1.2 第3课时 相似三角形的判定足理2-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(青岛版2012)

10.在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形 通素第2%%9 的折叠”为主题开展数学活动.如图所示，有 一张矩形纸片ABCD,点N在边AD上，现 13.(2023·泰安岱岳区期末)如图所示，△ABC 将矩形折叠，折痕为BN,点A对应的点记为 是等边三角形，点D,E分别在CB,AC的延 点M,若点M恰好落在边DC上，则图中与 长线上，∠ADE=60° △NDM一定相似的三角形是 (1)求证：AD2=AE·AC. (2)求证：△ABDp△DCE. D 11.几何直观》如图所示，在△ABC中，AB= AC,点D,E分别在BC,AB上，且∠BDE= ∠CAD.求证：△ADE△ABD, 12.如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC上的高， (1)求证：△ABDp△CBA. (2)若AB=6,BC=10,求BD的长. 7 优十学案·课时通 第3课时 相似三角形的判定定理2（答案P2) 通基础》9>9>>9% 5.如图所示，四边形ABCD的对角线AC与BD 相于点O,OD=2OA,OC=2OB. 知识点相似三角形的判定定理2 (1)求证：△AOBp△DOC. 1.如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC,BD (2)若CA平分∠BCD,求证：AB2=AO·AC. 交于点0，若品识则图中一定相似的三角 形是( ) A.△BOA∽△BADB.△BOAP△COD C.△BOC△BCDD.△COBp△CBA 第1题图 第2题图 2.(2023·潍坊潍城区期末)如图所示，已知 通能力> ∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，不能判 6.(2023·菏泽成武期末)如图所示，下列条件： 定△ABCO△ADE的是() ①∠B=∠D;②∠C=∠E;③ AB BC A.∠C=∠E B.∠B=∠ADE AD DE c8船 AB BC D. AC_AB 其中能够单独判定△ABC∽ AD DE AE AD 3.如图所示，D为△ABC边BC上一点，要使 △ADE的条件有() △ABD∽△CBA,应该具备下列条件中 的() D A.1个 B.2个C.3个 D.4个 A.ACAB AB BC 7.(多选题)如图所示，点P在△ABC的边AC CDCD B. CD AD 上，要判断△ABP∽△ACB,添加一个条件， c88阳 AC CB D.CD AC 其中正确的是() 4.如图所示，BC与AD相交于点O,OB:OC= 3 1,OA=12 cm,OD=4 cm,AB=30 cm, CD= cm. A.∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABC C.AB2=AP·AC D.AB·BC=AC·BP 一九年级·上册·数学，QD 8.(2023·聊城东阿月考)如图所示，在三角形纸 通素第2%9% 片ABC中，AB=6,BC=8,AC=4.沿虚线剪 下的涂色部分的三角形与△ABC相似的 12.探究拓展》如图所示，已知∠MON=90°，A 是() 是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON, 垂足为B,AB=3厘米，OB=4厘米，动点E,F 同时从点O出发，点E以1.5厘米/秒的速 B 度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度 B 沿OM方向运动，EF与OA交于点C,连接 AE,当点E到达点B时，点F随之停止运 动.设运动时间为t秒(t>O), 30 (1)当t=1时，△EOF与△ABO是否相似？ 请说明理由 (2)在运动过程中，不论t取何值时，总有 EF⊥OA.为什么？ 第8题图 第9题图 9.推理能力如图所示，在钝角△ABC中，AB= 6cm,AC=12cm,点D从A点出发沿AB以 1cm/s的速度向B点移动，点E从C点出发 沿CA以2cm/s的速度向A点移动，如果两 点同时移动，经过 秒时，以点A,D,E 为顶点的三角形与△ABC相似， 10.在△ABC中，∠B=25°，AD是BC边上的 高，并且AD2=BD·DC,则∠BCA的度数 为 11.