1.4 第1课时 位似图形-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(青岛版2012)

专题一相似三角形的性质与判定（答案3） 类型1利用角判定两个三角形相似 甜类型2利用边角判定两个三角形相似 1.如图所示，在△ABC中，AB=AC,点D为线 3.推理能力》如图所示，锐角三角形ABC的边 段BC上一动点（不与点B,C重合），连接 AB,AC上的高线CE,BD交于点O,连接 AD,作∠ADE=∠B=40°，DE交线段AC于 ED,则图中相似的三角形有( 点E 下面是某学习小组根据题意 得到的结论： 甲同学：△ABD∽△DCE; B<4040 乙同学：若AD=DE,则BD=CE; A.5对 B.6对 C.7对 D.8对 丙同学：当DE⊥AC时，D为BC的中点. 4.如图所示，已知D,E分别是△ABC的边AB, 则下列说法正确的是() AC上的点，AB=8,AD=3,AC=6,AE=4, A.只有甲同学正确B.乙和丙同学都正确 求证：∠ABC=∠AED, C.甲和丙同学正确 D.三个同学都正确 2.如图所示，在△PAB中，C,D为AB边上的两 个动点，PC=PD (1)若PC=CD,∠APB=120°，则△APC与 △PBD相似吗？为什么？ (2)若PC⊥AB(即C,D重合)，则∠APB= 时，△APC∽△PBD. (3)当∠CPD和∠APB满足怎样的数量关系 时，△APC∽△PBD?请说明理由. 5.如图所示，A,B,C三点均在边长为1的小正 方形网格图的格点上 (1)请在BC上标出点D,连接AD,使得 △ABDP△CBA. (2)试证明上述结论：△ABDp△CBA. -九年级，上册·数学：QD 18 类型3利用三边判定两个三角形相似 类型5照相似三角形与图形的面积 6.已知△ABC的三边长分别为6cm,7.5cm, 9.已知△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'是它们 9cm,△DEF的最小边长为4cm,当△DEF 的对应角平分线，若AD=8,A'D'=12,则 的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相 △ABC与△A'B'C的面积比是() 似？() A.2:3 B.4:9 A.2 cm,3 cm B.4 cm,5 cm C.3:2 D.9:4 C.5 cm,6 cm D.6 cm,7 cm 10.如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC, 7.如图所示，点B,D,E在一条直线上，BE与 BD相交于点O,E是CD的中点，则△DEO AC相交于点F,AD-DE AE AB BC AC 与△BCD的面积的比等于( (1)求证：∠BAD=∠CAE (2若EF-CF,△AEF的周长等于号，求 1 1 B.4 C.6 1 △BFC的周长. A.2 0.8 11.如图所示，在口ABCD中，E是CD的延长线 上一点，BE与AD交于点F,DE-CD, (1)求证：△ABF∽△CEB. (2)若△DEF的面积为2，求□ABCD的面积. 类型4相似三角形性质与判定的综合应用 8.如图所示，在△ABC中，点D在边BC上， AE∥BC,BE与AD,AC分别相交于点F,G, AF2=FG·FE. (1)求证：△CAD∽△CBG. (2)连接DG,求证：DG·AE=AB·AG 19 优计学案·课时通一∴.∠APB-∠CPD+∠APB-∠CPD+∠CPD=180°，9.B10.B 即2∠APB-∠CPD=180°. 11.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， 3.D ∴.∠A=∠C,AB∥CD 4.证明：在△ABC和△AED中， .∠ABF=∠CEB 是2品号=2 .△ABFp△CEB. (2)四边形ABCD是平行四边形， .AB AC .AD∥BC,AB∥CD且AB=CD. AEAD' ∴.△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF. 又∠A=∠A,.△ABC∽△AED. ∴.∠ABC=∠AED. DE-TCD, 5.解：(1)如图所示，点D是所求作的点. .DE-1.DEDE 1 CE3'ABCD2 1)21 B D 3 =9 (2)证明：AB=√/1+2=√5，BC=5,BD=1, SADEF- ,BD1W5AB√5 SAABF 小AB5行·BC=5' SADEF=2,.S△CEB=18,S△ABF=8. BD AB ,SI边形BCDr=S△BCE一SADEF=16. ABBC 故SBABCD=Sm边形BCDF+S△ABr=16+8=24. 1.4图形的位似 ∠DBA=∠ABC,.△ABDD△CBA. 第1课时位似图形 6.C 7解，0证明：8能-， 1.B2.D3.B4.D5.4:9 6.解：(1)△ABC与△A'B'C'是位似图形，OB: ∴.△ABC∽△ADE, OB'=3:6=1:2, ..∠BAC=∠DAE, △ABC∽△ABC,且相似比为号 .∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 即∠BAD=∠CAE. (2)由(1)知△ABC△ADE,.∠E=∠C, 0A'C=2' 又，∠AFE=∠BFC, .A'C=10. .△AFE∽△BFC, (2)根据题意，得SAc AC 7 S△A'B'C CF, 5 4S△4gC=7X4=28. 1 7.解：如图所示，△A'BC'和△A"B"C”即为所要画的 CAFC 2 图形. .C△BFC=5. 即△BFC的周长为5. 8.证明：(1).AF2=FG·FE. .AFEF FGAF· ,∠AFG=∠EFA,∴.△FAG∽△FEA, ∴.∠FAG=∠E. .AEBC,.∠E=∠EBC, .∠EBC=∠FAG. 8.ABC9.C10.1:311.1 ,∠ACD=∠BCG 12.解：(1)如图所示，△A'BC'即为所求， .△CADp△CBG. (2),△CADn△CBG, -{-- -- 0-0品 -- '∠DCG=∠ACB,∴.△CDGn△CAB, 880 B mo c ic .AE∥BC, (2)如图所示.AA'=2,A'C'=√22+2=2√2， AE AG CC=2,AC=√4+4=4√2，∴.四边形AA'CC的 BC-GC' 周长为2+2√2+2+4√2=6√2+4. .AG GC …AEBC 18解：是位似图形，位似中心是点0，相似比为号 e 点E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点， ,.DG·AE=AB·AG EF∥AB,且EF=GAB,EH∥AD,且EH= 2AD,Pc/Bc,且Pc=BC,GH/CD,且cH= 【思想方法归纳】 【例1】思路分析：未指出对应顶点，故分△B'FC∽ 2CD. △ABC和△B'FC∽△BAC两种情况讨论. ∴.∠FEO=∠BAO,∠OEH=∠OAD, 又.四边形ABCD是矩形， 【变式训练1】 ∴.ABCD,AB=CD,∠BAD=90°. (-1,0)或(5，一2) .EFGH,EF=GH,∠FEH=90°. 【例2】思路分析：可设经过的时间为xs,故CQ,CP可 ,.四边形EFGH是矩形. 用含x的代数式表示出来，由相似三角形对应边成比 又：EE-PG-GH_HE_1 例构造方程求解， AB BC CD DA 2' 解：在Rt△ABC中，BC=8cm,AC:AB=3:5, ∴.矩形EFGH与矩形ABCD相似，且相似比 易求得AB=10cm,AC=6cm. 设经过xs时，以点P,Q,C为顶点的三角形与 △CBA相似，此时BP=2xcm,CP=(8-2x)cm, 又两个图形的对应顶点所在的直线都经过点O, CQ=xcm.根据相似三角形对应点顺序相同，有两种 ∴这两个图形是位似图形，位似中心是点O,相似比 可能情况 ①者ACPQ0ACBA,则器-器即8g- 8 第2课时位似图形的坐标变换 后，解得x=24 1.A2.4.53.(4,6) 4.解：(1)如图所示，△A'BC即为所求. ②若△CPQ∽△CAB,则-器，即82 6 百，解得工 32 Γ11 综上所述，当经过2.45或铝s时，以点P,Q,C 为顶点的三角形和△CBA相似. 【变式训练2】 (2)△A'B'C'的各顶点的坐标分别为A'(3,6), 解：设正方形EFGH的边长EF=EH=x. B(5,2),C(11,4). 四边形EFGH是正方形， 5.C6.C7.A8.(3,2)9.(-9,-2)或(3,2) .∠HEF=∠EHG=90°，EF∥BC, 10.(-3.0)或（号，） ,'.△AEF∽△ABC. .AD是△ABC的高，.∠HDN=90°， 11.解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求. ∴.四边形EHDN是矩形，∴.DN=EH=x. 点A1,B1,C1的坐标分别为(3，-2)，(-1，-6)， (5,-6). △AEF△ABC0 (2)如图所示，△A2B2C2即为所求. BC=12,AD=6,.AN=6-x, 点A2,B2,C2的坐标分别为(-3，-3)，(1,1)， (-5,1). 。-解得4 .AN=6-x=6-4=2. 【例3】思路分析：延长CB,DA相交于点F,证出 △FCD是等展三角形，求出PA=AE=子FD,证明 1 △FBA~△FCD,得出SaM=6Sam=8,即可得 出答案 解：如图所示，延长CB,DA相交于点F.因为CE 平分∠BCD,CE⊥AD,所以△FCD为等腰三角形，点 E为FD的中点. B (3)如图所示，△A,B3C3即为所求， 点A3,Bg,C3的坐标分别为(6,6)，（-2，一2)， (10,-2)或(-6，-6)，(2,2)，(-10,2). 12.A D 本章综合提升 【本章知识归纳】 因为Sacm=1,所以Saam=FD·CE-号 2 相同相等成比例比相等 2ED·CE=2S△cED=2. 成比例成比例成比例相等夹角 所以S△FCE=S△cED=1: 成比例相似比相似比平方 因为DE=2AE,DE=EF, 互相平行（或共线）同一共线 (ka,kb)(-ka,-kb) 所以EF=2AE,所以FA=AE=4FD. 5