2.1 锐角三角比-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(青岛版2012)

本章综合提升（答案P5) 本章知识归纳 定义：两个边数 的多边形，如果一个多边形的各个角与另一个多边形 的各个角对应 各边对应 ，那么这两个多边形叫做相似多边形 相似多边形 相似比：相似多边形对应边的 相似多边形对应角 性质 相似多边形对应边 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段 基本事实 推论：平行于三角形的一边，并且与其他两边相交的直线，所截得 的三角形的三边与原三角形的三边对应 相似三角形的判定 判定定理1：两角分别的两个三角形相似 相似三角形的判定 判定定理2：两边成比例，且 相等的两个 形的相似 三角形相似 判定定理3：三边的两个三角形相似 相似三角形对应线段（角平分线、中线、高等）的比等于 相似三角形的性质{相似三角形周长的比等于 相似三角形面积的比等于相似比的 定义：对应边 且每对对应点所在的直线都经过 点的 两个相似多边形叫做位似图形 位似图形是相似图形 性质 对应点所在的直线交于一点（位似中心） 位似图形 对应边互相平行或 画位似图形→将图形放大或缩小 :利用坐标画位似图形 图形的位似与坐标 利用位似求对应点的坐标：点(a,b),以原点为位似中心， k为相似比，当位似图形上的对应，点与已知，点在原点同侧时，其 对应，点的坐标为 ；当位似图形上的对应点与已知点在 原点异侧时，其对应点的坐标为 思想方法月纳》>> 不重复、无遗漏地进行分类 白链接亦章 1.分类讨论思想 利用相似三角形的知识解题时经常会 在数学中，当所求解的问题存在多种情况， 遇到多解问题，如果在没有指明对应关系的 我们又不能一概而论时，就需要按照可能出现的 各种情况分类讨论，从而得到各种情况下的结 情况下求解，必须考虑各种可能的情况，并 论，这种处理问题的方法就是分类讨论的思想方 加以讨论，分类讨论是防止出现漏解的有效 法.应用分类讨论思想方法解题的关键是要按照 方法. 一定的标准，把所研究的对象按可能出现的情况 -九年级·上册·数学：Q0 24 【例1】推理能力》将△ABC纸片按如图 【变式训练2】几何直观》如图所示，在 所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点 △ABC中，BC=12,高AD=6,正方形EFGH B′，折痕为EF.已知AB=3,AC=4,BC=5,若 一边在BC上，点E,F分别在AB,AC上，AD 以B',F,C为顶点的三角形与△ABC相似，那 交EF于点N,求AN的长. 么CF的长度是 【变式训练1】(2023·聊城一模)如图所示， 在正方形ABDC和正方形OEFG中，点C和点 F的坐标分别为（一3,2），(1，一1)，则两个正方 形的位似中心的坐标是 2.方程思想 方程思想就是指把所研究数学问题中的已 知量与未知量之间的等量关系，转化为方程 (组)，从而达到解决数学问题的一种思维方法. 台子链接本章 本章中利用相似三角形的性质列方程 可求某些线段的长，在利用面积比与对应边 的比的关系解题时，注意其中的对应关系， 以防出错。 【例2】如图所示，在△ABC中，∠C=90°， BC=8cm,AC:AB=3:5,点P从点B出发， 3.转化思想 沿BC以2cm/s的速度向点C移动，点Q从点 通过对条件、结论的转化，使问题化难为易， C出发，沿CA以1cm/s的速度向点A移动，如 化生为熟，化未知为已知，最终解决问题，这个过 果点P,Q分别从点B,C同时出发，问：经过多 程体现了转化的思想方法」 少秒时，以点P,Q,C为顶点的三角形和△CBA 相似？ 台链接本章一 本章的许多问题都应用了转化思想，如 把多边形的问题转化为三角形问题，把等积 6 式转化成比例式，从而转化为证明三角形相 似，把实际问题转化为相似多边形、相似三 角形等问题来解决. 