单元过关(十八)成对数据的统计分析-【衡水真题密卷】2026年高考数学单元过关检测(B版)

别怕困难，你正在变得更优秀 密真 2025一2026学年度单元过关检测（十八） 4.根据分类变量x与y的观测数据，计算得到x2=2.974,依据小概率值a=0.05的独立 班级 卺题 性检验，得到的结论为 () 数学·成对数据的统计分析 0.1 0.05 0.01 0.0050.001 姓名 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 x 2.706 3.841 6.635 7.87910.828 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 A.变量x与y不独立 得分 是符合题目要求的。 B.变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 题号 1 2 8 C.变量x与y独立 答案 D,变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 1.5个坐标数据如图所示，去掉D(3,10)后，下列说法正确的是 ( 5.已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为负数，则下列说法正确的是() y ·10.12) A.气候温度高，海水表层温度就高 D3.10 B.气候温度高，海水表层温度就低 ●C4.5) C.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 ·B2,40 13) D.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 0 6.已知变量x和变量y的一组成对样本数据(x,y:)(i=1,2,3,…,18),其中y=4,其经 A.相关系数r变小 验回归方程为y=2x一2，现又增加了2个样本点(3.9,3.3)，(4.1,3.7)，得到新样本的 B.决定系数R变小 经验回归方程为y=3x十a.在新的经验回归方程下，若样本点(2.8，m)的残差为一1.3， C.残差平方和变小 则m的值为 () D.解释变量x与响应变量y的相关性变弱 A.3.15 B.1.75 2.现有-组样本数据点(-1，》，3,2)，6，》，6,3)，则该组样本数据点的相关系数？= C.2.35 D.1.95 () 7.下列说法错误的是 () A.-1 c号 D.1 A.某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层随机抽样的方法抽取容量为 50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级有女生200人 3.在研究“温度是否影响庄稼生长”时，对实验数据利用2×2列联表进行独立性检验，计 算得实验数据的统计量x2的值为a.已知P(x≥3.841)≈0.05，则 B.数据1,3,4,5,7,9,11,16的第75百分位数为10 () A.a的值小于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长” C,在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强 B.a的值大于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长” D,根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到x2=3.937,根据小概率值a=0.05 C.α的值越大，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越小 的独立性检验(xas=3.841),可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不 D,a的值越小，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越大 大于0.05 单元过关检测（十八）数学第1页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十八）数学第2页（共8页） 8.新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分.近几年，碳酸锂的 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 价格一直升高.某企业前5个月购买碳酸锂的价格与月份的统计数据如表所示： 12.某蔬菜种植基地最近五年的年投资成本x(单位：万元)和年利润y(单位：万元)的统计 月份代码x12345 数据如表所示： 碳酸锂价格y0.40.811.21.6 若y关于x的回归直线方程为y=0.24x十a,则下列说法错误的是 10 11 12 13 14 2(x-x)(y:-y） 11 b 19 参考数据：r =,w2≈1.414 2红，-)2y:- 若y关于x的线性回归方径为y=2x一9.6，则y的平均数y= A.r≈0.97 13.某水文站为了研究所在河段24h降雨量x(单位：mm)与水位增长量y(单位：cm)之间的关 B.a=0.28 C.回归直线方程y=0.24x+a经过点(3,1) 系，记录了10次相关数据，通过绘制散点图看出y与x之间有线性相关关系，并设其回归方 D.由回归直线方程可预测6月份碳酸锂的价格约为1,72 程为y=x+a.