第二章 直角三角形的边角关系 本章综合提升-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(鲁教版2012 五四学制)

本章综合提升（答案P16) 本章知识归纳 三边关系： 直角三角形的边角关系 锐角之间的关系： 边角之间的关系： 特殊锐角的三角函数值 锐角三角函数 已知斜边和一条直角边 已知两条直角边 四种基本类型 已知斜边和一个锐角 已知一条直角边和一个锐角 解直角三角形 基本方法 有斜用弦，无弦用切，宁乘勿除，取原避中 若遇斜三角形，可」 应用 思想方法纳 (1)求BC的长.（结果保留根号） >》>>>>>>>>>>>>>>>>> (2)如果DE=8.72米，求水池的深， 1.方程思想 (参考数据：√2≈1.41,3≈1.73，sin22°≈0.37， “白链接亦章 cos22°≈0.93，tan22°≈0.4，sin40.5°≈0.65， 在处理有关直角三角形中的问题及利 cos40.5°≈0.76，tan40.5°≈0.85) 用直角三角形的边角关系来解决实际问题 时，巧妙利用方程思想可事半功倍 1. 【例1】如图所示，光从空气斜射人水中，入 射光线AB射到水池的水面B点后折射光线BD 射到池底点D处，入射角∠ABM=30°，折射角 ∠DBN=22°；入射光线AC射到水池的水面C 点后折射光线CE射到池底点E处，入射角 ∠ACM'=60°，折射角∠ECN'=40.5°.DE∥ BC,MN,M'N'为法线.入射光线AB,AC和折 射光线BD、CE及法线MN,M'N'都在同一平面 内，点A到直线BC的距离为6米， M M 空气 52 九年级·上册数学·鲁教版一 【变式训练1】如图所示，从水平面看一山坡 路是否会穿越纪念园？试通过计算加以说明. 上的通讯铁塔PC,在点A处用测角仪测得塔顶 (参考数据：sin61°≈0.87，c0s61°≈0.48， 端点P的仰角是45°，向前走9米到达B点，用 tan61°≈1.80，√2≈1.41) 测角仪测得塔顶端点P和塔底端点C的仰角分 北 别是60°和30°. B 6 (1)求∠BPC的度数. (2)求该铁塔P℃的高度.（结果精确到 0.1米，参考数据：√3≈1.73，√2≈1.41) P 4.B 【变式训练2】周末，小红和小宇相约一起去 郊外劳动基地参加劳动.如图所示，已知小红家 B在小宇家A的北偏西25°方向上，AB=5km. 两人到达劳动基地C处后，发现小宇家A在劳 动基地C的南偏西25°方向上，小红家B在劳动 基地C的南偏西70°方向上.求小宇家A到劳动 基地C的距离AC.(结果保留一位小数，参考数 据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19， √2≈1.41) 2.建模思想 百链接亦章… 本章可通过建立数学模型构造直角三 角形.通过作辅助线将非直线三角形转化成 直角三角形，进而解直角三角形来解决 问题. 【例2】某地修建了一座以“讲好家乡故事， 厚植种子情怀”为主题的半径为900m的圆形纪 念园.如图所示，纪念园中心A位于C村西南方 向和B村南偏东61°方向上.C村在B村的正东 方向且两村相距2.8km.有关部门计划在B,C 两村之间修一条笔直的公路来连接两村.问该公 一优学案·课时通 53 通模拟22 c.7☒tan28▣ 1.(2023·烟台栖霞期末)在Rt△ABC中， D.⑦÷tan28= ∠C=90°，AC=6,AB=7,则cosA=( A.g B C D.6v85 B 85 7米 28° 50 26.6E A C D 2.(2023·烟台龙口期中)如图所示，将△ABC 第5题图 第6题图 放在每个边长为1的小正方形网格图中，点 6.(2023·泰安中考)在一次综合实践活动中，某 A,B,C均在格点上，则sinC的值是() 学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进 行了测量.如图所示，在塔前C处，测得该塔顶 端B的仰角为50°，后退60m(CD=60m)到 D处有一平台，在高2m(DE=2m)的平台上 的E处，测得B的仰角为26.6°，则该电视发 射塔的高度AB为 m.(精确到1m. A号 c 参考数据：tan50°≈1.2，tan26.6°≈0.5) 3.(2023·泰安新泰期中)如图所示，在△ABC 7.(2023·威海中考)如图所示，某育苗基地为了 能够最大限度地遮挡夏季炎热的阳光和充分 中，BC=7,c0sB=2 2,sin C= 5,则△ABC 利用冬天的光照，计划在苗圃正上方搭建一个 的面积是() 平行于地面的遮阳篷，已知苗圃的（南北）宽 A号 AB=6.5米，该地区一年中正午时刻太阳光与 B.12 C.14 D.21 地平面的最大夹角是∠DAE=76.5°，最小夹 角是∠DBE=29.5°.