单元过关(十七)随机变量及其分布-【衡水真题密卷】2026年高考数学单元过关检测(B版)

规在的咬牙坚特，终会变成照亮前路的星光 密 2025一2026学年度单元过关检测（十七） 5.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次正面向上的点数为a,第二次正面向上的点数为 班级 ( 卺题 b,记事件A=“a为奇数”，事件B=“a十b≤6"，则P(AIB)= 数学·随机变量及其分布 B 姓名 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 6.已知离散型随机变量X服从二项分布B3,》,则 得分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 A.E(X)=2 B.E(2X+1)=2 是符合题目要求的。 C.D(X)-3 8 nDex+I)-号 题号 7 7.设x1<x2<x<x4<x6,随机变量i取值x1,x2,x3,x4,x的概率均为0.2，随机变 答案 量，取值1十2，十2x,十22，十2，十2的概率也均为0.2，则 3 3 3 3 3 1.张同学从学校回家要经过4个红绿灯路口，每个路口可能遇到红灯或绿灯.设他可能遇 E(),E(传)的关系为 () 到红灯的次数为X,则下列可以表示X=3的为 () A.3E(51)=E(G:) B.2E(51)=E(传a) A.(1,1,1,1) B.(1,0,1,1) C.(1,0,1,0) D.(0,0,1,0) C.E(5)=E(传) D.2E(传1)=3E(2) 2.若随机变量：的分布列如表所示，且表中的数列{a.}为等差数列，则P(E=5)=() 8.已知随机变量X~N(0,1),YN(0,4),则 ( A.P(X≥1)>P(Y≥2) B.P(X≥1)<P(Y≥2) C.P(X≤1)>P(Y≤1) D.P(X|≤1)<P(Y1≤1) P a 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 A c 题号 9 10 11 3.若10件产品中有3件次品，从中随机抽取2件进行检查，则抽得次品数的期望为 答案 ( ) 9.设样本空间0=1,2,3,4}含有等可能的样本点，且A=1,2),B=(1,3},C=(1,4},则 下列结论正确的是 () A号 B c n APa-号 B.P(AB)=P(A)P(B) 4.已知在所有矿石中含有某种稀有元素的概率约为0.1，小郅与小祥同学有一把探测器可 C.P(ABC)=P(A)P(B)P(C) D.P(BC)=P(B)P(C) 识别该稀有元素且准确率高达0.9（即有0.1的概率对不含有该稀有元素的矿石作出反 10.已知随机变量X和Y,其中Y=3X+2,且E(Y)=7,若X的分布列如表所示： 应).在某次探索实践任务中，他们共同发现了一堆由探测器检验含有该元素的矿石，但 2 是否真的含有该元素仍需进一步检验.在回实验室途中，小样提出用2000元向小郅卖 1 出所有矿石，若利矿石中真实含有该元素，则价值约10000元，否则将一文不值.若小郅同 则下列说法正确的是 学出钱购买，则他所获利润的均值约为 () 1 C.E(X2)=3 A,-2200元 B.3000元 C.7000元 D.8800元 A.m=4 B.n一6 D.D(X)-5 单元过关检测（十七）数学第1页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十七）数学第2页（共8页）】 11.某市对高三年级学生进行体育测试，其中甲班的成绩X与乙班的成绩Y均服从正态 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 分布，且X~N(120,92),YN(140,102),则 () 15,(13分)某科技公司研发了一种新型的AI模型，用于图象识别任务.为了测试该模型 A.E(X)=120 B.D(Y)=10 的性能，对其进行了500次试验，并记录了每次试验中该模型正确识别图象的数量，得 C.P(X<80)+P(X≤160)=1 D.P(X<160)=P(Y<160) 到如图所示的样本数据频率分布直方图 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 率组距 003 12.已知随机变量X服从正态分布N(1,a),若P(X<0)十P(X<3)=1.136,则P(2< 0025 0.0 X<3)= (0.015 00 13.某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未经试射校 01020304030数量 正，有4支气枪已校正.若用校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.8：用未校正过 (1)估计这500次试验中该AI模型正确识别图象数量的均值（同一组中的数据用该组 的气枪射击，射中10环的概率为0.4.