AGH中，∠GAH=37°， 合AC=号×40=20cm.:在R△cGD中，sin∠D0G= ÷tan37-GH-16.8 AH=15C7≈0.75，CH=7.4米， sin60°-DG ∴.BE=AH=15+7.4=22.4(米). CDCD=30 cm, 答：小亮站在B处时离教学楼的距离BE为22.4米. ∴.DG=CDX sin60°=30Xsin60°=15√3cm. (2)由(1)知CH=7.4米. .CM⊥AB,DN⊥AB,CG⊥DN, 在Rt△FCH中，，∠FCH=42°， ∴.四边形CMNG是矩形， ÷tan42°-FH_FH ,.GN=CM=20cm,前后车轮半径均为5cm, CH=7.4≈0.90，FH=6.66米， ∴.FG=GH-FH=16.8-6.66≈10.1（米）. '.扶手前端D到地面的距离为DG+GN+5=15√3+20+ 答：条幅GF的长度约为10.1米. 5=25+15W3(cm). 9.解：(1)W360 (2)过点A作AD⊥BC,垂足为点D,如图所示， B D 8.BC8 M canB=行心AB=分设BC=8x,则AB=5z (2)如图所示，过点E作EQ⊥FH,垂足为点Q,设FQ=xcm. .AB=AC,AD⊥BC, 15