单元过关(十三)直线与圆的方程-【衡水真题密卷】2026年高考数学单元过关检测(B版)

笔锋所至，梦想开花 密顶 2025一2026学年度单元过关检测（十三） 8.在平面直角坐标系xOy中，已知直线ax十y一4a=0与直线x一ay十2=0交于点P, 班级 卺题 则对任意实数a,OP的最小值为 () 数学·直线与圆的方程 A.4 B.3 C.2 D.1 姓名 本试卷总分150分，考试时间120分钟 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 得分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 是符合题目要求的。 题号 9 10 11 题号 5 7 答案 答案 9.已知曲线C:y=√1一x2与圆D:(x一3)2十(y-4)2=r(r>0),则 ( 1.已知直线l1:x十my一5=0，直线l2:mx十y十3=0，若l1∥l2,则实数m= () A.曲线C为半个圆 A.1 B.-1 C.-1或1 D.0 B.当r=5时，曲线C与圆D有两个公共点 2.已知直线1：a2x+y+1=0与直线l2:x-3ay+7=0,则“a=0”是“L1⊥l2”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.当曲线C与圆D相切时，r=4 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 D.当r>4√2时，曲线C在圆D的内部 3.直线x-y一2k+3=0(k∈R)与圆x2+y2-2x一4y=0的位置关系是 ( 10.已知直线l1:ax+3y+4=0,l2:x+(a-2)y+a2-5=0,则下列说法正确的是() A.相离 B.相切 C.相交 D.都有可能 A.若a=1,则11的一个方向向量为(3，一1) 4.已知圆C:x2+y2=9,过点M(1,2)的直线1与圆C交于A,B两点，则当|AB取最小 B.若l1∥lg,则a=一1或a=3 值时，△ABC的面积为 () A.2 B.4 C.25 D.33 C若，山则a=号 5.已知直线l:y=3(x十2)与圆O:x2十y2=4交于A,B两点，则|AB|= () D.l1恒过定点(0,4) A.3 B.2 C.3 D.25 11.已知点P为圆Z:(x十3)2+(y-4)2=4上的动点，点Q满足PQ=(6,一8)，记Q的 6.已知实数x,y满足(x-3)2+(y-4)2=3,则y-3x的最大值为 () 轨迹为S,则 () A.5-√30 B.√30+5 C.-√/30-5 D.√/30-5 A.P,Q始终关于原点对称 7.已知点P(0,一1)关于直线x一y十1=0对称的点Q在圆C:x十y2十mx十4=0上，则 B.圆Z与S关于原点对称 m= () C.Q与圆Z上的点的最小距离为6 A.4 C.-4 n号 D.P与S上的点的最大距离为12 单元过关检测（十三）数学第1页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十三）数学第2页（共8页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 16.(15分)已知在平面直角坐标系xOy中，圆M:x2+y2一2x+2ay+3=0,M上存在两 12.已知直线1过点(1,2)，且其法向量为n=(1,2),则1在x轴上的截距为 点关于直线x十y十1=0对称. 13.已知直线11：3x一4y十7=0与12：6x一(m十1)y十1一m=0平行，则11与12之间的 (1)求M的半径 距离为 (②)求过坐标原点O且斜率为-的直线1被M截得的弦长。 14.某圆拱形桥一孔圆拱如图所示，圆拱跨度AB=24m,拱高OP=6m,建造时每间隔 3m需要用一根支柱支撑，则A1P,=m AA名A:O4 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知△ABC的三个顶点A(1,6),B(-1,-2),C(6,3). (1)求边BC上的中线所在直线的方程： (2)求边BC上的高所在直线的方程. 