第一章 第一章 3 反比例函数的应用-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(鲁教版2012 五四学制)

3 反比例函数的应用（答案P3) 通基础》%999999999” (1)求点A对应的指标值. (2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需 知识点1反比例函数的应用 要18分钟，他能否经过适当的安排，使学生在 1.模型观念如图所示，曲线表示温度T(℃)与 听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于 时间t(h)之间的函数关系，它是一个反比例函 36?请说明理由. 数的图象的一支.当温度T≤2℃时，时间t ↑y/指标 45 B C 应() 0102045x/分钟 012345 A不小于 B不大于弘 C不小于A D不大 2.学科融合》在温度不变的条件下，通过一次又 一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对 汽缸壁所产生的压强p(kPa)与汽缸内气体的 体积V(mL)成反比例，p关于V的函数图象 如图所示.若压强由75kPa加压到100kPa, 知识点2反比例函数与一次函数综合 则气体体积压缩了 mL. 4.(2023·泰安泰山区期中)一次函数y=ax十b tp/kPa 100- 和反比例函数y=Q一b在同一平面直角坐标 75----- 60-------- 系中的大致图象是() 0 100 V/mL 3.新情境》通过实验研究发现：初中生在数学课 上听课注意力指标随上课时间的变化而变化， 上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学 生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散.学生 注意力指标y随时间x(分钟)变化的函数图 象如图所示，当0≤x<10和10≤x<20时，图 象是线段；当20≤x≤45时，图象是反比例函 数图象的一部分！ 10 九年级·册数学，鲁教版 5.(2023·泰安东平期中)如图所示，点A,C是 通能分》3>>999229》 正比例函数y=x的图象与反比例函数y= 7.模型观念》如图①所示是一个亮度可调节的台 的图象的两个交点，过A点作AD⊥x轴于点 灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻 D,过C点作CB⊥x轴于点B,则四边形ABCD 控制电流的变化来实现.如图②所示是该台灯 的面积为 的电流I(A)与电阻R(2)成反比例函数的图 象，该图象经过点P(880,0.25).根据图象可 知，下列说法正确的是( A 0.25 6.(2023·泰安泰山区期末)如图所示，在平面直 880 R/2 角坐标系xOy中，一次函数y=3x十2的图象 ② 与y轴交于点A,与反比例函数y二(k≠0 A.当I<0.25时，R<880 在第一象限内的图象交于点B,且点B的横坐 B.I与R的函数关系式是I=20 (R>0) 标为1.过点A作AC⊥y轴交反比例函数y= C.当R>1000时，I>0.22 飞(k≠0)的图象于点C,连接BC. D.当880<R<1000时，I的取值范围是 0.22<I<0.25 (1)求反比例函数的表达式. 8.(2023·烟台芝罘区期末)某药品研究所开发 (2)求△ABC的面积. 一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血 液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x(小 时)之间的函数关系图象由一条线段和一段曲 线组成.如图所示（当x≥4时，y与x成反比 例)，则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的 持续时间为() A.4小时B.6小时 C.8小时 D.10小时 y ↑（微克/毫升） x/小时 第8题图 第9题图 9.如图所示，矩形OABC的顶点A,C的坐标分 别为(0,10)，4,0)，反比例函数y-(k≠0) 在第一象限内的图象过矩形OABC的对角线 的交点M,并与AB,BC分别交于点E,F,连 接OE,EF,OF,则△OEF的面积 为 一优学案·课时通 10.(2023·泰安模拟)如图所示，在平面直角坐 通素养》沙2沙 标系中，一次函数y1=kx十b(k≠0)的图象 11.