第二章 直角三角形的边角关系 限时训练-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(鲁教版2012 五四学制)

建议用时10分钟，实际用时 分钟 第二章直角三角形的边角关系 1锐角三角函数(1)（答案P33) 1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1,AC=√3，求tanA与tanB的值. B 2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,tanB=3,求AB的值. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 1锐角三角函数(2)（答案P33) 1.几何直观知图所示，在△ABC中，/C=90,C=2.smA-号求ACAB及smB的值 2.在△ABC中，∠C=90,BC=24cm,asA=是求这个三角形的周长. 《6 九年级·上册·数学·鲁载版 建议用时10分钟，实际用时分钟 230°，45°，60°角的三角函数值(1)（答案33） 1.计算：2cos60°+2sin30°+3tan45°. 2.观察下列等式： ①sin30°=子 o60gsn45是os45号，sm60 2,cos30°=3 (1)根据上述规律，计算sin2a+sin2(90°-a)= (2)计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 230°，45°，60°角的三角函数值(2)（答案P34) 运算能力》计算： (1)2cos30°-2sin45°-tan60°； (2)cos245°-tan60°tan30°+|sin60°-1|-(-tan45)2o2s; 32sn30-08g-(an30-1. 一优计学案·课时通 7 建议用时10分钟，实际用时 分钟 230°，45°，60°角的三角函数值(3)（答案34） 1.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D,若AC=3√2，∠C=45°，tan∠ABC=3,求BD 的长 2如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45,sinB=吉AD=2,求BC的长。 建议用时10分钟，实际用时 分钟 3用计算器求锐角的三角函数值（答案P34) 1.用计算器求下列锐角的正弦、余弦和正切值（精确到0.0001）： (1)315′； (2)686. 2.应用意识)如图所示，在△ABC中，AB=8,AC=9,∠A=48°. 求：(1)AB边上的高（精确到0.01）. (2)∠B的度数（精确到1'）. 《8 九年级·上册·数学·鲁载版 建议用时10分钟，实际用时 分钟 4解直角三角形(1)（答案P34) 1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=√2，AC=√6，解这个直角三角形. 2.如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，作BC的垂直平分线DF交AC于点D,交BC于点 F,连接BD,延长AC至点E,使CE=AB. (1)若AE=1,求△ABD的周长 (2)若AD=号BD,求tan∠ABC的值， 建议用时10分钟，实际用时 分钟 4解直角三角形(2)（答案P34) 如图所示，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠ABC=∠BCD=90°，BD与AC相交于点E, AB=9.oe∠BAC-g,an∠DBC=是 求：(1)边CD的长 (2)△BCE的面积. 一优计学案·课时通 9 建议用时10分钟，实际用时 分钟 4解直角三角形(3)（答案P34) 如图所示，在△ABD中，AC⊥BD,BC=8,CD=4,cos∠ABC-5,BF为AD边上的中线. (1)求AC的长， (2)求tan∠FBD的值. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 4解直角三角形(4)（答案P35) 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，AB=5,BD1.tanB∈号 (1)求AD的长. (2)求sina的值. 10 九年级·上册·数学·鲁载版 建议用时10分钟，实际用时 分钟 5三角函数的应用(1)（答案35） 信息科技》2023年10月26日，长征二号F遥十七运载火箭托举着神州十七号载人飞船，在酒 泉卫星发射中心点火升空，送汤洪波、唐胜杰、江新林3名航天员奔赴“天宫”.如图所示，在发 射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的 距离是8km,仰角为30°；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45° (1)求点A离地面的高度AO. (2)求飞船从A处到B处的平均速度.（结果精确到0.1km/s,参考数据：√3≈1.73） 对 8 km ☒ 45309 建议用时10分钟，实际用时 分钟 5三角函数的应用(2)（答案P35) 应用意识如图所示，数学兴趣小组用无人机测量一幢楼AB的高度.小亮站立在距离楼底部 94米的D点处，操控无人机从地面F点，竖直起飞到正上方60米E点处时，测得楼AB的顶 端A的俯角为30°，小亮的眼睛点C看无人机的仰角为45°（点B,F,D三点在同一直线上）. 求楼AB的高度.（参考数据：小亮的眼睛距离地面1.7米，√3≈1.7） 一优计学案·课时通 11 建议用时10分钟，实际用时 分钟 5三角函数的应用(3)（答案35） 模型观念如图所示，某校实验楼前有一块大型的LED显示屏，小亮想测量该显示屏的高度 CD,便拿上测量工具来到实验楼前.首先，小亮站在点A处抬头从A'处观察显示屏的最底端D, 测得此时的仰角为34°，然后向前直走6米到达点B处，拾头从B处观察显示屏的最顶端C,测 得此时的仰角为45°，最后小亮测得点B到实验楼底端E的水平距离为21.5米，已知图中所有 点均在同一平面内，点C,D,E在同一直线上，点A,B,E在同一直线上，请帮助小亮求出LED 显示屏的高度CD.(结果保留整数，参考数据：sin34°≈0.6，cos34°≈0.8，tan34°≈0.7) B 建议用时10分钟，实际用时 分钟 5三角函数的应用(4)（答案35） 在一次海上救援中，两艘专业救助船A,B同时收到某事故渔船P的求救讯息，已知此时救助 船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向 上，且事故渔船P与救助船A相距120海里，如图所示. (1)求收到求救讯息时，事故渔船P与救助船B之间的距离.（结果保留根号） (2)若救助船A,B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P 处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达 《12 九年级·上册·数学·鲁载版 建议用时10分钟，实际用时 分钟 5三角函数的应用(5)（答案P35) 生活情境如图所示，在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器，先安装支架AB和CD(均与水平 面垂直)，再将集热板安装在AD上.为使集热板吸热率更高，要求AD与水平线的夹角α为 48°，且两支架之间的水平距离为150cm.现测量出屋顶斜面BC与水平面的夹角3为30°，支 架AB的高度为20cm,求支架CD的高度.（结果精确到1cm.参考数值：sin48°≈0.74， cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，√3≈1.73) 建议用时10分钟，实际用时 分钟 5三角函数的应用(6)（答案36） 某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥.如图所示， 该河旁有一座小山，山高BC=80m,坡面AB的坡比为1：0.7，点C,A与河岸E,F在同一 水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE=45°，∠DBF=31°. (1)求山脚A到河岸E的距离. (2)若在此处建桥，试求河宽EF的长度.