精品解析：山东省济宁市泗水县子路中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

子路中学初三第一次月考数学检测卷 一、选择题（每小题2分，共24分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是熟记只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程；先将各个方程移项合并同类项，再根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：、，变形为：，是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意； 、，不是整式方程，故本选项不符合题意； 、，当a为0时，则不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意； 、，变形为：，不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 将一元二次方程5x2－1=4x化成一般形式后，一次项系数和二次项系数分别为（ ） A. 5，－1 B. 5，4 C. －4，5 D. 5x2，－4x 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：5x2-1=4x化成一元二次方程一般形式是5x2-4x-1=0， 它的二次项系数是5，一次项系数是-4． 故选C． 考点：一元二次方程的一般形式． 3. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 0或1 【答案】C 【解析】 【分析】把代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解该方程来求m的值．本题考查了一元二次方程的解的定义．此题实际上是解关于系数m的一元二次方程． 【详解】把代入方程可得，解得． 故答案选：C． 4. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据一元二次方程的定义和根的判别式列出不等式求解． 先根据一元二次方程的定义确定，再由方程有实数根，利用根的判别式求出的取值范围，最后综合两者得到结果． 【详解】解：因为方程是一元二次方程， 所以二次项系数， 又因为方程有实数根，所以根的判别式， 解得：， 综合和，可得的取值范围是且． 故选：D． 5. 抛物线y =x2–2x –3 的对称轴和顶点坐标分别是(    ) A. x =1，(1，-4)           B. x =1，(1，4)              C. x=-1，(-1，4)             D. x =-1，(-1，-4) 【答案】A 【解析】 【分析】利用顶点坐标公式可求顶点坐标和对称轴，或者利用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，可求顶点坐标很对称轴． 【详解】解：y=x2-2x-3=x2-2x+1-4=（x-1）2-4， 故对称轴为x=1，顶点的坐标是（1，-4）． 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数三种表达方式是解题关键． 6. 若m、n是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，则m+n-mn的值是（ ） A. -7 B. 7 C. 3 D. -3 【答案】B 【解析】 【详解】 解：∵m、n是一元二次方程x2－5x－2=0的两个实数根， ∴m+n=5，mn=-2， ∴m+n-mn=5-（-2）=7． 故选：B 7. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，且设平均每月的增长率为，进而列式即可作答． 【详解】解：由题意，一月份工业产值达50亿元，平均每月的增长率为，则二月份工业产值为亿元，三月份工业产值为亿元， ∵一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元， ∴， 故选：D 8. 解方程（5x﹣1）2=3（5x﹣1）的适当方法是（　　） A. 开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析： 即用了因式分解法， 故选D． 9. 用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A. 化为 B. 化为 C. 化为 D. 化为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程的步骤即可判断，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤． 【详解】解：、∵， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴，原选项错误，符合题意； 、∵， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 故选：． 10. 把二次函数y =的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的图象的解析式是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的解析式是， 故选：A. 11. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象与y轴交点的位置和一次函数的增减性，判断出m的符号，即可确定出正确的选项． 【详解】A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误； B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误； C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误； D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确， 故选D． 