单元过关(七)三角恒等变换-【衡水真题密卷】2026年高考数学单元过关检测(B版)

没有航向的船，任何风都是递风 密真 2025一2026学年度单元过关检测（七） 4若a,c(一受引sma,d血月是方程4红+2红-1=0的两个根，则00=（) 班级 卺题 数学·三角恒等变换 A司 B.5 姓名 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 c号 5 0. 得分 是符合题目要求的。 1-sin 2a 5.已知sn2a-2c0s。-3,则tan2a= 题号 答案 A- 1.若ima-2e0sg 7 () sin a+3cos a 3,则tana C.一24 D.24 A.-12 B.12 6已知角≠，k∈Z的顶点与原点重合，始边与：轴的非负半轴重合，终边经过点 C.-6 D.6 P(tana,4),则sin2a十1 () 2.若tana十x)=2,则2sim&-3cose cos a cos 2a+1- A.-1 B.1 c c-8 7已知函数fx)=n受+）m(后-受>0)在D,)上恰有4个零点，则。的取 a已知a=号a∈(，3）a月=，Ac管2小，则cog+o） () 值范围是 () A-35+2w7 A(g胃 a侣 12 B.35+27 c 12 C35-27 &.已知函数fc)=co十月si血ur6osor十m(m>0,m∈R)的最大值为2，最小正周 12 期为元，若∫(x)在区间[0，门(1>0)上有且仅有1个零点，则：的取值范围为() D.27-35 12 A臣) c竖 D.5x 11x 12'12 单元过关检测（七）数学第1页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（七）数学第2页（共8页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 18.设函数fa)=sin'in2ar十cour(w>0,若31，∈D,司，使得/c)+ 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 f)-9 ,则四的最小值为 答案 14.设f(a)=sin'a十cos'a,x∈{mn=2k,k∈N,利用三角变换，计算当x=4时， 9.关于函数y=sinx(sinx十cosx)的描述正确的是 () f(a)的取值范围是 ,根据f(a)在x=2,4,6时的取值情况，猜想当x= B最大值是2+1 2k(k∈N·)时，f(a)的取值范围是 A.最小正周期是2π 2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 C一条对将销是：否 D一个对称中心是（货，》 15.(13分)在△ABC中，已知tanA,tanB是关于x的方程x2+p(x+1)十1=0的两个 实根，求C 10.已知函数f(x)=asin x+cos22x一acos x,则 A.对Ha∈R,f(x)的最小正周期为2π B.3a∈R,使得f(x)的图象关于某条直线对称 C对Va∈R,f(-)是偶函数 D.当a=3时，f(x)的最小值为一3√2 11.把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转x弧度(0<x<》,记表面积 增加量为S=f(x),则 A)- Bf红)的图象关于直线x-了对称 C.S呈周期变化 D.S≤6-42 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知ana+11 tan a-1Msin'a-2sin acos a+3 cos 单元过关检测（七）数学第3页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（七）数学第4页（共8页） 16,15分)1已知e,9都是锐角，者sina=号cosa+)=号求s如9的值： 17.15分)已知函数fe)=ain2x+cos2z+},且f(）-2 1 (2)已知ina-cosa-3a∈(0,0，求in2a-若）的值. (1)求a的值和f(x)的最小正周期： (2)求f(x)在0，π]上的单调递增区间 单元过关检测（七）数学第5页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（七）数学第6页（共8页） B 18.(17分)已知函数f(x)=Asin wcos wr(A>0,u>0).从下列四个条件中选择两个作 19.(17分)已知函数y=f(x),若存在实数m,k(m≠0)，使得对于定义域内的任意实数 为已知条件，使f(x)存在且唯一确定. x,均有m·f(x)=f(x十k)十f(x一k)成立，则称∫(x)为“可平衡”函数：称有序数对 条件①：f(）-1:条件②：fc)为偶函数： (m,k)为f(x)的“平衡”数对 (1)若m=√2，判断f(x)=co5x是否为“可平衡”函数，并说明理由 条件③：z)的最大值为1：条件④：fx)图象相邻两条对称轴之间的距离为 (2)是否存在(m,k)为函数了G)=sinx(0<x≤）的“平衡”数对？若存在，求m的 (1)求f(x》的解析式 值：若不存在，请说明理由 (2)设g(x)=f(x)一2 cos'wx+1,求g(x)的单调递增区间以及g(x)在区间 [受司引上的数大鱼 注：如果选择的条件不符合要求，此题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别 解答，按第一个解答计分 单元过关检测（七）数学第7页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（七）数学第8页（共8页）·数学· 参考答案及解析 令r)=ga) 则g(y)=g(f(x1)=x1,g(y)=g(f(x2))= x2,矛盾. (15分) 以下证r(x)是以kT为周期的周期函数，T是 所以g(x十T)=g(x)+T,即f[g(x+T)] h(x)的周期， =f [g(x)+T],x+kT=k [g(x)+T]+ rc+T)=ra),即g红+T)-是（红+T) h [g(x)+T],x=kg (x)+h [g(x)]= f [g(x)], =8c)-元，即gx+T)=g)十T, 所以r(x+kT)=r(x). 