应用意识》环保局对某企业排污情况进行检 与反比例函数y,=”(m≠0)的图象相交于 测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标， 第一、三象限内的A(3,5),B(a,一3)两点， 即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L. 与x轴交于点C 环保局要求该企业立即整改，在15天以内 (1)求该反比例函数和一次函数的表达式。 (含15天)排污达标.整改过程中，所排污水 (2)直接写出当y1>y2时，x的取值范围. 中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变 (3)在y轴上找一点P使PB-PC最大，求 化规律如图所示，其中线段AB表示前3天 PB一PC的最大值及点P的坐标， 的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为 4mg/L.从第3天起所排污水中硫化物的浓 度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x/天 4 6 8 硫化物的浓度 2.4 1.5 y/(mg/L) (1)求整改过程中当0≤x<3时，疏化物的浓 度y关于时间x的函数表达式 (2)求整改过程中当x≥3时，硫化物的浓度 y关于时间x的函数表达式. (3)该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在 15天以内降到不超过最高允许的1.0mg/L? 为什么？ y/(mg/L) 10 0 x/天 f12 九年级上册数学·鲁教版一当0<k<1时，反比例函数y= -1的图象在第二、四象限， 是-a=2(6-） 一次函数y=kx十k一1的图象经过第一、三、四象限，故选项 B正确」 两边平方，得。2+-2=4(+-2，即。2+子 3D4c5B6=-是20 3 46+)-6. 812或10或号 :0C2=a2+。,0D2=62+6京， 9.解：(1)当y=0时，即x一2=0， ∴x=2,即直线y=x-2与x轴交于点A(2,0), 40D-0c=4(6+)-(a+3）=6 ..OA=2-AD. 又CD=6,.点C的坐标为(4,6). 3反比例函数的应用 :点C(4,6在反比例函数y=是的图象上， 1.C2.20 .k=4×6=24, 3.解：(1)设当20≤x≤45时，反比例函数的表达式为y=工 24 .反比例函数的表达式为y= 将(20,45)代人，得45=品，解得友=90，反比例函数的表 y=x-2, 900.当x=45时，y=45 900 达式为y =20,.D(45,20), (2)方程组 _24 的正数解为二6：点B的坐标为 y y=4, ∴.A(0,20),即点A对应的指标值为20. (6,4) (2)能.理由：设当0≤x<10时，线段AB的函数表达式为 当x=4时，y=4-2=2, 点E的坐标为(4,2)，即DE=2, y=mx+n,将(0,20)，(10,45)代人，得20=， 45=10m十，解 ∴.EC=6-2=4, 5 1 得m=2, SaE=2X4X(6-4)=4, ln=20. 即△BCE的面积为4. .5 线段AB的函数表达式为)=2x+20.(0≤x<10) 1 10.解：(1)”一次函数y1=一4x+1的图象与x轴交于点A, 5 32 当y≥36时，2x+20≥36，解得x≥号 与y轴交于点C, .A(4,0),C(0,1) 由(1)得反比例函数的表达式为y=900, x 又，AC=BC,CO⊥AB, .O是线段AB的中点，即OA=OB=4,且BP=2OC=2, 当≥36时，900≥36，解得x≤25， .点P的坐标是（一4,2）. 将P(一4,2)的坐标代入：=2中，得m=一8， 小号<：≤5时，注意力指标都不低于35， 即反比例函数y:的表达式为=一8 而5号-铝>18， ∴.张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解 (2)存在，假设存在这样的点D,使四边形BCPD为菱形， 时，注意力指标都不低于36. 连接DC,与PB交于点E. 4.A5.8 四边形BCPD是菱形， 6.解：(1)一次函数y=3x十2的图象过点B,且点B的横坐 .CE=DE=4,.CD=8,.点D的坐标是(-8,1). 标为1， 将x=一8代人反比例函数表达式y三一，得y=1, y=3×1+2=5,.点B的坐标为(1,5). 则点D在反比例函数图象上， :点B在反比例函数y=的图象上， 即反比例函数的图象上存在点D使四边形BCPD是菱形， .k=1×5=5, 此时点D的坐标是（一8,1）. 心反比例函数的表达式为y=: 11.解：(1)当b=2,BD=1时，则D(2,1).双曲线y= (2):一次函数y=3x十2的图象与y轴交于点A, (x>0)过点D,.k=2×1=2. .