单元过关(十一)数列的概念、等差数列与等比数列-【衡水真题密卷】2026年高考数学单元过关检测(B版)

·数学· 参考答案及解析 参芳答案及解析 2025一2026学年度单元过关检测（十一） 数学·数列的概念、等差数列与等比数列 一、选择题 期数列，3是它的一个周期，则a1o8=a3+3x35=a3 1.C【解析】12=1×12=2×6=3×4，所以d(12)=6. 、1 -2 2.A【解析】设等差数列{am}的公差为d, a4+as=2a1+7d=24, a1=-2, 7.C【解析】由a3十a18>0,得a1十a2o=a3十a18> 则 解得 所以 S6=6a1+15d=48, d=4, 0,所以S20 20(a1+a20）=10(a1十a0)>0,故 2 an=-2+4(n-1)=4n-6,令an=4n-6≥0，则 n≥，又周为n∈N,所以用n=2 A错误；由Sg<0,得S,=19(a十a)_ 2 4 4 3.C【解析】由a:=3,a+1=2-0.,可得a:=2-3 19X2a10-=19a6<0,即ao<0,又因为aw十au 2 =a3十a18>0,所以a11>0,故C正确；a6十a17= 42 e=4,a3=2-(-4)=3a4三、） =3,a5= 2一3 2 a1n十a12>0,故B错误；由C可得d>0,且 a11=a1+10d>0 一4，…，可知{an}是周期数列，3是{an}的一个周 a1o=a1+9d<0 0解得-10<告<-9，故D 期，故蜡合选项可得号不是a中的项。 错误 4.B【解析】因为等比数列{am}中的各项均为正数 8.B【解析】因为数列{am〉，{bn}均为等比数列，所 且a4=a3十2a2,所以q2=q十2，解得q=2或q= 以设am=a1q1-1,bm=b1981, -1(舍去)，故a7十ag十ag=(a1十a2十a3)g°= 又am-1,bm,am+1成等差数列，可得2bm=am-1十 7×26=448. am+1,即2b1q2-1=a19-2+a190, 5.C【解析】依题意，令这个等差数列为{an},a1=2, 令m=2,有2b2=a1十a3,即2b1q2=a1+a1qi; am+2=14,a2=a,am+1=b,则a十b=a2十am+1= 令m=3,有2b3=a2十a4,即2b1q3=a1q1十a1qi, etaa=16.周t日+g-高a+6>g+g）- 若{an},{bn}有相同的首项，即a1=b1,可得 2q2=1+q1, 10++)≥1，当且仅当-。 a=6,即6-3a= 解得q1=q2,故充分性成立； 2q2=q1+qi, 12时学号成主，所以+号的最小值是1 若{an},{bn}有相同的公比，即q1=q2,可得 2b1q-1=a1q"-2十a1q",化简得2b1q1=a1十 6.C【解析】由anam+1=an一1知，an≠0，则am+1= a1g1,假设q1=-1,则a1=-b1, 12 11,又a1=3,所以a2=133ag=1-1/ 所以a1和b1不一定相等，故必要性不成立， 所以“{an},{bn}有相同的首项”是“{an},{bn}有 =1-8=-a 之，红4=3，a5二，·，所以4》是周 相同的公比”的充分不必要条件 1。 B 真题密卷 单元过关检测 二、选择题 三、填空题 9.ABC【解析】对于A,在等差数列{an}中，2a8= 12.128150【解析】根据题意，从2019年开始，每一 a十ag-16,解得ag=8,故A正确； 年新能源汽车的产量构成等比数列，设为{am}, 15(a1+a15) 则a1=5000,公比q=150%=1.5,所以am= 对于B,S15= =15a8=120,故B正确； 2 a19”-1=5000×1.5m-1,则2027年全年约生产 对于C,a3十a13=2a8=16,故C正确； 新能源汽车ag=5000×1.58≈128150辆. 对于D,令{am}的公差为d,则a16=a8十8d=8+ l3.8【解析】由题设得，当n≥2时，an=Sm一Sm-1= 8d,而d不确定，a16=16不一定成立，故D错误. (n2-9n)-[(n-1)2-9(n-1)]=2n-10;当 10.ABD【解析】对于A,由0<a1<1,a224a225> n=1时，a1=S1=-8,显然满足上式，则am= 1,a221 'a2-i<0,得0<a24<1,a2s>1,所以 2n-10,由于5<ak<8,则5<2k-10<8,解得 <E<9,又k∈N",则6=8 15 q>1,故A正确；对于B,a2o24a2026=ao25>1,故 B正确；对于C,结合A可得等比数列的公 14.