3.1 第1课时垂径定理-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(青岛版2012)

∴.AD PD x ∠A,∠AEO=∠AFC,∴.△AEOD△AFC, tan68.2°≈ 5 m,BE=AD=2z m, 架跽脚号亮c-酷CDLAB, 53 .PE=PD+DE=(a+520)m, cE=Bc-5E-(200）m 48 ∴.CD=2CF= =9.6. 5 在Rt△PCE中，tanC=tan56.31°= PE 13.6√1014.5m CE 15.70或170解析：如图所示，OE⊥CD,OF⊥AB. x+520 ≈1.50，解得x=800, 由题意AB=100cm,CD=240cm, 1200-2z 根据垂径定理，得 5 ∴.PD=800m, DE-CD-120 cm,BF-2AB-50 cm. .PE=PD+DE=800+520=1320(m). 直径为260cm,半径OD=OB=130cm. 答：明珠大剧院到龙堤BC的距离约为1320m. 在Rt△OED中，OE2=OD2-DE2=1302- A 168.2 1202=2500, +东… AE ∴.OE=-50cm.在Rt△OFB中， D OF2=0B2-BF2=1302-502=14400, 56.319 .OF=120cm. ①当CD在圆心下方时， EF=OF-OE=120-50=70(cm); ②当CD在圆心上方时， 第3章对圆的进一步认识 EF=OF+OE=120+50=170(cm). 3.1圆的对称性 综上所述，水位上升70cm或170cm. 第1课时垂径定理 (课程标准变动内容) 1.C2.D3.B4.B 5.36.26 D 7.证明：ODLAB于点D,AD=,AB F B 16.解：(1)过点O作OD⊥AB,垂足为D,如图所示. ·E是AC的中点，OE⊥AC,AE= :AB=8,AD=BD=方AB=4 ∴.∠ADO=∠AE0=90°， .AB⊥AC,∠DAE=90°， 在Rt△OBD中，oS∠ABC= ∴.四边形ADOE是矩形. 5, .AB=AC,∴.AD=AE, ..OB= BD 4=5,⊙0的半径为5. ∴.矩形ADOE是正方形. cos∠ABC= 8.C解析：过O点作OE⊥AB于点E,交CD于点 F,连接OA,OC,如图所示.，AB∥CD, (2)过点C作CE⊥AB,垂足为E,如图所示 OF LCD,AE-BE-AB-4 cm.CF- 0C=20B,0B=5BC=20B=7.5. DF=1 CD=3cm,在Rt△OAE中，'OA=5cm, ·OD⊥AB∴OD/CE,OB=BD BCBE' AE=4cm,∴.OE=√52-4=3(cm).在Rt△OCF 中，.OC=5cm,CF=3cm, 号远BE=6 ∴.AE=AB-BE=8-6=2. ∴.0F=√52-32=4(cm). ①当，点O在AB与CD之间时，如图①所示，EF= 在Rt△BCE中，CE=√BC2-BE2= OF+OE=4+3=7(cm); √/7.52-6=4.5. ②当点O不在AB与CD之间时，如图②所示， EF=OF-OE=4-3=1(cm). 在Rt△ACE中，tan∠BAC=CE_4.5_9 AE24 综上所述，EF的值为1cm或7cm. :∠BAC的正切值为是 9.A10.A11.D 12.A解析：.OE⊥AC,.AE=EC.AB⊥CD, 17.解：如图所示，设圆弧所在圆的圆心为O,连接OA, ∴.∠AFC=∠AEO=90°.，OE=3,OA=OB=5, OA',设半径为x米， .AE=√AO2-OE2=4,∴.AC=8..∠A= 则OA=OA'=OP=x米. 16 由垂径定理可知AM= BM,A'N=B'N」 当对称点为(1,0)时，直线AB为x=3 ,如图所 AB=60米， 示，线段A2B2, ∴.AM=30米，且OM OP-PM=(x-18)米. 0 则ON=3」 A:B:=2A:N. 在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2 OM2+AM2, 由勾股定理，得A,N=√OA,-ON= 4 即x2=(x-18)2+302,解得x=34, ∴.ON=OP-PN=34-4=30(米). 在Rt△A'ON中，由勾股定理，得A'N 4,多 √OA2-0N2=√342-30=16（米）， .A'B'=32米>30米，.不需要采取紧急措施. 签上所注AB的长为或号安。 18.解：（1)旋转一周用时120秒，.