已知x,和y,分别表示第i(i=1,2,…,10)次的24h降雨量（单位：mm)和 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 水位增长量（单位：cm,且公x=50,之y,=20,方=0.5，若某次24h降雨量为80mm,据此 1 题号 9 10 11 答案 估计水位增长量为 cm. 9.下列说法正确的是 () 14.已知x和y之间的一组数据如表所示，y与x线性相关，且回归方程为y=x十0.25， A.线性相关系数，越小，两个变量的线性相关性越弱 m为x的方差的0.6倍，则当x=8时，y= B.在线性回归模型中，决定系数R越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 C.x独立性检验不适用于普查数据 x0123 D.已知随机变量一N(0,a2),若P(≥一2)=0.8，则P(传>2)=0.2 ymm+252m+3 10.下列说法正确的是 () A若一组数据x1x,…,xn的方差为0.2，则5x1,5x2,…,5xn的方差为1 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 B.68,60,62,78,70,84,74,46,73,82这组数据的第80百分位数是80 15,(13分)为检验某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，统计得到的数据如2×2列联 C.样本相关系数可以用来判断成对样本数据正相关还是负相关 D.若变量N(172,g2),P(172<<180)=0.4,则P(<164)=0.1 表所示： 11.下列说法正确的是 () 单位：只 A.数据5,8,10,12,13的第40百分位数是9 B.若随机变量X服从正态分布N(4,σ2)，P(X<一2)=P(X>4)=0.14,则P(一2< 疾病 药物 合计 X<1)<0.35 未患病 患病 C.回归直线y=bx十a至少经过点(x1y),(x2y2),,(x。y.)中的一个点 未服用 75 66 141 D.一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中不放回地随 服用 112 47 159 机摸出20个球作为样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则X服从超几何 分布，且E(X)=8 合计 187 113 300 B 单元过关检测（十八）数学第3页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十八）数学第4页（共8页）】 依据小概率值a=0.05的独立性检验，能否认为药物有效？如何解释得到的结论？ 17.(15分)为了研究性别与感冒的关系，某医学研究小组在11月感冒易发季节对某一社 n(ad-bc)2 区男性和女性的感目情况进行抽样调研，统计得到的数据如2×2列联表所示： 附：x=a+bc十i)a十c6+D其中n=a+b+c+d. 越冒情况 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 性别 合计 不感冒 感冒 2x 2.706 3.841 6.635 7,879 10.828 男性 30 15 45 女性 45 10 55 合计 75 25 100 (1)请根据2×2列联表，并依据小概率值α=0.05的独立性检验，分析能否认为性别 16.(15分)某超市经营一种进价为60元/kg的干货，在市场试销中，市场观察员统计了9 与感冒情况具有相关性？ 天内此干货的销售单价x(单位：元/kg)与日销售量y(单位：kg)的数据，得到的数据 (2)利用分层随机抽样的方法从样本中不感冒的人群中随机抽取5人，再从这5人中选 如表所示 出2人，记这2人中女性的人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望。 销售单价x 898887868584838281 n(ad-bc)2 附：x2=(a+b)C+)a十c6+d)其中n=a+6+c+d. 日销售量y4.24.34.64.85.15.35.45.65.7 a 0.10.05 0.010.0050.001 (1)根据表中和题后所给出的参考数据，求y关于x的线性回归方程y=x十ā. 2.7063.841 6.6357.879 10.828 (2)设经营此干货的日销售利润为P(单位：元)，根据(1)中的线性回归方程，试预测 当销售单价为多少元/kg时，日销售利润最大？ 附：线性回归方程y=x十à中，6= 2(x:-x)(y:-y) (x-x) ,d=y-bx2,-=60. 11 2(x,-x)y,-y=-12 单元过关检测（十八）数学第5页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十八）数学第6页（共8页） 18.(17分)对近几日某地区门锁的销售数量进行统计，得到的数据如表所示。 19.(17分)某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，并统计分析测试成 天数x 1 2 3 4 5 6 绩以确定员工的绩效等级.该公司统计了七个部门测试的平均成绩x(满分100分)与 7 数量y 200 260 280 350 420 440 500 绩效等级优秀率y,如表所示： (1)若y与x线性相关，求y关于x的经验回归方程y一x十a,并预测第10天该地区 平均成绩x 32 41 54 68 7480 92 门锁的销售数量： 绩效等级优秀率y0.28 0.34 0.440.58 0.660.740.94 (2)某人手里有三把钥匙，其中只有一把可以打开门锁，他现在无法分清哪一把能够打 根据表中数据绘制散点图，初步判断，选用y=A作为回归方程.令z=lny,经计算 开门锁.记X为他有放回地进行开锁时的开锁次数，Y为他无放回地进行开锁时的 得x=-0.642, -≈0.02. 