第二章 5 第1课时 利用仰角、俯角解决问题-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(鲁教版2012 五四学制)

5三角函数的应用 第1课时 利用仰角、俯角解决问题（答案P11) 通基922>92>2>>2>2 A.a(tana十tanB)米B.a(sina+sinB)米 C.al D.a(an8+1米 知识点利用仰角、俯角解决问题 09+米 Atan a 1.(2023·烟台期末)如图所示，电线杆AB的中 4.(2023·泰安岱岳区二模)如图所示，山顶上有 点C处有一标志物，在地面D点处测得标志 一个信号塔AC,已知山高CD=75米，在山脚 物的仰角为32°.若点D到电线杆底部点B的 下点B处测得塔底C的仰角∠CBD=36.9°， 距离为a米，则电线杆AB的长可表示 塔顶A的仰角∠ABD=42.0°，则信号塔 为() AC= (点A,C,D在同一条竖直线 Asn32米 B. Za 上，参考数据：tan36.9°≈0.75，sin36.9°≈ tan32米 0.60,tan42.0°≈0.90) C.2a·tan32°米 D.2a·cos32°米 D B 5.(2023·济宁中考变式)某数学活动小组要测 B D 量一建筑物的高度，如图所示，他们在建筑物 第1题图 第2题图 前的平地上选择一点A,在点A和建筑物之间 2.(2023·泰安模拟)如图所示，从一热气球的探 选择一点B,测得AB=30m,用高1m(AC= 测器A点，看一栋高楼顶部的仰角为55°，看这 1m)的测角仪在A处测得建筑物顶部E的仰 栋高楼底部的俯角为35°.若热气球与高楼的 角为30°，在B处测得仰角为60°，求该建筑物 水平距离为35m,则这栋高楼高约是( 的高. (套考数据：血55动m5=a5写 7 A.74米B.80米C.84米D.98米 3.应用意识安装了软件“Smart Measure”的智 能手机可以测量物高.其数学原理：该软件通 过测量手机离地面的高度、物体底端的俯角和 顶端的仰角即可知道物体高度.如图②所示小 明测得大树底端C点的俯角α，顶端D点的仰 角B,点A离地面的高度AB=am,则大树 CD的高为() B ① ② 38 九年级上册数学·鲁教版 6.模型观念》如图所示，某数学活动小组进行综 通能力》沙2%% 合实践活动，测量学校旗杆AB的高度，从旗 7.应用意识》太阳能路灯的使用，既方便了人们 杆正前方23米处的点C出发，沿斜坡CD前 夜间出行，又有利于节能减排.某校组织学生 进4米到达点D,在点D处安置测角仪，测得 进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池 旗杆顶部A的仰角为37°，仪器的高DE为 板的宽度.如图所示，太阳能电池板宽为AB, 1.5米.已知A,B,C,D,E,M在同一平面内， 点O是AB的中点，OC是灯杆.地面上三点 ∠DCM=30°，AB⊥BC,AB∥DE.求旗杆AB D,E与C在一条直线上，DE=1.5m,EC= 的高度.（参考数据：sn37≈c0s37° 4 5m.该校学生在D处测得电池板边缘点 3 B的仰角为37°，在E处测得电池板边缘 tan37°≈号，计算结果保留根号) 点B的仰角为45°.此时点A,B与E在一条 直线上.求太阳能电池板宽AB的长 度.（结果精确到0.1m.参考数据：sin37°≈ .37E ms37r号msr%受2≈1.l 3 30 B 9 137450 一优学案·课时通 39 8.新情境如图①所示是电脑液晶显示器的侧面 通素养 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度，研 究表明：如图②所示，当眼睛E与显示屏顶端 9.为了提高学生应用数学方法解决实际问题的 A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一 能力，老师组织全班同学开展了测量物体高度 个18°俯角（即望向屏幕中心P的视线EP与 的实践活动.小明所在的小组要测量学校教学 水平线EA的夹角)时，对保护眼晴比较好，而 楼的高度，经讨论之后，他们准备以学校的旗 且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平 杆为参照物进行测量，教学楼和旗杆底部均不 线CD垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得 可到达，如图所示，教学楼AB与旗杆CD的底 ∠BCD=30°，∠APE=90°，液晶显示屏的宽 部B,D在同一平面内，经查阅有关资料得知 AB为34cm. 