每秒旋转 第2课时圆心角、弧和弦之间的关系 需- 1.A2.33°3.A4.C 5.证明：(1)AB=CD, 当经过95秒后该盛水筒运动到点B处时， ..AB=CD,AD+AC=BC+AC, ∠AOB=360°-3°X95=75°. ..AD=BC. :∠AOM=30°，.∠BOM=75°-30°=45° (2)如图所示，作BC⊥OM于点C,设OM与水平 (2)连接BD,如图所示.：AD=BC, 面交于点D,则OD⊥AD ∴.AD=BC 又AB=CD,BD=DB, 在Rt△OAD中，∠AOD=30°，OA=2米， ∴.△ADB≌△CBD(SSS), ∴.∠ABD=∠CDB,..DE=BE AD=0A=1米，0D=V2-=5(米). 又AB=CD,∴.AE=CE 6.B7.A8.C9.C 在Rt△OBC中，∠BOC=45°，OB=2米， 10.B解析：以点F为圆心，DE长为半径作孤，交 BC-0C- 20B=V2(米)， DF于点G ∴.FG=DE,∴∠GCH=∠ACB ∴.CD=OD-OC=√3-√2≈0.3（米）， GH⊥BF,∴∠GHC=90°， 即该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离约为 ∴.∠B=∠GHC=90°， 0.3米. .△CGH∽△CAB, 19.解：(1)C1(0,0),C4(2,0) .∴.GH：AB=CG:AC (2)由垂径定理可知，弦AB的垂直平分线过圆 心O, .AC=√AB2+BC2=√62+82=10， .GH:6=5:10,,.GH=3. “点C(2,0)是弦AB的“关联点”， 11.312.51.5° ∴.OC为弦AB的垂直平分线， 13.证明：如图所示，连接AC,BD,设∠1~∠6. ∠AOB=90°，OA=OB, ∴点C(2,0)关于直线AB的对称点为(-1,0)或 .∠4=∠5=45°. (1,0). 点C,D是AB的三等分点， ∴.∠1=∠2=∠3=30. 当对称点为(-1,0)时，直线AB为工=一 4,如图 .∠6=∠1+∠4， 所示，线段A1B1, ∠6=75° .OB=OD, .∠ODB= 1 :×(180° 30)=75°. ∴.∠6=∠ODB.∴.BF=BD, 同理AC=AE. .AC=CD=BD, 则OM- 4AB:=2A1M. .'.AC=CD=BD..'.AE=BF=CD 14.解：(1)如图所示，过点A作 由勾股定理，得AM=√OA,-OM=西 AA'⊥MN于点E,交⊙O 于点A',连接BA',交MN A,B,=1⑤ 于点P,则点P即为所求. 2 (2),点A是半圆上的一个 三等分点， 17本章综合提升（答案P13) 本章知识归纳 正弦： 锐角a的三角比 余弦： 正切： sin30°： ,cos30°： tan30°： 特殊角的三角比 sin45°： cos45°： tan45°： sin60° cos60° tan60°： 已知锐角求三角比 用计算器求锐角三角比 解直角三角形 已知三角比求锐角 两锐角关系： 依据Rt△ABC,∠C=90° 三边的关系： 边角的关系： 解直角三角形 求边 已知两边 类型 求角 求角 已知一锐角和一边 求边 仰角、俯角问题 解直角三角形的应用 坡度、坡角问题 构造直角三角形求解 方向角问题 思想方法川纳 >>>>>>>>>>>>>>>>>> 【例1】应用意识》如图所示，一人在道路 1.数形结合思想 上骑行，BD段是坡路，其余为平路，当他路过A, 把数学问题中的数量关系与图形结合起来 B两点时，一架无人机从空中的C点处测得A, 进行分析，并充分利用这种结合寻找解决问题的 B两点的俯角分别为30°和45°，AB=40m, 思路，从而使问题得到解决，这种处理问题的方 BD=20m,∠BDF=159°，点A,B,C,D,E,F 法就是数形结合的思想方法.这种思想方法包含 在同一平面内，CE是无人机到平路DF的距离， “以形助数”和“以数辅形”两个方面，其实质是把 求CE的长.（结果精确到整数，参考数据：√3≈ 问题的数学关系和空间形式结合起来，使抽象问 1.73,sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈ 题直观化，复杂问题简单化，这样往往能收到事 0.38) 半功倍的效果。 30 链接本章… 45 本章从概念的引出到公式的推导及直 B 角三角形的解法和应用，都体现了数形结合 的思想方法.例如，在解直角三角形问题时， 要先画出图形，使已知元素和未知元素更加 直观，这样有助于问题的顺利解决. 