（结果精确到0.1m,参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈ 0.86,tan31°≈0.60) 5i阿 459 一优计学案·课时通 3 建议用时10分钟，实际用时 分钟 6利用三角函数测高(1)（答案P36) 应用意识)如图所示，AB是一垂直于水平面的建筑物，BC是建筑物底端的一个平台，斜坡 CD的坡比为1：0.75，坡长为10米，DE为地平面(A,B,C,D,E均在同一平面内)，在C处 测得建筑物AB的顶端A的仰角为60°，在E处测得建筑物AB的顶端A的仰角为30°，DE= 30米.求建筑物AB的高度.（测角仪的高度不计，结果保留整数，√3≈1.7） 建议用时10分钟，实际用时 分钟 6利用三角函数测高(2)（答案P36) 如图所示，大厅的天花板上挂有一盏吊灯AB,测量人员从C点处测得吊灯顶端A的仰角为 37°，吊灯底端B的仰角为30°，从C点沿水平方向前进6米到达点D,测得吊灯底端B的仰角 为60°，求吊灯AB的长度.（结果精确到0.1米.参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， tan37°≈0.75，√2≈1.41，√3≈1.73) D 14 九年级·上册·数学·鲁载版CD=5,.n-5=m②. 把①代入②，得6m-5=m,∴.m=1, 当≥1.5时，设函数关系式为y=兰，则a=150×1.5=25, 把m=1代入①，得n=6,m=1, 解得a=225, n=6. 故y=25(x≥1.5. x (2)由(1)可知mA(1,6),B(6,1D, ln=6. 综上所述，y与x之间的两个函数关系式为 /100x(0≤x<1.5), 设反比例函数的表达武为y-空，把A1,6)的坐标代入y y=225(x≥1.5). 冬得-6 (2)第二天早上7：00不能驾车去上班.理由： ,晚上8：00到第二天早上7：00有11个小时， 6 ∴反比例函数的表达式为y= x 当x=11时9=空>0， 设直线AB的函数表达式为y=ax十b(a≠0)， ∴.第二天早上7：00不能驾车去上班. 把A1,6),B(6,1)的坐标代人y=ax+b,得a+b=6, 6a+b=1 3反比例函数的应用(3) 部得低二7”：直线AB的高数表达式为y-+7 解：(1)15 (2)表格数据知F·L=10×29.5=295. (3)存在.如图所示， F与L的函数关系式为F=295 L (③)当F=50牛时，由F=29,得L=5,9,根据反比例函数的 图象与性质可得L≥5.9， 由题意可知L≤50，'.L的取值范围是5.9cm≤L≤50cm. 第二章直角三角形的边角关系 OD 龙C 1 锐角三角函数(1) 设E(x,0),连接AE,BE,则DE=x-1,CE=6-x.AD⊥ x轴，BC⊥x轴， BC -13 1解：8∠C=90,tan A -AC于3anB=AC BC .∠ADE=∠BCE=90°， 则SABE=SaAD-SADE-SAE=2(BC+AD)·CD 一8 1 2.解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3, 吉DB·ADcE:BC-号x1+6)X5合xx-1)x BC-3.BC-AC39 tan B=AC_4 6-×6-0X1-58 anB一车=4，根据勾股定理， 22x=5, 3 .x=5, 得AB=VAC2+BC=15 .E(5,0) 1锐角三角函数(2) 3反比例函数的应用(1) 1解：在AMBC中，∠C=30,BC=2,A-g=子 1.解：(1)设p= ,将A4,25)的坐标代入p=合，得 品-号AB=6 25=年 .AC=√AB2-BC=√62-2=42， 10 解得k=10,…p=V 如-船g2号 3 (2)将V=8代入p-吕，得p=号.该气体的蓄度为 10 2解：在R△ABC中，esA-G-8可设AC=5rem 哥em AB=13x cm, 由勾股定理，得BC=12xcm.BC=24cm,.12x=24, x=2, 2解：0 .'