单元过关(十)空间向量与立体几何-【衡水真题密卷】2026年高考数学单元过关检测(B版)

今天放过一道错题，明天多一道障碍 2025一2026学年度单元过关检测（十） A.geti-e B.-jatiete 班级 卺题 数学·空间向量与立体几何 c-2-b+20 D.-2a-b+e 姓名 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 5.若{e1,e2,e:}是空间的一个基底，且向量(e1十e2,eg十e1,3e1十te,}不能构成空间的一 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 得分 是符合题目要求的。 个基底，则= A.-3 B.-2 题号 6 7 答案 C.-1 D.0 1.已知在正方体ABCD-A'B'C'D'中，F是侧面CD'的中心，若A京-AD+xA店+yAA, 6.正四棱台在古代被称为“方亭”，在中国古代建筑中有着广泛的应用.例如，古代园林中 则x十y的值为 () 的台榭建筑常常采用这种结构，台上建有屋宇，称为“榭”，这种结构不仅美观，还具有广 A号 B.1 c D.2 瞻四方的功能，常用于观赏和娱乐.在正四棱台ABCD-A'B'C'D'中，AA'=1,AB=2, 2.已知正方体OABC-D'A'B'C'的棱长为a,点N,M分别在AC,BC'上，且AN=2CN, ∠BAM-则AC= () BM=2MC',则MN的值为 () A.2 B.5 A号 B号 c号 n C.6 D.3 3.已知u=(3,a十b,a一b)(a,b∈R)是直线1的方向向量，n=(1,2,3)是平面a的法向 7.在正方体ABCD-A:B,C1D1中，E为棱AB的中点，则异面直线D1E与B1D所成角的 量，若1上a,则a,b的值为 () 余弦值为 () Aa=-b- 15 ca=6- 3 15 D.a=2b=-2 n 4.如图，在正四棱锥P-ABCD中，E为棱PA的中点，设DA=a,DC=b,DP=c,则用 a,b,c表示BE为 () 8.已知正方体ABCD-A:B1C1D1的棱长为2，点E是上底面正方形A1B1C1D1的中心， 点F是正方体棱上的点，以点A为坐标原点，AB,AD,AA:所在的直线分别为x轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系，若平面BEF的法向量为n=(8,2,3),则点F所在的棱可 以是 () A.AD B.CD C.CC D.DD 单元过关检测（十）数学第1页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十）数学第2页（共8页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 13.在三棱锥P-ABC中，AB与PC的中点分别为M,N,点G为MN中点.若D在PA上 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 且满足P币-名P六，E在PB上且满足P陀-子P店，平面DEG交PC于点F,且P序 题号 10 11 PC,则a= 答案 14.如图，在四棱锥A-EBCD中，AE⊥平面BCDE,底面EBCD是∠E为直角，EB∥DC 9.若{a,b,c}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是 () 的直角梯形，且CD=2EB=2AE=4,DE=23,点F为AD的中点，则F到直线BC A.b+c,b:b-c B.aa+b,a-b 的距离为 C.a+b,a-b,e D.a+b,a+b+c,c 1 10.在三棱柱ABCA,B,C1中，AA1=AB=AC=2,co8∠BAA1=cOs∠BAC=Os∠CAA=4, B1C1的中点为O,则 () A.B,C=AC-AB BB0-AG+号丽-号Ad 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A:BC1D1中，E,F分别为DD1,BD的中 C.AO-AA+7AB+TAC D.IA 点，点G在线段CD上，且CG=CD. 1.