25 优计学案·课时通 【例3】如图所示，在四边形ABCD中， 通模拟>>2沙》 AB∥CD,CE平分∠BCD,CE⊥AD,DE= 2AE.若△CED的面积为1，求四边形ABCE的 1.(2023·潍坊诸城期末)如图所示，在平面直角 面积. 坐标系中，△ABC与△A'B'C位似，位似中心 为原点O,相似比为1：2.若点C(一2,3)，则 点C'的坐标为( ) A.(6,-3) B.(3,-6) C.(4,-6) D.(6,-4) 2.(2023·菏泽牡丹区三模)如图所示，△ABC 和△DEF是以点O为位似中心的位似图形 若OA:AD=2:3,则△ABC与△DEF的周 长比是( 【变式训练3】现有一块直角三角形木板，它 的两条直角边分别为3米和4米.要把它加工成 面积最大的正方形桌面，甲、乙二人加工方法分 A.2:3 B.4:9 别如图①和图②所示.请你运用所学知识说明谁 C.2:5 D.4:25 的加工方法符合要求. 3.(2023·泰安宁阳期末)如图所示，在三角形纸 片ABC中，AB=9,AC=6,BC=12,沿虚线 剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的 是() 4.(2023·聊城东阿月考)若△ABCの△DEF, △ABC与△DEF的相似比为1：3，则 S△ABC:S△DEF为( ) A.1:3 B.1:9 C.1:√5 D.3:1 -九年级·上册·数学：QD 26 5.(2023·泰安东平一模)如图所示，在平行四边 AE,AF,BD,AE与BD交于点H,延长AE, 形ABCD中，AC,BD相交于点O,点E是 DC交于点G,∠BAE=∠DAF」 OA的中点，连接BE并延长交AD于点F.已 (1)求证：△AGDp△FAD 知5m-3,则下列结论：08部-日 (2)求证：AH·DH=BH·GH. ②S△BCE=27;③S△ABE=12;④△AEFD △ACD.其中一定正确的是() A.①②③④ B.①④ C.②③④ D.①② 6.(多选题)(2023·潍坊临朐期末)如图所示，在 △ABC中，AB=4cm,AC=3cm,BC= 6cm,D是AC上一点，AD=2cm,点P从C 出发沿C→B→A方向，以1cm/s的速度运动 至点A处，线段DP将△ABC分成两部分，其 中一部分与△ABC相似，则运动时间可能 是() 1 A. B.3s D.8s 通中考》沙9>2% 7.(2023·菏泽成武期末)若△ABCp△DEF, 10.(2023·潍坊中考)在《数书九章》（宋·秦九 △ABC的周长是6，面积是4，△DEF的周长 韶)中记载了一个测量塔高的问题：如图所 是9，则△DEF的面积是 示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到 8.(2023·潍坊潍城区期末)如图所示是小孔成 地面的高度，EF表示人眼到地面的高度， 像的示意图，已知物距OB=6cm,像距为 AB,CD,EF在同一平面内，点A,C,E在一 OB'=18cm,则当火焰高度为3cm时，火焰的 条水平直线上.已知AC=20米，CE=10米， 像A'B'的高度是 cm. CD=7米，EF=1.4米，人从点F远跳塔顶 B,视线恰好经过竹竿的顶端D,可求出塔的 高度.根据以上信息，塔的高度为 米 9.(2023·潍坊潍城区期末)如图所示，在菱形 ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，连接 A 27 优计学案·课时通 11.(菏泽中考)如图所示，在△ABC中，AD⊥14.（泰安中考）如图所示，在矩形ABCD中，点E BC,垂足为D,AD=5,BC=10,四边形 在DC上，DE=BE,AC与BD相交于点O, EFGH和四边形HGNM均为正方形，且点 BE与AC相交于点F. E,F,G,N,M都在△ABC的边上，那么 (1)若BE平分∠CBD,求证：BF⊥AC △AEM与四边形BCME的面积比 (2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说 为 明理由. (3)若OF=3,EF=2,求DE的长度. B F DG N 12.