.AB=26 cm,AC=10 cm, ,.△ABC的周长为10+24+26=60(cm). (2)3 (3当1≤10A时，则管≤10， 230°，45°，60°角的三角函数值(1) ∴.R≥3.62， 1解：原式=2×号+2×号+3×1=1+1+3=5. ∴.用电器的可变电阻至少是3.62. 2.解：(1)1 3反比例函数的应用(2) (2)sin21°+sin2°+sin23°++sin289°=(sin21°+sin289)+ 解：(1)由题意，得当0≤x<1.5时， (sm2+sm8)+…+si证46”=1+1++1+7=4+ 设函数关系式为y=kx,则150=1.5k,解得k=100, 189 故y=100x(0≤x<1.5); 2-2 33 230°，45°，60°角的三角函数值(2) 2.解：(1)DF垂直平分BC,∴.BD=CD, △ABD的周长为AB+AD+BD=AB+AD+DC= 解：0源式=2x誓-2×号-5=月-区-=-反. AB+AC. 2 :CE=AB,.△ABD的周长为AC+CE=AE=1. (2)原式=(（ -(-1)2 3+18 (2设AD=.AD=号5D,BD=3z. 2 -1+1-3 3√5 .BD=CD,..AC=AD+CD=4x, +1= 22 在Rt△ABD中，AB=√BD-AD=√(3x)2-x=2W2x. 原武-2x()三（悟-）-2x+1 ÷tan∠ABC=AC-4红=V2. AB2√2x 合+1-1 4解直角三角形(2) 解：(1).'∠ABC=∠BCD=90°，AB=9,cos∠BAC= 3 230°，45°，60°角的三角函数值(3)】 5 1.解：在Rt△ADC中，AC=32,∠C=45.:sinC= tan∠DBC=2, AC AB ∴.设CD=5a,则BC=12a,AC= AD=ACsin C-3x =3.又：在Rt△ABD中， cos∠BAC=15. 2 :在Rt△ABC中，BC=√/AC2-AB=12. AD an∠ABC=3,心BD=3,.BD=1,即BD的长为1. .12a=12,解得a=1, 2.解：在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB= .CD=5a=5, 3AD=2 即CD的长是5. (2)由(1)知，AB=9,BC=12,CD=5. 小0子m46-部 CD=1, ∴AB=6,CD=2, ∴.BD=√62-2=4√2， ∴.BC=BD+CD=4√2+2. 3用计算器求锐角的三角函数值 :∠ABC=∠BCD=90°，.AB∥CD, 1.解：(1)sin315'≈0.0567，cos315≈0.9984， CE CD 5 tan3°15'≈0.0568. AEAB9’ (2)sin68°6≈0.9278，cos686≈0.3730， 如图所示，作EF∥AB交CB于点F,则△CEFC∽△CAB, tan68°6'≈2.4876. 2.解：(1)作AB边上的高CH,垂足为点H,如图所示。 ÷蛋阳罗解得EF-货 △BCE价质积为C:坠1X智15 2 2 7 4 解直角三角形(3)》 H 解：1 Ac1.BD.o/ABC=-器-号，BC=8, :在Rt△ACH中，sinA= CH AC, .AB=10,在Rt△ACB中，由勾股定理，得 ∴.CH=AC·sinA=9sin48°≈6.69. AC=√AB2-BC=√102-8=6， (2):在R△ACH中，cosA=A AC 即AC的长为6. (2)如图所示，连接CF,过点F作FE⊥BD于点E. ∴.AH=AC·cosA=9cos48°， CH CH 9sin48° 在Rt△BCH中，tanB=BHAB-AH-8-9cos48 3.382, ∴.∠B≈7332'. CE D 4解直角三角形(1) BF为AD边上的中线，即F为AD的中点， 1.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=√2，AC=√6， CF-AF-FD-AD. BC√2√3 ∴tanA=AC6-3' 在Rt△ACD中，由勾股定理，得 AD=√AC2+CD=√62+4=2√I3,∴.CF=√I3. ∠A=30°， :△CFD为等腰三角形，FE⊥CD, .AB=2BC=2√2，∠B=90°-∠A=60°， ∴.