开锁次数，求X<Y的概率， 2- 参考公式及数据：经验回归方程y=bx十ā中，斜率和截距的最小二乘估计公式分 (1)已知某部门测试的平均成绩为60分，试估计其绩效等级优秀率； 刚为6含2-)0一刀江，- (2)根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩x一N(4,g),其中：近似为样本平 -,a=y-b,2xy=11200. 2x- 均数x,a2近似为样本方差2.经计算得s≈20，求某个部门绩效等级优秀率不低于 0.7875的概率。 参考公式及数据： ①ln0.15≈-1.9，e-2≈3.32，ln5.251.66. @线国归方程十杭中之，一雨 ,a=y-证 -n2 ③若随机变量X~N(μ，a2),则P(一<X<十a)≈0.6827，P(H-2a<X<μ +2a)≈0.9545，P(-3a<X<4+3a)≈0.9973. 单元过关检测（十八）数学第7页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十八）数学第8页（共8页）·数学· 参考答案及解析 2025一2026学年度单元过关检测（十八） 数学·成对数据的统计分析 一、选择题 =10,故B正确； 1.C【解析】由散点图可知，去掉离群点D后，x与 对于C,线性回归方程中，线性相关系数x的绝对 y的相关性变强，且为正相关，所以相关系数的 值越大，两个变量的线性相关性越强，故C错误； 值变大，决定系数R2的值变大，残差平方和变小， 对于D,由X2=3.937>3.841=x0.05,可判断X 2.D【解析】根据题意可知，这些样本数据点均在直 与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，故 线y=3中1上收1=1， D正确. 由直线的斜率为正，可知r>0,所以r=1. 8.A【解析】由题意可得，正=1+2+3+4十5-3， 5 3.B【解析】因为P(x≥3.841)≈0.05，则a的值 y=04+0.8+1+1.2+1.6=1, 5 大于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄 稼生长”，故A错误，B正确； 含x,-2)w,-5)=(-2)×(-0.6)+(-1D× α的值的大小不能说明实验数据的观测值与预测 (-0.2)+0+1×0.2+2×0.6=2.8, 值的总体偏差，故C,D错误. 2x,-2=1-32+(2-3)+(3-302+(4 4.C【解析】因为X2=2.974<x0.05=3.841, 3)2+(5-3)2=10, 所以没有充分证据推断原假设不成立，即认为变 量x与y独立. 2,-=(0.4-1)2+(0.8-12+1-12+ 5.D【解析】由于相关系数表示一个变量变化对另 (1.2-1)2+(1.6-1)2=0.8, 一个变量变化趋势的影响，所以随着气候温度由 则y关于x的样本相关系数r= 低到高，海水表层温度呈下降趋势 (x:-x)(y:-y） i=1 2.81.4」 6.B【解析】因为y=2x-2过点（元，y),将y=4代 √10X0.8√2 入得x=3. 0.99,故A错误； 增加两个样本点后=3X18+,9+4.1=3.1, 20 因为y=0.24x十a,且该回归直线恒过样本点的 y-4X18+3.3+3.7 20 3.95, 中心(3,1)，所以1=0.24×3+a,解得a=0.28, 故B,C正确； 则a=y-3x=3.95-3X3.1=-5.35, 由回归直线方程可预测6月份碳酸锂的价格约为 所以新的经验回归方程为y=3x一5.35，当x= 0.24×6+0.28=1.72,故D正确. 2.8时，y=3×2.8-5.35=3.05. 二、选择题 所以样本点(2.8，m)的残差是m-3.05=一1.3， 9.BCD【解析】对于A,线性相关系数r的绝对值越 解得m=1.75. 接近1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相 7.C【解析】对于A,该校高一年级女生人数是 关性越弱，故A错误； 50-30×500=200,故A正确： 对于B,在线性回归模型中，决定系数R2越大，表 50 示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故B 对于B,由8×75%=6，得第75百分位数为9+1 2 正确； ·27· B 真题密卷 单元过关检测 对于C,普查数据可以准确地判断两个变量之间 三、填空题 是否有关联，不需要进行X独立性检验，故C 12.14.4【解析】因为线性回归方程过样本中心点 正确； (x,y),将x=12代入，得y=2×12-9.6=14.4. 对于D,由随机变量ξ~N(0,σ2)，P(≥-2)= 19 19 13.35【解析】由题意得z=102x1=50y=10 0.8,得P(5>2)=P(5<-2)=1-0.8=0.2,故 =20,又3=0.5， D正确. 所以a=y-ix=20-0.5X50=-5, 10.BCD【解析】对于A,5x1,5x2,…,5xm的方差 所以回归方程为y=0.5x一5， 为52×0.2=5，故A错误； 所以当x=80时，y=0.5×80-5=35, 对于B,将这组数据按从小到大的顺序排列：46， 所以若某次24h降雨量为80mm,可估计水位 60,62,68,70,73,74,78,82,84,又10×80%-=8， 增长量为35cm. 