单元过关(八)平面向量及其应用、复数-【衡水真题密卷】2026年高考数学单元过关检测(B版)

·数学· 参考答案及解析 19.解：(1)若m=√2，假设函数f(x)为“可平衡”函 内的任意实数x,均有m·f(x)=f(x+k)+ 数，则√2f(x)=f(x十)十f(x一k)对于定义 f(x-k)成立，则有msinx=sin2(x十k)+ 域内的任意实数x成立， sin (),mcos 21-cos 2(k) 2 2 即2cosx=cos(x十k)十cos(x-k)对于定义 1-cos 2(x-k) 域内的任意实数x成立， 2 等价于(W2-2cosk)cosx=0对任意实数x均 所以m(1-cos2x)=2-2cos2xcos2k,整理得 成立， (3分) (2cos 2k-m)cos 2x+m-2=0.(13) 则2-2c0s&=0,即cos6=2 由上式对于定义域内的任意实数x均成立， ,k=2n元±4 可得m2, 即cos2k=1,2k=2mπ(n∈Z), (n∈Z), 2cos 2k-m=0, 故存在&=2mx士开m∈，使得f6x)=osx 即k=nπ(n∈Z), 所以存在m=2,k=nπ(n∈Z)满足题意， 为“可平衡”函数 (6分) 此时m的取值为2. (17分) (2)假设存在实数m,k(m≠0)，使得对于定义域 2025一2026学年度单元过关检测（八） 数学·平面向量及其应用、复数 一、选择题 6.C【解析】设AB=x,根据余弦定理可得BC2= 1L.C【解析】由题意可得cos(?-0）=0,至-g AC2+AB2-2AC·AB·cos∠BAC, 召十kx,k∈乙解得0=至-kx,k∈Z,根搭速 项可如，只有3平满足条件。 2.A【解析】根据题意，AB=(-1,cosa),BC= (2,0),CD=(2,2sin a),BD =BC +CD= 将BC=8,AC=10,0s∠BAC-代入可得8 (4,2sina),若A,B,D三点共线，则AB∥BD,则 有4cosa=-2sina,变形可得tana=-2. =102+x2-2X10×x×号，即x-12z+36=0. 3.B【解析】向量a=(2,2-x),b=(1+x,1),若 解得x=6.由于BC2+AB2=64+36=100= a∥b,则(2-x)(1+x)=2,解得x=0或x=1, AC,所以△ABC为直角三角形，故S=号×6×8 所以“a∥b”是“x=1”的必要不充分条件. =24. 4.A【解析】由单位向量a,b,得a|=1,|b=1, 7.D【解析】设之=x十yi(x,y∈R),则x2十y2= 又a·b=0,所以|c|2=(a十√3b)2=a2+23a· b+3b2=a2+3|b|2=4,所以c|=2, 4,所以z-e=x十yi-cosx-isin元=x+1十yi, 又a·c=a·(a+√3b)=a2+3a·b=|a|2=1, 所以|之-e|=|x+1+yi=√/(x+1)2+y= 所以oae)=日i治-名以ae)复 N+1+4-2=2+, 图为中y-所以-<x《日， 1 1 5.D【解析】由已知a≠0，因为a与b是共线向量， 所以3入∈R,使b=Aa,即2e1十ke2=入(e1- ,153 2e2),所以2e1+ke2=ae1-2λe2, 所以之-e的最大值为2×2+4=2 即？入：解得久=2，即的值为-4 DE·DADE.DB k=-2λ， 8.B【解析】由 k=一4， DA DB ·27· B 真题密卷 单元过关检测 得|D2Icos∠EDA=|D元|cos∠EDB,即coS∠EDA| 三、填空题 =cos∠EDB,所以，点E在∠BDA的角平分线 12.-1【解析】由题知，b在a上的投影向量为 上，设AB的中点为M, a·b D 1以专【解折】如因， M 因为DA=DB,所以点E在线段DM上， 不妨设DE=λDM,λ∈[0,1]， 所以CE=CD+DE=CD+λDM, 易知D成-Di+A成--2市， 由平面向量的加法法则可得AC=AB+AD, 所以成-市+x(-2ò)-(1-合)市+成， =店+萨=店+号市， 因为CE=xCB+yCD, A正=AD+D-号A店+AD, 所以x+y=1-含+A=1叶公 因为AC-XA花+A-A(?A店+A可)十 因为e®，川，所以x+y=1+含∈1，引 「，3 二、选择题 +号A)-(a+2)A市+（侵+）A脑， 9.AC【解析】由之2+4x十8=0，得（之十2）2=一4， 则之=-2士2i,则|之1|=|之2|=2√2，之1十之2= 所以 1 得入=以=号，因此以十=专 -4,21之2=8，z3十z3=0. (21+u=1, 10.ACD【解析】因为sinB=sin2A,所以sinB= 2 sin Acos A,由正弦定理可得b=2 acos A,又a 14.