第二章 直角三角形的边角关系 自我测评卷-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(鲁教版2012 五四学制)

8.应用意识无人机低空遥感技术已广泛应用于农作12.已知一等腰三角形的两边长分别为4cm和6 优社学案 第二章自我测评卷 物监测.如图所示，某农业特色品牌示范基地用无人机 cm,则其底角的余弦值为， (九年级上册数学鲁教版) L课时强] 对一块试验田进行监测作业时，在距地而高度为135m13.如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A的 (时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.每 C.ana+tan月 D.atan atan B 的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43°，无人机 正切值等于2，直尺的一边与BC重合，另一边 分别交AB,AC于点D,E,点B,C,D,E处的 小题只有一个远项符合避目要求) tan a+tan 垂直下降40m至B处，又测得试验田左侧边界M处 5.利用计算器求tan45时，依次按健a的可同 附角为35，则M,N之间的距离为()（参考数据： 读数分别为15,12,0,1，则直尺宽BD的长 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果三角形各边的长 度都扩大到原来的2倍，那么sinA的值() 目，则计算器上显示的结果是( tan43°s0.9,sin43°0.7，c0s35°g0.8, 多 A.不变 B.扩大到原来的2倍 A.0.5 B.0.707 tan35°=0.7，结果保留整数) C第小到原来的号 C.0.866 D.1 A.188m B.269m D.不能确定 6.第14届国际数学教育大会(ICME一14)会标如 C.286m D.312m 2.如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射 图①所示，会标中心的图案来源于我国古代数 9.解放路上一座人行天桥如图所示，坡面BC的铅直高度 线OA交于点B,再以B为圆心，BO长为半径画 学家赵爽的“弦图”，如图②所示的“弦图”是由 与水平宽度的比为1：2，为了方便市民推车过天桥，有 第13题图 第14题图 弧，两弧交于点C,画射线OC,则sin∠AOC的俏 四个全等的直角三角形（△ABE,△BCF, 关部门决定在保持天桥高度的前提下，降低坡度，使新 为() 14.如图所示，在四边形ABCD中，∠A-∠ABC= △CDG,△DAH)和一个小正方形EFGH拼成 坡面AC的坡度为1：3，AB=6m,则天桥高度 90°，DB平分∠ADC.若AD=1,CD=3,则 B 的大正方形ABCD.若EF AH=1·3,则 为() 3 sin∠ABD= sin∠ABE=( A.6 m B.63m c 15.应用意识》如图所示，为测量大楼AB的高 C.7 m D.8 m 度，小明测得坡底C到大楼底部A的水平距离 AC=52米，斜坡CD=52米(A,B,C,D在同 一平面内)，斜面CD的坡比为12.4（坡面的 铅直高度与水平宽度的比)，在D处测得大楼顶 .5 B 部B的仰角为45，则大楼AB的高度为 第2题图 第3题图 第9题图 第10题图 3.(烟台蓬莱区期中)如图所示，已知△ABC的三个 c 5 米 10,数学文化勾股定理的证明方法丰富多样，其中我 顶点均在正方形格点上，则下列结论错误的： 7.如图所示，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=8, 国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明，直规，是世 为() BC■4√5，点D为边AC上一点，点F在BC的 界公认最巧妙的方法，“赵类弦图”已成为我国古代数 10000 A.cos C5 延长线上，BC=2CF,若四边形DCFE是平行 学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱.小 B.tanB·tanC=l 四边形，连接AE,BE,则图中阴影部分的面积 亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG,DG.若正方 C.sin B=sin C D.mB=号 为() 形ABCD与EFGH的边长之比为5：1，则 16.阅读理解规定：sin(一x)=一sinx,cos(一x) A.24 B.12 cosx,sin(x十y)=sinx·cosy十cosx· 4.如图所示，小王在高台上的点D sin∠DGE等于() C.8 D.6 A处测得塔底点C的俯角为 40 siny,据此 10 a,塔顶点D的仰角为，已知 (1)判断下列等式成立的是 (填序号). 