(潍坊中考)《墨子·天文志》记载：“执规矩， 以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美. 如图所示，正方形ABCD的面积为4，以它的 对角线的交点为位似中心，作它的位似图形 A'B'CD'.若A'B′：AB=2:1,则四边形 A'B'CD'的外接圆的周长为 A 13.(菏泽中考)如图所示，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°，E是边AC上一点，且BE= BC,过点A作BE的垂线，交BE的延长线 于点D,求证：△ADE∽△ABC. -九年级·上册·数学：QD 28又因为AB∥CD, .∠1=∠2. 所以∠FBA=∠FCD,∠FAB=∠D, 又BE平分∠DBC, 所以△FBAP△FCD, .∠1=∠6， 所以-(0}-(》”-6 ∠3=∠6， SAFCD .∠6+∠5=90°， ∴.∠BFC=90°，即BF⊥AC 所以S△FBA= 6XS△m-i6×2= 8, (2)与△OBF相似的三角形有△ECF,△BAF. 17 理由如下： 所以S四边形ABCE=S△FCE一S△FBA=1一 88 :∠1=∠3，∠EFC=∠OFB, 【变式训练3】 .△ECFp△OBF. 解：甲的加工方法符合要求. ∠3=∠4， 设图①加工桌面长xm, ..∠1=∠4， .FD∥BC,.Rt△AFD∽Rt△ACB, 又，∠BFA=∠OFB, ..AF:AC=FD:CB, ∴.△BAF∽△OBF. 12 (3)由(2)知，△ECF∽△OBF. 即(4一x):4=x:3,解得x= 7 ·EFCF 设图②加工桌面长ym,过点C作CM⊥AB,垂足是 OF-BF' M,与GF相交于点N,如图所示. GF∥DE,∴.△CGFD△CAB, :号9即8CF=2Br, ..CN CM=GF AB, ∴.3(CF+OF)=3CF+9=2BF+9, ..(CM-y):CM=y AB. .∴.3OC=2BF+9, AB-CC .3OA=2BF+9①， 由(2)知，△BAF△OBF, 由面积相等可求得CM=2.4, 故此可水得y=罗 邵器 .BF2=OF·AF, 很明显x>y,故x2>y2, .BF2=3(OA+3)②. 甲的加工方法符合要求 联立①②，可得BF=1十√I9(负值舍去)， ∴.DE=BE=2+1+√I9=3+√19. 第2章解直角三角形 2.1锐角三角比 12 3 1.B2.D3.1345.A6.B7.88.B ①D ② 【通模拟】 9.C10.311.C12.C13.C14.5 1.C2.C3.B4.B5.D6.AC 15.①②③④ 7.98.9 9.证明：(1)四边形ABCD为菱形，∴.AB∥CD, 16.解：，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6,tanA= .∠BAE=∠G. BC 1 .∠BAE=∠DAF,.∠G=∠DAF AC2· .∠ADG=∠FDA,.△AGD∽△FAD. ∴.AC=12, (2).四边形ABCD为菱形，∴.ABCD, ..AB=AC2+BC=122+62=65, ∴.∠ABD=∠GDB,∠BAG=∠G, '.sin B= AC=12_25 AH BH △ABH△GDH,心GH-DH' AB655 .AH·DH=BH·GH. 17.解：(1)存在的一般关系：sinA+cos2A=1, 【通中考】 tan A= sin A cos A' 10.18.211.1:312.4√2π 13.证明：，BE=BC,∴.∠C=∠CEB. 理由：sinA=g,c0sA=名，a2+b=c, ∠CEB=∠AED,.∠C=∠AED. AD⊥BE,.∠D=∠ABC=90°， sin'A+cos'A-ait ∴.