第一章 反比例函数 本章综合提升-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(鲁教版2012 五四学制)

本章综合提升（答案P5) 本章知识归纳 当>0时，在每一个象限内 表达式： (k为常数，k≠0) y随x的增大而 性质 当k<0时，在每一个象限内， y随x的增大而 形状：双曲线 反比例函数 特征：图象关于 对称，双曲线的两 个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴 在实际问题及物理学中的应用 画法：描点法 图象 当k>0时，图象位于第 象限 应用 与数学中其他知 与几何知识的综合应用 位置 当k<0时，图象位于第 象限 识的综合应用 与一次函数的综合应用 思想方法纳 >>>>>>>>>>>>>>>>> 【变式训练】反比例函数y=一的图象上 1.数形结合思想 有三点(-3，y1),(1,y2),(6,y3),则y1y2y3 从几何直观的角度利用几何图形的性质研 的大小关系是 究数量关系，寻求代数问题的解决途径；或用数 2.方程思想 量关系研究几何图形的性质，以形助数，以数辅 从分析问题的数量关系入手，通过设定未知 形，使抽象问题直观化，复杂问题简单化，从而使 数，把问题中的已知量与未知量的数量关系转化 问题得以解决。 为方程或方程组等数学模型，然后利用方程的逻 一白链接亦章…… 辑，使问题得到解决。 借助函数图象与反比例函数解决相关 ,台链授亦章“ 的比较大小的问题，非常简捷、直观、易于理 反比例函数的表达式的确定及实际问 解，这充分体现了数形结合的优势，是反比 题中无不渗透着方程思想的运用，它集中体 例函数比较函数值大小的常用方法. 现在待定系数法的运用上， 【例1】若点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3, 【例2】如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y=与一次函数y=一专女十2 4 军反比例函数y8的图象上，其 0<y1<y3,则x1,x2,x3的大小关系是( 的图象交于A(c,4),B两点， (1)求反比例函数的表达式和点B的坐标. A.x1<x2<x3 B.x2<x3<x1 k、 C.x1<x3<x2 D.x2<x1<x3 ②》求出不等式≥一兰x十2的取值范固 x 一优学案·课时通 (3)若点C在y轴上，△ABC的面积为18，求满 【例3】(2023·泰安泰山区月考)如图所 足条件的点C的坐标. 示，在平面直角坐标系中，一次函数y=k1十b k2 (k≠0)与反比例函数y=(m≠0)的图象相交 于A,B两点，过点A作AD⊥x轴于点D, A0=5,0D= AD,B点的坐标为(-6，n). 3 (1)求一次函数和反比例函数的表达式. (2)P是y轴上一点，且△AOP是等腰三角 形，请直接写出所有符合条件的P点坐标 【变式训练2】如图所示，已知反比例函数 y与一次两数y=-x十3的图象交于A,B 两点，P为y轴上一动点，连接PA,PB,当 【变式训练3】如图所示，反比例函数y= x PA十PB取得最小值时，△ABP的面积 为() (>0)的图象与正比例函数y=子x的图象交于 A,B两点（点A在第一象限） (1)当点A的横坐标为2时，求的值. (2)若k=12,点C为y轴正半轴上一点， y=-x+3 ∠ACB=90°. 3 A.1 .2 4 C. 3 0.3 ①求点C的坐标及△ACB的面积. ②以A,B,C,D为顶点作平行四边形，请求 3.分类讨论思想 出第四个顶点D的坐标. 当问题的对象不能进行统一研究时，就需要 对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研 究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到 整个问题的解答， 台链接本章… 反比例函数自变量的取值、函数表达 式、函数的性质、利用反比例函数解决问题 等都可能要分类讨论， 18 九年级·上册数学·鲁教版一 4.建模思想 【变式训练4】喝茶前需要烧水和泡茶两个工 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数 序，电热水壶将水烧到100℃，然后继续加热 学语言表达问题，用数学方法构建模型解决问题 1分钟后断电，烧水时水温y(℃)与时间x(min) 的素养. 成一次函数关系；断电后，水壶中水的温度（℃） “链接本章… 与时间x(min)近似于反比例函数关系（如图所 本章中主要体现在建立反比例函数模 示).