塔的水平距离AB=a,则此时B明 35B C.o/To 06 1 ①cos(-60)= ②sin2x=2sint·cosx: 塔高CD的长为() 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） ③sin(x-y)=sinx·cosy-cosx·siny. A.asin a+asin B B.atan a+atan B 第7题图 第8题图 11.计算：2in45+tan60·tan30°-cos60= (2)利用上面的规定，则sin75°= 三、解答题（本题共7小题，共72分，解答应写出文字：19.（本小题满分9分）如图所示，在矩形ABCD (1)求∠EAD的正切值， 23.(本小题满分12分)某种落地灯如图①所示，AB 说明、证明过程或演算步聚) 中，AB=10,BC=8,E为AD边上一点，沿 2)求票的值。 为立杆，其高为8Ocm:BC为支杆，它可绕点B 17.(本题每小题5分，共10分)运算能力净计算： CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上 旋转，其中BC长为55cm:DE为悬杆，滑动悬 (1)6tan30°-√3sin60°-2sin45, 的F处，求tan∠AFE. 杆可调节CD的长度.支杆BC与悬杆DE之间 的夹角∠BCD为60. (1)如图②所示，当支杆BC与地面垂直，且CD 的长为50cm时，求灯泡悬挂点D距离地面的 高度. (2)在如图②所示的状态下，将支杆BC绕点B 顺时针旋转20°，同时调节CD的长（如图③所 示)，此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为 20s45-(tan45+1)°+ +sin30° 100cm,求CD的长，（结果精确到1cm,参考数 22.(本小题满分12分)如图所示是一种户外景观灯，它是 据：sin20°≈0.34，co520°≈0.94，tan20°≈0.36 由灯杆AB和灯管支架BC两部分构成，现测得灯管 sin40°a0.64,cos40°=≈0.77，tan40°=0.84) 支架BC与灯杆AB的夹角∠ABC=127,同学们想 知道灯管支架BC的长度，借助相关仪器进行测量后 20.(本小题满分10分)如图所示，在△ABC中， 结果如下表： CD是边AB上的中线，∠B是锐角，sinB 测量项目 测量数据 1 18.(本小题满分9分)如图所示，AD是△ABC的 乞，anA=2AC=5, 从D处测得灯杆顶部B处御角a a=37* 从E处测得灯杆支果C处仰角B 3=6326 商，cosB=2 mC-号AC=10,求AB的长。 (1)求∠B的度数和AB的长 两次测量之间的水平距离 DE=5.1 m (2)求tan∠CDB的值. 灯杆的高度 AB-8.1 m 求灯管支架BC的长度 (参考数据：sin37°0.6，cos37°0.8，tan37 0.75,tan63°26'x2.00) 21.(本小题满分10分)如图所示，在△ABC中， AB-13.AC-8,c0sZBAC-3BD LAC. 垂足为点D,E是BD的中点，连接AE并延 长，交边BC于点F, 一4足函数表达式，点C的坐标不满足函数表达式， 1 ∴点B在这个函数的图象上，点C不在这个函数的图象上 y=2x+3, 线的函数表达式，得 (3)当x=一3时，y=2,当x=一1时，y=6, 8 y=元 得：C点坠标 又由<0知，在x<0时，y随x的增大而增大，∴.当一3< x<-1时，2<y<6. 5 18.解：(1)由表格可知，压强力与受力面积S的乘积不变，故压 为(2,40.在)=-4x+3中，当x=2时y=2, 强p是受力面积S的反比例函数，设p=令，将(40,05) CW=4-5=3 -2=2’ 代人，得0.5=0解得&=20，=g0,当=80时， S-号×号×4-3△ABC的面积为3 800=200,a=0.25. 22.解：(1)由题知CD是双曲线的一部分， a (2)这种摆放方式不安全，理由如下：由图可知S=0.1× 故设双曲线的函数表达式为y= 0.2=0.02(m2), 将(12,18)代入，得k=216, :将长方体放置于该水平玫璃桌面上，力=0.02 200 216 .CD段的函数表达式为y= x 10000(Pa).:10000>9000,.这种摆放方式不安全. 自变量的取值范围是12≤x≤24. 19.解：(1)①x≠1 (2)线段BC表示6时至12时这一时间段内恒温系统设定 ②当x>1时，y随x的增大而减小（答案不唯一，正确合理 恒温为18℃。 即可) (3)设AB段的函数表达式为y=ax十10， (2)将y-2的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移 将(6,18)代入，得18=6a+10, 2个单位长度.（答案不唯一，正确合理即可） 解得a= 3 (3)在平面直角坐标系内画出y=x十2的图象略. 4 不等式名+2≤x+2的解集为1飞≤x<1或z≥2 ·AB段的函数表达式为y=3x十10. 20.