教学楼和旗杆之间的距离BD长为70米，旗 (1)求眼睛E与显示屏顶端A的水平距 杆CD高度为11.5米.经过分析，他们设计了 离AE 以下测量方案：小明站在MN处，标杆立在 (2)求显示屏顶端A与底座C的距离AC. EF处，点B,N,F,D共线，此时小明的眼睛 (结果精确到1cm.参考数据：sin18°≈0.3， M点、标杆的顶部E点和旗杆的顶部C点在 一条直线上，然后，小明原地转身180°后，利用 c0s18°≈0.95，√2≈1.4，√3≈1.7) 自制的测角器测得教学楼的顶部A的仰角为 40°.已知：AB⊥BD,MN⊥BD,EF⊥BD, CD⊥BD,测得MN=1.5米，EF=2米， FN=2米，利用以上测量数据求教学楼AB的 高度.（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈ 0.77,tan40°≈0.84) 40 九年级上册数学·鲁教版一第3课时解简单的斜三角形 35 1.D2.A :'.tanBAD-AE E 7 85 17 3.解：(1)过点C作CD⊥AB,垂足为点D,如图所示 1 11.解：(1)6 (2)如图所示，延长AB与DC相交于点E.:∠ABC= ∠BCD=135°，∴.∠EBC=∠ECB=45°，.BE=CE,∠E=90°. 设BE=CE=x,由勾股定理，得BC=√2x,AE=9十x,DE= 3十x. 在R△ABC中，anA=AD3' CD 4 在Rt△ADE中，∠E=90,:anA=号 2 ..设CD=4,则AD=3, ∴.AC=√AD2+CD2=√(3k)2+(4k)Z=5k. 经检验，x=3是所列方程的解，且符合题意， AC=15,.5k=15,k=3,.AD=9,CD=12, ∴.BC=32,AE=12,DE=6, ∴SAr=2AB.CD=号×15X12=90, 1 .AD=√JAE2+DE2=√122+62=6√5】 .SAABC=90. B. (2)在Rt△BCD中，BD=AB-AD=15-9=6,CD=12, ∴.BC=√CD+BD2=√122+62=6√5， OsB一BD-6=华，即∠B的余弦值为 CB 6/55 5三角函数的应用 4.B 第1课时利用仰角、俯角解决问题 5.解：过点A作AD⊥BC,垂足为点D, 1.C2.A3.D4.15米 在Rt△ABD中，∠B=45°，AB=2, 5.解：如图所示，延长CD交EF于点G. BD=AD-号AB-E, 由题意得DB=AC=FG=1m,CG⊥EF,DC=AB=30m, ∠EDG=60°，∠ECG=30°. 在Rt△ACD中，∠C=30°，AD=√2， :∠EDG是△EDC的一个外角， .CDAD '.∠DEC=∠EDG-∠ECG=30°， .∠DEC=∠ECD=30°， ∴BC=BD+CD=√2+6. .'ED=CD=30 m. 6.解：过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,如图所示. 在RAEGD中，BG=ED·sim60°=30x5 =15√5(m), .EF=EG+FG=(15√3+1)m, ∴.该建筑物的高是(15√3+1)m. E ∠ABC=120°，∴∠CBD=180°-120°=60° BC=2, G-.D ÷ncD侵-号-号as∠ca0-设-四名， CDCD√3 B 6.解：过点E作EF⊥AB于点F,延长ED交BC于点G,如图 ∴.CD=3,BD=1. 所示. AB=4,AD=AB+BD=4+1=5, 在Rt△CDG中，∠DCG=30°， .AC=√AD+CD=√52+(W3)2=2W7. CD=2米，CG=CD·s∠DCG=23米， ..GD=1 7.D8.A9.10√5或6√5 10.解：过点D作DE⊥AB于点E BG=CB+CG=25+2√3=4V3(米).易得EF=BG= 在Rt△ADC中，∠C=90°，∠ADC=45°，AC=5, 45米在R△AFE中，AF=EF·an∠AEF=43X号 .∠DAC=45°，.AC=DC=5,.AD=5√2. 33(米)，.AB=AF+BF=AF+ED+DG=3N3+1.5+ 在Rt△ABC中，∠C=90°， 2=(33+3.5)米. 如B=品6品脚品-名， 55 答：旗杆AB的高度为(3√3十3.5)米. 解得AB=13.根据勾股定理，得BC=12, A .BD=BC-DC=12-5=7. 