已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过 型，利用反比例函数的图象和性质解决 程中水温不低于20℃. 问题. (1)分别求出图中AB段和CD段所对应的 函数关系式。 【例4】学科融合》寓言故事：青年用木柴 (2)从水壶中的水烧开(100℃)降到80℃就 烧水时，由于木柴不足，水没有烧开，重新找木柴 可以进行泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长 的时间水已变凉，而新找的木柴也不够将水重新 时间？ 烧开，很是气馁.路过的智者提醒他，木柴不够， y/℃ B C 可以将水倒掉一部分.青年听后，茅塞顿开，把水 100 烧开了.智者的话蕴含一定道理，根据物理学公 5( 式Q=cm△t(Q表示寓言故事中水吸收的总热 18 x/min 量，c表示水的比热容为常数，m表示水的质量， 立表示水的温差)，得△1三，智者的话可解稻 为：当木柴质量确定时，提供给水吸收的总热量 Q随之确定，9为定值，水上升的温度A:(℃)与 水的质量m(kg)成反比例. (1)若现有木柴可以将3kg温度为25℃的 水加热到75℃，请求出这种情形下？的值及△ 关于m的反比例函数的表达式. (2)在(1)的情形下，现有的木柴可将多少千 克温度为25℃的水加热到100℃. 通模拟》>>9>2> 1.(2023·烟台蓬莱区期末)下列函数y是x的 反比例函数的是() A.y=√3x B.y=a 1 C.y=x 1 D.y=3x 一优学案·课时通 19 2.(2023·烟台栖霞期末)已知反比例函数y= ,下列结论不正确的是( A.图象经过点(1,6) B.图象在第一、三象限 C.y随着x的增大而减小 D.当x>1时，0<y<6 3.(2023·泰安三模)如图所示，一次函数y1= 2x十1的图象与反比例函数y,=(x>0)的 1 图象交于点A(a,3),与y轴交于点B. 5.(2023·泰安中考)如图所示，一次函数y1 (1)求a,k的值 2x十2的图象与反比例函数y2三的图象 (2)请直接写出在第一象限y1<y2<4时，x 分别交于点A,点B,与y轴，x轴分别交于点 的取值范围， C,点D,作AE⊥y轴，垂足为点E,OE=4. (3)直线CD过点A,与反比例函数图象交于 (1)求反比例函数的表达式. 点C,与x轴交于点D,AC=AD,连接CB.求 (2)在第二象限内，当y1<y2时，直接写出x △ABC的面积. 的取值范围 (3)点P在x轴负半轴上，连接PA,且PA⊥ AB,求点P坐标 通中考)》2>2》%>>>2% 4.(2023·泰安中考)一次函数y=ax十b与反比 例函数y-b(a,b为常数且均不等于0)在同 2 一平面直角坐标系内的图象可能是( ) 20 九年级上册数学·鲁教版AH0H-即2x8Xm- 得c=-3 2 ，放点A坐标为（一，4）小，将点A坐标代入反比 解得n=1. 例函数表达式，得k= (2)如图所示，过点B作BQ⊥x轴于点Q. ×4=-6, 2 AB⊥y轴， 所以反比例函数表达式为y-一。 ∴.BQ=AH=√3. 将一次函数表达式和反比例函数表达式联立方程组，得 AO⊥BO, ∴.∠AOH+∠BOQ=90°. 6 y=- 3 T 又.∠AOH+∠OAH=90°， 解得 2'或=3, y=-2. 所以点B的坐 4 ∴.∠OAH=∠BOQ. y=-3x+2. y=4 又∠OHA=∠BQO=90°， 标为(3，一2). ∴.△BQO△OHA, (2)观察函数图象可知， 照器 ,.Q0=3. 当、3」 ≤x<0或x≥3时，反比例函数的图象在一次函数图 点B位于第二象限， 象的上方，即≥一冬 一3，+2，所以不等式≥ 3x+2的 x x .点B的坐标为（一3，√3） :点B在反比例函数，=：的图象上， 取值范围是-》<<0或≥8， (3)令直线AB与y轴的交点为M,如 ,=-3X5=-3n3.=-35 图所示. 将x=0代入一次函数表达式，得 1b2 y=2, 5.C6.D7.2a-2a8.48 所以点M坐标为(0,2).又点C在 9,解：(1)当n=-10时y=-10, 1 y轴上，则S△Aw=2 XCMXlz.l, S%=×-10=6.:A在y-的图象上， 1 S△w=2 XCMXIz,所以2X wX5m-w+Sw-9. CM×(受+3)-18，解得cM=8. 又点M坐标为(0,2)， 2)设p(m,0,则A(a总)B(.AB 所以点C坐标为(0，一6)或(0,10). 【变式训练2】D 8-.