如图，在斜三棱柱ABCA,B,C中，∠BAC=,∠BAA,=∠CAA,=了AB AC=1,AA1=2,点O是B:C与BC1的交点，则 () (1)证明：EF⊥BC. (2)求EF与CG所成角的余弦值」 AAd-2A正+AC+AA B1A0- 2 C.AO⊥BC D.平面ABC⊥平面B1BCC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在空间直角坐标系中，A(1,0,0),B(2,-1,3),C(2,0,1),则AB在CA方向上的投影 向量的坐标为 单元过关检测（十）数学第3页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十）数学第4页（共8页） 16.(15分)在如图所示的平行六面体ABCD-A:B1C1D1中，∠A1AB=∠A1AD=45°， 17.(15分)如图，在直三棱柱ABCA:B1C1中，AB⊥AC,AB=AC=AA:,点E,F分别 ∠BAD=60°，AB=1,AD=2,AA1=2V2 为棱AB,A1B:的中点， (1)求AC1的长度： (1)证明：AF∥平面B,CE (2)求二面角B-AA1D的大小： (2)求直线C:E与直线AF夹角的余弦值， (3)求平行六面体ABCD-A1B:C,D1的体积. 单元过关检测（十）数学第5页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十）数学第6页（共8页） & 18.(17分)如图(1)，在五边形ABCDE中，ED=EA,AB∥CD,CD=2AB,∠EDC 19.(17分)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AF⊥平面ABCD,EF∥AB, =150°，将△EAD沿AD翻折到△PAD的位置，得到四棱维P-ABCD,如图(2)，点M AD=2,AB=AF=2EF=1,点P为棱DF的中点 为线段PC的中点，且BM⊥平面PCD (1)证明：BF∥平面APC. 1】 图(2) (2)求平面ACP与平面BCF夹角的余弦值， (1)证明：PA=AD (3)求点F到平面ACP的距离. (2)若直线PC与AB所成角的正切值为2，求直线BM与平面PDB所成角的正弦值. 单元过关检测（十）数学第7页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（十）数学第8页（共8页）真题密卷 单元过关检测 器0- (1分) 则cM=vc-M-√g-(T =5, 因为PF=2FC, AE 2 器日， (2分) 由于CM/EN,又因为瓷-号x-长- 可得EF∥PA, (3分) 3,可得EN= 3 (12分) 又EFC平面BDF,PA中平面BDF, 所以△ABE绕直线AB旋转一周所得几何体的 所以PA∥平面BDF (5分) (2)解：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥ 表面积是两个底面半径均为2 3 ,高均为2的圆 CD,所以∠CBA=∠DAB, 锥的侧面积之和， (15分) 又因为BC=AD,AB=BA,可知△CBA≌ △DAB,所以AC=BD, (7分) 故所得几何体的表面积S=2×π× 23X 3 且AE-号AC,BE-号BD,即AE=BE,(8分) 2W3 3 +22-16 在等腰梯形ABCD中，作CM⊥AB,EN⊥AB, (17分) 垂足分别为M,N, (10分) 2025一2026学年度单元过关检测（十） 数学·空间向量与立体几何 一、选择题 “写期得8-6=是 1.B【解析】A京-Ad+D庐=AD+2DC-A+ 4.C【解析】由图可得，BE=BA+AE=-D元+ D成+Cd)-Ad+号(ai+a)=A市+ 号萨-元+名成-成)=-b+2c20 A店+号AA,所以z=y-2,所以x+y=1 2.D【解析】依题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 06+0 5.A【解析】由题意，{e1,e2,e3}是空间的一个基 底，设a=e1十e2,b=e2十e3,c=3e1十te3, D' 所以a,b不共线， A B 因为a,b,c不能构成空间的一个基底，则a,b,c 共面，所以存在x,y∈R使得c=xa十yb, 即3e1+te3=x(e1+e2)+y(e2+e3)=xe1+ (x+y)ez+ye3, 3=x, "x 所以0=x十y,解得x=3,y=-3,t=-3. 