当x=0时，y=2, 1 (2)当=1时，反比例函数表达式为y= .点A的坐标为(0,2) ,AC⊥y轴， ①：点Aa,a),B(6,b,BD∥AC/y轴，C(e,), ∴.点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，是2. (.) 点C在反比例函数y三的图象上， 当y=2时，2=解得2=号 5 :AC=BD,a-a=b-6心a 1 =a十b, :a+也=4+6，ab=1. AC- ab 过点B作BD⊥AC于点D,则BD=yB-yc=5-2=3, AC--a.BD=6-AC-2BD, a 3 7.D8B9空 U。的增大而增大， 10.解：(1)把A(3,5)的坐标代入y2= x(m≠0)， U,取最大值6的时候m=-10+135=15(千克。 8.解：(1)，点A(0,8)在直线y=-2x+b上，.-2×0+b= 可得m=3×5=15, 8,.b=8, ÷反比例函数的表达式为=5 .直线AB的表达式为y=-2x十8. 将B(2,a)的坐标代人直线AB的函数表达式y=-2x+8 把Ba:一3》的坐标代入-，可得a=-5, 中，得-2×2十8=a,∴.a=4, .B(2,4). ∴.B(-5,-3) 把A(3,5),B(-5,一3)的坐标代入y1=x十b(≠0)， 将B(2,4)的坐标代人反比例函数表达式y=冬(x>0)中， 可得 得k=xy=2X4=8. 3k+b=5, 二5+63.解得 (2)①由(1)知，B(2,4),k=8, b=2. ∴.一次函数的表达式为y1=x十2. 反比例函数表达式为y=8 (2)当y1>y2时，-5<x<0或x>3. 当m=3时，将线段AB向右平移3个单位，得到对应线 (3)一次函数的表达式为y1=x十2，令x=0,则y=2,. 段CD, 次函数的图象与y轴的交点为P(0,2),此时，PB一PC= .D(2+3,4),即D(5,4) BC最大，P即为所求， 8 令y=0,则x=-2,.C(-2,0), “DFLx轴于点F,交反比例函数)=的图象于点E, ∴.BC=√(-5+2)2+32=3√2. E6） 11.解：(1)前三天的函数图象是线段，设函数表达式为y kx+b, ②如图所示，将线段AB向右平 把A(0,10),B(3,4)的坐标代入函数表达式，得 移m个单位(m>0),得到对应线 b=10 段CD, 4,架得份=10 3k+b=4,1 .'.CD=AB,AC=BD=m..'A(0,8), 所以当0≤x<3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达 B(2,4),.C(m,8),D(m+2,4), 式为y=-2x+10. 当BC=CD时，BC=AB, ∴点B在线段AC的垂直平分线上， (2)当x≥3时，设y= ,把B(3,4)的坐标代入函数表达 x .m=2X2=4. 式，得4=冬，所以6=12， 当BC=BD时，B(2,4),C(m,8), .BC=√(m-2)+(8-4)产， 当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为 .√(m-2)2+(8-4)2=m,.m=5. 当BD=AB=CD时，m=AB=√22+4=2V5. 12 综上所述，△BCD是等腰三角形，满足条件的m的值为4或 (3)能.理由：当x=15时，y=15=0.8, 5或25. 因为0.8<1， 所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超 专题二 反比例函数中k的几何意义 过最高允许的1.0mg/L. 1.4 专题一反比例函数与 2解：设点A的坐标为(。，），点B的坐标为6，号)：点C 一次函数的综合应用 是x轴上一点，且AO=AC,.点C的坐标是(2a,0), 1.B2.C3.A4.B5.D6.D 7.解：（1)将(0,240)，（120,0)代入R1=km十b,得 设过点0(0,0)，A(。,）的直线的函数表达式为y=x, b=240, 得公6-240 18 =ak,解得= 120k+b=0, a21 (2)由题意，得可变电阻两端的电压=电源电压一电表电压， 又：点B(6,名)在y=x的图象上， 18 即可变电阻电压=8一U a 1一只，可变电胆和定值电且的电流大小相等8心- 是化商，得R,=R(低-小R=0R-0-0 a4c=Sac-5om=18-号×2aX2=18-6=12, 1 3.A 3)将R1=-2m+240(0≤m≤120)代人R1=D-30, 得-2m十240=器-30，化简， 4解：1D:△A0H的面积为号，=5. .A(n,√5)，且AH⊥x轴， +135(0≤m≤120)， .AH=√3，OH=n. ”m=-120+135中k=-120<0,且0<CU,≤0，元m 又：△A0H的百积为，