单元过关检测（十三）数学第3页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十三）数学第4页（共8页） 17.(15分)如图，广东省某机器人比赛设计了一个矩形场地ABCD(含边界和内部，A为 18.(17分)已知圆C过点P(1,1),且与圆M:(x+2)2+(y+2)2=r2(x>0)关于直线x 坐标原点)，AD长10米，在AB边上距离点A4米的F处放一只电子狗，在距离点A 十y十2=0对称 2米的E处放一个机器人，机器人的行走速度为口，电子狗行走的速度为2知，若电子狗 (1)判断圆C与圆M的位置关系，并说明理由. 和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内的某点M,则电子狗将被机器人捕获， (2)过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A,B两点， 点M叫“成功点”， ①若直线PA和直线PB互相垂直，求PA+PB的最大值 ②若直线PA和直线PB与x轴分别交于点G,H,且∠PGH=∠PHG,O为坐标 M 原点，试判断直线OP和AB是否平行？并说明理由. (1)求在这个矩形场地内“成功点”M的轨迹方程： (2)若P为矩形场地AD边上的一点，电子狗在线段FP上总能逃脱，求|AP|的取值 范围。 单元过关检测（十三）数学第5页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十三）数学第6页（共8页） 19.(17分)已知直线1过点P(3,2),且与x轴，y轴正半轴分别交于A,B两点 (3)如图，若AP=2PB,过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M,动点E,F分别在 (1)若L的斜率为一2，求△AOB的面积 线段MP和线段OA上，若直线EF平分直角梯形OAPM的面积，证明：直线EF 2)若△A0B的面积5满足12≤S<,求1的斜率的取值范围 必过定点，并求出该定点的坐标 B 单元过关检测（十三）数学第7页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十三）数学第8页（共8页）·数学· 参考答案及解析 所以Sm-1十n-1=2am-1(n≥2)②， (21与）-111a∈N.8分) 1 由①-②，得am十1=2am-2am-1,于是an十1= (2)因为bm+1=2b.-2n十3，所以bm+1 2(am-1+1)(n≥2). (2n+1)=2[bn-(2n-1)]=…=2"(b1-1)=0, 又S1+1=2a1,所以a1=1,所以a1+1=2, 所以{bn一(2n一1)}是各项均为0的常数列，所 所以数列{am+1}是以2为首项，2为公比的等比 以bn=2n-1, 数列，所以am十1=2·2"-1=2”，即an=2m-1, 所以bm+1一bm=2,所以{bn}是以1为首项，2为 公差的等差数列. (13分) n∈N'. (5分) 又a1=1,a2=3,a3=7,a4=15,a5=31,a6=63, 所以a。十1 2 1 a.·a+1=(2-10(2+1-1）=2-1 b32=63,b36=71, 所以c1十c2十…+c0=(b1十b2+…+b6) 2"+1-11 a,+a2+…+6)=36×1+71 -[(2+22+ 2 所以工.=-》+（合）+…十 …+2)-6]=362-27+8=1176. (17分) 2025一2026学年度单元过关检测（十三） 数学·直线与圆的方程 一、选择题 25 则圆心到直线L的距离d= 11×1=m2, √(3)+(-1)2 1.C【解析】根据两直线平行，可知 解 3m≠1×(-5)， √3，所以|AB=2√r2-d=222-(3)=2. 