∠A=30°，AB=2V2,∠B=60. CE-CD-2 34 在Rt△EFC中，EF=√CF2-CE2=√/I3-4=3, .CG=DF=58.3米，∴.IE=BF=BD一DF=9458.3= 六tan∠FBD- 3 3 35.7(米). BE BC+CE10 在Rt△AIE中，∠AEI=30°， 4解直角三角形(4) A1-1Ean30-35.7X ≈20.23（米）， 解：1)在R△ABC中，∠C=90,anB-,AB=5, ∴.AB=IB-IA=60-20.23=39.77(米)， ∴楼AB的高度约为39.77米. .可设AC=3x,BC=4x. :AC2+BC2=AB2,(3x)2+(4x)2=52, 5三角函数的应用(3) 解得x=一1（舍去）或x=1, 解：如图所示，延长A'B交CE于点F,则B'F=BE=21.5米. .AC=3,BC=4. BD=1,.CD=3, ∴AD=√CD+AC=32. (2)过点D作DE⊥AB于点E,如图所示. E BA .A'F=AE=21.5+6=27.5(米). CF=B'F·tan∠CB'F=21.5·tan45°=21.5X1= D 21.5(米)， 3 DF=A'F·tan∠DA'F=27.5·tan34°≈19.25（米）， 在Rt△BED中，tanB= .CD=CF-DF=21.5-19.25≈2（米）. .可设DE=3y,则BE=4y. 答：LED显示屏的高度CD为2米. :BE2+DE2=BD2,∴.(3y)2+(4y)2=12, 5三角函数的应用(4) 解得y=一 （合去成y=日 解：(1)过点P作PC⊥AB于点C,如图所示. 3 则∠PCA=∠PCB=90°. _DE5瓦 由题意得PA=120海里，∠CAP=30, DE=5sin a-AD-3107 ∠CBP=45°. 在Rt△ACP中，，∠CAP=30°，∠PCA=90° 5三角函数的应用(1) 解：(1)在Rt△AOC中，∠AOC=90°，∠AC0=30°，AC= 六PC=PA=60海里. 8 km, 在R△BCP中，：∠PCB=9o,∠CBP=45,sin∠CBP=PC PB' 1 1 A0=2AC=2X8=4(km. PC 60 .'.PB= =602(海里). (2)在Rt△AOC中，.'∠AOC=90°，∠ACO=30°，AC=8km, sin45°W2 2 .OC-3AC-43 km. 答：收到求救讯息时，事故渔船P与救助船B之间的距离为 在Rt△BOC中，'∠BOC=90°，∠BCO=45°， 60√2海里. ∴.∠BCO=∠OBC=45°， (2)·PA=120海里，PB=60√2海里，救助船A,B分别以 ∴.OB=OC=4W3km 40海里/时，30海里/时的速度同时出发， ..AB=OB-OA=(43-4)km, 教助船A所用的时间为 =3(小时)，救助船B所用的时 :飞船从A处到B处的平均速度为4y-4≈0.3(km/. 10 间为60E=-22(小时).：3>22，救助船B先到达 30 5三角函数的应用(2) 5三角函数的应用(5) 解：如图所示，过点C作CG⊥EF,垂足为点G,延长BA交HE 于点1. 解：如图所示，过点A作AF⊥DC,交DC的延长线于点F,过 点B作BE⊥DC,交DC的延长线于点E. H D B 由题意，得BI⊥EH,GF=CD=1.7米，CG=DF,EI=BF, 由题意，得四边形ABEF是矩形，∴.AF=BE=150cm,AB= EF=IB=60米，BD=94米， EF=20 cm. .EG=EF-FG=60-1.7=58.3米 在Rt△DAF中，∠DAF=48°，DF=AF·tan48°≈150X 在Rt△EGC中，∠DCG=45,CG=BC tan45=58.3米， 1.11=166.5(cm). 35 在Rt△CBE中，∠CBE=30°，CE=BE·tan30°=150× 3」 则BE⊥CD. .∠BCD=30°，∠BDE=60°，∴.∠CBD=60°-30°=30°， 86.5(cm), .∠CBD=∠BCD,.BD=CD=6米， .DE=DF+EF=166.5+20=186.5(cm), ∴.