(-∞，-1013)【解析】当n=1时，a1=1+t; 比q>1,所以{an}为单调递增数列，且0<a2o24 当n≥2时，am=n+t,am-1=(n-1)十t=n十 <1,a2o25>1,所以Tn的最小值为T2o24,故C错 t-1, 误；对于D,T4o4?=a1a2a3…a4o47=a登8<1，故 则am一am-1=(n十t)-(n+t-1)=n十t-n一 D正确. t十1=1，则{an}是首项为a1=1十t,公差为1的 11.AC【解析】对于A,因为{am}是正项数列，则 等差数列.由题意知，S,=1十t十n十)加 2 an an-1>0, am+1 解得am>1,所以a2o25>1,故 a+a+1,故.5，-+2023×2025<0， 2 am>0, 故t<-1013,即t的取值范围为(-∞，一1013). A正确； 四、解答题 对于B,若am=2,满足am+1 an-,故B错误； an 15.解：(1)在数列{an}中，因为am+1=2am十n一1， Tn+2 a+1 即am+1十n十1=2(an十n), (3分) 对于C,因为 T. 三an+1·an十2 ax+1-1=am+1 又a1+1=2, (5分) an+1=aa+十a+?=S+2-S.,故C正确， an+1 所以数列{am十n}是首项为2，公比为2的等比 数列，所以am十n=2×2-1=2", (8分) 对于D,因为am>1,则am-1>0, 所以{am}的通项公式是am=2”一n,n∈N*. -1-am-1+1 则a,十at1=a,十a 7+2公 (10分) 2.-0·at2=4,当卫收当a.-1 (2)由(1)知bn=1, 所以{bn}的前n项和Tm=n,n∈N'. (13分) a,—1即a。=2时，等号成立，可得Sn= 1 16.解：(1)因为{am}为等差数列，故设公差为d, 由于a1=1,S3=9, 含a1十a)≥24=4n,当且仅当a1=a: i-1 .a1=1, d=2, 所以 解得{ (4分) …=a2m-1=a2n=2时，等号成立，故D错误. 3a1+3d=9,a1=1, B ·2 ·数学· 参考答案及解析 所以an=2n-1,n∈N*. (6分) (2)解：由(1)可知{a2m-1}是以1为首项，3为公 1 1 (2)因为 差的等差数列， nan+1-(2n-1)(2n十1) 所以a2m-1=1+3(n-1)=3n-2. (6分) (8分) 同理可得a2n=a2m-1十1=a2m-2十3. (8分) 所以T.=+1十+1 又因为a2=a1十1=2， ala2 aza3 anan+l 所以{a2m}是以2为首项，3为公差的等差数列， 1 1 (10分) 故a2m=2+3(n-1)=3n-1, )=n4T (10分) 则a2m-1十a2m=3n-2+3n-1=6n-3. 则T.<2,又1og2V3>1ogzN2= 所以S2m=(a3十a4)十(a1十a2)十…+(a2m-1十a2m) 2 =3+9+…+(6n-3) 所以T.<log2√3. (15分) _(3+6n-3)·m=3m. (12分) 17.解：1)由题意知，当n≥2时，a=” 2 am-1n-1' 11 (2分) (3)证明：因为s=3n,所以g云3亦.(13分) 所以a,=an a3.a2.a 112222 an-1 a2 al 因为53m-行·4<3·4n2-可 n1… 32 2·斤·2=2m (5分) 当n=1时，a1=2满足am=2n. (6分) 所以 综上，am=2n,n∈N*. (7分) 4 (2)由(1)知，b.=a,a+2 4 11 2n·2(n+2) (10分) 3, .(17分) 所以s--++号++ 1 19.(1)证明：因为等差数列{am}满足a1=1,ag= 2√2+1， 1 所以公差d=a,二=2，所以a.=2n十1-2， 3-1 3 2n+3 42(m+1)m+2),n∈N'. (15分) (3分) 18.