考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，由二次函数二次项系数结合选项找出m＜0是解题的关键． 12. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质；根据图象的开口方向、与坐标轴交点位置、对称轴位置，可对选项进行判断，从而得出结果. 【详解】解：观察图象可知， ∵抛物线开口向下， ∴ ∵抛物线对称轴为 ∴ 故①错误； ∵抛物线与y轴交于正半轴 ∴ 故②正确； 在中，令得 观察图象可知：当时，图象位于x轴下方 即 ∴ 故③正确； 观察图象可知：抛物线与x轴有两个交点 即方程有两个不同的解 ∴ 故④正确. ∴②③④正确，正确个数有3个. 故选：C. 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 将二次函数化为的形式，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握配方法是解决本题的关键． 利用配方法整理即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 如图所示，在一边靠墙（墙足够长）空地上，修建一个面积为672的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为76m的栅栏围成，若设与墙平行的一边的长为，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据知形的边长与面积的关系列出方程． 先根据栅栏总长和的长表示出与墙垂直的边的长度，再结合矩形面积公式列出方程． 【详解】解：已知与墙平行的一边的长为，因为栅栏总长为， 所以与墙垂直的两边长度之和为，那么与墙垂直的一边的长度为， 又因为知形面积等于长乘宽，且仓库面积为， 所以可列方程为． 故答案为：． 15. 已知三角形的两边长是6和8，第三边长是方程的一个根，则该三角形的面积是________． 【答案】24或 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、勾股定理及其逆定理，解题的关键是分类讨论思想的运用．先解出一元二次方程的两个根，然后分两种情况求出三角形的面积． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ①当三角形的三条边长分别为时，， 根据勾股定理的逆定理可知，此时三角形是直角三角形，两条直角的边长为6与8， 因此三角形的面积为：； ②当三角形的三条边长分别为时，此时三角形为等腰三角形（如图） 利用勾股定理可求得等腰三角形底边上的高： 因此，三角形的面积为： ∴三角形的面积为24或． 16. 若方程的两根为， ， 则 的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是______． 【答案】y＝-2(x-2)2 +3 【解析】 【详解】根据题意,设y=a(x−2)²+3,抛物线经过点(3,1)，所以a+3=1，a=−2. 因此抛物线的解析式为：y=−2(x−2)²+3.故答案为y=−2(x−2)²+3. 18. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连结，则对角线的最小值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值． 【详解】∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（1，1）， ∵四边形ABCD为矩形， ∴BD=AC，AC⊥x轴， ∴AC的长等于点A的纵坐标， 当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1， ∴对角线BD的最小值为1． 故答案为：1． 三、解答题： 19. 解方程： （1） （2） （3）（用配方法） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的不同解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适的解法． （1）可将方程左边化为完全平方式，再用直接开平方法求解； （2）通过因式分解将方程转化为两个一次方程求解； （3）按照配方法的步骤，先将二次项系数化为1，再配方求解； （4）利用因式分解法，提取公因式求解方程． 【小问1详解】 解：原方程可变形为， 根据直接开平方法，可得， 当时，， 当时，， 所以方程的解为； 【小问2详解】 解：， ， 则或， 解得； 【小问3详解】 解：， ， 移项，得， ，即， ， 解得． 【小问4详解】 解：， ， 则或， 解得． 20. 已知是方程的一个根，求m的值及方程的另一个根． 【答案】；方程的另一根是5 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．根据一元二次方程的解的定义，将代入关于x的一元二次方程，求得m的值；利用根与系数的关系求得方程的另一根． 【详解】解：设方程的另一根为． ∵关于x的一元二次方程的一个根是， ∴满足关于x的一元二次方程， ∴， 解得； 又由一元二次方程根与系数的关系知：， 解得． 即方程的另一根是5． 21. 已知抛物线与直线的一个交点的横坐标是2． （1）求的值； （2）当x为何值时，． （3）请在所给的坐标系中，画出函数与的图象（草图），并根据图象，直接写出时的取值范围． 【答案】（1） （2）3或 （3） 函数图象如图所示， 时x的取值范围为：． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，解一元二次方程，一次函数图象上点的坐标特征，求出横坐标为2的交点坐标是解题的关键． （1）把交点的横坐标2代入直线解析式求出交点坐标，再代入抛物线解析式计算即可求出a的值； （2）将a的值代入方程，再解方程即可； （3）利用五点法作出抛物线图象，利用两点法作出直线解析式，然后找出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【小问1详解】 解：时，， 所以，交点的坐标为， 把交点坐标代入抛物线得，， 解得； 【小问2详解】 解：由得， ∴， ∴， 解得或； 【小问3详解】 略 22. 近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2010年投入6000万元，2012年投入8640万元． （1）求2010年至2012年该县投入教育经费的年平均增长率； （2）该县预计2013年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由． 【答案】（1）年平均增长率为20﹪； （2）该目标能实现．理由如下： 2012年该县教育经费为8640×（1+20%）=10368（万元）＞9500万元． 故能实现目标． 【解析】 【分析】（1）等量关系为：2009年教育经费的投入×（1+增长率）2=2011年教育经费的投入，把相关数值代入求解即可； （2）2012年该区教育经费=2011年教育经费的投入×（1+增长率）． 【详解】解：（1）设每年平均增长的百分率为x． 6000（1+x）2=8640， （1+x）2=1.44， ∵1+x＞0， ∴1+x=1.2， x=20%． 答：每年平均增长的百分率为20%； （2）略 点睛：本题要求掌握求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b． 23. 如图，二次函数的的图象经过点、． （）求二次函数的关系式． （）把放在坐标系内，其中，点、的坐标分别为、，，将沿轴向右平移，当点落在抛物线上时，求平移的距离． 【答案】(1) ；（2）平移的距离为． 【解析】 【分析】（1）将M、N两点坐标代入抛物线解析式，得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c即可；（2）先在中求出AC的长为4，得点坐标为或，再设平移后的点坐标为或，然后依次将C点坐标代入求解，并及时注意检验取舍，最后让C点的横坐标减去OA的长即为平移的距离. 【详解】（）根据题意，得 ， 解得， ∴二次函数的关系为． （）∵，， ∴， ∵， ∴中，， ∵， ∴点坐标为或， 设平移后的点坐标为或， ∵沿轴向右平移， ∴， 将代入二次函数解析式中，得 ， 解得，（舍）， 将代入二次函数解析式中，得 ， 方程无解， 平移的距离为． 【点睛】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形的平移变换、勾股定理和一元二次方程等知识点.（2）小题中，关键之一是要弄清平移前后点C的纵坐标不变，关键之二是要注意点C的位置有上下两种情况，不要漏解. 24. “丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱． （1）现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？ （2）若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？ 【答案】（1）每箱产品应涨价5元； （2）每箱产品应涨价7.5元才能获利最高． 【解析】 【分析】（1）设每箱应涨价x元，得出日销售量将减少2x箱，再由盈利额=每箱盈利×日销售量，依题意得方程求解即可； （2）设每箱应涨价x元，得出日销售量将减少2x箱，再由盈利额=每箱盈利×日销售量，依题意得函数关系式，进而求出最值． 【详解】解：（1）设每箱应涨价x元， 则每天可售出（50﹣2x）箱，每箱盈利（10+x）元， 依题意得方程：（50﹣2x）（10+x）=600， 整理，得x2﹣15x+50=0， 解这个方程，得x1=5，x2=10， ∵要使顾客得到实惠，∴应取x=5， 答：每箱产品应涨价5元； （2）设利润为y元，则y=（50﹣2x）（10+x）=﹣2x2+30x+500， 当x==﹣=7.5（元）， 答：每箱产品应涨价7.5元才能获利最高． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用以及二次函数应用，解答此题的关键是熟知等量关系是：盈利额=每箱盈利×日销售量． 25. 已知m,n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m<n，抛物线 y=－x2+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n)． (1)求这个抛物线的解析式； (2)设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积； (3)P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标． 【答案】(1)、y=－x2－4x+5；(2)、15；(3)、(－,0)或(－,0). 【解析】 【详解】试题分析：(1)、首先求出方程的解得出点A和点B的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式；(2)、根据二次函数的解析式得出点C的坐标和顶点坐标，过D作x轴的垂线交x轴于M，从而求出△DMC、梯形MDBO和△BOC的面积，然后得出面积；(3)、设P点的坐标为（a,0），得出直线BC的方程，则PH与直线BC的交点坐标为(a，a+5)，PH与抛物线的交点坐标为H(a,－a2－4a+5)，然后根据EH=EP和EH=EP两种情况分别求出点P的坐标. 试题解析：(1)、解方程x2－6x+5=0，得x1=5,x2=1.由m<n，m=1,n=5, 所以点A、B的坐标分别为A（1，0）,B（0，5）．