[-1,0]:-【解折】由立线1过王方形ABCD 3'sin A=22 =3,6=2,所以0sA=,8 的中心O且与两边AB,CD分别交于点M,N, 3,sin B= 得O为MN的中点， 4W2 7 则OM=-oN,QM.QN=(Q0+OM)·(Qd g,故A正确；又b<a,所以csB=9cos C- +ON)=Q0:2-0M2, -cos(A+B)=-cos Acos B+sin A sin B=3 由Q是BC的中点，得Qò1=1，又1≤|OM1≤ √2，则-1≤Q02-OM≤0， 故B错误；因为cosA=cosC,所以c=a=3,故 所以QM·QN的取值范围为[-1,0]； C正确：Sam=csnA=×2X3×22 1 令07=20P,则0元=20P=0B+(1 3 λ)0元，则0元=λO+O元-0心，即0元-O元= 2√2，故D正确. λOB-λOC,于是C7=λCB,即，点T在直线BC 11.ABC【解析】对于A,因为a为非零向量，若 a(b·c)=0,则b·c=0,故b⊥c,故A正确； 上，因此1O≥1，O≥2，则PM·P时 对于B,若(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2 (Pd+OM·(Pò+ON)=PO2-OMi, =0,故a=|b|,故B正确； 而1≤1OM1≤√2，因此PM.PN-Pò2-OM 对于C,因为[(a·b)c-(a·c)b]·a=(a·b)c· a-(a·c)b·a=(a·b)(c·a)-(a·b)(c ≥}-2=子所以P应，丽的最小值为子 a)=0,所以「(a·b)c一(a·c)b]⊥a,故C正确； 四、解答题 对于D,若a·c=b·c,则|a|·c|cos(a,c〉= 15.解：(1)x1=(1+3i)(3+mi)=3-3m+(9+m)i, |b|·lelcos(b,c),可得到la l cos(a,c)=blcos(b, (2分) c),不能确定a=b,故D错误. 因为之1是纯虚数， ·28· ·数学· 参考答案及解析 所以3-3m=0且9+m≠0，解得m=1.(4分) B 所以之=3+i. (5分) (2)由(1)可得x=3+i,x2=8+6i,即A(3,1), 25 B(8,6),所以OA=(3,1),OB=(8,6),(8分) 所以向量OA在向量OB上的数量投影为 OA·OB3×8+1×6 (1) =3. (13分) OB|√82+6 在Rt△A0C中，an∠AOC=23-5,所以 16.解：(1)f(x)=a·b=(2sinx,cosx)·(sinx, 2 cos x)=2sin2x++cos2x=1+sin2x =1+1-cos2x1 ∠A0c-, s红+ (4分) 2 则实际前进的速度大小为OC|=√22+(23) 2π =4 km/h, (8分) 故∫(x)的最小正周期为T= 2 =元. (6分) 故此人沿与水流方向成的方向前进，实际前进 (2)当cos2x=1时，即2x=2kπ(k∈Z),x=kπ (10分) (k∈Z)时， (10分) 速度的大小为4km/h. (2)如图(2)，设此人的实际速度为OD,水流速度 f)=一日ws2z+取最小值，且了化cm=1, 1 为OA,则游速为AD=OD-OA. D (13分) 故当f(x)取最小值时，x的取值集合为{xx= 23 kπ，k∈Z}. (15分) 17.解：(1)由acos C+√3 asin C-b-c=0及正弦 (2) 定理得sin Acos C+W3 sin Asin C-sinB-sinC 在Rt△AOD中，|AD1=25,OAI=2,(12分) =0. 所以1OD1=√J(2√3)-22=22km/h, 因为sinB=sin(x-A-C)=sin(A+C) 23 =sin Acos C+cos Asin C, CoS∠DAO= 2√33 (14分) 所以W3 sin Asin C-cos Asin C-sinC=0. (5分) 故此人应沿与河岸夹角的余弦值为的方向逆者 因为sinC≠0，所以W3sinA-cosA-1-0, 水流方向前进，实际前进速度的大小为2√2km/h (17分) 所以sin(A）-分· 19.