因为正方体OABC-D'A'B'C'的棱长为a,点N, t=y, M分别在AC,BC'上，且AN=2CN,BM= 6.B【解析】在正四棱台ABCD-A'B'C'D'中，AA' 2Mc,*以Mga,)Ng台o =1,AB=2,∠BAA'=T, Γ3 所以|MN|= /oa24a2√5a 9+9=3 在侧面ABB'A'中，得AB'=AB-2AA'cos3 3.B【解析】由1上a得u∥n,所以3=a十白 12 2-2×1×2=1) B ·34· ·数学· 参考答案及解析 8瓷-样ACd 合题意，所以F不在AD上，故A错误； 设AB=a,AD=b,AA7=c,则|a=2,|b=2, 对于B,若F在CD上，则y=2g=0,z= 2,特 c|=1, 合题意，所以F可以在CD上，故B正确； 4 所以AC-AA+AC-AA+?AC-AA+ 对于C,若F在CC上，则x=2,y=2,之= 3, a+a)=2a+2b+e, 不符合题意，所以F不在CC1上，故C错误； 对于D,若F在DD1上，则x=0,y=2,之=4，不 符合题意，所以F不在DD1上，故D错误. 则ac1=a+b+e) =aP时+lp+ae时6e+a 1 /1 =√屋×1+4×4+1+2X1X2+2x1X日 1 4 =5. 二、选择题 9.ABD【解析】对于A,因为b-(b十e)+（6 c)],故b+c,b,b一c共面，故A正确； 对于B,因为a=)a+b)+a-b)],故a,a 7.A【解析】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，建立 b,a一b共面，故B正确； 如图所示的空间直角坐标系，令AB=2, 对于D,因为c=a+b十c-(a十b),故a十b,a+ b十c,c共面，故D正确； 对于C,若a十b,a一b,c共面，则存在实数入，h, B 使得c=入(a十b)十u(a-b)=(a十)a+(-u)b, 此时a,b,c共面，这与{a,b,c》构成空间的一个基 底矛盾，故C错误. 10.ACD【解析】对于A,由题意得B1C,=BC =AC-AB,故A正确； 则D(0,0,0),B1(2,2,2),D1(0,0,2),E(2,1, 对于B,d-B丽+B0-aA+2B,C-AA+ 0),D1E=(2,1,-2),DB1=(2,2,2), D1E·DB d-应)--花+号花，成B餐保 因此cos(D1龙，DB)= 2 IDEIDB 3×2W3 对于C,A0-A店+B0-A店+AA-2A店+ 二，所以异面直钱D,E,BD所成商的余孩值 2AC=AA+2A正+)AC,故C正确： 对于D,易知Ad:=(AA+2A店+2AC) 8.B【解析】由题意得B(2,0,0),E(1,1,2), 设F(x,y,z)(0≤x,y,之≤2)，则B庐=(x-2,y, =A:+是A+}AC+AM·店+AA· x),EF=(x-1,y-1,z-2), 花+脑，-4+1+1+1+1+日号，故 因为n=(8,2,3)是平面BEF的法向量， 所以n·E京-8(x-1+2y-1D+3(e-2》=0, |d-,故D三魂 n·BF=8(x-2)+2y+3z=0, 11.ABD【解析】对于A,因为Aò=AB+Bò=AB 即8x+2y+3z-16=0. 对于A,若F在AD上，则x=0,之=0，y=8,不符 +2(成+丽)=A花+2(d-店+A ·35· B 真题密卷 单元过关检测 -2(应+AC+A,故A正痛； E,F四点面，所以+日十日1，解得=号 对于B,不妨设AB=a,AC=b,AA1=c,则{a, b,c}构成空间的一个基底. 依题意有a=|b=1,|cl=2,a·b=0,b·c= 1ac=-1,由A可得，Ad-号a+b+c), 则a01-}a2++e2+2ab+2bc+2a· 。)