某少年射手任取一支气枪进行1次射击，则他射 区间的中点值作代表)： 中10环的概率是 :若此少年射手任取一支气枪进行4次射击（每次射击后 (2)以频率估计概率，随机对该模型进行3次试验，用X表示这3次试验中正确识别 将气枪放回)，每次射击结果相互不影响，则4次射击中恰有2次射中10环的概 图象数量不少于20个的次数，求X的分布列和数学期望. 率为 14.甲，乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将 球传给另外三个人中的一人，则两次传球后，球在乙手中的概率为 单元过关检测（十七）数学第3页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十七）数学第4页（共8页） 16.(15分)随着国家以旧换新政策的深入实施与完善，某商场现有更换电视机与洗衣机的 17.(15分)已知6名同学中有3名女生，3名男生，现将这6名同学随机平均分成A,B两 活动，经调查统计，居民更换电祝机的概率为0.6，更换洗衣机的概率为0.4，两种电器 组进行比赛 都不更换的概率为0.2. (1)求A组中女生的人数X的分布列， (1)①求居民甲至少更换一种电器的概率： (2)记事件M:女生不都在同一组，事件N:女生甲在A组.判断事件M,N是否相互 ②求居民甲更换洗衣机且更换电视机的概率； 独立？并证明你的结论， ③求居民甲在不更换洗衣机的条件下，更换电视机的概率： (2)若至少更换一种电器视为参加了以旧换新活动，现有居民甲，乙、丙，丁、戊五人，是 否参加活动相互独立，求参加活动的居民人数X的分布列，并求出期望与方差. 单元过关检测（十七）数学第5页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十七）数学第6页（共8页） 18.(17分)某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人 19.(17分)某校高三年级在一次数学测验中，各位同学的戒绩一N(110,100),现规定：成 类的语言来进行对话.聊天机器人的开发主要采用RLHF(人类反馈强化学习)技术， 绩在[140,150]的同学为“成绩顶尖”，在130,140)的同学为“成绩优秀”，低于90分的 在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%：输人的 同学为“不及格” 问题有语法错误，则它的回答被采纳的概率为40%. (1)已知该校高三年级共有2000名同学，分别求“成绩优秀”和“不及格”的同学的人数 (1)在某次测试中输人了8个间题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个间题 (小数按四舍五入取整处理) 中随机抽取4个，用X表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X的分布列 (2)现在要从“成绩顶尖”的甲，乙同学和“成绩优秀”的丙、丁，戊、己共6名同学中随机 和数学期望； 选取4名同学作为代表交流学习心得，在已知至少有一名“成绩顶尖”的同学入选 (2)设输入的问题出现语法错误的概率为p,若聊天机器人的回答被采纳的概率为 的条件下，求同学丙入选的概率。 70%,求p的值. (3)为了解班级情况，现从某班随机抽取一名同学询问成绩，得知该同学的成绩为142 分，请问：能否判断该班成绩明显优于或者差于年级整体情况？并说明理由 参考数据：若X~N(,a2),则P(一a≤X≤r十c)=0.6827,P(u-2a≤X≤“ +2a)=0.9545,P(-3aX4十3a)=0.9973. 单元过关检测（十七）数学第7页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十七）数学第8页（共8页）·数学· 参考答案及解析 若A1={a1},则A2={a2,a3}或{a1,a2,a3},共 ≤1+g1]2+2+[g2]+32+[g3)] 2 2 2 2种分拆； 同理A1={a2},{a3}时，各有2种分拆；(6分) 42+[g(4)]2 5+[g(5)]2+62+[g(6)]2 2 2 2 若A1={a1,a2},则A2={a3}或{a1,a3}或{a2, 72+[g(7)]2 a3}或{a1,a2,a3},共4种分拆； 2 同理A1={a1,a3》,{a2,a3}时，各有4种分拆； :+2g(i门 =1 (10分) 22=140, (5分) 2 i=1 若A1={a1,a2,a3},则A2=或{a1}或{a2}或 当且仅当g(1)=1,g(2)=2,…,g(7)=7时取 {a3}或{a1,a2}或{a1,ag}或{a2,a3}或{a1,a2, 等号， a3},共8种分拆. (13分) 即2g(i)的最大值为140， (7分) 所以共有1+2×3十4×3十8=27种不同的分拆. (15分) (2)解：由题意知g(1)<g(2)<g(3)<g(4)< 18.