3.1 第3课时 弧的度数-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(青岛版2012)

第2课时圆心角、弧和弦之间的关系（答案P17) 通基础> 5.如图所示，在⊙O中，弦AB与CD相交于点 >>2>>》>>>>>>>>>>>>>>>>>》>>>>>>> E,AB=CD,连接AD,BC. 知识点1圆心角 求证：(1)AD=BC 1.下列图形，表示的角是圆心角的是( (2)AE=CE. B D 2.如图所示，⊙O的弦AB∥CD,BC为⊙O的直 径，若∠BOD=66°，则∠ABC等 于 易精误认为同圆中弧及弧所对的弦有相同 的倍数关系 6.在⊙O中，满足CD=2AB,则下列说法正确的 是( A.CD>2AB B.CD<2AB 知识点2圆心角、弧和弦之间的关系 C.CD=2AB D.无法确定 3.推理能力》如图所示，已知在⊙O中，BC是直 通能力》>39%%9329>>%>9>% 径，AB=DC,则下列结论不一定成立的是( 7.教材P72挑战自我变式》在同圆中，圆心角 ∠AOB=2∠COD,则两条弧AB和CD的关 系是() A.AB=2CD B.AB>2CD A.OA=OB=AB C.AB<2CD D.不能确定 B.∠AOB=∠COD 8.下列说法正确的有() C.AB=DC ①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆； D.O到AB,CD的距离相等 ③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④等弧所 对的圆心角相等；⑤如果圆心角相等，那么它 4.如图所示，AB是⊙O的直径，点C,D是BE 们所对的弦一定相等. 的三等分点，∠AOE=60°，则∠COE的度数 A.1个B.2个C.3个D.4个 是( ) 9.如图所示，AB是⊙O的直径，BC,CD,DA是 ⊙O的弦，且BC=CD=DA,则∠BCD等 于( A.40° B.60° C.80° D.120 A.100 B.110°C.120°D.135° -九年级·上册数学：QD 62 10.(2023·菏泽鄄城三模)如图所示，在14.如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，点 Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6,BC=8,点 B是AN的中点，点P是直径MN上一个动 E在线段BC上，CE=5,以点C为圆心，CE 点，⊙0的半径为1. 长为半径作弧交AC于点D,交BC的延长线 (1)找出当AP+BP能得到最小值时点P的 于点F,以点F为圆心，DE长为半径作弧， 位置 交DF于点G,连接CG,过点G作GH⊥ (2)求出AP十BP的最小值. BF,垂足为点H,则线段GH的长为() A.2 B.3 C.4 D.5 11.如图所示，AB,CD是⊙O的直径，AB∥DE, AC=3,则AE= 通素养》99> 第11题图 第12题图 15.创新意识如图所示，点O是∠EPF平分线 12.如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发， 上的一点，以点O为圆心的圆与∠EPF的两 沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场 边分别交于点A,B和C,D. 地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的 (1)求证：AB=CD 方向行走.按照这种方式，小华第五次走到场 (2)若角的顶点P在圆内，(1)的结论还成立 地边缘时处于AB上，此时∠AOE=52°，则a 吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以 的度数是 证明. 13.推理能力》如图所示，∠AOB=90°，点C,D 是AB的三等分点，AB分别交OC,OD于点 E,F.求证：AE=BF=CD. 63 优计学案·课时通一∴.∠AON=∠A'ON=60°. ,点B是AN的中点， .∠BON=30°.∴.∠BOA'=∠A'ON+ ∠BON=90°.OB=OA'=1, BA'=√2， 即AP十BP的最小值为√2， 15.解：(1)证明：如图①所示，过点O作OM⊥AB, ② ON⊥CD,垂足分别为M,N. 如图②所示，若∠A是钝角，则△ABC是钝角三 :PO平分∠EPF,.OM=ON.∴.AB=CD 角形， 和图①解法一样，可求BD=2√10cm,.AD=7一 ..AB=CD. 3=4cm, B∠ E ∴.AB=√AD+BD2=2√/14cm. 综上所述，腰长AB=2√35cm或2√14cm. 7.B8.C9.(2,1) 10.解：如图所示，设圆的圆心为点 O,能够将△ABC完全覆盖的 ① 最小圆形纸片是△ABC的外 (2)成立.证明：如图②所示，当顶点P在圆内时， 接圆，连接OB,OC,连接AO 作OG⊥AB于点G,OH⊥CD于点H,连接OB, 并延长，交BC于点E,由三角 OD.,OG⊥AB,OH⊥CD且∠EPO=∠FPO, 形外角的性质易证∠BOE ED ∴.OG=OH,∴.AB=CD,∴.AB=CD,即顶点P在 2∠BAO,∠COE=2∠CAO, 圆内时，结论成立. .∴.∠BOC=2∠BAO十 第3课时弧的度数 2∠CAO=2∠BAC=120°.作OD⊥BC于点D,则 1.A2.18 ∠ODB=90°，∠BOD=60°，BD=5 3.解：如图所示，连接OA,OB,作 2 cm. OC⊥AB,垂足为C. .∠OBD=30°， 由题意知，劣弧AB的度数 为120°， 2 ∴.OB= .∴∠AOB=120°..OA=OB, in60,得OB=5 3 cm,20B=103 3 cm, ∴.∠OAB=∠OBA=30°. 即能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径 又OC⊥AB,OC=3, 是103 ∴.OA=2OC=6..∴.⊙O的直径为12. 3 cm 4.C5.C6.A7.40°8.63 11.证明：连接OP,OQ,OM,ON 9.解：CM⊥AB,DN⊥AB, ,四边形ABCD是菱形， ∴.∠CMO=∠DNO=90 ∴.AC⊥BD,垂足为O,且AB=BC=CD=DA. M,N分别是OA,OB的中点， ,M,N,P,Q分别是边AB,BC,CD,DA的中点， .OM=ON.又OC=OD, .'.Rt△OCM≌Rt△ODN(HL). :.0M-ON-OP-OQ-zAB. ∴.∠COA=∠DOB. ∴.M,V,P,Q四点在以点O为圆心，OM的长为半径 .AC的度数为60°，.∠AOC=60°. 的圆上. ∴.∠BOD=60. 12.解：(1)如图所示，⊙0就是 3.2确定圆的条件 此残片所在的圆. (2)连接OA,设OA=OC= 第1课时确定圆的条件 cm. 1.C2.B .'CO⊥AB,AB=24cm,CD= 3.解：四边形ABCD是矩形， 8 cm, ∴.OB=OC=OD=OA. .AD =12 cm,OD =( ∴.点B,C,D都在以O为圆心、AO的长为半径的 8)cm. 圆上 在Rt△AOD中， 4.C5.A 由勾股定理，得OA2=AD2十OD, 6.解：分圆心在三角形内和在三角形外两种情况讨论， 即x2=122+(x-8)2, 如图①所示，假若∠A是锐角，△ABC是锐角三 解得x=13, 角形， ∴.此残片所在圆的半径为13cm. 连接OB,过点A作AD⊥BC于点D, 13.解：(1)如图①②所示. 则OD=3cm,OA=OB=7cm,∴.AD=10cm, 在Rt△OBD中 BD=OB2-OD2=210 cm, 1009 在Rt△ABD中 AB=√JAD十BD=2√35cm; ② 18