=1+1+4+0+2-2)-2则动- 14.37 2 【解析】由题意知，AE⊥平面BCDE,BE, 2’ EDC平面BCDE,所以AE⊥BE,AE⊥ED, 故B正确； 又BE⊥ED,故以E为坐标原点，EB,ED,EA 对千C国为成=b-a,放访.成=a十b十 所在的直线分别为x,y,之轴，建立如图所示的空 间直角坐标系， 1 c):(h-a)=2(-1+1+1+1)=1≠0，故C 错误； 对于D,如图，取BC的中，点E,连接AE,则A它 -(店+A心)-a+b, 6 B 因为AB=AC,E为BC的中点，所以AE⊥BC 则A(0,0,2),B(2,0,0),C(4,2√3,0)， 又a应.B=a+b)e=ac+bc) D(0,23,0),F(0,N3,1), -2(-1+1=0,故AE1BB 所以BC=(2,23,0),F=(2,-5,-1), 因为BC∩BB1=B,BC,BB1C平面B1BCC1, 记c -（传。-，D. BC 所以AE⊥平面B1BCC1,又AEC平面ABC,故 平面ABC⊥平面B1BCC1,故D正确. 则a-4+9+-2ae=1- 所以F到直线BC的距离为d=√a2-(a·c) 1√31 =8-4=2 四、解答题 15.(1)证明：以点D为坐标原点，DA,DC,DD1所 在直线分别为x轴，y轴，之轴，建立如图所示的 三、填空题 空间直角坐标系， 12.(2,0,2)【解析】A(1,0,0),B(2,-1,3), C(2,0,1),则AB=(1,-1,3),CA=(-1,0,-1), 所以AB在CA方向上的投影向量为 B.CA. CAl E Ci-4.(-1,0,-D=2,0,2. CA√2 √2 D 13.号【解析】由题高可知，P店=号Pi+P) 是PA+Pi+P心，因为Pi-Pi.Pi- 则E00,2）r(号20），B111D.c0,10, 庞，心-， 则成-（分安-》，BC-(-10,-1D, 所以成=币+成+员萨，因为点G,D 所以萨.B衣=3×(-1)+0+(2)× B ·36· ·数学· 参考答案及解析 (-1)=0,即E京⊥B1C,所以EF⊥B1C.(6分) (3)由(2)知BE⊥平面ADD1A1,而四边形 (2)解：由1)知，G(0,0）,CG=(o,-子，0， ADD1A1的面积S=AA1×DF=4, 则平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积V=4 ×(》 X BE=22 (15分) 则cos〈E,C元)= . 17.(1)证明：因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以 IEFII CGI √5、1 3十 AB∥A1B1,AB=A1B1, 4 又点E,F分别为棱AB,A1B1的中点，所以AE ∥B1F,AE=B1F, 3, (12分) 所以四边形AEB,F是平行四边形，所以AF∥ 因为EF与CG所成角的范围为 π 0,2 ,所以其 B1E,又AF中平面BCE,B1EC平面B1CE, 故AF∥平面B1CE. (5分) 所成角的余紫值为 (13分) (2)解：如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB ⊥AC,以A为原点，以AB,AC,AA1所在直线 16.解：(1)根据图形可知AC1=AB+BC+CC 分别为x,y,之轴，建立如图所示的空间直角坐 =AB+AD+AA:, 标系， (6分) 则AC1?=AB+AD+AA2=AB2+AD2十 C AA2+2AB.AD+2AD·AA1+2AB·AA= 1+4+8+2×1X2cos60°+2×2×2W2cos45°+2× 1X2√2cos45°=27. 则|AC=33. (4分) (2)如图作BE⊥AA1于点E,DF⊥AA,于点 F,则EB,FD的夹角等于二面角BAA1D的 不妨设AB=AC=AA1=2,则A(0,0,0), 平面角， (5分) C1(0,2,2),E(1,0,0),F(1,0,2), 于是C1E=(1,-2,-2),AF=(1,0,2),(8分) 设直线C1E与直线AF的夹角为0， 则c0s9=cos(C正，A1=1C应.Aà CEAFI 1-3|√5 3X5 5 因为∠A1AB=∠A1AD=45°，AB=1,AD=2, AA1=2√2， 做直线C,F与直线AF夹角的余脱值为 所以AE=AB·s45-号，AF=AD·s45 (15分) 18.