单元过关(十六)计数原理-【衡水真题密卷】2026年高考数学单元过关检测(B版)

·数学· 参考答案及解析 2025一2026学年度单元过关检测（十六） 数学·计数原理 一、选择题 设展开式中第r十1项系数的绝对值最大，则有 1.B【解折】由(-)广 的展开式的二项式系数和 C1①， 为32，可得2m=32,所以n=5,令x=1,得 c≥(8)” C1o1②， (1-2)5=-1. 2.D【解析】让3个班去选择景点，每个班有6种选 10 10 由①可得2×，1·10-r)产G+1D1·(9-' 择，所以不同的选法种数是6X6X6=63. 1. 1、1 19 3.B【解析】若甲是特等奖，则乙有4种情况，而丙、 即2×10，产，市解得≥3 丁、戊有1种情况，所以有4×1=4种； 1 10！ 由②可得1.012X-！·1), 若甲不是特等奖，则甲有3种情况，乙有3种情况， 而丙、丁、戊有1种情况，所以有3×3×1=9种， 22 所以这5人奖项的所有情况的种数是4十9=13种. 19 22 即 4.A【解析】甲、乙两人去听同一个讲座，方法数有 3≤r≤3，又因为r∈N,故r=7,即第8项 4种，丙、丁两人去听不同的讲座，方法数有2× 系数的绝对值最大， 3=6种，所以恰好只有甲、乙两人去听同一个讲座 二、选择题 的种数为4×6=24种. 9.AC【解析】对于A,B,每名同学均有3种报法，根 5.C【解析】依题意，将4人按2：1：1分成3组有C 据分步乘法计数原理可得，共有34种结果，故A 种分法，再将每种分法所得3组分到3个场地有A 正确，B错误； 种方法，所以不同的执勤方案有C贤A=36种. 对于C,D,每个社团有且只有一名同学报名，则第 6.D【解析】因为“better”中所有的字母共有AA 一个社团有4种选择，第二个社团有3种选择，第 三个社团有2种选择，根据分步乘法计数原理可 =180种排法，所以该同学写错的情况有180一1 得，共有4×3×2=24种方法，故C正确，D错误. =179种. 1 7.D【解析】由题知a2=C号+C号+C+…十Cg=1 10.BCD【解标】因为(-2x广的展开式共有7 +3+6+10+15+21+28+36=120. 项，所以n=6. 8C【解析】由题意，二项式（兮-x)”的展开式的 对于A,二项式系数和为2=64，故A错误； 通项公式为T=C()广（一x)=(-1· 对于B,令x=1,可得（侵一2）°的晨开式中所 有项的系数和为(1一2)6=1，故B正确： (g）cx-, 对于C(侵-2x)厂的展开式的通项公式为T+ 因为展开式中第9项是省数项，故2m-昌×8=0， =C(2)(-2z)=(-2)*Cx-,令3k 解得n=10,故第r十1项系数的绝对值为 12=3,得k=5,其系数为(-2)5C8=-192;令 Cio. 3k-12=6,得k=6,其系数为(-2)C=64,所 ·21· B 真题密卷 单元过关检测 以这两项的系数之和为一192十64=一128，故C 的系数之和为B, 正确； A+B=f(1), 1 则 对于D,由C得T1一T?的系数正负交错排列， A-B=f(-1), 得A=2[f1)+f(-1)] 所以令x=一1，得36=729，故D正确. =8(a+2),由A=32,得8(a+2)=32,解得 11.ABD【解析】令x=-1,得ao=(-3)9=-3,故 a=2. A正确； 四、解答题 令x=0,得ao十a1十a2十a3十…十ag=-l,所以 15.解：由m,n∈N,f(x)是n次多项式，则展开式 a1十a2十a3十…十ag=39-1,故B正确； 中至多有n十1项. 令x+1=t,则x=t-1,所以(2t-3)9=a0+ g(x)是m次多项式，则展开式中至多有m十1项， a1t十a2t十…十agt°，因为二项式(2t-3)9的展 (4分) 要得到f(x)·g(x)展开式中的一项，即两多项 开式的通项公式为T,+1=C(2t)9-r(-3)',r= 式各取一项相乘，可分2个步骤： 0,1,2,…,9,所以a5=C625(-3)4=7×6,故C 第一步，从多项式f(x)中任选一项，至多有n十 错误； 1种选法； (6分) 令x=一得,+受++…+2=-2，所 1 第二步，从多项式g(x)中任选一项，至多有m十 1种选法 (8分) 以2+2+…+2=8-2，敢DE确 由分步乘法计数原理得，f(x)·g(x)展开后至 三、填空题 多有(n+1)(m+1)项. (10分) 12.90【解析】当只报2个项目时，有CC4=20种 又f(x)·g(x)的展开式中最高次为m+n,故 方案；当报3个项目时，有C号C}十CC?=70种方 整理合并同类项后至多有m十n十1项， 案，所以共有90种报名方案. 综上，f(x)·g(x)展开后至多有(n+1)(m十1) 13.2【解析】假设一个正四面体四个顶，点分别为A, 项，整理合并同类项后至多有m十n十1项. B,C,D,则A作底面顶点时，通过旋转，除底面 (13分) 外三个面的朝向有3种，如图所示： 16.解：1)(G-) 的展开式的通项公式为 Te+1=C2(-2)x6-, 令6多=3，解得及=2 (4分) 故展开式中含x3项的系数为C2(一2)2=264. 