在Rt△BDE中，∠BED=90,sinB=, ..DE 5 377 'BD-13DE-35 3在Rt△AED中，根据勾股定理，得 ------ AE=√AD-ED=/52)-(3 /35)785 309 ）13' 11 7.解：过点B作BH⊥DC于点H,过点B作BF⊥OC于点F,9.解：如图所示，作MH⊥AB于点H,延长HM交EF于点J, 如图所示. 交CD于点K,则BH=MN=JF=DK=1.5米，MJ= FN=2米，EJ=EF-JF=0.5米，CK=CD-DK=10米. B :8. 137450 依题意得OC⊥DC,∠BDH=37°，∠BEH=45°.又BH⊥ :EJ/CK,心MR-CK' MI EJ DC,,△BEH和△OEC均为等腰直角三角形，·EH= BH,EC=OC..'DE=1.5 m,EC=5 m. 20.5 ∴.OC=EC=5m. 六M承=10MK=40米. BH⊥DC,BF⊥OC,OC⊥DC,.四边形BHCF为矩形， ,BD=70米，DN=MK=40米， ∴.BF=CH,BH=CF,BF∥CH, .BN=HM=30米. ∴.∠OBF=∠BEH=45°， 在Rt△AHM中，AH=HM·tan40°≈30×0.84= ∴△OBF为等腰直角三角形， 25.2(米)， ∴.BF=OF=CH. ∴.AB=AH+BH=25.2+1.5=26.7(米) 设BF=xm,则OF=CH=xm, 答：教学楼AB的高度为26.7米. ..EH=BH=EC-CH=(5-x)m, ∴.DH=DE+EH=1.5+5-x=(6.5-x)m. 第2课时利用方向角解决问题 在Rt△BDH中，tan∠BDH=BH 1.B2.A3.D4.4千米 DH' 5.解：如图所示，过点C作CD⊥AB于点D, 5-x .3.5-x 即tan37=6.5-x4≈6.5-z 解得x≈0.5， 检验后知道x=0.5是原方程的根. ∴.BF=OF=0.5m. 在等腰Rt△OBF中，由勾股定理得OB=√OF2十BF2= 0.5×√2≈0.5×1.41=0.705(m). 设CD=xm,在Rt△BCD中， 点O为AB的中点， .∠CBD=45°，.BD=CD=xm ∴.AB=2OB≈2×0.705≈1.4(m) 在Rt△ACD中，∠DAC=90°-60°=30°，AD=AB+BD= 答：太阳能电池板宽AB的长度约为1.4m. (20+z)m,CD=x m, 8,解：I)曲已匆得AP=BP-AB=17cm, CD=tan30·AD,z= 3 (20+x), 在Rt△APE中， 解得x=10(3+1),.CD=10(W3+1)m. :sin∠AEP=AP AFAE= AP 17 17 sin∠AEp sin18≈0.3 答：这条河的宽度约为10（√3+1）m. 57(cm). 6.D7.4.5 答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为57cm. 8.解：设巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用时间为x小时. (2)如图所示，过点B作BF⊥AC于点F. 由题意得∠ABC=45°十75°=120°，AB=12海里，BC= E 10x海里，AC=14x海里. 过点A作AD⊥CB,交CB的延长线于点D,如图所示. 北 D --Bi --东 B--￡F 75 >C 459 D C A '∠EAB+∠BAF=90°，∠EAB+∠AEP=90°， ∴.∠BAF=∠AEP=18° 在Rt△ABD中，AB=12海里，∠ABD=180°-120°=60°， 在Rt△ABF中，AF=AB·cos∠BAF=34Xcos18°≈34X ÷BD=AB·c0s60=号AB=6海里，AD=AB·sn60 0.95=32.3(cm),BF=AB·sin∠BAF=34×sin18°≈34× 0.3=10.2(cm). 6√3海里，.CD=(10x十6)海里. .BF∥CD,.∠CBF=∠BCD=30°，.CF=BF· 在Rt△ACD中，由勾股定理，得(14x)2=(10x+6)2+ tan∠CBF=10.2×tan30°=10.2x (63)2, 3≈5.78(cm), .AC=AF+CF=32.3+5.78≈38(cm). 解得工1-2，=一（不合题意合去） 答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为38cm. 答：巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用时间为2小时. 12