解：(1)(x+3x2)”的展开式中各二项式系数的 g(5), 从集合M中任取5个数，则这5个数顺序确定， 和为2， 共有C种取法，然后剩余的两个数全排列，故共 令x=1,可得各项系数的和为(1十3)”=4”， 有CA=42个满足条件的g(x). (10分) (4分) (3)证明：g(x)的函数关系如表所示： 依题意可得4”一2”=992，即(2m十31)(2-32)=0， 又2">0，所以2"=32，解得n=5. (8分) 1 2 3 45 67 (2)(x2+3x)°的展开式的通项公式为T,+1 g(z) 2 1 56 7 4 =C()-(3x2)y=3rCx,r∈{0,1,2， g1(1)=2,g2(1)=g(2)=3,g3(1)=g(3)=1, 3,4,5}, (11分) g4(1)=g(1)=g1(1), 所以当r=2或r=3时，二项式系数最大，(13分) 故g(x)为“3阶闭环函数”； (13分) 所以二项式系数最大的项为T=32Cx+ 又g1(4)=5,g2(4)=g(5)=6,g3(4)=g(6)= 90x5和T4=3Cxt=270z号. 7,g4(4)=g(7)=4,g5(4)=g(4)=g1(4), (17分) 故g(x)也为“4阶闭环函数”， 19.()解：由题意得2g()=g(1)+2g(2)十3g(3) =1 故原命题得证 (17分) +4g(4)+5g(5)+6g(6)+7g(7) 2025一2026学年度单元过关检测（十七）】 数学·随机变量及其分布 一、选择题 3.D【解析】设抽得次品数为X,则随机变量X的 1.B【解析】X=3表示{(0,1,1,1)，(1,0,1,1)， 所有可能取值有0,1,2，则P(X=0)-C-石 (1,1,0,1),(1,1,1,0)},根据选项可得B正确. 2.D【解析】由分布列的性质可知，a1十a2十a3十a4 P(X=1)-CIC_7 十a5=1,又数列{an}为等差数列，则5a3=1,即 C-5px=08 a:=号故P=5)= 1 所以ECX)-0X7+1X7+2x站-号 7 ·23· B 真题密卷 单元过关检测 4.B【解析】设该矿石由探测器检验含有该元素为 8.C【解析】因为随机变量X~N(0,1),所以41=0， 事件A,该矿石含有该元素为事件B,则P(A)= o1=1,因为随机变量Y~N(0,4),所以μ2=0,02= 0.1×0.9+0.9×0.1=0.18,P(BA)= 2,所以利用正态密度曲线的对称性可得P(X≥1)= 0.1X09=0.5,PB1A)=0.9X01 P(X≥41十o1),P(Y≥2)=P(Y≥2十o2),所以 0.18 0.18 =0.5, P(X≥1)=P(Y≥2)，故A,B错误； 所以利润的均值E=0.5×8000+0.5× P(|X|≤1)=P(1-o1≤X≤1十o1)=P(Y|≤ (-2000)=3000元. 2)=P(42-o2≤Y≤2十o2), 5.D【解析】试验的样本点用(a,b)表示，则满足 又P(Y|≤1)<P(Y|≤2)，所以P(X|≤1)> a十b≤6的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)， P(Y≤1)，故C正确，D错误 (1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2), 二、选择题 (3,3),(4,1),(4,2),(5,1),共15个，所以P(B)= 9.ABD【解析】对于A,B,由题意可得P(A)= 4 36-品，其中。为奇数的基本事件有9个，即 PCB)-是-安PAB)-,故A,B正， 1 个y PA=品=子片以PcAB- P(AB) 对于C,周为PC)=专，P(ABC=,PA)· 1 P(B) 12 1 1.11 P(B)P(C)=2X2X2=8,所以P(ABC)≠ P(A)P(B)P(C),故C错误； 6.D【解析】由于X服从二项分有B3,写），故 对于D,P(BC)=1 =P(B)P(C),故D正确， 4 E(X)=np=3X3=1,D(X)=np(1-p)=3× 10.BD【解析】对于A,B,由分布列性质可得m十n 1.22 3×3-3,故A,C错误： 1 =2,又Y=3X+2,E(Y)=7,可得E(Y)= E(2X+1)=2E(X)+1=3,D(2X+1)=4D(X) 3E(X)+2=7,即E(X)=号放可得1X号十 8 =3,故B错误，D正确. 2m+3m=3,即2m+3n=6 6 7 7.C【解析】E(⑤)=0.2·x1十0.2·x2十…十0.2· 1 1 1ξ m十n= 2, m= x一5 2x, 3 联立了 解得 故A错误， 7 1 E)=0.2.+242+0.2.+24+0.2: 2m+3n=6' n6' 3 3 B正确； x+2x4+0.2.4+2x5+0.2.+21 3■ 3 3 对于C,X?的分布列为 +tt+8 X2 1 4 9 5 3 1 1 故E(51)=E(传2). 6 B ·24· ·数学· 参考答案及解析 1 1 .110 所以E(X)=1×2+4×3+9X6=3,故C 四、解答题 15.解：(1)0.01×10×5+0.02×10×15+0.015× 错误； 10×25+0.03×10×35+0.025×10×45=29, 对于D,经计算易知D(X)=×-》°+日 故所求均值为29. (4分) (2)设1次试验中正确识别图象数量不少于20 ×(2-)‘+日×3-)°=哥，故D正确， 个的概率为p, 11.AC【解析】对于A,B,因为X~N(120,9), 则p=0.015×10+0.03×10十0.025×10=0.7， Y~N(140,102),所以E(X)=120,D(Y)=102, (6分) 故A正确，B错误； 则X~B(3,0.7). 