几何直观》如图所示，在△ABC中，AD⊥BC 于点D,BE⊥AC于点E,AD,BE交于点O, 连接D,E (1)依题意补全图形 (2)△OAB与△OED相似吗？说明理由， 9 优十学案·课时通 第4课时 相似三角形的判定定理3（答案P2) 通基仙 >9%>9>>>9>%>》>8>9>9>5>9% 知识点2相似三角形判定方法的选择 5.下列所给四对三角形中，根据条件不能判断 知识点1相似三角形的判定定理3 △ABC与△DEF相似的是( 1.已知△ABC的三边长是√2，√6,2，与△ABC 相似的三角形的三边长可能是( 60 A.1,2,3 B15号 70° 50709 B c15,哥 D1,号 2.如图所示，将一个大 6709 6 三角形剪成一个小 三角形和一个梯形， 6.（多选题)(2023·潍坊诸城期末)如图所示，四 若梯形上、下底的长 边形ABCD是正方形，E是CD的中点，P是 分别为6,14，两腰长分别为12,16，且小三角 BC边上的一动点，下列条件中，能得到△ABP 形与大三角形相似，则下列数据为小三角形的 与△ECP相似的是( 三边长的是( A.A8 BP B.P是BC的中点 3.教材P18练习T2变式》已知一个等腰三角形 CE CP 的三边长分别为6,6,4，另一个三角形的一边 C.∠BAP=∠EPC D.AB:BP=3:2 长为2，且与它相似，则另外两边 通能力》99>%>>>2>2>>>229% 长为 4.如图所示，网格图中每个方格都是边长为1的 7.(2023·聊城东昌府区月考)如图所示，每个小 正方形.若A,B,C,D,E,F都是格点，求证： 正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影 △ABCp△DEF. 部分)与图中△ABC相似的是() 一九年级上册·数学，QD 8.推理能力》在△ABC与△A'B'C'中，有下列 通素第2%%9 条件： @8,@0: BC 12.如图所示，在正方形ABCD中，E,F分别是 边AD,CD上的点，AE=ED,DF-4DC, ③∠A=∠A';④∠C=∠C' 如果从中任取两个条件组成一组，那么能使 连接EF并延长交BC的延长线于点G,连 △ABC∽△A'B'C'的共有() 接BE A.1组B.2组 C.3组 D.4组 (1)求证：△ABE∽△DEF, 9.如图所示，在△ABC中，∠B=60°，BA=3, (2)若正方形的边长为8，求FG的长. BC=5,将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下 D 的阴影三角形与原三角形不相似的是( ) 60 第9题图 第10题图 10.如图所示，P是Rt△ABC的斜边BC上异于 B,C的一点，过点P作直线截△ABC,使截 得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的 直线共有 条 11.如图所示，已知AB∥DE,AC∥DF,BC∥ EF.求证：△DEFp△ABC 11 优十学案·课时逼一 第5课时 相似三角形的实际应用（答案P2) 通基仙 >9>>>>9>>%》>9>>9>9>9> 知识点2测量距离 4.如图所示，为估算某河的宽度，在河对岸选定 知识点1测量物高或影长 一个目标点A,在近岸取B,C,D三点，使得 1.应用意识》如图所示，在数学活动课上，为测 AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上，并且点 量学校旗杆的高度，小菲同学在脚下水平放置 A,E,D在同一条直线上，若测得BE=30m, 一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端 CE=10m,CD=20m,则河的宽度为() 在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗 A 杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面的高度为 1.6m,同时量得小菲与镜子的水平距离为 2m,镜子与旗杆的水平距离为10m,则旗杆 B EC 高度为() D A.6.4mB.8m C.9.6mD.12.5m A.20m B.30m C.40m D.60m 5.数学文化《九章算术》中记载了一种测量古 井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井 第1题图 第2题图 口A处立一垂直于井口的木杆AB,从木杆的 2.