第二章 1 第1课时 正切-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(鲁教版2012 五四学制)

第二章直角三角形的边角关系 大单元建构 定义 解直角三角形 勾股定理 正弦 边角关系 两锐角互余 余弦 锐角三角函数 边角之间的关系 正切 应用意识 运算能力 直角三角形的边角关系 仰角与俯角 用计算器求锐角的三角函数值 坡度与坡角 三角函数的应用 方向角 特殊角的三角函数值 测量物体的高度 本章核心素养 学科核心素养 具体内容 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角 几何直观 三角函数解直角三角形 借助具体实例，通过操作、观察，得出直角三角形的图形特征，进而解决实际问题.积累从具体到 抽象能力 抽象的活动经验，从形的角度理解解直角三角形的概念，把握解直角三角形的本质特征，培养学 生养成一般性思考问题的习惯 运算能力 根据解直角三角形的有关概念及特殊角的三角函数值，求有关角的度数和线段的长度 在解直角三角形的过程中，由已知条件求某条边或某个角的方法，以及求这些边、角的顺序往往 推理能力 不唯一，学会如何选择较优的方法和求解顺序 通过综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学 应用意识 生分析问题、解决问题的能力，同时渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯 从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，构造直角三角形的模型，利用解直角三角形解决简单 模型观念 的实际问题，培养学生解决实际问题的能力 一优学案·课时通 21 1锐角三角函数 第1课时正切（答案P7) 通基仙22>>2>>>> 知识点2正切与倾斜程度的关系 5.下面的四个梯子中最陡的是() 知识点1正切 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=3BC,则 m tanA的值是() 1 A.3 B.3 C.22 D② 4 知识点3坡度（或坡比）与坡角 2.如图所示，在6×6的正方形网格图中，△ABC的 顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的 6.如图所示，在坡角为α的斜坡上要栽两棵树， 值是( ) 要求它们之间的水平距离AC为6m,tana= ),则这两棵树之间的坡面AB的长为() A c n号 A.1m B.9 m C.2√10mD.3√5m 3.(2023·泰安宁阳期末)已知在Rt△ABC中， 7.某人从水平地面开始沿着一定坡度的坡面行 3 ∠C=90°，AB=25,tanA= 进了10m,此时他与水平地面的垂直距离为 则AC= 2√5m,则这个坡面的坡度i= 4.(教材P27随堂练习T2变式)如图所示，在锐 易错三未掌握坡度定义而出错 角△ABC中，AB=10cm,BC=9cm,△ABC 8.应用意识如图所示，某水库大坝的横断面是 的面积为27cm2.求tanB的值， 梯形ABCD,坝顶宽AD是6米，坝高是23米， 背水坡AB的坡度为1：3，迎水坡CD的坡度 为1：2.5，求：背水坡AB与坝底BC的长度 (精确到0.1米). 6方 1:3 1:2.5 22 九年级上册数学·鲁教版 通能力> >>>>>>>>>>>>》>>>>2>> 通素养 >>>>>>>>>>>>2>>>>>>>>>>>>>>>> 9.阅读理解》如果三角形有一边上的中线长恰 13.探究拓展》在学习本节内容时，小明同学对 好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩 “具有倍半关系的两个锐角的正切值”产生了 三角形”.若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠C= 深厚的兴趣，进行了一些研究. 90°，BC≥AC,则tanB的值是( (1)【实践探究】 R空c号 n号 如图①所示，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=2,BC=1,求tan 10.