对于C,因为P(X<80)+P(X≤160)=P(X> P(X=0)=C9×0.7×0.33=0.027, 160)+P(X≤160)=1，故C正确； P(X=1)=Cg×0.7×0.32=0.189, 对于D,易知P(X<160)>P(X<120+18)= P(X=2)=C号×0.72×0.3=0.441， P(Y<140+20)=P(Y<160),故D错误. P(X=3)=C×0.73×0.3°=0.343， (10分) 三、填空题 则X的分布列为 12.0.136【解析】易知P(X<0)=P(X>2),所以 X 0 1 2 3 P(2<X<3)=P(X<0)+P(X<3)-1= P 0.027 0.189 0.441 0.343 1.136-1=0.136. E(X)=3×0.7=2.1. (13分) 1以台：》【解析】设事件A表示使月已校区的气 16.解：(1)设事件A=“更换电视机”，事件B=“更 换洗衣机” 枪，事件B表示射中10环， ①因为P(AB)=0.2,则至少更换一种电器的 P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA)= 概率P(AUB)=1-P(AB)=0.8. (3分) 4 6×0.8士。人0.43，故任取一支气枪进行1 ②由P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),得更 换洗衣机且更换电视机的概率P(AB)=0.2. 次射击，射中10环的概率是号， (5分) 4次射击中恰有2次射中10环的概率为 ③在不更换洗衣机的条件下，更换电视机的概率 c(} P(AIB)-P(AB)_P(A)-P(AB)_0.4_2 P(B) 1-P(B)0.63 号【解析】第一次由甲将球传出，2次传球 (8分) (2)由题意，X服从二项分布，所以X~B(5,0.8). 可能的结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲乙丁，甲丙甲，甲 则分布列为P(X=)=C0.8·0.25-(k=0,1,2, 丙乙，甲丙丁，甲丁甲，甲丁乙，甲丁丙，共9种结果 3,4,5), (10分) 且等可能，2次传球后球在乙手中的事件为：甲丙 所以E(X)=np=5×0.8=4, (13分) 乙，甲丁乙，共2种结果，所以所求概率是号， D(X)=np(1-p)=5×0.8×0.2=0.8.(15分) ·25· B 真题密卷 单元过关检测 17.解：(1)A组中女生的人数可能为0,1,2,3，故X .3 3 则E(X)=1× +x+x+4x-号 的所有可能取值为0,1,2,3， (10分) C9C3 1 P(X=0)= C%20' (2)记“输人的问题没有语法错误”为事件A,“输 CC 9 入的问题有语法错误”为事件B,“回答被采纳” P(X=1)= C20’ 为事件C, P(X=2)= CC 9 由已知得，P(C)=0.7,P(CA)=0.8, C 201 P(C|B)=0.4, P(X=3)= CC3 1 C8-20 (5分) P(B)=p,P(A)=1-, (12分) 所以A组中女生的人数X的分布列为 所以由全概率公式得P(C)=P(A)P(CA)+ P(B)P(CB)=0.8(1-p)+0.4p=0.7, X 0 1 (15分) 1 9 9 1 20 20 20 20 解得p=0.25. (17分) (8分) 19.解：(1)由已知μ=110，o=10, (2分) (2)事件M,N相互独立. “成绩优秀”的概率为：P(130≤X<140)= 99= 9 证明如下：由(1)知，P(M)-20+20-10' P(+2o≤X<μ+3o)= 0.9973-0.9545= (10分) 0.0214. (5分) P(N)=CC_1 “不及格”的概率为：P(X<90)=P(X<-2o)= Cg2 (12分) 1-0.9545=0.02275, (7分) 2 P(MN)-CiCC+CICI_9 C 0’ 所以“成绩优秀”的人数为2000×0.0214=42.8 P(MN)=P(M)P(N), ≈43人， 所以事件M,N相互独立. (15分) “不及格”的人数为2000×0.02275=45.5≈ 18.解：(1)由题可知X的所有可能取值为1,2,3,4， 46人. (9分) CC 5 1 (2)设事件A:至少一名“成绩顶尖”的同学入选， P(X=1)= Cg-70-14' 事件B:丙人选， P(X=2)=C3C3_303 P(AB)_n(AB)_C2C号+CC C8-707’ 则P(BA)= P(A) (A)CC+CC P(X=3)= CC30 3 Cg707’ 1 (12分) CC9 5 1 p(X=4)=C=7o14 (5分) (3)由条件知，P(X>u+3o)=1-0.9973 故X的分布列为 0.00135, (15分) 1 而在该班随机抽查中，此同学成绩142>μ十3o 2 在一次随机事件中就发生了，这说明该班成绩明 P 1 3 3 14 14 显优于年级整体成绩. (17分) B 26·