3 优计学案·课时通 【变式训练1】如图所示，一艘轮船在A处测求铁塔的高.（精确到0.1米） 得灯塔M位于A的北偏东30°方向上，轮船沿着 正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位 于B的北偏东60°方向上，测得港口C位于B的 B D a 北偏东45°方向上.已知港口C在灯塔M的正北 方向上. (1)填空：∠AMB= 度，∠BCM= 度 (2)求灯塔M到轮船航线AB的距离（结果 保留根号)。 (3)求港口C与灯塔M的距离（结果保留根 【变式训练2】如图所示，某次军事演习中，一 号) 艘船以40km/h的速度向正东航行，在出发地A 测得小岛C在它的北偏东60°方向，2小时后到 60 达B处，测得小岛C在它的北偏西45°方向，求 该船在航行过程中与小岛C的最近距离.（参考 30 数据：√2≈1.41，√3≈1.73.结果精确到0.1km) 60 45 2.方程思想 链接本章 解直角三角形中常利用锐角三角比构 造方程，体现了方程思想在解直角三角形中 的应用 3.数学建模思想 5y 在解决实际问题时，首先通过对已知和未知 【例2】(2023·潍坊昌乐月考)如图所示， 的分析，建立与某种数学知识的联系，得到一个 要测量铁塔的高AB,在地面上选取一点C,在 数学模型，然后利用有关的数学知识求出这个模 AC两点间选取一点D,测得CD=14米，在C, 型的解，最后得到问题的答案，这种从数学的角 D两点处分别用测角仪测得铁塔顶端B的仰角 度发现问题、提出问题、理解问题，直至解决问题 α=30°和B=45°.已知测角仪支架的高为1.2米，的方法称为数学建模思想方法 -九年级·上册数学：QD 54 链接亦章…… 【变式训练3】新情境》如图所示，堤坝AB 解直角三角形应用题作为考查应用能 长为10m,坡度i为1：0.75，底端A在地面上， 力的题目一直是中考的热点.这类题目都可 堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高 以通过建立三角形模型，运用三角形的相关 20m的铁塔CD.小明欲测量山高DE,他在A 知识理解题目给出的示意图或自己画出示 处看到铁塔顶端C刚好在视线AB上，又在坝顶 意图，找出要解的直角三角形，或通过添加 B处测得塔底D的仰角α为26°35.求堤坝高及 适当的辅助线构造出直角三角形，把实际问 山高DE.(sin26°35'≈0.45，cos26°35'≈0.89， 题中的条件转化为直角三角形中的元素.从 tan2635'≈0.50，小明身高忽略不计，结果精确 实际问题中抽象出方程模型（方程思想），通 到1m) 过解方程求出答案. 1..-- 【例3】应用意识》如图①所示是某越野车 的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知 AB=1m,BC=0.6m,∠ABC=123°，该车的高 度AO=1.7m.如图②所示，打开后备厢，车后盖 ABC落在AB′C'处，AB'与水平面的夹角 ∠B'AD=27°. (1)求打开后备厢后，车后盖最高点B到地 面l的距离. (2)若小琳爸爸的身高为1.8m,他从打开的 车后盖C'处经过，有没有碰头的危险？请说明理 由.（结果精确到0.01m,参考数据：sin27°≈ 0.454,cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，√5≈ 1.732) 通模拟>>2>>>>>> ② 1.(2023·泰安宁阳期末)如图所示，A,B,C三 点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕 着点A逆时针旋转得到△AB'C',则tanB'的 值为( A A.2 B.3 C.4 0② 4 55 优计学案·课时通 2.(2023·泰安一模)某区域平面示意图如图所 5.(2023·潍坊一模)某数学兴趣小组在一次数 示，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相 学实践活动中对主桥墩AB的高度进行了测 垂直的公路.甲侦测员在A处测得点O位于 量，如图所示是其设计的测量示意图.