解：(1)：CD∥AB,AB⊥x轴，.CD∥y轴.CD= 令y=15,得15=专x+10,解得x-5-3.75. 31 由(1)可知，在CD段中令y=15,可得15=216，解得x= A(m,4),BC=2,点D的坐标为(m+2,等)“点A,D x 14.4, 在反比例函数y=(x>0)的图象上，4m= 3(m+2), ∴.最适合生长的时间有14.4一3.75=10.65（小时）. 答：最适合生长的时间有10.65小时 解得m=1,∴.点A的坐标为(1,4)，∴k=4m=4,∴.反比例 23.解：(1)在正方形ABCD中，AB=BC=4,.A(2,4). 函数的表达式为y=4 “A(2,4)在y=名的图象上，k=2X4=8. (2)过点A作AE⊥y轴于点E,并延长AE到F,使AE= OC=OB+BC=6,∴xE=6, FE=1,连接BF交y轴于点P,此时PA十PB的值最小 4 ∴.PA十PB=PF+PB=BF=√AB2+AF2=√42+22= 将：=6代入y=2中，得=音， 2√5 点E的坐标为(6，号）) 21.解：1)把(m,2)代入1=号x,得2m=2,解得m=4, 1 (2)①设A(a,2a)(a>0),把点A(a,2a)的坐标代人y :A4,2.把A,2)的坐标代入-兰(e>0),得年=2。 x 点，得A=2a,y-2g.0C=3a,故设点E(3a,号） 解得6=8，六反比例函数的表达式为y:=8 :S形ABCE=S△AOE=24,S#形ABCE=2(CE+AB)·BC- (2)过点C作CM⊥x轴于点M,交AB于点N,如图所示， 1/2 z(3a+2a)×2a, 号（台a+2a)×2a=24,解得a=0 ∴.k=2a2=18 ②不存在. 理由：若AE⊥OA,则∠OAB十∠BAE=90°. ∠BAD=∠BAE+∠DAE=90°， 将直线OA向上平移3个单位长度后，其函数表达式为y= ∴.∠OAB=∠DAE .·∠ABO=∠D=90°，AB=AD, 1 x+3,当x=0时，y=3, ∴.△OAB≌△EAD(ASA),∴.OB=DE. 点B的坐标为(0,3). 由①可知，A(a,2a)a>0,点E(a,号）0B=a, 设直线AB的函数表达式为y=mx十n, 2a 4a 4a 1 将(4,2)，(0,3)代入，得4m十n=2,解得m=一 4’∴.直 DE=2a-3=3a=3, n=3, a=0,∴.k=0..k>0, n=3, 1 ∴不符合题意，不存在某一位置使AE⊥OA. 线AB的函数表达式为y=一 4x+3.联立直线BC与双曲 第二章自我测评卷 1.A2.D3.C4.B5.D6.C7.B8.C9.A10.A 42 3.114.6 BF FM=BE:ED..BE=ED, 11.2 6 15.120 ∴.BF=FM.令FM=5x,则MC=3x,BF=5x, 16.(1)②③ (2)6+2 ∴.FC=FM+MC=8x, 4 BF 5x 5 ∴FC-8x8 17,解：（①原式=6×(） 13 (2)原式-2 -1++2- 1 11 -1+1= 2 18解：在RAACD中，mC-C-号AC=1 B 22.解：延长AB,EC交于F,如图所示 =0 AB 在Rt△ADB中，tana一AD ∴.AD=6. 在Rt△ABD中， tan37r=8 D≈0.75， cos B ∴.AD=10.8m. 2 DE=5.1m, ∠B=45°， ∴.AE=AD-DE=5.7m. ∴.∠BAD=∠B=45°， AF 在Rt△AEF中，tanB=AE, .'.BD=AD=6, .AB=6√2. 92m. 19.解：，∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°，根据折叠的性质， .AF=11.4m, 得∠EFC=∠EDC=90°，即∠AFE+∠BFC=90°， ∴.BF=AF-AB=3.3m ,在Rt△BCF中，有∠BCF+∠BFC=90°， 过C作CH⊥AF于H,如图所示， 易得∠AFE=∠BCF, .∠CHF=∠CHB=90°， 根据折叠的性质，得CF=CD, ∴.CH∥AE, 在Rt△BFC中，BC=8,CF=CD=AB=10, .∠FCH=∠FEA=B. 由勾股定理，得BF=√CF2-BC=6,则tan∠BCF= .∠ABC=127°， BF_6=3 ∴.∠CBH=53°， C=8=4,tan∠AFE=tan∠BCF=&, ∴.∠BCH=37°=a, 20.解：(1)过点C作CE⊥AB于点E,如图所示，设CE=x. ∴，FH=CH·tanB,BH=CH·tana, ∴BF=FH+BH=CH·tanB+CH·tana=CH· (2+0.75)=3.3. 解得CH=1.2m, D E BC-CH _1.2 cose08-1.5(m. 在Rt△ACE中，：tanA=CE=1 答：灯管支架BC的长度为1.5m. AE2· .AE=2x,∴AC=√x2+(2x)2=5x, 5x=√5，解得x=1,∴.CE=1,AE=2, 在R1△BCE中，：sinB=2, =2∠B=45, △BCE为等腰直角三角形，.BE=CE=1, ∴.AB=AE十BE=3, 人B 故∠B的度数为45°，AB的长为3. D E (2):CD是边AB上的中线BD=号AB=1.5, 23.