如图所示，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的值小明想构造包 的顶点A,B,C在坐标轴上，若点A的坐标 含分的直角三角形：延长CA至点D,使得 为(0,3)，tan∠ABO=3,则菱形ABCD的 周长为() DA=AB,连接BD,所以得到∠D=∠A, A.6 B.6√3 C.125 D.83 即转化为求∠D的正切值。 请按小明的思路进行余下的求解. (2)【拓展延伸】如图②所示，在Rt△ABC中， B O 第10题图 第11题图 ∠C=90,AC=3,anA=子求tan2A 11.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD 的值. AB,已知amB=多，SAoD=2,则SAc的 B 值为 ② 12.应用意识某小区有一露天舞台，横截面如 图所示.AC垂直于地面，AB表示楼梯，AE 为舞台面，楼梯的坡度为1，坡长AB=3m. 为保障安全，小区决定对该楼梯进行改造，降 低坡度，拟修新楼梯AD,使新坡度调整为分 (1)求舞台的高AC(结果保留根号)， (2)求AD的长度（结果保留根号）. 一优学案·课时通 231 9 “直线PA的函数表达式为y=2x十2， 如图所示，延长CA至点D,使得DA=AB, ∴，AD=AB=√5，∴.∠D=∠ABD, 当y=0时，x=-9,,点P的坐标为(-9,0). ∴.∠BAC=2∠D,CD=AD+AC=2+√5， 第二章 直角三角形的边角关系 1 1 锐角三角函数 之an2∠BAC=amD-8S-写十25-2.】 (2)如图所示，作AB的垂直平分线交AC于点E,连接BE. 第1课时正切 1.D2.C3.20 4.解：过点A作AH⊥BC于点H,如图所示. E ② 则∠BEC=2∠A,AE=BE,∠A=∠ABE. :在R△ABC中，∠C=90,AC=3,anA=专 SAw27 cm7 ∴.BC=1,AB=√10. 设AE=x,则EC=3-x, ..AH=6 cm.'AB=10 cm, 在Rt△EBC中，x2=(3-x)2+1, BH=√AB2-AH=√/102-6=8(cm), AH6_3 第得=号，即AE=BE=号BC= 3 六tanB BH=8-4 BC 3 tan2A=tan∠BEC= 5.B6.D7.1:2 CE 4 8.解：分别过点A,D作AM⊥BC,DN⊥BC,垂足分别为点 第2课时正弦和余弦 M,N,如图所示. 1.B2.A3.124.A5.B 6.C解析：当△ABC为直角三角形时，存在两种情况：①当 13 12.523 AB为斜边，∠C=90°时， B MN :AC=8,BC=6,.AB=√JAC2+BC=√82+62=10. 根据题意，可知AM=DN=23米，MN=AD=6米， AC 8 4 在R△ABM巾，-行M=9米 cos A-AB-105 ②当AC为斜边，∠B=90°时， .AB2=AM2+BM2, 由勾股定理，得AB=√AC2-BC=√82-6=2√7， ∴.AB=√232+692≈72.7（米）， 在Rt△DNC中，DN:CN=1:2.5, aA-0-2-只 ∴.CN=2.5DN=57.5米， ∴.BC=BM+MN+CN=132.5米， 袋上所光0A的位为台表 4 答：背水坡AB的长度约为72.7米，坝底BC的长度约为 8.A9.A10.A1 132.5米. 9.B10.D11.10 12.解：∠C=90°，CD=3,AD=BD=5, 12.解：(1)楼梯的坡度为1， ∴.BC=√/BD2-CD2=√52-32=4，AC=AD十DC= ∴.∠ABC=45°， 5十3=8. AC= ∴.tanA= C-35=台在R△ABc中，∠C=0, 答：年台的商4AC为3m ∴，AB=√AC2+BC=√82+4'=45. (2):新楼梯较度为号，AC-3y 咖A器是gA器六 2m, 13.D .CD=3√2m,由勾股定理，得 AD-A) 14.了 5.解：在R△B'OC中，sin∠OB'C三%=3设OC=3x,则 答：AD的长度为3V0n -m. B'C=5x, 2 13.解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2,BC=1, 由勾股定理，得OB'=√CB-OC=4x, 根据矩形的性质可知BC=B'C=OA=5x,∴.AB'=x. ∴.AB=/AC2+BC2=√5， 将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上， ∴.∠B=∠CB'E=90°， ∴.∠OB'C+∠ABE=90°.又，∠AB'E+∠AEB=90. D ∴.∠OB'C=∠AEB'. ∠COB'=∠EAB'=90°， ① .△B'OCp△EAB',