同理，B,C,D作底面顶点时，除底面外三个面的 (6分) 朝向也分别有3种，一共有12种，即一个正四面 (2)因为第3k项和第k+2项的二项式系数相 体可以通过旋转得到12种朝向. 等，所以C1=C1, (10分) 因为四种颜色的排列数有A4=24种，所以一共 故3k-1=k+1或3k-1+k+1=12,(12分) 有酷？种不同的上色接式 解得k=1或k=3. (15分) 17.解：因为A1UA2=A,对A1分以下几种情况讨论： 14.2【解析】设f(x)=(a+2x)(1十x)4的展开式 若A1=,则必有A2={a1,a2,a3},共1种分拆； 中x的偶数次暴项的系数之和为A,奇数次暴项 (2分) B ·22· ·数学· 参考答案及解析 若A1={a1},则A2={a2,a3}或{a1,a2,a3},共 ≤1+g1]2+2+[g2]+32+[g3)] 2 2 2 2种分拆； 同理A1={a2},{a3}时，各有2种分拆；(6分) 42+[g(4)]2 5+[g(5)]2+62+[g(6)]2 2 2 2 若A1={a1,a2},则A2={a3}或{a1,a3}或{a2, 72+[g(7)]2 a3}或{a1,a2,a3},共4种分拆； 2 同理A1={a1,a3》,{a2,a3}时，各有4种分拆； :+2g(i门 =1 (10分) 22=140, (5分) 2 i=1 若A1={a1,a2,a3},则A2=或{a1}或{a2}或 当且仅当g(1)=1,g(2)=2,…,g(7)=7时取 {a3}或{a1,a2}或{a1,ag}或{a2,a3}或{a1,a2, 等号， a3},共8种分拆. (13分) 即2g(i)的最大值为140， (7分) 所以共有1+2×3十4×3十8=27种不同的分拆. (15分) (2)解：由题意知g(1)<g(2)<g(3)<g(4)< 18.解：(1)(x+3x2)”的展开式中各二项式系数的 g(5), 从集合M中任取5个数，则这5个数顺序确定， 和为2， 共有C种取法，然后剩余的两个数全排列，故共 令x=1,可得各项系数的和为(1十3)”=4”， 有CA=42个满足条件的g(x). (10分) (4分) (3)证明：g(x)的函数关系如表所示： 依题意可得4”一2”=992，即(2m十31)(2-32)=0， 又2">0，所以2"=32，解得n=5. (8分) 1 2 3 45 67 (2)(x2+3x)°的展开式的通项公式为T,+1 g(z) 2 1 56 7 4 =C()-(3x2)y=3rCx,r∈{0,1,2， g1(1)=2,g2(1)=g(2)=3,g3(1)=g(3)=1, 3,4,5}, (11分) g4(1)=g(1)=g1(1), 所以当r=2或r=3时，二项式系数最大，(13分) 故g(x)为“3阶闭环函数”； (13分) 所以二项式系数最大的项为T=32Cx+ 又g1(4)=5,g2(4)=g(5)=6,g3(4)=g(6)= 90x5和T4=3Cxt=270z号. 7,g4(4)=g(7)=4,g5(4)=g(4)=g1(4), (17分) 故g(x)也为“4阶闭环函数”， 19.()解：由题意得2g()=g(1)+2g(2)十3g(3) =1 故原命题得证 (17分) +4g(4)+5g(5)+6g(6)+7g(7) 2025一2026学年度单元过关检测（十七）】 数学·随机变量及其分布 一、选择题 3.D【解析】设抽得次品数为X,则随机变量X的 1.B【解析】X=3表示{(0,1,1,1)，(1,0,1,1)， 所有可能取值有0,1,2，则P(X=0)-C-石 (1,1,0,1),(1,1,1,0)},根据选项可得B正确. 2.D【解析】由分布列的性质可知，a1十a2十a3十a4 P(X=1)-CIC_7 十a5=1,又数列{an}为等差数列，则5a3=1,即 C-5px=08 a:=号故P=5)= 1 所以ECX)-0X7+1X7+2x站-号 7 ·23· B青春蓄力，未来可期 2025一2026学年度单元过关检测（十六）》 6.某同学将英文单词“better'”中的字母顺序记错了，则该同学写错的情况有 () 班级 卺题 数学·计数原理 A.360种 B.359种 C.180种 D.179种 7.已知(1十x)2十(1十x)3十…十(1十x)°=a0十a1x十a2x8+…十agx°，则a2=( 姓名 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 A.60 B.80 C.84 D.120 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 得分 是符合题目要求的。 &已知赁-工)厂的展开式中第9项是常数项，则展开式中系数的绝对值最大的项是 题号 ( 答案 A第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项 1.在二项式（红一）”的展开式中，二项式系数和为32，则所有项的系数和为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 A.-10 B.-1 C.1 D.10 题号 9 10 11 2,3个班分别从6个景点中选择一处游览，不同的选法种数为 ( 答案 A.9 B.18 C.3 D.6 9.