(1)证明：由题意知AE=AD+D龙=AD+ 又0KA<x,故A=于 (8分) 号0C-Ad+号A应， (2)由题得△ABC的面积S=2 csin A=3,故 A应=A店+B萨-A应+就=店+}A市， (2分) bc=4① (10分) 又a2=b2+c2-2 bccos A,且a=2,故b2+c2= 又A护-A+号A心， 8②， (13分) 所以市=A萨-A花=名A店+号A市 联立①②得b=c=2. (15分) 18.解：(1)如图(1)，设人游泳的速度为OB,水流的 硒+分)-}店-}芯， (4分) 速度为OA,以OA,OB为邻边作□OACB,则此 人的实际速度为OA+OB=OC (5分) 市=市-市-店+号应-(+动) ·29· B 真题密卷 单元过关检测 4A证-号Ad, (7分) 日x8-5， (12分) 所以EP=PF,所以E,F,P三点共线. (8分) (2)解：由题意知成=一A应=-？A店-A市， 又-+智a 范=武+-号A成-A市， -+号店，a而+A市=m, 所以成·成-(？店-可)·（公-A) =√-) --1A应+A币=-11A:+9=5, =√A-Ai·A币+A市-B,I4分) 所以AB|=4. (10分) 所以cos(A京，EB)= AF.EB 5 |AFEB|√13X√17 所以E成·A京-(3A店-AD)·(A+A市） =5V221 221 (17分) -名A-A店·A市-3A市-号×4 2025一2026学年度单元过关检测（九） 数学·立体几何初步 一、选择题 依题意可得，OA⊥OB,OA∥BC,OA=2,BC=4, 1.C【解析】由已知可得选项C绕对称轴旋转可形 OB=2√2. 成充满气的车轮内胎，故C正确. 取BC的中，点D,连接AD, 2.D【解析】因为ABCD-A1B1C1D1是正四棱台， 则AD⊥BC,且CD=2, 所以AB∥A1B1∥C1D1,故A错误； 因为ABCD-A1B1C1D1的侧棱延长交于一点，所 故AC=√22+(2√2)2=2√3. 以AA1与CC1相交，故B错误； 6.A【解析】令△ABC外接圆的圆心为O1,球心为 同理BB1与DD1也相交，所以B,B1,D1,D四点 O,则OO1⊥平面ABC,又AD⊥平面ABC,所以 共面，所以BD1与B1D相交，故C错误； OO1∥AD.又球心O在线段AD的中垂面上，此 A1D1与AB是异面直线，故D正确. 平面与平面ABC平行，取AD中点E,则OO1= 3.C【解析】三面涂色的小立方体是位于棱长为 4cm的立方体的顶点处的小立方体，因为立方体 AE=2AD=1.在△ABC中，∠BAC=120,AB 共有8个顶点，所以三面涂色的小立方体有8个， 每个小立方体的表面积为6cm,则表面积之和为 =AC=2,则∠ABC=30°，故△ABC的外接圆半 8×6=48cm2 1 AC 径r=合·sn2ABC一2，所以该三被维外接球的 4,B【解析】由题意可知，这些细沙的体积为27 半径R=√r2+0O月=√5， 3×6XxX3=16 3cm3. 5.B【解析】还原四边形OACB,如图所示： 之B 0 7.D【解析】设优孤BC所在圆的圆心为O,半径为 R,连接OA,OB,OC,如图所示. B ·30·你未来的样子，藏在规在的劳力里 2025一2026学年度单元过关检测（八） 6,在△ABC中，BC=8,AC=10,6os∠BAC=号，则△ABC的面积为 班级 卺题 数学·平面向量及其应用、复数 A.6 B.8 姓名 C.24 D.48 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 7.欧拉公式e=co5日十isin8由瑞士著名数学家欧拉创立，将其中的8取π就得到了欧拉 得分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 恒等式，数学家评价它是上帝创造的公式”已知复数：满是：=·则：一的最 题号 2 8 大值为 () 答案 A写 B.1 1.若复数x=cos () 4 一8+3i是纯虚数，则0的值可以为 A.2x c DE.DA 2.已知AB=(-1,cosa),BC=(2,0),CD=(2,2sina),若A,B,D三点共线，则tana= &,在ABCD中，DA=DB,E是平行四边形ABCD内（包括边界）一点，D () () A.-2 c D正·D丽，若C正=xC3+C元，则x+y的取值范围是 D.2 DBI 3.