△ADEp△ABC c2 c21. 14.解：(1)证明：如图所示 e D Q2 CoSA==,aDA一b， c 6 4 .tan A=sin A cos A. B 在矩形ABCD中，OD=OC,∠BCD=90°，AB/CD, (2)①：∠A为锐角，∴.cosA>0. ∴.∠2=∠3=∠4，∠3+∠5=90°. .DE=BE, ∴mA--A-1(- 6 3cos A 2sin A ,在Rt△ACH中， cos A cos A 32tan A ②原式= 6cos A sin A 6-tan A sin A=CH ' cos A cos A ..CH=AC·sinA= 3+2×3=3. 9×sin48°≈6.69. 6-3 (2)在Rt△ACH中， 2.230°，45°，60°角的三角比 cos A=AH AC' 1.A2.-4 3.√2+43 ∴.AH=AC·cosA=9Xcos48. 在RE△BCH中，tanB=CH CH 4解：D原式-(》+(+()》 BH AB-AH 9×sin48° =1+313 8-9Xc0s48≈3.382. 4224 ∴.∠B≈7332 阶段检测二（2.1~2.3) 2+2 1.B2.B3.A4.C5.ACD6.A w空 7.38.159.3-1 2 √5×13 0.解：1)tan60°·cos30°二3sin45°=3X)-3y 5.B6.A7.C8.60° 9解：sina十15)-，且a十15)是锐角，a十 --x是- 133 15°=60°..a=45°. 3 (2)2c0s45°-2tan30,cos30°+sin260°=2× 8-4os。-(x-3.14)”+ana+(g）)' 2万-4xg-1+1+8-8 11.解：在△ABC中，∠C=180°-54°-36°=90°， 10.D11.C12.B13.A BC 14.6-② 在Rt△ABC中，sinA=A 4 15.2-316.(W2+1,1) ∴.BC=AB·sinA=2.1×sin54°≈2.1X0.81= 1.701(m), 17.解：(1)sin。·cos30=5, ∴.CD=BC-BD=1.701-0.9= 4 0.801≈0.8(m) sin a.36 所以铁板BC边被掩埋部分CD的长为0.8m. 2-4 12.解：四边形ABCD是矩形， 'sin a=12 ∴.AB=CD,∠D=90°. 2.a=459. AB2 “BC-3,且由折叠知CF=BC, (2)2tana-√2cosa=2tan45°-√2cos45°=2X CD 2 1-x9-21=1 设CD=2x(x>0),则CF=3x, 18.解：tan75°=tan(45°+30)=，an65.a30= 在Rt△CDF中， DF=√CF2-CD=√5x. 1+号 =3+3_(3+3)2 _DF_5x=5 ∴tan∠DCF=CD=2z-2 1-1×53-(3-3)3+3) =2十√3. 13.解：(1)锐角的正弦值随着角度的增大而增大，锐角 3 的余弦值随着角度的增大而减小. 2.3 用计算器求锐角三角比 (2)sin18°<sin34°<sin50°<sin62°<sin88°， cos88°<cos62°<cos50°<cos34°<cos18°. 1.D2.A (3)=< 3.(1)0.7314(2)0.9041(3)1.0000 (4)sin10°<cos70°<sin50°<cos30°. 4.5612180 5.解：(1)sinA=0.75,.∠A≈4835' 2.4解直角三角形 (2),cosB=0.8889,.∠B≈2716'. 第1课时解直角三角形 (3).tanC=45.43,∴.∠C≈8844'. 1.B 6.< 2.解：在直角三角形ABC中， 7.tan46>cos1>sin88° b=√c2-a=√82-4=45. 8.D9.C10.60 11.解：(1)过点C作AB边上的高CH,垂足为点H, :mA=-合日 如图所示. .∠A=30°，∴.∠B=90°-∠A=60°.