(1)证明：因为在数列{am}中，a1=1, 所以8=a+au-号+h》, 2 (am十1，n为奇数， an+1= am十2，n为偶数， (5分) 所以a2m+1=a2m十2=a2m-1十1十2=a2m-1十3， 2 (3分) 所6-+1-》} 所以{a2m-1}是以1为首项，3为公差的等差数列. (4分) 2n+12 √ 2 ·3· B 真题密卷 单元过关检测 假设an,am,a是成等比数列， (10分) 2n- 则[1+√2(m-1)]2=[1+2(n-1)][1+ -》- (7分) √2(k-1)],即2(m-1)2-2(n-1)(k-1)= √2(n+k-2m), (12分) 故6，}是公差为 的等差数列，且6， √2 2n+ 因为m,n,k∈N*, 1 (n+k-2m=0, (8分) 所以 (14分) (m-1)2=(n-1)(k-1), (2)解：设{am}中任意三项am=1十√2(n一1)， 所以(k-n)2=0,即k=n,与an≠a矛盾， am=1十√2(m-1),ak=1十√2(k-1),且am卡 所以{am}中任意三项不能构成等比数列. am≠ak, (17分) 2025一2026学年度单元过关检测（十二） 数学·数列的通项公式和求和 一、选择题 又a5十a12=ag,即a5十a12=ag十ag=ag,则a8=0, 1.B【解析】因为数列{an}为等比数列，a1=102,公 所以S1s= 15(a1+a16）=15a8=0. 2 比g=2,所以a.=102 ,所以a4= 6.B【解析】因为Sm=(2Sm十1)Sm+1,a1=1, 162×》- 12Sm+111 所以S ,即 1s-2,又1 S1 a 2.A【解析】由于集合M={mm=2n-1,n∈N* 1,听以后是有城为1，会运为？的等运线到， 且m<60},即M={1,3,5,7,…,59}, 故M中共有30个奇数，构成以1为首项，2为公 所以 =2m-1,则S.=2m-1' 1 1 S 差的等差数列，所以S0 30×(1+592=900. 1 112 2 故Sn=21a=S。-S4=g-7= 63 3.A【解析】依题意，a1=1000,am+1=(1十50%)am一 所以a5 x1=-号 2 50-号.0 Su 7.D【解析】令an=(一1)"，满足{am}是等比数列， 4.A【解析】因为am+1一an=2n,所以由递推公式可 但此时S2m=0,Sm,S2m,S3m不成等比数列，则p 得am-am-1=2(n-1),am-1-am-2=2(n一2)， 不能推出g:令=1，m1, 则Sm=S2m=S3m= …,a3一a2=2X2,a2-a1=2X1,等式两边分别 a,=0,n≥2， 相加，得am一a1=2X1十2×2+…+2(n一2)+ 1,满足Sm,S2m,S3m成等比数列，但此时{an}不 2(n-1)=2(1+2+3+…+n-2+n-1)=n2 是等比数列，则q不能推出p,所以p是q的既不 n,因为a1=33,所以am=n2-n十33. 充分也不必要条件. 5.A【解析】由at+2=2am+1一am,得an+2十am= 8.B【解析】因为6a1,a3,4a2成等差数列，所以2a3 2am+1,所以{am}为等差数列， =6a1+4a2, B 4点滴积累，山河可越 密 2025一2026学年度单元过关检测（十一） 6.已知数列{a.}满足a1=3,a.am+1=am一1，测a1s= () 班级 卺题 数学·数列的概念、 A R号 姓名 等差数列与等比数列 c D.-1 本试卷总分150分，考试时间120分钟. 7.记等差数列{a.)的前n项和为S.,公差为d,若a:十a1>0,Sg<0,则 得分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 A.S<0 B.a6十an<0 是符合题目要求的。 C.a11>0 De(-9-8 题号 1 2 5 6 7 8 8.已知数列{a。},(b.}均为等比数列且对Hm∈N,且m>1,am-1,bm,am+1成等差数列， 答案 则“{a。},b.}有相同的首项”是“{a.},{b.}有相同的公比”的 () 1,除数函数y=d(n)(n∈N)的函数值等于n的正因数的个数，例如，d(1)=1,d(4)=3, A.充要条件 B.