在Rt△BDE中，DE=BDXcos60°=3米， DC=DE-CE=186.5-86.5=100(cm). BE=BDX sin60°=3√3≈5.19米 答：支架CD的高度约为100cm, ∴.CE=CD+DE=6+3=9(米). 5三角函数的应用(6) 在Rt△ACE中，AE=CE×tan37°≈9×0.75=6.75（米）， ∴.AB=AE-BE≈6.75-5.19=1.56≈1.6（米）， 解：(1)在Rt△ABC中，BC=80m. ∴.吊灯AB的长度约为1.6米. 1 801 y坡面AB的坡比为1：0.7,8C。7AC。7号 第三章 二次函数 ,∴.AC=56m. 1对函数的再认识(1) 在Rt△BCE中，BC=80m,∠BEC=∠DBE=45°， 1.解：当x=-1时， .∠CBE=90°-∠BEC=90°-45°=45°， (1)y=3x-7=3×(-1)-7=-3-7=-10. ∴.∠BEC=∠CBE,.CE=BC=80m,.AE=CE-AC= -1 80-56=24(m). (2)y= 3 √/2-x√2-(-1) 3 答：山脚A到河岸E的距离为24m. (2)在Rt△BCF中，BC=80m,∠BFC=∠DBF=31°， (3)y=√x+10=√-1+10=3. m∠BrC-8S…82*a6CF≈18.3m (4)y= √/3-xW/3-(-1) x-1 -1-1 二一1 .EF=CF-CE=133.33-80≈53.3(m). 2.解：(1)由题意，得 答：河宽EF的长度约为53.3m. y=x(12÷2-x)=-x2+6x(0<x<6). 6利用三角函数测高(1) 所以矩形的面积y与x之间的函数关系式为y=一x2+6x (0<x<6). 解：延长AB交DE于点G,过点C作CF⊥EG,垂足为点F,如 (2)当x=4时，y=一x2+6.x=-16+24=8,即y的值是8. 图所示. 1对函数的再认识(2) 1.解：(1)自变量的取值范围是全体实数. (2)由题意，得x-3≥0且5-x≥0， 解得3≤x≤5. (3)由题意，得4-2x>0, GF D H 解得x<2. 由题意，得AG⊥DE,BC=GF,BG=CF,设BC=GF=a米， 2.解：(1)S是n的函数， 在Rt△ABC中，∠ACB=60°， 当n=1时，S=8=5×1+3, .AB=BC·tan60°=√3a米. 当n=2时，S=13=5×2+3, 斜坡CD的坡比为1：0.75， 当n=3时，S=18=5×3+3, ∴.S=5n+3. .设CF=4x米，则DF=3x米. (2)存在. 在Rt△CFD中，CD=√CF2+DF=√(4x)+(3x)=5.x(米). 令S=2023,解得n=404, CD=10米，.5x=10,.x=2, ∴.存在第404个这样的图案，使白色正方形的个数为2023. ∴.BG=CF=4x=8米，DF=3x=6米， .AG=AB+BG=(3a+8)米..DE=30米， 2二次函数(1) ,∴.GE=GF十DF+DE=(a十36)米. 解：(1)这两个数的乘积p与较大的数m的函数表达式为p= 在Rt△AGE中，∠AEG=30°， m(m-5)=m2-5m,是二次函数. ∴tan30°-AC-3a+8V5 (2)剩余的面积S(cm2)与方孔边长x(cm)的函数表达式为S= GE 36+a 3' 100π-4x2,是二次函数. 解得a=18-4√3， (3)郁金香的种植面积S(cm)与草坪宽度a(m)的函数表达式 经检验，a=18-4√5是原方程的根， 为S=(60-2a)(40-2a)=4a2-200a+2400,是二次函数. .AB=√3a=18√3-12≈19（米）， 2二次函数(2) ∴.建筑物AB的高度约为19米. 1.解：(1)由题意，得|m一1=0且m-1≠0， 6利用三角函数测高(2) 解得m=士1且m≠1，∴.m=一1， 解：延长AB交CD的延长线于点E,如图所示. .当m=一1时，这个函数是关于x的一次函数. (2)由题意，得|m|一1≠0，解得m≠±1， .当m≠士1时，这个函数是关于x的二次函数. 2.解：由题意，得y=x(50-2x)=-2x2+50x. .墙长为20m, ∴.0<50一2x≤20，解得15≤x<25,故自变量的取值范围是 D 15≤x<25. 36