已知桥 北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南 墩底端点B到河岸的参照点C的距离为100米， 偏西73.7°，测得AC=840m,BC=500m,则 该小组沿坡度i=1:2.4的斜坡CD行走 点O到BC的距离为( )参考数据 52米至坡顶平台的点D处，再沿平台行走 52米到达点E处，在E处测得桥墩顶端点A sin73.7≈24 ,c0s73.7° 24 25tan73.7≈ 的仰角为19°. (1)求平台DE到水平面BC的垂直距离. 北 东 (2)求桥墩AB的高度. 73.7 (参考数据：sin19°≈0.33，cos19°≈0.95， tan19°≈0.34) A.140m B.340m C.360m D.480m D 3.(2023·聊城期末)在△ABC中，若 3 /1 sin A- 2 2 -cos B =0,则△ABC 是 三角形 4.(2023·菏泽单县二模)如图所示，海中有一小 6.(2023·聊城阳谷一模)如图所示，某数学小组 岛A,今有一货轮由南向北航行，开始在A岛 要测量学校路灯P一M一N的顶部到地面的 西南方向的B处，往北行驶30海里后到达该 距离，他们借助皮尺、测角仪进行测量，在B处 岛南偏西76°的C处.之后，货轮继续向北航 测得路灯顶部P的仰角α=58°，D处测得路灯 行.一艘快艇从A岛出发，沿北偏西37°方向行 顶部P的仰角B=31°，已知BC=2m.测角仪 驶，恰好在D处与货轮相遇，求相遇时快艇行 的高度为1.6米，路灯顶部到地面的距离PE 驶的距离AD.(结果保留整数，参考数据： 约为多少米？（结果精确到0.1米.参考数据： sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos58°≈0.53， sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.00) tan58°≈1.60) 北 。东 -九年级·上册·数学：QD 56 通中 10.(2023·菏泽中考)无人机在实际生活中的应 ]>>>>>>>>>>>>>> 用越来越广泛.如图所示，某人利用无人机测 7.(2023·泰安中考)在一次综合实践活动中，某 量大楼的高度BC,无人机在空中点P处，测 学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进 得点P距地面上A点80米，点A处的俯角 行了测量.如图所示，在塔前C处，测得该塔顶 为60°，楼顶C点处的俯角为30°，已知点A 端B的仰角为50°，后退60m(CD=60m)到 与大楼的距离AB为70米（点A,B,C,P在 D处有一平台，在高2m(DE=2m)的平台上 同一平面内)，求大楼的高度BC.（结果保留 的E处，测得B的仰角为26.6°.则该电视发 根号) 射塔的高度AB为 m.（精确到1m. 参考数据：tan50°≈1.2，tan26.6°≈0.5) ■■■ 26.6E 50 C E 第7题图 第8题图 8.(泰安中考)如图所示，某一时刻太阳光从窗户 11.(2023·聊城中考)东昌湖西岸的明珠大剧 射入房间内，与地面的夹角∠DPC=30°，已知 院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥 窗户的高度AF=2m,窗台的高度CF=1m, 等景观遥相呼应.如图所示，城门楼B在角楼 窗外水平遮阳篷的宽AD=0.8m,则CP的长 A的正东方向520m处，南关桥C在城门楼 度为 .(结果精确到0.1m) B的正南方向1200m处.在明珠大剧院P 9.(2023·潍坊中考)如图所示，1是南北方向的 测得角楼A在北偏东68.2°方向，南关桥C 海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C 在南偏东56.31°方向（点A,B,C,P四点在 位于码头A北偏东60°方向.一艘勘测船从海 同一平面内)，求明珠大剧院到龙堤BC的距 岛C沿北偏西30°方向往灯塔B行驶，沿线勘 离.（结果精确到1m,参考数据：sin68.2°≈ 测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东15° 0.928,cos68.2°≈0.371，tan68.2°≈2.50， 方向的D处石油资源丰富.若规划修建从D sin56.31°≈0.832，c0s56.31°≈0.555， 处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长 tan56.31°≈1.50) 度是多少千米？（结果保留根号） t68.29 北 东 不 56.319 57 优计学案·课时通