求遮阳篷的宽CD和到 地面的距离CB, 参考数据：sin29.5≈00cos29,5≈87 100' 第3题图 第4题图 tan29.5≈ 4.(2023·烟台芝采区期中)如图所示，四边形 25sin76.5°≈97 100,c0s76.5°≈ ABCD的对角线AC,BD相交于O. 23 100,tan76.5≈ tan∠AOD=了，AC=BD=5,则这个四边形 4 的面积是 通中考 765 >2>>>>>>>22>>>% 29.5 5.(2023·威海中考)如图所示，某商场有一自动 扶梯，其倾斜角为28°，高为7米.用计算器求 AB的长，下列按键顺序正确的是() A.⑦☒sim28日 B.7÷sin28= 54 九年级上册数学·鲁教版一2BC-4x,AD-AB-BDT=3x. BD= 【例2】思路分析：过，点A作AD⊥BC,垂足为，点D,根据题意 可得∠ACD=45°，∠ABE=61°，BC=2.8km,AD∥BE,从 1 S△Ac=48,.2BC·AD=48, 而可得∠ABE=∠DAB=61°，然后设AD=xkm,分别在 Rt△ABD和Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出 ∴7·8x·3x=48,x2=4) BD和CD的长，从而列出方程进行计算，即可解答. 解：该公路不会穿越纪念园。 ∴x=2(负值舍去)，.AB=AC=10,BC=16, 理由：过点A作AD⊥BC,垂足为点D,如图所示 ∴.△ABC的周长为36. 北 D 本章综合提升 B 619 【本章知识归纳】 a2+b2=c2 ∠A+∠B=90°sinA=a c,cOS A=6 c 由题意，得∠ACD=45°，∠ABE=61°，BC=2.8km,AD∥ tanA-号 化斜为直 BE,..∠ABE=∠DAB=61°. 设AD=xkm, 【思想方法归纳】 在Rt△ABD中，BD=AD·tan61°≈1.80xkm, 【例1】思路分析：(1)根据题意和锐角三角函数，可以求得 CF和BF的值，然后即可计算出BC的值. 在R△ACD中，CD=AD tan45°-xkm. (2)根据(1)中的结果和锐角三角函数，可以求得水池的深 BD+CD=BC,∴.1.80x+x=2.8, 解：(1)作AF⊥BC,交CB的延长线于点F,则AF∥MN∥ 解得x=1,.AD=1km=1000m. M'N',如图所示. 1000m>900m, ∴该公路不会穿越纪念园. 【变式训练2】解：过点B作BD⊥AC,垂足为点D,如图所示. 空气 水FB ND ∴.∠ABM=∠BAF,∠ACM'=∠CAF. ∠ABM=30°，∠ACM'=60°， ·东 ∴∠BAF=30°，∠CAF=60. AF=6米， 由题意得∠BAC=25°+25°=50°，∠BCA=70°-25°=45. BF=AF·tan30°=6×5=25（米），CF=AF. 3 在Rt△ABD中，AB=5km, ∴.BD=AB·sin50°≈5×0.77=3.85(km), tan60°=6×√3=6√3（米）， AD=AB·cos50°≈5×0.64=3.2(km). ∴.BC=CF-BF=6√5-2√3=4√5（米）， BD 即BC的长为4√5米. 在RtABDC中，CD=an45=3.85(km, (2)设水池的深为x米，则BN=CN'=x米. ∴.AC=AD+CD=3.2+3.85≈7.1(km), 由题意可知∠DBN=22°，∠ECN'=40.5°，DE=8.72米， ∴.小宇家A到劳动基地C的距离AC约为7.1km ∴.DN=BN·tan22°≈0.4x(米)，N'E=CN'·tan40.5°≈ 【通模拟】 0.85x(米).DN+DE=BC+N'E,.0.4x+8.72= 1.A2.D3.A4.10 4√5+0.85x,解得x≈4， 【通中考】 即水池的深约为4米. 5.B6.55 【变式训练1】解：(1)延长PC交直线AB于点F,则PF⊥AF, 7.解：如图所示，过点D作DM⊥BE于点M,设DM=xm,则 如图所示. BC=xm.在Rt△ADM中， tan76.5°=D4 AMAM= DM an76.5: D 7659A wwww295 依题意，得∠PAF=45°，∠PBF=60°，∠CBF=30°， EMA ∴.∠BPC=90°-60°=30° DM (2)设PC=x米，则CB=CP=x米」 同理BM=an29.5:BM-AM=AB=6.5m, DM DM 在Rt△CBF中，BF=x·cos30°=5 x米，CF= 2x米， ÷am29.5an76.5=6.5, 解得DM≈4.2m, 在Rt△APF中，FA=FP, “9+1 即遮阳篷到地面的高度CB约为4.2m 2x=2x+x,x=9+35, tan76.5°=D4, AM'DM=4.2 m, ∴.PC=9+3√5≈14.2（米）」 DM 即该铁塔PC的高度约为14.2米. ..AM= tan76.5o≈1m, 16 .