第二章 5 第3课时 利用坡度、坡角解决问题-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(鲁教版2012 五四学制)

第3课时 利用坡度、坡角解决问题（答案P13) 通基础 坡AB垂直，大腿EF与斜坡AB平行，G为头 ◆>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 部，假设G,E,D三点共线且头部到斜坡的距 知识点，利用坡度、坡角解决问题 离GD为1.05m,上身与大腿夹角∠GFE= 1.(2023·泰安肥城月考)如图所示，九（二）班的 53°，膝盖与滑雪板后端的距离EM长为 同学准备在坡角为30°的河堤上栽树，要求相 0.9m,∠EMD=30°. 邻两棵树之间的水平距离为8m,那么这两棵 树在坡面上的距离AB为() A.4√3m B. 6√5 3-mC.45m D.16m ① ② 8米 (1)求此滑雪运动员的小腿ED的长度. (2)求此运动员的身高.（运动员身高由GF, B 30 EF,DE三条线段构成.参考数据：sin53°≈4 , 第1题图 第2题图 4 2.(2023·泰安泰山区二模)如图所示，为测量观 co5 tan 5 3 光塔AB的高度，冬冬在坡比为=1：2.4的斜坡 CD的D点测得塔顶A的仰角为53°，斜坡CD 长为26米，C到塔底B的水平距离为9米.图 中点A,B,C,D在同一平面内，则观光塔AB 的高度约为()（结果精确到0.1米，参考 数据：sm530.8,cos53≈0.6，lan53r≈ A.28米B.32米C.34米D.36米 通能力》>922999999” 3.(2023·威海文登区期末)如图所示是一个装 5.(2023·烟台牟平区期中)如图所示，坡角为a 有货物的正方体木箱沿着斜坡AB下滑的示 的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB, 意图，斜坡AB的坡比为1：√3，木箱的高CD 当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时， 为2m.当AD=4m时，木箱的顶点C到地面 在斜坡上的树影BC长为m,则大树AB的高 AG的距离为 m. 为() G Q 水平地面 4.(2023·烟台龙口期中)如图①、图②所示分别 A.m (cos a-sin a) B.m(sina-cosa） 是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的 m m 实物图与示意图，已知运动员的小腿ED与斜 C.m(cos a-tan a) D. sin a cos a 一优学案·课时通 3 6.为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的 通素养》沙92沙 步梯路段进行改造.已知四边形ABCD为矩 8.某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍 形，DE=10m,其坡比为1：√3，将步梯DE 通道.如图所示，已知楼梯共有五级均匀分布 改造为斜坡AF,其坡比为1：4，则斜坡AF的 的台阶，高AB=0.75m,斜坡AC的坡比为 长度是 m.(结果精确到0.01m,参考 1：2,将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边 数据：3≈1.732，√17≈4.123) 缘离楼梯底部的最短距离ED=2.55m.为防 止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于 多少度？（结果精确到1°，参考数据如表） B 7.学科融合实验是培养学生创新能力的重要途 人 CD B 径之一.如图所示是小红同学安装的化学实验 装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应 固定在距试管口的三分之一处.已知试管 计算结果（已 计算器按键顺序 精确到0.001) AB=24 cm,BE= 3AB,试管倾斜角&为10. 2 ndF tan(1÷5)= 11.310 高锰酸钾 蓬松的棉花团 tan☑日5)三 0.003 2 ndFtan(⑤÷1g)= 14.744 tan(⑤a□gD▣ 0.005 D N (1)求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长 度.