有四名同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是 3.我校某班举办新年联欢班会，抽奖项目设置了特等奖、一等奖，二等奖、三等奖、数励奖， A.每名同学都要报名且只报名其中一个社团，则不同的报名方法共有3种 共五种奖项.甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票，开奖后发现这5人的奖项都不相同 B.每名同学都要报名且只报名其中一个社团，则不同的报名方法共有种 甲说：“我不是鼓励奖”：乙说：“我不是特等奖”：丙说：“我的奖没有戊好但是比丁的强”， C.每个社团有且只有一名同学报名，则不同的报名方法共有24种 根据以上信息，这5人奖项的所有情况的种数是 () D.每个社团有且只有一名同学报名，则不同的报名方法共有3种 A.12 B.13 C.24 D.26 10.已知（侵-2）广的展开式共有7项，则 4.甲，乙、丙、丁去听同时举行的四个讲座，每人可自由选择去听其中一个讲座，则恰好只 A.二项式系数和为128 有甲、乙两人去听同一个讲座的种数为 () B.展开式的所有项的系数和为1 A.24 B.18 C.12 D.8 C.含x3项的系数与含x‘项的系数之和为一128 5.第十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日至17日在珠海举办.为了给观 D.所有项的系数绝对值之和为729 展人更准确、更专业的解读，某大学航空航天专业的4名志愿者要到3个场地执勤，要 11.若(2x-1)9=a。+a1(x+1)+a2(x+1)2++a(x+1)9,则 ( 求每个场地至少有1名志愿者，且每个志愿者只到1个场地执勒，则不同的执勒方案有 A.a。=-3 B.a1十ag十aa十十ag=39-1 () A.144种 B.72种 C.36种 D.18种 C.a5=-7X69 n+++2=3-2 单元过关检测（十六）数学第1页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十六）数学第2页（共8页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 12.某校将举办一年一度的田径运动会，其中田赛含跳高、跳远、三级跳远、标枪和铅球5个 15.(13分)已知f(x)是n次多项式，g(x)是m次多项式，m,n∈N·,那么f(x)·g(x)展 项目，径赛含100米、110米栏、400米、1000米4个项目.某班为选拔优秀运动员，在班内 开后至多有多少项？整理合并同类项后至多有多少项？ 组织选拔赛，要求同学们积极报名参赛，每位同学田赛与径赛至少各报名1个项目，且每 人至多一共报3个项目，则每位同学的报名方案有 种（用数字作答） 13.用红，橙、黄、绿四种颜色给一些大小相同的正四面体模具上色，要求每个正四面体四 个面的颜色各不相同.我们规定：如果两个已上色的四面体，可以通过旋转将其中一个 变得与另一个完全相同，则认为它们用了同一种上色模式，那么不同的上色模式 共有种 14.在(a十2x)1+x)的展开式中，x的偶数次幂项的系数之和为32，则a=· 单元过关检测（十六）数学第3页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十六）数学第4页（共8页） 16.(15分)根据二项式（丘-）“的展开式，回答下列问题。 17.(15分)若集合A1,A:满足A:UA=A,则称(A1,A2)为集合A的一个分拆，并规定： 当且仅当A,=A2时，(A1,A2)与(Az,A1)为集合A的同一种分拆，求集合A= (1)求展开式中含x3项的系数： (a1,a2,a3}的不同分拆的种数. (2)如果第3k项和第k十2项的二项式系数相等，求k的值. 单元过关检测（十六）数学第5页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十六）数学第6页（共8页） 18.(17分)已知(+3x2)”的展开式中各项系数的和比各二项式系数的和大992，求： 19.(17分)若函数f(x)的定义城、值域都是有限集合A=(a1,a2,…,a.},n∈N°，则定义 (1)n的值； f(x)为集合A上的有限完整函数.已知函数g(x)是定义在有限集合M= (2)展开式中二项式系数最大的项. (1,2,3,4,5,6,7}上的有限完整函数. (1)求g(i)的最大值. (2)当i=1,2,3,4时，均有g()<g(i+1),求满足条件的g(x)的个数. (3)对于集合M上的有限完整函数g(x),定义“闭环函数”：g1(x)=g(x),对k∈N”, 且k≤6，g+(x)=g(g(x).若3x∈M,m∈N,g1(x)=g1+m(x),则称 g(x)为“m阶闭环函数”.证明：存在一个“闭环函数”g(x)既是“3阶闭环函数”，也 是“4阶闭环函数”（用列表法表示g(x)的函数关系）. B 单元过关检测（十六）数学第7页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十六）数学第8页（共8页）