得m=土1， 6.D【解析】设y-3x=m,将其看作直线3x一y十 2.A【解析】若l1⊥l2,则a2-3a=0,解得a=0或 a=3,所以“a=0”是“l1⊥l2”的充分不必要条件. m=0,由直线3x-y+m=0与圆(x-3)2 3.C【解析】将圆的方程化为标准方程得(x一1)2 +(y一4)2=3有公共点，得圆心(3,4)到直线的 +(y一2)2=5，所以圆心坐标为(1,2)，圆的半径 距离小于或等于周的半径5，即3X3一4十m≤ √10 为√5，直线kx一y-2k+3=0(k∈R)可化为 k(x-2)-y十3=0(k∈R),恒过定点(2,3).因 √3，解得-5-√30≤m≤-5十√30，所以m的最 为(2-1)2+(3-2)2=2<5，所以点(2,3)在圆 大值为√30一5，即y-3x的最大值为√30-5. 内，所以直线与圆相交. 4.C【解析】由题意知，当|AB|取最小值时，点 (b+1=一1， a-0 M(1,2)为弦AB的中点，此时CM⊥AB,又 7.B【解析】设Q(a,b),则 解 a+0b-1 |CM=√5，则|AB=2×√9-5=4，所以 (2-2+1=0, 得a=一2，b=1,所以Q(一2,1).又因为Q在C Sc=21AB|XCM=2×4X,5=25. 9 5.B【解析】圆O:x2+y2=4的圆心为O(0,0),半 上，所以4十1-2m十4=0，解得m= 2,经检验， 径r=2,直线l:y=√3(x十2)，即3x-y十2W3=0, 符合题意 。7· B 真题密卷 单元过关检测 8.C【解析】由题意知，a×1十1×(-a)=0,故两直 k1=- 3,直线L的斜率为，= a-2,则k1= 线垂直，又直线ax十y一4a=0过定点A(4,0), 直线x-ay十2=0过定点B(-2,0), k2,即1=a Pa-2=-3,解得a=-1或a=3,当a= 故两直线的交，点P在以AB为直径的圆上（不含 -1时，l1:-x十3y+4=0,l2:x-3y-4=0,显 点A(4,0)),该圆方程为(x一1)2+y2=9,则其圆 然两直线重合，所以a=3,故B错误；对于C,若 心为C(1,0),半径为3， l1⊥l2,当a=2时，显然不符合题意；当a≠2时， 则|OP|≥|CP|-OC,当且仅当P,O,C三点 共线，即P位于B点时，等号成立，故OP|的最 小值为3-1=2. C正确；对于D,将化商得y=一号一专，可 4 知当x=0时)=一号，故不论a为何值，位 这定点(0，-》藏D餐联。 11.BC【解析】圆Z:(x+3)2+(y一4)2=4的圆心 为(-3,4)，半径为2. 对于A,设Q(x,y),由于P=(6,-8),可得 P(x一6，y+8),则P,Q不一定关于原点对称， 二、选择题 故A错误；对于B,由P在圆Z:(x十3)2+(y一 9.ACD【解析】由y=√1-x2,得x2+y2=1(y≥0)， 4)2=4上，则[(x-6)+3]2+[(y+8)-4]2=4, 所以曲线y=√/1一x2表示圆x2十y2=1在x轴 化简得到(x一3)2+(y十4)2=4，故S是以(3，一4) 上方的部分，故A正确； 为圆心，2为半径的圆，所以圆Z与S关于原点 易知圆x2十y2=1的圆心为坐标原点O,半径为1， 对称，故B正确；对于C,由B知，两圆的圆心距 圆D:(x-3)2十(y-4)2=r2(r>0)的圆心为 离为√(-3-3)2十[4-(-4)]？=10>2+2，即 D(3,4),半径为r.当r=5时，曲线C与圆D只 两圆外离，Q与圆Z上的点的最小距离是Z,S 有1个公共点，故B错误； 的圆心距离再减去两圆半径和的差，即10一 因为曲线C与圆D相切，所以OD|=1十r,则 (2十2)=6，故C正确；对于D,P与S上的点的 5=1十r,得r=4,故C正确； 最大距离是Z,S的圆心距离再加上两圆半径和， 因为在曲线C的所有点中，离圆心D最远的是点 即10十2+2=14，故D错误. 三、填空题 M(-1,0),DM|=4√2，所以当r>4W2时，曲线 12.5【解析】直线1的点法式方程为1×(x一1)十2 C在圆D的内部，故D正确. ×(y-2)=0,化简可得x十2y-5=0,令y=0, 10.AC【解析】对于A,当a=1时，l1:x十3y十4= 得x=5,即L在x轴上的截距为5. 0,斜率为了则其一个方向向董为3，-1)，故 18.2【解析】因为直线，与。手行，所以号 A正确；对于B,若l1∥l2,当a=2时，显然不符 -(m+1),解得m=7. -4 合题意；当a卡2时，由题意得直线l1的斜率为 B ·8· ·数学· 参考答案及解析 所以12：6x一8y一6=0，即3x一4y一3=0， 则圆心为M(1,-a),半径r=√a2-2,(3分) 所以l1与12之间的距离d= |7-(-3) 因为M上存在两点关于直线x十y十1=0对称， √32+(-4) 所以圆心M(1,一a)在直线x十y十1=0上， g-2 所以1一a+1=0,解得a=2, (6分) 14.3【解析】建立如图所示的平面直角坐标系， 所以M的半径r=√2！ (8分) (2)由(1)可得，(x-1)2+(y+2)2=2,M(1,-2), 3 依题可得直线1的方程为y=一年，即3x十 (10分) AA A2 A3 O(A) B本 4y=0, 设过点A,P,B的圆的方程为x2十(y一b)2= 所以圆心M到1的距离d=|3X1-2×4到 1 √32+4 x2.因为点B(12,0),P(0,6)在圆上， (13分) 1122+62=x2, 6=-9, 所以( 解得{ 所以弦长为2×√2一1=2. (15分) 0+(6-b)2=r2, 2=225. 17.解：(1)分别以AD,AB所在直线为x,y轴，建立 所以圆的方程为x2+(y十9)2=225. 如图所示的平面直角坐标系， 令x=-9,得81十(y+9)2=225,即(y十9)2 225-81=144,又y>0,所以y+9=12,即y= 3,则A1P1=3m. 四、解答题 D衣 1解：1由题意得，BC的中点D(停》，2分) 则E(0,2),F(0,4),设成功点M(x,y)(0≤ x≤10)： 6一2 则中线AD所在直线的斜率为AD=一 IFM_2=2,即|FM=2EM1, 依题意得，EM一t 1 2 则√x2十(y-4)=2√x2+(y-2)2,化简得x2 11 3 (4分) 所以边BC上的中线所在直线的方程为y一6= 所以在这个矩形场地内“成功点”M的轨迹方程 3(x-1),即1x+3y-29=0. 1 (6分) 是x+(-)广-g(≤≤) (5分) 3-(-2)5 4 (2)由题意得，kC= 6-(-1)=7, (8分) (2由(1)知，点M的轨迹是以(o,等)为圆心，3 为半径的右半圆， 则边BC上的高所在直线的斜率=一 5 由电子狗在线段FP上总能逃脱，得直线FP在 (10分) y轴右侧且与点M的轨迹相离， (8分) 所以边BC上的高所在直线的方程为y一6= 此时直线FP的斜率k<0,方程为y=x十4，即 7 -5(x-1),即7x+5y-37=0. (13分) kx-y+4=0, (10分) 8 16.解：(1)圆M:x2+y2-2x+2ay+3=0,即 (x-1)2+(y+a)2=a2-2, 中行>3，得<3，解得-5<<0， 3 4 由 ·9 B 真题密卷 单元过关检测 即0<tan∠FPA<√3， (12分) 所以|AP|= |AF>4_4W3 tan∠FPA53' 又|AP|≤10， A 所以|AP|的取值范围是 43 3,10. (15分) y-1=k(x-1), 联立 18.解：(1)由题可得，圆M的圆心为M(一2，一2)， x2+y2=2, 设圆心C(a,b), 得(1+k2)x2+2k(1-)x+k2-2k-1=0, fa-2+62+2=0, 因为P的横坐标x=1一定是该方程的解，可得 2 2 a=0, 则 解得 (4分) k2-2k-1 b+2 a+21, b=0, TA= 1+k2 (14分) 同理xB= 2+2k-1 则圆C的方程为x2十y2=r2, 1+k2 (15分) 将点P(1,1)代入得r2=2, kAa=yB-yA=-b(x。-1)-一bxA-1) 故圆C的方程为x2+y2=2, xB一xA xB—TA 所以CM=2√2，又两半径之和为2√2，所以圆M 2k-(xA十xB）=1=koP,所以直线AB和 xB一XA 与圆C外切. (6分) OP一定平行. (17分) (2)①令l1,l2即PA,PB为过P点的两条弦， 19.(1)解：由题意可得，直线1的方程为y一2= 设1，L2被圆C所截得弦的中点分别为E,F,弦 -2×(x-3),即y=-2x十8， 长分别为d1,d2,因为四边形OEPF是矩形， 令x=0,解得y=8;令y=0,解得x=4, 1 所以S△Aas=2X8X4=16, (4分) (2)解：设直线1的斜率为k(k<0),则直线l的 方程为y一2=(x一3)， 令x=0,解得y=2-3k; 所以OE2+0F2=OP2=2,即 2-(门+ 令y=0,解得x=3-6, (6分) 2-(侵)门-2，化简得a+a3=8 (8分) 则s-2-)6）=- 3-2),(8分) 2k 从而d1+d2≤√2·√Jd+d=4(当且仅当d 直128华网122》≤里。 2k =d2时等号成立，此时直线PA,PB必有一条 斜率不存在). 由于9k2+12k十4=(3k十2)2≥0，k<0成立， 51 综上，PA十PB的最大值为4. (10分) 则96++4长0解得-令<≤-行 ②直线OP和AB平行.理由如下： 综上，k的取值范围为 (10分) 由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且 互为相反数，故可设PA:y一1=k(x一1)， (3)证明：设A(a,0),B(0,b), PB:y-1=-k(x-1), 因为P(3,2),A户=2PB, B ·10· ·数学· 参考答案及解析 所以(3-a,2)=2(-3,b-2),可得a=9,b=3, 即m+n=6, 又M(0,2),则OM=2,PM=3, 2 由直线EF的方程为y= (x-n), m-n 所以梯形AOMP的面积为2X2X(3+9)=12, 将n=6-m代人上式可得2m(y-1)一 (12分) (2x+6y-12)=0, (14分) 由题意得，梯形FOME的面积为6， y-1=0, x=3, 由 解得 设E(m,2),Fa,0),可得号×2×m十m)=6, 2x+6y-12=0, y=1, 所以直线EF恒过定点(3,1). (17分) 2025一2026学年度单元过关检测（十四） 数学·圆锥曲线的方程 一、选择题 y2-6y-9=0,故y1y2=-9,故|MF|·|NF| 1.A【解析】由M(x,y)满足√x2+(y-2)z+ =√1+1严|y1|·√1+1|y2=2×9=18. √x2十(y十2)=8，可知动点M(x,y)到定点(0， 解法二：MF·|NF|=1-cos&·1+cosa 2),(0,-2)的距离之和为8，且8>4，所以点M 力2 的轨迹为椭圆。 =9 =18. 1-cos2a 2.B【解析】依题有(m-1)(m十2)<0， 解得-2<m<1. 5.C【解析】如图： 3.C【解析】抛物线的焦点坐标为(0，） 准线方程为y=一2' 唯线方程与双曲线方程联立可得2=1) 因为P为C右支上一点， 解得x=士 3+ 4,故AB=2,3+ 所以|PF1|-|PF2|=2a=8. 41 因为O为坐标原点，Q为线段P℉1的中点， 因为△ABF为等边三角形，所以)|AB|=2, 所以0Q-PF,F,Q-1PF 即有2 ·2 ./3+ =p,解得p=6. FT=FQ-QT=FQ-OQ= 4 2(PF-|PF2l)=4. 6,D【解析】如图，过，点M作MH⊥l于点H,设l 与x轴的交点为K, 4.D【解析】解法一：由题意知直线l:y=x一 3 2 y2=6x, 设M(x1y1),N(x2,y2),联立 3得 y=x-2' ·11· B