（结果精确到0.1cm) (2)实验时，当导气管紧贴水槽MN,延长BM 交CN的延长线于点F,且MN⊥CF(点C, D,N,F在一条直线上)，经测得：DE=27.36cm, MN=8cm,∠ABM=145°，求线段DN的长 度.（结果精确到0.1cm.参考数据：sin10°≈ 0.17,cos10°≈0.98，tan10°≈0.18) 44 九年级·上册数学·鲁教版9.解：(1)如图①所示，过点B作BD⊥AC于点D. 北 AB=24 cm,BE-3AB, .∴.BE=8cm,AE=16cm. C R A DP N ① 在Rt△AEG中，AE=16cm,∠AEG=10°， 由题意得∠BAC=15°+45°=60°，AB=200米，AC=300米 ∴.EG=cos10°·AE≈0.98×16≈15.7(cm)=CD, 在△AD中，如60-裙-职-号as60-铝 答：酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度约为15.7cm, AB (2)如图所示，过点B分别作BH⊥DE,BP⊥FC,垂足分别 200=2,解得BD=1003米，AD=100米， AD 1 为点H,P,在Rt△BEH中，BE=8cm,∠EBH=l0°， ∴.HE=sin10°·EB≈1.36(cm),BH=cosl0°·EB≈ ∴.CD=AC-AD=200米， 7.84(cm), ∴.由勾股定理得BC=√/CD2+BD2=100√7≈265米 ∴.HD=DE-HE=27.36-1.36=26(cm)=BP B,C两地的距离约为265米. ,∠ABF=145°， ∴.∠PBF=145°-90°-10°=45°， (2)该条航道会被这片浅滩区域影响，长度为100米.理由 ∴.BP=PF=HD=26cm. 如下： 如图②所示，过点B作航道的垂线BE」 ,MN⊥CF,∠NMF=45°，MN=8cm, .MN=NF=8 cm, 北 ..DN=DP+PF-NF= ·东 7.84+26-8≈25.8(cm). 答：线段DN的长度约为25.8cm. 8.解：如图所示. A F E CD B 由题意得AB=200米，∠BAE=45°， 由题意得DF=号AB=0,15(米). BE BE瓦 在Rt△ABE中，sim45°-AB-202, 斜坡AC的技比为1：2…公记-名05- 解得BE=100√2≈141米. ∴.BC=2AB=1.5米，CD=2DF=0.3米. .141<150, .ED=2.55米， ∴，该条航道会被这片浅滩区域影响。 ∴.EB=ED十BC-CD=2.55+1.5-0.3=3.75(米) 设BF=150米，在Rt△BEF中，EF=√JBF2-BE2= 在Rt△AEB中，tan∠AEB=A5=0.75=1 EB3.75=5,查表可得 √1502一(100√2)2=50（米），根据对称性可知，被影响的航 ∠AEB≈11.310°， 道长度为100米. ∴.为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于12度. 第3课时利用坡度、坡角解决问题 6利用三角函数测高 1.B2.C3.(2+3) 1.A2.C3.14 4.解：(1)在Rt△DEM中，EM=0.9m,∠EMD=30°， 4.解：过点C作CE⊥BD,垂足为点E,如图所示. 血30-品-器-号解符DB-045a, D 30 ∴.此滑雪运动员的小腿ED的长度为0.45m. (2)由(1)得DE=0.45m, ∴.GE=GD-ED=1.05-0.45=0.6(m). EF∥AB, ∴.∠GEF=∠EDB=90° 452 B 在Rt△GEF中，∠GFE=53°，GE=0.6m,tan53°= EG EF 由题意，得AC=BE,∠DCE=30°，∠BCE=45°.设AC= BE=x米，在Rt△BCE中，CE=BE·tan45°=x米. 8号m3-器-8 在Rt△DcE中，DE=CE·an30°=z米. 解得EF=0.45m,GF=0.75m, .GF+EF+DE=0.75+0.45+0.45=1.65(m). .BD=20米，BE+DE=20, 答：此运动员的身高为1.65m. x+ +3x=20,解得x=30-10V3, 5.A6.20.62 7.解：(1)如图所示，过点E作EG⊥AC于点G. .AC=BE=(30-103)米， 易知四边形CDEG是矩形，∴.CD=GE. ∴.旗杆AC的高度为(30-10√3)米。 13