数学文化》《周髀算经》中记载了“偃矩以望 顶端B观测井水水岸D,视线BD与井口的直 高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲 径CA交于点E,若测得AB=1米，AC= 1.6米，AE=0.4米，则水面以上深度CD 尺（即图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是 把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如图所示， 为( 点A,B,Q在同一水平线上，∠ABC和 ∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D.测 得AB=40cm,BD=20cm,AQ=12m,则树 高PQ= m. 3.如图所示，路灯(P点)距地面9米，身高1.5米 A.4米 B.3米 C.3.2米D.3.4米 的小云从距路灯的底部(O点)20米的A点， 6.(2023·江苏镇江中考)如图所示，用一个卡钳 沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影 的长度是变长了还是变短了？变长或变短了 aD-RC,9S8贺-)测量奖个零件的内 孔直径AB,量得CD长度为6cm,则AB等于 多少米？ cm. O BN AM 一九年级上册·数学，QD 通能力》>9% 10.应用意识下表是小明填写的实践活动报告 的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算 7.数学文化》四分仪是一种十分古老的测量仪 小河的宽度 器.古代测量员用四分仪测量一方井的深度， 题目 测量小河的宽度(AB的长) 将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望 测量目标 井底点F,窥衡杆与四分仪的一边BC交于点 示意图 H.如图所示，四分仪为正方形ABCD,方井为 矩形BEFG.若测量员从四分仪中读得AB为 相关数据 BC=1.5 m,DE=2 m,BD=4 m 1,BH为0.5，实地测得BE为2.5，则井深 BG为() A下、 通素养 >>》>>53>23>>》>>》>> A.4 B.5 C.6 D.7 11.学科融合》如图所示，嘉嘉同学正在使用手 8.一种燕尾夹如图①所示，图②是在闭合状态时 电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依 的示意图，图③是在打开状态时的示意图（此 次是墙、木板和平面镜.手电筒的灯泡在点G 时AB∥CD),相关数据如图所示（单位：cm). 处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰 从图②闭合状态到图③打开状态，点B,D之 好经过木板的边缘点F,落在墙上的点E处， 间的距离减少了( ) 点E到地面的高度DE=3.5m,点F到地面 的高度CF=1.5m,灯泡到木板的水平距离 AC=5.4m,墙到木板的水平距离为CD= A(C F D 4m.已知光在镜面反射中的反射角等于入射 C2F3 D ③ 角，图中点A,B,C,D在同一水平面上.求灯 A.2 cm B.3 cm C.4cm D.5 cm 泡到地面的高度AG. 9.模型观念如图所示，小明同学用自制的直角 三角形纸板DEF测量树的高度AB.他调整自 G 墙木板B 己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边 地面DC平面镜A DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直 角边DE=40cm,EF=20cm,且测得边DF 离地面的高度AC=1.5m,CD=8m,则树 高AB= m. 优十学案·课时逼 阶段检测一（1.1~1.2)（答案3） 一、选择题 5.如图所示，在正方形ABCD中，点E,F分别 1.(2023·聊城东阿月考)下列图形是相似形的 在边AD,CD上，AF,BE相交于点G,若 是() A.所有平行四边形 B.所有矩形 AE-8ED,DF-CF,则29的值是( C.所有菱形 D.所有正方形 7 2.如图所示，在△ABC中，点D,E分别在AB A号 R号 0.6 和AC上，DE∥BC,M为BC边上一点（不与 6.如图所示，AC,BD相交 点B,C重合)，连接AM交DE于点N, 于点O,AB∥DC,M是 则() AB的中点，MN∥AC,交 A.AD_AN BD MN BD于点N,若DO: ANAE B. MN CE OB=1:2,AC=12,则MN的长为( C.IM Me D. DN NE A.2 B.4 C.6 D.8 MC BM 二、填空题 7.如图所示，四边形ABCD四边形A'B'C'D', 则∠a的度数是 第2题图 第3题图 D 3.(2023·聊城莘县月考)在如图所示的4×4的 1309 正方形网格图中，小正方形的边长均为1，三角 人60 702 △609 A B 形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形 8.(2023·聊城东阿月考)如图所示，在△ABC 与△ABC相似的是( 中，D为边AC上一点，P为边AB上一点， AB=12,AC=8,AD=6,当AP的长度为 时，以点A,D,P为顶点的三角形和 △ABC相似. D 4.如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD 相交于点O,E是OD的中点，连接AE并延长 第8题图 第9题图 交DC于点F,则DF:FC=() 9.推理能力》如图所示，在△ABC与△AEF中， A.1:4 B.1:3C.1:2D.1:1 E D AB=AE,BC=EF,∠B=∠E,AB交EF于 点D.给出下列结论： ①△ABC≌△AEF;②∠AFC=∠C;③DF CF;④△ADE∽△FDB.其中正确的结论是 (填序号) 第4题图 第5题图 一九年级上册数学，QD 三、解答题 12.探究拓展如图①所示，将菱形ABCD沿对 10.如图所示，在△ABC中，AB=AC,AD为BC 角线BD剪开，得到△ABD和△ECF,固定 边上的中线，DE⊥AB于点E △ABD,并把△ABD与△ECF叠放在一起. (1)求证：△BDE∽△CAD. (2)若AB=13,BC=10,求线段DE的长. B(E) D B (1)操作：如图②所示，将△ECF的顶点F固 定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕 点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC 交BA于点H(点H不与点B重合)，FE交 DA于点G(点G不与点D重合)，求证： BH·GD=BF2. (2)操作：如图③所示，△ECF的顶点F在 △ABD的BD边上滑动（点F不与B,D重 合)，且CF始终经过点A,过点A作AGCE, 11.(2023·泰安岱岳区期末)如图所示，小明欲 交FE于点G,连接DG.探究：FD十DG= 测量一座信号发射塔的高度.他站在该塔的 .请给予证明. 影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正 好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔 20米.已知小明的身高是1.8米，他的影长是 2米 (1)图中△ABC与△ADE是否相似？为 什么？ (2)求信号发射塔的高度 C 15 优十学案·课时逼 1.3相似三角形的性质（答案3） 通基础> 7.如图所示，已知在△ABC中，D,E分别是AB >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 和AC的中点，BE,CD相交于点O,若 知识京1相似三角形的性质 S△DOE=2,则S△B0c 1.如图所示，已知△ABC∽△EDC,AC:EC= 2:3,若AB的长度为6，则DE的长度 为() A.4 B.9 C.12 D.13.5 8.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，D是AC 上一点，DE⊥AB于点E,若AB=10, AC=8,DE=3,求四边形DEBC的面积. 第1题图 第2题图 2.几何直观》如图所示，在正方形网格图中， △ABC,△EDF的顶点都在正方形网格图的 格点上，△ABC∽△EDF,则∠ABC+∠ACB 的度数为() A.30° B.45° C.60° D.75° 3.如果把两条直角边长分别为5,10的直角三角 形按相似比进行缩小，得到的直角三角形的 通能力》>2>>2>29222>>22> 面积是 知识点2相似三角形的周长比和面积比 9. 如图所示，△ABCD△ADE,S△ABc: 4.若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个 S四边形BDEC=1：3,BC=√2，则DE的长 三角形对应边的比是() 为() A.1:2 B.1:4 A.6 B.22 C.3√2 D.4√2 C.1:8 D.1:16 5.