解：(1)如图①所示，过点D作DM⊥AC于点M. ∴.DE=BD-BE=1.5-1=0.5, itan∠CDE=SE=是 D正0.5=2，即tan∠CDB的值为2. ---D 21.解：I):BDLAC,∴cos∠BAC=AD=5 B B、 AB 13' ,AB=13,.AD=5 .BD=√AB2-AD=12.:E是BD的中点， A A DE=号BD=6, ① ② '.tanEAD-AD-5 DE 6 在Rt△CDM中，∠DCM=60°，CD=50cm, (2)过点D作DM∥AF,如图所示，由(1)得AD=5. CM=CD·cos60°=2CD=25(cm, .'AC=8,..CD=AC-AD=3. .AM=AB+BC-CM=80+55-25=110(cm), .DM∥AF, 即灯泡悬挂点D距地面的高度为110cm. ∴.FM:MC=AD:DC=5:3, (2)如图②所示，过点D作地面的垂线，垂足为点N,过点B 43 作BP⊥DN,垂足为点P,过点C作CQ⊥BP于点Q,过点 D作DF⊥CQ于点F,则四边形DPQF,四边形ABPN是 矩形，∴.AB=PN=80cm,DP=FQ. .'DN=100cm,..DP=FQ=100-80=20(cm), D. 在Rt△BCQ中，∠BCQ=20°，BC=55cm, .CQ=BC·cos20°=(55Xcos20)cm, ..CF=CQ-FQ=(55X cos 20-20)cm, os∠DCF-85,即cos40-5xcos20-20 在Rt△CDF中，∠DCF=60°-20°=40°， 20.解：(1)，△ABC是直角三角形，且B(0,-2),又BC=4, .点C的坐标为(4，一2). CD 将点C坐标代人反比例函数表达式，得 :CD=55xcos20°-20≈41(cm), y=4×(-2)=-8, c0s40 即CD的长约为41cm. 二反比例函数的表达式为y=一8 期中自我测评卷 设直线AC的表达式为y=ax十b, 将A,C两点坐标代入，得 1.D2.C3.B4.B5.A6.C7.B8.C9.D10.D 3 (b=4, 1.312.120°13.414.y=-g 4如+6=一2.解得 =- 2 x =4. 15.18003米16.1155 直线AC的表达式为y=一多2十4。 17解：0原武-号×号+5×9-+-2 (2)设点P的坐标为(m,n). 由A(0,4),得OA=4, 8原式=-1+是×（停} 1 1 -2=2-1+4 ∴Saae=号×4X1m=2lml 又△OAP的面积等于△ABC的面积， 18.解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB= 4AB=5, 且S△ABC= 2×6×4=12,2m=12,解得m=±6. 8 4 .可设AC=3x,BC=4x. 当m=6时，n= 6 .AC2+BC2=AB2, 31 .(3x)2+(4x)2=52, 当m=一6时，n=一 84 -63 解得x=-1(舍去)或x=1, .AC=3,BC=4. ÷点P的坐标为(6，-)或(-6，专) .BD=1, 21.解：(1)二 没有测量BC的长度 .CD=3, (2)根据第一组测量的数据， .AD=√CD+ACz=3√2. (2)过点D作DE⊥AB于点E,如图所示. D35245 F h E B B D 过点D作DG⊥AB交AB于点G,如图所示. .'CD=EF=1.5 m, 在Rt△BED中，tanB= 4 ∴点F在DG上，则BG=1.5m. .可设DE=3y,则BE=4y. 在Rt△AGF中，∠AFG=45°， .BE2+DE2=BD2, ∴.△AGF是等腰直角三角形， .(3y)2+(4y)2=12, ∴.AG=FG. 解得y=一号（合去)或y=号， .1 设AG=FG=xm, 则在Rt△AGD中，AG=xm,DG=DF+FG=(10+ DE=3 x)m, AG ,'.tan∠ADG= DG =tan35°≈0.70， DE 52 .sin a-AD32 10' 10十z≈0.70. 19.解：如图所示，过点D'作D'H⊥AD于点H,连接AE,AE' 解得x≈23.3， ∴.AB=AG+BG=23.3+1.5=24.8(m). 由题意可知，D'E'=DE=30cm,AD'=AD=90cm, ∠DAD'=∠EAE'=60°. 答：古塔的高度约为24.8m. 在Rt△AD'H中，AD'=90cm,∠HAD'=60°， 22.解：(1)如图①所示，过点C作CG⊥AB于点G 在Rt△BCG中，∠CBG=45°， D'H=3」 =2·AD'=45v3(cm), .△BCG是等腰直角三角形，.CG-BG. 设CG=BG=x米，则BC=√2x米. .点D'到BC的距离为D'H十DC=45√3+30十40= (70+45√3)cm. 在Rt△AcG中，∠CAG=27T,tan∠CAG=C=an27° 答：点D'到BC的距离为(70+45√3)cm. 0.5,.AG≈2CG=2x米. 44