设向量a=(2,2-x),b=(1十x,1),则“a∥b”是“x=1”的 () A.1,2] A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 D.0,1] C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 c引 4.已知单位向量a,b满足a·b=0,若向量c=a十√3b,则sin(a,c》= () 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 c 答案 5.已知e1,e2是两个不共线的向量，a=e1一2e2,b=2e1十ke2.若a与b是共线向量，则实 9.已知虚数z1,xg是方程x3十4z十8=0的两个不同的根，则 () 数k= () A.x:=2 B.x1十x2=4 A.2 B.4 C.-2 D.-4 C.1之2=8 D.e1+x号=32 单元过关检测（八）数学第1页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（八）数学第2页（共8页） 10.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=3,b=2,sinB=sin2A,则 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 () 15.(13分)已知复数x=3十mi(m∈R),x1=(1十3i)x,且1为纯虚数. A.sin B=4 (1)求复数花： 9 Roc-青 (2)设z,z在复平面上对应的点分别为A,B,O为坐标原点，求向量OA在向量O丽 C.c=3 D.S△AMc=22 上的数量投影. 11.已知非零向量a,b,c,则下列结论正确的是 () A.若a(b·c)=0,则b⊥c B.若(a+b)⊥(a-b),则1a=bl C.向量(a·b)c-(a·c)b与向量a垂直 D.若a·c=b·c,则a=b 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知平面向量a,b满足a=2,且b在a上的投影向量为-，则a·b的值为 13.在口ABCD中，E,F分别为CD和BC的中点，AC=AAE+AF,其中1，∈R,则1+ 14,如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线L与两边AB,CD分别交于点 M,N.若Q是BC的中点，则QM·QN的取值范围是；若P是平面内一点，且 满足2OP=AOi+(1-1)OC(a∈R),则PM·PN的最小值是 2 单元过关检测（八）数学第3页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（八）数学第4页（共8页） 16.(15分)已知向量a=(2sinx,cosx),b=(sinx,cosx),f(x)=a·b. 17.(15分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos C+√3 asin C-b一 (1)求f(x)的最小正周期： c=0. (2)求f(x)的最小值，并求出当f(x)取最小值时x的取值集合， (1)求A: (2)若a=2,△ABC的而积为3，求b,c的值 单元过关检测（八）数学第5页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（八）数学第6页（共8页） & 18.(17分)一个人在静水中游泳时，速度的大小为2，√3km/h.当他在水流速度的大小为 19.(17分)如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上的一点，且CF=2FB. 2km/h的河中游泳时， (1)如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进（角度精确到1）？实际前进 速度的大小为多少？ (2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进（角度精确到1）？实际前进 (D若点P满足A-A+号AD,证明：E,F,P三点共线 速度的大小为多少？ (2)若AD=3,EA·EB=5,求EB与AF夹角的余弦值. 单元过关检测（八）数学第7页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（八）数学第8页（共8页）