(1)证明：取PD中点N,连接AN,MN, ,放BR-怎，DF=E 易知E丽.F币=(EA+A).(A+A)=EA· FA+EA.AD+AB.FA+AB.AD 1+x2X cos 135+2X1Xcos 135+1x 因为点M为线段PC的中点，所以MN∥CD且 2Xc0s60°=0， (8分) MN-CD, EB.F市 因为AB∥CD,CD=2AB,所以MN∥AB且 所以cos(EB,FD) =0,所以 |EB|·|FD MN=AB, 弦，Fi= 故四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN, 因为BML平面PCD,所以AN⊥平面PCD, 即二面角BAA-D的大小为受 因为PDC平面PCD,所以AN⊥PD, (10分) 由三线合一得PA=AD. (4分) ·37· B 真题密卷 单元过关检测 (2)解：由(1)得EA=AD,又因为ED=EA,所 以△EAD为等边三角形， 故直线BM与平面PDB所成角的正弦值为2,7 故∠EDA=60°，因为∠EDC=150°，所以 (17分) ∠CDA=90°，即AD⊥CD, 19.(1)证明：连接BD,交AC于点O,连接PO,由 由(1)可得，AN⊥平面PCD,又CDC平面 P,O分别为DF和DB的中点，得BF∥PO, PCD,则AN⊥CD,因为AD∩AN=A,AD、 而POC平面APC,BF丈平面APC,所以BF∥ ANC平面PAD,所以CD⊥平面PAD,(6分) 平面APC. (4分) 因为PDC平面PAD,所以PD⊥DC,因为AB∥ CD,所以直线PC与CD所成角的正切值为？，即 在MD中，a∠cp-设-放cD >D 2PD,设PD=1,则AD=AB=PA=1,CD=2. (2)解：由直线AF⊥平面ABCD,AB,ADC平 取AD的中点F,连接PF,取BC的中点H,连 面ABCD,得AF⊥AB,AF⊥AD, 接FH,则FH⊥AD, 由矩形ABCD,得AD⊥AB,以A为坐标原点， 因为PFC平面PAD,所以CD⊥PF,由三线合 AB,AD,AF所在直线分别为x,y,之轴，建立如 一得PF上AD, 图所示的空间直角坐标系， 因为CD,ADC平面ABCD,CD∩AD=D, 所以PF⊥平面ABCD, (10分) 以F为坐标原点，FA,FH,FP所在直线分别为 x,y,之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),F(0,0,1), p1》 BC=(0,2,0),BF=(-1,0,1),AC=(1,2, 则（号1，or(o,0,）c(-22,0), 0-(1,号》 (6分) 设平面BCF的法向量n=(x,y,z), M-,9）p(-2oo 则 n·BC=2y=0, n·B京=-x十z=0, 令之=1，得n=(1,0,1), -(,）Pi=1,-》 (8分) 时-(0，-） (12分) 设平面APC的法向量为m=(a,b,c), m·AC=a十2b=0, 设平面PDB的法向量为m=(x,y,z), 则 1 令b=-1, mP-3+y=0 m·Ai=b+2=0, 得m=（2,-1,2), (10分) m·P心--1， 所以平面ACP与平面BCF夹角的余弦值为 2x-22=0, n·m4_2W2 令x=1,得x=-3,y=3,故m=(-√3，W3,1), lcos〈n,m)=nm=V2X33 (14分) 设直线BM与平面PDB所成角为O, 故平面ACP与平面BCP夹角的余弦值为2, 3 (13分) 则sin0=|cos(BM,m)|= BM·m IBMm (3)解：由(2)知，平面APC的法向量m=(2, 33,√3 -1,2),而AF=(0,0,1), 44 2√7 9,3 7 所以点F到平面ACP的距离d=A萨·m-2 W16T161 ×√3+3+1 (17分) B ·38·