①当m>0时，AB=8-”=ADDP=AD+ mm 【例3】思路分析：(1)先根据勾股定理求出OD=3,AD=4, m Ap=8n+8-1D(,162）设x=my 得出点A(3,4),进而求出反比例函数表达式，再求出，点B坐 标，最后用待定系数法求出直线AB的函数表达式， m mm 16-1,则y=16-1y-16二，即点D所形成的函数图 (2)设出点P坐标，进而表示出OP,AP,OA,利用等腰三角 形的两边相等建立方程求解即可得出结论. x 解：(1)：AD⊥x轴，∴∠ADO=90°，在Rt△AOD中，AO= 16-n 象的表达式为y=x· 5,0D=AD,由勾股定理，得AD=4,0D=3,A(3,4, ②当m<0时，AB=”8,同理可得y=16”综上所述，点 m :k=3X4=12,y=12.又点B在反比例函数的图象上， x' D所形成的函数图象的表达式为y=16一” 12 x 六n=-6=-2,…B(-6,-2). 本章综合提升 点A(3,4),B(-6,-2)在直线AB上， 2 【本章知识归纳】 3k1+b=4, 原点一、三二、四减小增大 2 【思想方法归纳】 ∴AB直线的函数表达式为y=3t十2. 【例1】思路分析：先判断出点A,C在第一象限，点B在第三 (2)设点P(0,m),A(3,4),O(0,0),OA=5, 象限，再根据反比例函数的图象判断， ∴.OP=ml,AP=√9+(m-4)2 B △AOP是等腰三角形，∴.①当OA=OP时，|m|=5, 【变式训练1】y2<ys<y .m=士5，∴.P(0,5)或(0，-5) 【例2】思路分析：(1)将点A坐标代入一次函数表达式可求 ②当OA=AP时，∴.5=/9+(n-4)2, 出点A坐标，再将点A坐标代入反比例函数表达式即可解决 .m=0(舍)或m=8,.P(0,8). 问题. ③当OP=AP时，.m=√/9+(m-4), (2)利用数形结合的思想即可解决问题. (3)将△ABC的面积转化为两个三角形的面积之和即可. m=空P(,号)综上所述，当点P垒标为08 解：1)将点A坐标代入一次函数表达式，得-合c+2=4,解 （0.5.(0,-5)或(0，)时，△A0P是等腰三角形， 5 【变式训练3】解：1)当=2时y=子×2=2点A坐标 解得a=10, .当加热烧水时，函数关系式为y=10x十20(0x≤8)： 为(2,2) 当停止加热时，y与x的函数关系式为y=100(8<x≤9)；当 :点A在反比例函数y=冬(>0)的图象上，k=2X 断电后函数关系式为y=900(9<r≤45. x 23 x (2)①：k=12,反比例函数表达式为y=2,联立方程组， (2)把y=80代人y=900,得x=45 4 因此从水烧开到泡茶需要等待5-8-只（分钟）。 x 得 3解得{二或一、 【通模拟】 y2=-3. y=4x, 1.D2.C .点A(4,3),点B(-4,-3),.AO=B0=5. 3解：1)将点A的坐标代人一次函数表达式，得3=子+1， 又，∠ACB=90°， 解得a=4,则点A(4,3), ∴.CO0=AO=B0=5,.点C(0,5), △ACB的面积=号×5×4+2×5X4=20, 将点A的坐标代人反比例函数表达式，得3= 4,解得 k=12. ②设点D坐标为(x,y), 若AB为对角线，四边形ACBD是平行四边形，则AB与CD (2)把y=4代人y=12,得x=3. x 互相平分， 由图可知y2<4时，x>3, 52=二3+3，-4+4=0 由图可知y1<y2时，x<4, 2 2 2 2x=0,y=-5, ∴·y1<y2<4时，3<x<4. .点D(0,-5). (3)点A(4,3),D点的纵坐标是0，AC=AD, 若AC为对角线，四边形ABCD是平行四边形， 则AC与BD互相平分， ·点C的纵坐标是3×2-0=6，把y=6代入y=12, ,得x 、4十0_-4+x5+3_-3十y 2,.C(2,6). 2 ,2=2 x=8,y=11,.点D(8,11). 若BC为对角线，四边形ABDC是平行四边形， 则BC与AD互相平分， -4+0-x十4，-3+5_3+y」 2 22 2 0D .x=-8,y=-1,点D(-8,-1). 综上所述，点D坐标为(0，一5)或(8,11)或(-8，-1). 如图所示，过点C作CD⊥x轴于点D,交AB于点E, 【例4)思路分析：(1)根据50=9 是可得9-150，即释 1 当x=2时y=2×2+1=2,E(2,2). At=150 C(2,6),.CE=6-2=4, 1 S△A=2CE·xA=)X4X4= (2)由25℃的水加热到100℃，得75=150 ,即可解得答案. 【通中考】 解：(1)根据题意，△1=Q 4.D cm 5.解：(1)一次函数y1=一2x十2的图象与y轴，x轴分别交 ,将3kg温度为25℃的水加热到75℃， 于点C,点D,.点C(0,2),点D(1,0). .m=3kg,At=75-25=50℃， .OE=4,∴.OC=CE=2..∠AEC=∠DOC=90°， Q ∠ACE=∠DCO,.