故这组教据的第80百分位教是78,82=80，故 2 14.16.25/【解标】由表可得云-0+1计汁3-1.5， 4 B正确： 则m=0.6×[(0-1.5)2+(1-1.5)2十(2-1.5)2+ 对于C,样本相关系数x的符号反映了相关关系 8-15]×-05 的正负性，当r>0时，成对样本数据正相关，当r <0时，成对样本数据负相关，故C正确； y=m+m+2+5+2m+3_4m+101 4 4 4=325, 对于D,因为~N(172,2),P(172<<180)= 将(1.5,3.25)代入回归直线y=bx十0.25中，可 0.4,所以P(ξ<164)=P(ξ>180)=0.5 得3.25=1.53+0.25，解得=2， P(172<<180)=0.5-0.4=0.1,故D正确. 则y=2x十0.25，当x=8时，y=2×8+0.25= 11.AD【解析】对于A,由5X40%=2,可得数据 16.25. 5,8,10,12,13的第40百分位教为8+10 =9,故 四、解答题 2 15.解：零假设为H。:服用药物与患病之间无关联， A正确； 由列联表可得 对于B,P(-2<X<1)-1-2P(X<-2) 2 x2=300×(75×47-112X6 141×159×187×113 -≈9.47>3.841 1-2×0.14=0.36>0.35,故B错误； 2 =x0.05 (5分) 对于C,线性回归方程y=bx十a可能不经过 故根据小概率值α=0.05的独立性检验，推断 (x1,y1),(x2,y2),…,(xm,yn)中的任何一个 H。不成立，即认为服用药物与患病有关联，此推 断犯错误的概率不大于0.05. (10分) 点，但一定会经过样本中心点(x,y),故C错误； 解释：由于×2>3.841，所以表示有小于0.05的 对于D,由于是不放回地随机摸出20个球作为 可能性证明这两个事件无关，也就是在犯错误的 样本，所以由超几何分布的定义知X服从超几 概率不超过0.05的前提下认为药物有效. 40 何分布，故E(X)= X20=8,故D正确. 100 (13分) B ·28· ·数学· 参考答案及解析 16.解：(1)由题意，x= 89+88+…+82+81765 所以X的分布列为 =85. 9 9 0 (2分) P -=4.2+4.3+…+5.6+5.7_45=5,(4分) 10 10 9 9 (x,-x)(:-y) (13分) i-1 -12 由所给数据得， 2(x:-x) 60 i=1 所以E(X)-0X0+1X号+2x音号 -0.2, (6分) (15分) 故a=y-ix=5-(-0.2)×85=22, (8分) 18.解：(1)依题意可得x= 所以y关于x的线性回归方程为y=一0.2x十22. 7×(1+2+3+4+5+6 (10分) +7)=4,y= ×(200+260+280+350+420+ 7 (2)P=(x-60)(-0.2x+22)=-0.2x2+34x 440+500)=350, (2分) -1320=-0.2(x-85)2+125, (12分) 所以当x=85时，P取得最大值， 又2=1+2+3+4+5+6+7=140 所以经预测，当销售单价为85元/kg时，日销售 (x:-x)(y:-y) 所以名=1 xy:-7zy 1=1 利润最大，为125元. (15分) (x:-x)2 = 2x-7x2 17.解：(1)零假设为H。:性别与感冒情况不具有相 11200-7×4×3501400 关性. =50, 140-7×42 28 (4分) 根据列联表中的数据，得 所以a=y-bx=350-50×4=150, X2=10X30×10-45×15)2_10 ≈3.030 所以y关于x的经验回归方程为y=50x十150， 75×25×45×55 33 (6分) 3.841=x0.05, (3分) 将x=10代入该方程，可预测第10天该地区门 故根据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充分 证据推断H。不成立，即认为性别与感冒情况无关 锁的销售数量为y-50×10+150-650.(8分) (5分) (2)有放回时，随机变量X对应的概率为P(X= (2)根据分层随机抽样的知识可知，抽取的5人 (k∈Z*);(10分) 中，男性有2人，女性有3人， 无放回时，随机变量Y对应的概率为P(Y=r) 所以X的所有可能取值为0,1,2， (6分) C?1 则P(X=0)=C-10' 3(r=1,2,3). (12分) 若X<Y,则有以下情况： CC 3 P(X=1)= Cg-5’ 当Y=2时，X=1,此时概率为P(X=1)P(Y=2)= C%3 P(X=2)=C10' (10分) (14分) ·29· B 真题密卷 单元过关检测 当Y=3时，X=1或X=2,此时概率为P(X=1)· 故y=0.15×e.02x (7分) 1 1 .1 当x=60时，y=0.15Xe.o2x60≈0.498，即估计 PY-3)+P(X=2)P(Y=3)=3X3+3 该部门的绩效等级优秀率为0.498 (10分) 2、15 3×3-27 (16分) (2)由(1)及提供的参考数据可知，u≈x=63,σ≈ s≈20， (11分) 5,18 综上，X<Y的概率为27十9=27： (17分) 又y≥0.7875，即0.15×e.02x≥0.7875，可得 19.解：(1)依题意，y=λe两边取对数，得1ny=cx 0.02x≥ln5.25,即x≥83 (13分) 又u十o=83,且P(u-o<X<4+)≈0.6827， +ln入，即z=cx十ln入， (2分) 其中元=32+41+54+68+74+80+92 63， 由正态分布的性质，得P(≥83)-1-P 7 o<x<4十o]≈0.15865， (15分) (5分) 记“绩效等级优秀率不低于0.7875”为事件A, 由提供的参考数据，可知c=0.02,又一0.642= 则P(A)=P(x≥83)=0.15865， 0.02X63+ln,故ln≈-1.9，所以λ≈e1.9, 所以某个部门绩效等级优秀率不低于0.7875的 由提供的参考数据，可得入≈0.15， 概率为0.15865. (17分) ·30·