已知△FHB△EAD,它们的面积分别为60 和15，且FH=6,则EA的长为( A.1.5 B.3 C.12 D.24 第9题图 第10题图 6.(2023·聊城莘县月考)两个相似五边形，一组 10.如图所示，灯泡P在横杆AB的正上方，AB 对应边的长分别为4cm和6cm,若它们的面 在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2m, 积之和为260cm2,则较大五边形的面积 CD=5m,点P到CD的距离是3m,则点P 是() 到AB的距离是( ) A.100cm2 B.180cm2 6 C.75 cm2 D.30 cm2 A.6mB.7四 Com 10 D.3m -九年级上册数学QD(2).△ABD△CBA, 第4课时相似三角形的判定定理3 册認 1.A2.B3.2,号或3,3 B0-0BD-36 4.证明：，AC=√2，BC=√/12十32=√10， 13.证明：(1)△ABC是等边三角形， AB=4,DF=√22+22=2√2， .∠ACB=60°. EF=√22+62=2√10，DE=8, ∠ADE=60°，∴.∠ADE=∠ACB. AC BC AB 1 ∠CAD=∠DAE,∴△ACD△ADE, 小DF=EF=DE2 ..AD_AC AE=ADAD=AE·AC ∴.△ABC△DEF 5.B6.ACD7.B8.C9.D10.3 (2).△ACD∽△ADE,.∠ADC=∠AED. △ABC是等边三角形， 1.证明：AB/DE,6-9形 .∠ABC=∠ACB=60°， .∠ABD=∠DCE=120°， BcEr配88 ∴.△ABDp△DCE :AC/DF,心AC-OC DF OF 第3课时相似三角形的判定定理2 1.B2.D3.C4.10 5.证明：(1).OD=-2OA,OC=2OB, ÷器DeDEF△AC 80-88:∠A0B=∠D0C 12.解：(1)证明：，四边形ABCD为正方形， ∴.AD=AB=DC=BC,∠A=∠D=90°， .△AOB∽△DOC. (2)由(1)，得△AOB△DOC, AE=ED.能- ∴.∠1=∠ABO.,CA平分∠BCD, ∴∠1=∠2.∠AB0=∠2. DF-DCDE DF 1 4 又∠BAO=∠CAB, 六△AOB∽△ABC,AC=AB .AEDF ·AB-DE△ABED△DEF. AB AC' (2),四边形ABCD为正方形， 即AB2=AO·AC. .ED∥BG,.△DEF∽△CGF, 6C7ABC8B9.3或号 10.65°或115° 器器 11.解：(1)依题意补全图形如图 所示， 又：DF-DC,正方形的边长为8， (2)△OAB与△OED相似.理由 .DF=2,ED=4,.CF=6,CG=12, 如下： ,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于 ∴.FG=√CF2+CG=65. 点E,∴∠ADC-∠BEC=90°. 第5课时相似三角形的实际应用 .∠C=∠C,.△ADC∽△BEC, 1.B2.6 ∴.∠DAC=∠EBC. 3.解：身影的长度变短了 又：∠BOD=∠AOE, 如图所示，设小云在点B时，身高为BD,在点A ∴.△BODp△AOE, 时，身高为AC. :0B:A0=0D:0E,88是 .∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP, ,∠AOB=∠EOD,.△OAB△OED. △MACAMOP,-g-8 12.解：(1)△EOF和△ABO相似.理由： MA1.5 t=1,.OE=1.5厘米，OF=2厘米 即20+MA-9,解得MA=4米. AB=3厘米，OB=4厘米， 同理可证△NBD∽△NOP,可求得NB=1.2米， 86g26g 4-1.2=2.8(米). .小云身影的长度变短了，短了2.8米 :∠EOF=∠ABO=90°， P .△EOFp△ABO. (2)在运动过程中，OE=1.5t厘米，OF=2t厘米， D AB=3厘米，OB=4厘米， O BN ..OE_OF 4.D5.B6.187.A8.B9.5.5 AB OB' 10.解：由题意，得CB⊥AB,ED⊥AD, .∠CBA=∠EDA=90°. 又.∠EOF=∠ABO=90°， .∠CAB=∠EAD, ∴.△EOF∽△ABO .△ABCp△ADE, ∴.∠EFO=∠AOB ,∠AOB+∠FOC=90°， .AB_BC 'ADDE' ∴.∠EFO+∠FOC=90°， 即∠FCO=90°.∴.EF⊥OA. 品