充分不必要条件 则d(12)的值为 () C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 A.2 B.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 C.6 D.8 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 2.已知等差数列{a.)的前n项和为S。,a,十as=24,S。=48,若a.≥0，则n的最小值为 题号 9 10 11 () 答案 A.2 B.3 C.4 D.5 9.已知(a.}是等差数列，S.是其前n项和.若a?十a。=16,则下列各式一定成立的是 () 3.在数列{an}中，若a1=3,a+1=2-a 4 ,则下列不是{a。}中的项的是 A.ax=8 B.Ss=120 C.aa十aa=16 D.a16=16 A.-4 R号 10.设等比数列{a.}的公比为q,前n项积为T.,且满足条件0<a1<1,aza2s>1, c a202-1 a脑一1下0，则 () D.3 4.已知等比数列{a,}中的各项均为正数，若a1十a2十a=7,a,=ag十2ax,则a?十ag十ag= A.q>1 B.a:202>1 D.T44t<1 () C.T.的最小值为Ts A.224 B.448 1.已知正现数列a,满是a。二记a,的前a项和为5，前n项积为工则 C.588 D.896 () 5,在2和14之间插入m个数，使得这m+2个数成等差数列.若这m个数中第1个数为 A.a:0s>1 。,第m个数为6，则+名的最小值是 () B.{a,)不可能为常数列 A号 B是 C.-5. C.1 D.2 D.S2>4n 单元过关检测（十一）数学第1页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十一）数学第2页（共8页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 12.某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2019年全年生产新能源汽车5000辆.若在后 15.(13分)已知数列{a。}满足a1=1,4+1=2a。十n一1. 续的几年中，后一年新能源汽车的产量都是前一年的150%，则2027年全年约生产新 (1)求{a.}的通项公式： 能源汽车 辆（结果精确到1,1.5≈25.63,1,5≈17.1）. （2若数列么满足6，=“，求6.的前n项和工 13.已知数列(a.)的前n项和S。=2一9n,若第k项满足5<a,<8,则k= 14.已知数列{a,)的通项公式为a.=n十t,S.为{a.)的前n项和，若S2s<0,则实数t的 取值范围为 B 单元过关检测（十一）数学第3页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十一）数学第4页（共8页） 16.(15分)已知数列{a.}为等差数列，S。为{a.}的前n项和，a1=1,Ss=9. 17.15分)已知数列a.满足a1=2,+-n+史 a.n (1)求{a.}的通项公式： (1)求{a.}的通项公式： 一，比较T。与1og2√3的大小. aa+ （2)设6，=4，求数列6.}的前n项和S anav+2 单元过关检测（十一）数学第5页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十一）数学第6页（共8页） [a。十1，n为奇数 19.(17分)已知数列(a.)为等差数列，a1=1,a1=22十1，前n项和为S。,数列b.)满足 18.(17分)已知数列{a.}的前n项和为S.,且a1=1,a+1= a。十2，n为偶数. 6- (1)证明：(aam-1}是等差数列. (1)证明：{b.》为等差数列，并求其通项公式 (2)求S, (2)探究{a,}中任意三项是否可以构成等比数列？ 11 1 ,12 (3)证明：5+5++s十S<3 女 单元过关检测（十一）数学第7页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十一）数学第8页（共8页）