将A（1，0）,B（0，5）的坐标分别代入y=－x2+bx+c, 得解这个方程组得 所以，抛物线的解析式为y=－x2－4x+5. (2)、由y=－x2－4x+5，令y=0，得－x2－4x+5=0，解这个方程得x1=－5,x2=1, 所以C点的坐标为（－5，0）．由顶点坐标公式计算得点D（－2，9）． 过D作x轴的垂线交x轴于M．则S△DMC=×9×(5－2)=， S梯形MDBO=×2×(9+5)=14，S△BOC=×5×5=， 所以，S△BCD=S梯形MDBO+S△DMC－S△BOC=14+－=15． (3)、设P点的坐标为（a,0）， 因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的直线方程为y=x+5． 那么，PH与直线BC的交点坐标为E(a,a+5)， PH与抛物线y=－x2－4x+5的交点坐标为H(a,－a2－4a+5)． 由题意，得①EH=EP，即(－a2－4a+5)－(a+5)=(a+5). 解这个方程，得a=－或a=－5（舍去）. ②EH=EP，即(－a2－4a+5)－(a+5)=(a+5)， 解这个方程,得a=－或a=－5（舍去）， ∴P点的坐标为(－,0)或(－,0)． 考点：二次函数的综合应用 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 子路中学初三第一次月考数学检测卷 一、选择题（每小题2分，共24分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程5x2－1=4x化成一般形式后，一次项系数和二次项系数分别为（ ） A. 5，－1 B. 5，4 C. －4，5 D. 5x2，－4x 3. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 0或1 4. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 抛物线y =x2–2x –3 的对称轴和顶点坐标分别是(    ) A. x =1，(1，-4)           B. x =1，(1，4)              C. x=-1，(-1，4)             D. x =-1，(-1，-4) 6. 若m、n是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，则m+n-mn的值是（ ） A. -7 B. 7 C. 3 D. -3 7. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 解方程（5x﹣1）2=3（5x﹣1）的适当方法是（　　） A. 开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 9. 用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A. 化为 B. 化为 C. 化为 D. 化为 10. 把二次函数y =的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的图象的解析式是（） A. B. C. D. 11. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 12. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 将二次函数化为的形式，则___________． 14. 如图所示，在一边靠墙（墙足够长）空地上，修建一个面积为672的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为76m的栅栏围成，若设与墙平行的一边的长为，则可列方程为________． 15. 已知三角形的两边长是6和8，第三边长是方程的一个根，则该三角形的面积是________． 16. 若方程的两根为， ， 则 的值为________． 17. 对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连结，则对角线的最小值为_______． 三、解答题： 19. 解方程： （1） （2） （3）（用配方法） （4） 20. 已知是方程的一个根，求m的值及方程的另一个根． 21. 已知抛物线与直线的一个交点的横坐标是2． （1）求的值； （2）当x为何值时，． （3）请在所给的坐标系中，画出函数与的图象（草图），并根据图象，直接写出时的取值范围． 22. 近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2010年投入6000万元，2012年投入8640万元． （1）求2010年至2012年该县投入教育经费的年平均增长率； （2）该县预计2013年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由． 23. 如图，二次函数的的图象经过点、． （）求二次函数的关系式． （）把放在坐标系内，其中，点、的坐标分别为、，，将沿轴向右平移，当点落在抛物线上时，求平移的距离． 24. “丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱． （1）现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？ （2）若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？ 25. 已知m,n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m<n，抛物线 y=－x2+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n)． (1)求这个抛物线的解析式； (2)设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积； (3)P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $