单元过关(十二)数列的通项公式和求和-【衡水真题密卷】2026年高考数学单元过关检测(B版)

数学是思雅的体操，每一次思考都是力量的积蓄 密 2025一2026学年度单元过关检测（十二） 6设S,是数列a.的前n项和，且a1=1,S=(2S,+1S1则- 班级 题 数学·数列的通项公式和求和 A-日 姓名 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 C.-2 得分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 7.已知S。为数列{a.}的前n项和，命题p:{a.)是等比数列：命题q:S。,S2m,Sm成等比 是符合题目要求的。 数列，则p是q的 () 题号 1 2 3 6 8 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 答案 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.已知首项为1的等比数列{a.)的各项均为正数，且6a1,a,4a2成等差数列，若1<3a。 1.已知数列a.}为等比数列，a1=102,公比g=2则a- () +12恒成立，则A的取值范围是 () a A智 B A.(-o∞，12) B.(-∞，13) C.(-o∞，14) D.(-0∞，15) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 C.25 D.51 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 2.已知集合M={mlm=2n一1，n∈N·且m<60},则M中所有元素的和为 题号 9 10 A.900 B.885 答案 C.870 D.855 9.在等比数列{a,}中，a1aa=2,a,=4,则 () 3.某企业今年年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达 A.{an}的公比为2 B.(a.1的公比为2 到50%，每年年底需要扣除下一年的消费基金50万元，剩余资金投人再生产，设该企业 从今年起每年年初拥有的资金数依次为a:,a:,a1,…,则表示am+1与a.之间关系的递 C.a3+as=20 D数列o为递增数列 推公式为 () 10.任取一个正整数，若是奇数，则将该数乘3再加上1：若是偶数，则将该数除以2.反复进 3 A.a+1=2a。-50 B.am+1-am=450 行上述两种运算，经过有限次运算后，必进人循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名 的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数m=6,根据上述运算法则得出6→3→10 Ca-2a,-50) D.c5 +5→16+8·4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜 想”的递推关系如下：已知数列{a.}满足a1=m(m为正整数)，a.+1= 4.已知数列{a.}满足a1=33,an+1一a.=2n,则an= () a A.n2-n+33 B.2n2-n+32 2a,为偶数， 若a。=1,则m的取值可以为 () C.-2m+35 D.n+32 3a。十1，a.为奇数. 5.已知数列(am}的前n项和为S。,且a.+2=2am+1一am,as十a1=ag,则S4=() A.16 B.18 A.0 B.12 C.15 D.20 C.20 D.22 单元过关检测（十二）数学第1页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十二）数学第2页（共8页） B 11.已知等差数列{a.}的前n项和为S。,且a2十a4=10,S,=49,则下列说法正确的是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 () 15.(13分)设数列{a}是等比数列，数列{b}是递增的等差数列，{b.}的前n项和为S.(n∈ A.a3=5 N°)，a1=2,b1=1,S,=a1+aga2=b1+ba B.a.=3n-4 (1)求{a.}和{b.)的通项公式： C.S,=n (2)将{am}与{b。)的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求新数列的前 D.记b。=(-1)am,b.}的前n项和为T.,则T0=20 50项和. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共 灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中 下一层的灯数是上一层灯数的2倍，则塔顶层的灯数为 13.在数列(a.}中，n(a+i一am)=a.(n∈N),且ay=,则a,= 14.已知数列a.为等差数列，a1=10,公差d=-3.若c.=a出，则c,的最小值为 单元过关检测（十二）数学第3页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十二）数学第4页（共8页） 16.(15分)记首项为1的数列a.}的前n项和为S。,且2S.=(n十1)a。,n∈N”. 17.(15分)已知S。为数列(a.)的前n项和，且S。=2a.一6n (1)探究数列a:是香为单调数列： (1)求a1. (2)证明：数列{a,十6}是等比数列. (2)求数列{a。·2,}的前#项和T。… (3)求数列{am十2n十5}的前n项和T.: 单元过关检测（十二）数学第5页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十二）数学第6页（共8页） 18.(17分)已知数列{a.}的前n项和为S.,且3a.=2S.+2(n∈N). 19.(17分)已知数列{a.}的前n项和为S.,且，a,S.成等差数列，数列b.)的首项b:= (1)求{an}的通项公式. 1,且b.+1=2b。-2n+3. (2)在a。与am+1之间插入个数，使这n十2个数组成一个公差为d.的等差数列.在 1)求a,的通项公式，并求数列a:+1的前n项和T, am·am+1l 数列{d.}中是否存在3项d.,d:,d。(其中m,k,p成等差数列)成等比数列？若存 (2)若{b.}中去掉{a,}的项后余下的项按原顺序组成数列(c.},求c1十c十…十co 在，求出这样的3项：若不存在，请说明理由。 的值 单元过关检测（十二）数学第7页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十二）数学第8页（共8页）真题密卷 单元过关检测 假设an,am,a是成等比数列， (10分) 2n- 则[1+√2(m-1)]2=[1+2(n-1)][1+ -》- (7分) √2(k-1)],即2(m-1)2-2(n-1)(k-1)= √2(n+k-2m), (12分) 故6，}是公差为 的等差数列，且6， √2 2n+ 因为m,n,k∈N*, 1 (n+k-2m=0, (8分) 所以 (14分) (m-1)2=(n-1)(k-1), (2)解：设{am}中任意三项am=1十√2(n一1)， 所以(k-n)2=0,即k=n,与an≠a矛盾， am=1十√2(m-1),ak=1十√2(k-1),且am卡 所以{am}中任意三项不能构成等比数列. am≠ak, (17分) 2025一2026学年度单元过关检测（十二） 数学·数列的通项公式和求和 一、选择题 又a5十a12=ag,即a5十a12=ag十ag=ag,则a8=0, 1.B【解析】因为数列{an}为等比数列，a1=102,公 所以S1s= 15(a1+a16）=15a8=0. 2 比g=2,所以a.=102 ,所以a4= 6.B【解析】因为Sm=(2Sm十1)Sm+1,a1=1, 162×》- 12Sm+111 所以S ,即 1s-2,又1 S1 a 2.A【解析】由于集合M={mm=2n-1,n∈N* 1,听以后是有城为1，会运为？的等运线到， 且m<60},即M={1,3,5,7,…,59}, 故M中共有30个奇数，构成以1为首项，2为公 所以 =2m-1,则S.=2m-1' 1 1 S 差的等差数列，所以S0 30×(1+592=900. 1 112 2 故Sn=21a=S。-S4=g-7= 63 3.A【解析】依题意，a1=1000,am+1=(1十50%)am一 所以a5 x1=-号 2 50-号.0 Su 7.D【解析】令an=(一1)"，满足{am}是等比数列， 4.A【解析】因为am+1一an=2n,所以由递推公式可 但此时S2m=0,Sm,S2m,S3m不成等比数列，则p 得am-am-1=2(n-1),am-1-am-2=2(n一2)， 不能推出g:令=1，m1, 则Sm=S2m=S3m= …,a3一a2=2X2,a2-a1=2X1,等式两边分别 a,=0,n≥2， 相加，得am一a1=2X1十2×2+…+2(n一2)+ 1,满足Sm,S2m,S3m成等比数列，但此时{an}不 2(n-1)=2(1+2+3+…+n-2+n-1)=n2 是等比数列，则q不能推出p,所以p是q的既不 n,因为a1=33,所以am=n2-n十33. 充分也不必要条件. 5.A【解析】由at+2=2am+1一am,得an+2十am= 8.B【解析】因为6a1,a3,4a2成等差数列，所以2a3 2am+1,所以{am}为等差数列， =6a1+4a2, B 4 ·数学· 参考答案及解析 又因为{am}是首项为1，各项均为正数的等比数 所以am=a1十(n-1)d=2n-1,故B错误； 列，所以g2-2g-3=0,解得q=3或q=一1（舍 S.=n(1+2m-1) 2 =n2,故C正确；因为bn= 去)，所以an=3m-1. 若A3a.+2成立，则Aa.+) (-1)”am=(-1)"(2n-1),所以T20=b1十b2+ a. b3+…+b20=-1+3-5+7-…+39= 设y-8x十号6>0，令3-是解得x-2, (-1+3)+(-5+7)+…+(-37+39)=2×10 x =20,故D正确。 所以)=3z+12x>0)在0,2)上单调递减，在 三、填空题 (2,十∞)上单调递增. 12.3【解析】设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{am} 而当1=1，即a1=1时，3a1十2=15， 是公比为2的等北数列，所以S,=a11=22 1-2 12 =13,所以3am+ 12 当n=2,即a2=3时，3a2 381,解得a1=3. 29 an 的最小值为13，所以入<13，即入的取值范围是 13.2a∈N)【解标】由题湾可知，a20- （-∞，13). 故21=n十1 二、选择题 an 'a-1n-7n≥2)， 9.BC【解析】设等比数列{am}的公比为q,依题意得 laiq=2, 由聚泰法可得号×2×…X二-音×× a3 Qa a1=1, 解得《 则am=2"-1,故A错误，B a1g2=4,q=2, 正确；a3十a5=22十24=20，故C正确；log2 1 an 14.一2【解析】由题意得，an=10一3(n-1)=-3m 一，故教列10g2】为递减教列，故D错误 +13,则c,=01=-3(+1)+13-3m十10 an -3m+13 -3m+13,可 10.AC【解析】因为ag=1,根据上述运算法进行 得c1>0,c2>0,c3>0,c4=-2,当n≥5时，cm>0, 逆推，a7=2,a6=4,a5=8或a5=1. 所以(cn)in=一2. 若a5=8,则a4=16,a3=32或a3=5, 四、解答题 当a3=32时，a2=64,a1=128或a1=21; 15.解：(1)设等比数列的公比为q,等差数列的公差 当a3=5时，a2=10,a1=20或a1=3. 为d(d>o), 若a5=1,则a4=2,a3=4,a2=8或a2=1; 4b1+6d=a1+a1q2, 当a2=8时，a1=16;当a2=1时，a1=2, 由已知条件得 a1q=2b1+2d, 故若ag=1,则m所有可能的取值的集合M= 2+6d=2q2, {2,3,16,20,21,128}. 即 (3分) 2q=2+2d, 11.ACD【解析】根据等差数列的性质可得a2十a4 9=1, =2, =2a3=10,所以a3=5,故A正确；因为S7=49, 解得（舍去）或 (6分) d=0 d=1, 所以7Xa,+a）=49,可得a1十a,=14,即2a 2 所以aw=a1g-1=2",bn=b1+(n-1)d=n, +6d=14,结合a1+2d=5,解得a1=1,d=2, n∈N*. (8分) ·5· B 真题密卷 单元过关检测 (2)由(1)知，{am}与{bn}都是递增数列， 又a1+6=12,所以{am+6}是以12为首项，2为 当n=5时，a5=32<50;当n=6时，a6 公比的等比数列， (7分) 64>50, (10分) (3)解：由(2)可知am十6=6·2"，则an=6·2一6， 2-26 又a1十a2十a3十a4十a,=1-2 所以a2m+2n+5=6·22m+2m-1=6·4"+2n-1, =62,b1+b2+ (10分) …十b6= 45×(1+45) 2 =1035, 所以T.=6×41+1+6×42+3+.+6×4”+ 故新数列的前50项和为62+1035=1097. 2n-1=(6×41+6×42+…+6×4")+(1+3+ (13分) …+2-1）=6×4'0-4)+n(1+2m-1D 1-4 2 16.解：(1)已知2Sm=(n+1)am, =2X4+1+n2-8,n∈N*. (15分) 当n≥2时，2Sm-1=nam-1, (2分) 18.解：(1)当n≥2时，由3an=2Sm+2①，得3am-1 两式作差得2an=(n十l)am一nan-1, =2Sm-1+2②. (3分) 即(n-1)am=nan-1, (4分) 由①-②，得3am-3am-1=2am,即am=3am-1 所以- n则数列 为常数列，无单调 n (5分) 当n=1时，3a1=2a1十2，解得a1=2,(7分) 性，故数列 不是单调数列. (6分) 所以{am}是以2为首项，3为公比的等比数列，所 (2)由(1)可得2-a1=1,所以a,=, 以am=2X3m-1,n∈N. (8分) n 1 (2)不存在3项dm,de,d,(其中m,,p成等差 所以am·24m=n·2". (8分) 数列)成等比数列. (9分) 所以Tm=1·2+2·22+3·23+…+n·2m①， 理由如下： 2Tm=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)·2m 依题意得am+1=am十(n十2-l)dm,即2×3”=2 十n·2+1②， (10分) 由①-②，得-Tm=2+22+23+…十2-n· X31+m+1Dd.,解得d,=4X3 n+1· (12分) 2*1_21-?）-n·21=-2-(6m-10…2, 假设存在3项dm,d。,d。成等比数列（其中m十 1-2 力=2k),则d=dmd, (14分) 所以Tm=(n-1)·2+1+2. (15分) 17.(1)解：因为Sn=2am一6n, 即（终广-， m+1+1, 故当n=1时，a1=S1=2a1-6,解得a1=6. 整理得k2=mp. (3分) 联立m十p=2k,解得m=p=k,这与已知条件 (2)证明：因为Sm=2an一6n, m≠p≠k矛盾， (16分) 则Sm+1=2am+1一6(n十1)， 所以不存在3项dm,d。,d。(其中m,k,p成等差 所以an+1=Sn+1-Sn=2an+1-6(n十1)-2an 数列)成等比数列. (17分) 十6n,即am+1=2an十6， 19.解：(1)因为n,am,Sm成等差数列，所以Sm十n= 所以am+1+6=2(am+6), (6分) 2am①， B ·6· ·数学· 参考答案及解析 所以Sm-1十n-1=2am-1(n≥2)②， (21与）-111a∈N.8分) 1 由①-②，得am十1=2am-2am-1,于是an十1= (2)因为bm+1=2b.-2n十3，所以bm+1 2(am-1+1)(n≥2). (2n+1)=2[bn-(2n-1)]=…=2"(b1-1)=0, 又S1+1=2a1,所以a1=1,所以a1+1=2, 所以{bn一(2n一1)}是各项均为0的常数列，所 所以数列{am+1}是以2为首项，2为公比的等比 以bn=2n-1, 数列，所以am十1=2·2"-1=2”，即an=2m-1, 所以bm+1一bm=2,所以{bn}是以1为首项，2为 公差的等差数列. (13分) n∈N'. (5分) 又a1=1,a2=3,a3=7,a4=15,a5=31,a6=63, 所以a。十1 2 1 a.·a+1=(2-10(2+1-1）=2-1 b32=63,b36=71, 所以c1十c2十…+c0=(b1十b2+…+b6) 2"+1-11 a,+a2+…+6)=36×1+71 -[(2+22+ 2 所以工.=-》+（合）+…十 …+2)-6]=362-27+8=1176. (17分) 2025一2026学年度单元过关检测（十三） 数学·直线与圆的方程 一、选择题 25 则圆心到直线L的距离d= 11×1=m2, √(3)+(-1)2 1.C【解析】根据两直线平行，可知 解 3m≠1×(-5)， √3，所以|AB=2√r2-d=222-(3)=2. 得m=土1， 6.D【解析】设y-3x=m,将其看作直线3x一y十 2.A【解析】若l1⊥l2,则a2-3a=0,解得a=0或 a=3,所以“a=0”是“l1⊥l2”的充分不必要条件. m=0,由直线3x-y+m=0与圆(x-3)2 3.C【解析】将圆的方程化为标准方程得(x一1)2 +(y一4)2=3有公共点，得圆心(3,4)到直线的 +(y一2)2=5，所以圆心坐标为(1,2)，圆的半径 距离小于或等于周的半径5，即3X3一4十m≤ √10 为√5，直线kx一y-2k+3=0(k∈R)可化为 k(x-2)-y十3=0(k∈R),恒过定点(2,3).因 √3，解得-5-√30≤m≤-5十√30，所以m的最 为(2-1)2+(3-2)2=2<5，所以点(2,3)在圆 大值为√30一5，即y-3x的最大值为√30-5. 内，所以直线与圆相交. 4.C【解析】由题意知，当|AB|取最小值时，点 (b+1=一1， a-0 M(1,2)为弦AB的中点，此时CM⊥AB,又 7.B【解析】设Q(a,b),则 解 a+0b-1 |CM=√5，则|AB=2×√9-5=4，所以 (2-2+1=0, 得a=一2，b=1,所以Q(一2,1).又因为Q在C Sc=21AB|XCM=2×4X,5=25. 9 5.B【解析】圆O:x2+y2=4的圆心为O(0,0),半 上，所以4十1-2m十4=0，解得m= 2,经检验， 径r=2,直线l:y=√3(x十2)，即3x-y十2W3=0, 符合题意 。7· B