△AEC≌△DOC(ASA),.AE=OD= 50c .9=1504y=150, m, 1点A(-1,4.“点A在反比例函数=会的图象上， :.Q的值为150，△关于m的反比例函数的表达式为 .k=-1×4=-4, 4L=150 4 m ∴，反比例函数的表达式为y2=一 x (2)25℃的水加热到100℃， y=-2x+2, 六△4=100-25=75（℃），75=150 (2)方程组 4 解得=2，.现有的 y=- x 木柴可将2千克温度为25℃的水加热到100℃. 的解为=一1，x2=2, 【变式训练4】解：(1)停止加热时，设y=,由题意，得50 y1=4,y2=-2. 点A(-1,4),∴.点B(2,-2). 18解得为=900，y= 900当y=10时，解得x=9,C点 在第二象限内，当y1<y,时，x的取值范围为-1<x<0. (3)由于直线PA⊥AB,可设直线PA的函数表达式为y= 坐标为(9,100)， ∴，B点坐标为(8,100). 2x+b, 当加热烧水时，设y=ax+20, 由题意，得100=8a十20， 把点A的坐标（一1，）代人，得4=一号十6，解得6=号， 6 1 9 ∴直线PA的函数表达式为y=2x十2， 如图所示，延长CA至点D,使得DA=AB, .AD=AB=5,∴∠D=∠ABD, 当y=0时，x=-9,点P的坐标为(-9,0). ∴.∠BAC=2∠D,CD=AD+AC=2+√5， 第二章 直角三角形的边角关系 an7∠BAC=tanD-CD=后+25 1 锐角三角函数 (2)如图所示，作AB的垂直平分线交AC于点E,连接BE, 第1课时正切 1.D2.C3.20 4.解：过点A作AH⊥BC于点H,如图所示. E ② 则∠BEC=2∠A,AE=BE,∠A=∠ABE. :在R△ABC中，∠C=90,AC=3:anA=号 .BC=1,AB=/10. S△A=27cm，2X9XAH=27, 设AE=x,则EC=3一x, ∴.AH=6cm.AB=10cm, 在Rt△EBC中，x2=(3-x)2+1, ∴.BH=√AB2-AH=√102-6=8(cm), AH=6=3 解得=号即AE=BE=号，BC= 3’ '.tan B-BH-84' BC 3 5.B6.D7.1:2 ∴an2A=an∠BEC-CE=4 8.解：分别过点A,D作AM⊥BC,DN⊥BC,垂足分别为点 第2课时正弦和余弦 M,N,如图所示. 1.B2.A3.124.A5.B 6 6.C解析：当△ABC为直角三角形时，存在两种情况：①当 1:3 12.523 AB为斜边，∠C=90°时， MN AC=8,BC=6,.AB=√AC2+BC=√82+62=10. 根据题意，可知AM=DN=23米，MN=AD=6米， AC 8 4 在R△ABM中，：B=3,心BM=69米. .cos A-AB-105 ②当AC为斜边，∠B=90°时， .'AB=AM+BM2, 由勾股定理，得AB=√AC-BC=√82-6=2√7， ∴.AB=√232十692≈72.7（米）， 在Rt△DNC中，DN:CN=1:2.5, mA把g-只 ∴.CN=2.5DN=57.5米， ∴.BC=BM+MN+CN=132.5米， 雄上所述，A的值为音我号 “41 答：背水坡AB的长度约为72.7米，坝底BC的长度约为 132.5米. 7.>8.A9.A10.A11.5 9.B10.D11.10 12.解：.∠C=90°，CD=3,AD=BD=5, 12.解：(1)楼梯的坡度为1， ∴.BC=√/BD-CD=√5-32=4，AC=AD+DC= ∴.∠ABC=45°， 5+3=8. AB=32 ·4C=2 2m. tan A=BC=41 AC3+5=2.在R△ABC中，∠C=90, 答：舞台的高AC为3y2 .AB=√AC2+BC=√82+4P=45. m. (2):新楼梯坡度为号，AC-8 4骆房9m4器-号 2m, 13.D .CD=3√2m,由勾股定理，得 14号 AD=√AC+CD2=310(m). 答：AD的长度为3Y 15星在R△8优，n∠0BC-8C-设0C=3,则 m. B'C=5x, 2 13.解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2,BC=1, 由勾股定理，得OB'=√CB2-OC=4x, .AB=√AC2+BC=√5， 根据矩形的性质可知BC=B'C=OA=5.x,∴.AB'=x. ,·将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上， .∠B=∠CB'E=90°， .∠OB'C+∠AB'E=90°.又.∠AB'E+∠AEB'=90° .∠OB'C=∠AEB'. .∠COB'=∠EAB'=90°， ① .△BOCc∽△EAB',