∴.CD=BM=AB+AM=6.5+1=7.5(m). (4)可以. 即遮阳篷的宽CD约为7.5m. 将y=22.2代入关系式，得 第三章二次函数 22.2=7.8+1.2x, .x=12. 1对函数的再认识 ∴.这摞碗的数量是12个. 第1课时函数及函数值 2二次函数 1 1.A2.B3.y=-zx+24(0<x<48) 1.C2.D3.C4.A5.B 4.解：(1)由已知条件知，每小时排出3立方米水， 6.解：因为宽为xcm,所以长为(400-x)cm, 则t小时后排出3t立方米水， 所以它的面积y与x之间的函数关系式为y=(400一x)x= 而水池中总共有60立方米水， -x2+400x(0<x<400). 那么经过t小时后，剩余的水量为(60一3t)立方米， 所以y是x的二次函数 故水池中余水量Q(立方米)与排水时间t(小时)之间的关系 7.-18.C 式为Q=60-3t. 9.解：(1).函数y=m(m十2)x2十mx十m十1是一次函数， (2)根据题意，得60一3t≥0， .m(m+2)=0,且m≠0， 解得t≤20. 解得m=-2. 5.C6.9 .当m=一2时，此函数是一次函数 7.解：(1)当x=-2时，y=5X(-2)+7 (2),函数y=m(m+2)x2+mx+m十1是二次函数， 2 -1.5, ∴.m(m+2)≠0， 当x=3时，3=5X3+7=11. 解得m≠一2且m≠0， 2 .当m≠一2且m≠0时，此函数是二次函数. (2)当x=-2时，y=(-2)2-(-2)-2=4+2-2=4, 10.解：由题意，得每件利润为(x一8)元，销量为[100一10(x 当x=3时，y=32-3-2=9-3-2=4. 10)]件， 8.B9.D10.B 所以y=(x-8)·[100-10(x-10]=-10x2+ 11.①②④ 280x-1600. 12.解：(1)该汽车平均每千米的耗油量为(35一25)÷80= 11.解：(1)由题意，得y=(5-x)(4-x), 0.125(升/千米)， 即y=x2-9x+20. ∴.行驶路程x(千米)与剩余油量Q(升)的关系式为Q (2):y=x2-9x+20, 35-0.125x. y是x的二次函数. (2)当x=120时，Q=35-0.125×120=20(升)， (3).5-x>0且4-x>0,x>0, 答：当x=120千米时，剩余油量Q为20升 则0<x<4, (3)他们能在汽车报警前回到家.理由： ∴.自变量x的取值范围是0<x<4. (35-3)÷0.125=256(千米). 12.解：，∠BAE和∠FEC都是∠AEB的余角， 256>200,.他们能在汽车报警前回到家. ∴.∠BAE=∠FEC 13.解：(1)在长方形ABCD中，AB=4,BC=8,.CD=4. 又：∠B=∠C=90°， .PB=x, ∴.△ABEC∽△ECF, .AP=4-x. ∴，AB:EC=BE:CF」 .AB=1,BE=x,EC=1-x,CF=1-y, 根据题意，得y=2×8×（4一x+4)=一4红+32. ∴.AB·CF=EC·BE, 点P在AB上运动，.0≤x≤4， 即1×(1-y)=(1-x)x. .y=-4x十32(0≤x≤4). 化简，得y=x2-x十1(0<x<1). (2)当阴影部分的面积等于20时， 3二次函数y=ax2的图象与性质 即y=-4x十32=20，解得x=3,PB=3. 第1课时二次函数y=x2与 第2课时函数的表示方法 y=一x2的图象与性质 1.C2.C3.D4.C 1.D2.C3.B4.D5.D 5.解：(1)x是任意实数 6号（)y=x的图象（，） 1. 11 (2)根据题意，得2一2≥0， x-3≠0， y=一x2的图象 解得x≥2且x≠3. 7.x轴原点 (3)根据题意，得x-1≠0，解得x≠1. (4)根据题意，得1一x>0,解得x<1. 8.解：(1)由题意，得m2-2m+2=2, m-1≠0， 6.D7.B8.C 解得m=0或m=2, 9.C10.840 (m≠1， 11.解：(1)上表中反映的两个变量是碗的数量和高度，碗的数量 .满足条件的m的值为0或2. 是自变量，高度是因变量 (2)当m=2时，y=x2,抛物线有最低点，这个最低点为抛物 (2)11.4-10.2=1.2,12.6+2×1.2=15(cm), 线的顶点，其坐标为(0,0)，当x>0时，y随x的增大而增大. ∴.6个这样的碗的高度是15cm. 9.解：将点M(一2，m)的坐标代入抛物线y=一x2,得到m= (3)每摞1个碗，高度增加1.2cm, -4, .1个碗时高度为10.2-1.2=9(cm), ∴.M(-2,-4). ∴.x个碗的高度为y=9十1.2(x一1). ,MN∥x轴，点M,N在抛物线上， .y与x的关系式为y=7.8+1.2x. ∴.点M,N关于y轴对称， 17