1 (12分) 所以g(x)=右x十r(x)是“好函数”.(17分) 假设3x1卡x2,使得yo=f(x1)=f(x2), 2025一2026学年度单元过关检测（七）】 数学·三角恒等变换 一、选择题 所以cosa≠0且sina一cosa≠0，即cosa≠0且 sin a-2cos a 2 tana≠1. 1.B【解析】由 sina+3cosa3,得anaC22 tana+33’ sm2a-2ca。=3,印nia+coca-2 in2 1-sin 2a 解得tana=12. 已知 2sin acos a-2 cos'a 2.B【解析】由题意得tan(a十π)=tana=2, =3,所以ama+1-2tana-=3, cos a 1 1 2tan a-2 2sin a 3cos a 2tan a-32X231. 所以tana-8tana+7=0,且tana≠1，解得tana 3.A【解折】由m&-一号e∈(，）得msa 2 2tana_2×7__7 =7,所以tan2a=1-tana-1-724 6C【解桥】周为a≠经k∈Z,所以ma≠0， 得如=--(-7， 因为a的终边过，点P(tana,4),所以tana= 4 ,解得tana=士2， tan a 所以cos(B+a)=cos Bcos a-sin Bsin a= 3 sin 2a+1 2sin acos a+cos2a+sin2a (》(9）×()-3527 cos 2a+1 2cos2a-1+1 12 1 1 4.D【解析】因为sina,sinB是方程4x2+2x-1 -tan a+2+2tan'a, =0的两个根， 当tana=2时， sin 2a+1 2子 2 sin asin 0,sin asin 0. sin 2a+1 -2++× 1 当tana=-2时， cos 2a+1 又a9e(受，》则eos>0,osg>0, (-2-日第上02十27 sin 2a+1 9 1 故cos acos B=√(1-sin'a)(1-sinB) =1-(sin2a+sin2B)+sin2a sin2B 7.A【解折】因为r)-m管+）m(行） =1-(sin a+sin B)2+2sin asin B+(sin asin B)2 11,15 =(受+)cas臣（后-竖】 =1-4-2+164 5.C【解析】因为sin2a-2cos2a≠0， =sn管+g）eas管+）-n(ar+） 所以2 sin acos a-2cos2a≠0， 即2cosa(sina-cosa)≠0， 因为xeo,,所以a+e+）格 ·23· B 真题密卷 单元过关检测 据了)的玉数图象可得4<0十行<”，部得 的小正周期为子子，故A辑记 对于B,当a=0时，f(x)=弓0s4x+号的图象 1 8.A【解析】由题可知，f(x)=cos2ax十√3 sin wx· 关于立线x=经∈Z)对称，成B正确； 2 sin 2 。1 2 cos 2ox+m+ 对于C.fx)=VZasinlr-）+日os4r+号 sn2ax+）+m+2国为T- _2红=，所以w=1, 刻(》-2ax-)+2w】 又fc)的最大值为m十。=所以m=0, 所以f6)=in(2x+）+号，周为x∈D,, 2=-厄asx-3as4u+2f(-x-） 所以2x+[日，2+： am←x-）+m4(-x-】+ 因为f(x)在区间[0，t](t>0)上有且仅有1个零点， -2 aco-名as红+，所以f(e-）- 又当n=时-+2x成 1 f(-x一），所以f(-)为偶函数，故C正确； 7+2张π∈2D,所以7≤2+<11x。 6 Γ66 对于D.当a=3时，fu)=32sine-）+2os红 解得登<爱所以1e[匠》 十当x=一时，函数y=3厄sn(e一)和y= 1 二、选择题 1 9.BCD【解析】对于A,y=sinx(sinx十cosx)= 2cos4x十2同时取到最小值，分别为-32和 sin'xt sin xcos sin 2 0,所以f(x)的最小值为一3√2，故D正确. 2 11.AD【解析】设图中小三角形的斜边长为a,则 号如：一》十子长西数的策小三用期为 2π acos x+asin x+a=1①， =π，故A错误； 1 S=fx)=2·acos a·asin a·8=2a2sin2x, 对于B,当2x一至受+2张x,k∈Z,即x=警十 对于C,因为x为锐角，故S不呈周期变化，故C 错误； t∈z时y-号ne:-）+宫取将菜大 对于A,当x= 时，由①或得a-3 3 值，最大值为②十1 2,故B正确； 对于C,当-时m2×餐）=1，故x= 故A正确； 是函数的一条对称轴，故C正确； 对于B,由①可得a=snr十cosx十，故S= 元 √2 对于D,当x=8时y=号sn(2x否一）+ 2sin 2x f ()-(sin z+cos x+1)' 故画数的一个对希中心是(g,》,故D 且f(- 2sin(π-2x） 正确 m(经-+m段-+灯 2sin 2x 10.BCD【解析】f(x)=asin-acos+2cos4z (eosz十sinx+1)2=f(x),即f(x)的图象 十分：对于A,当a=0时，fx)=司os4红十号 关于直线工一置对称，故B错误： B ·24· ·数学· 参考答案及解析 对于D.5=a血，由于0受所以snz 31 2sin2a cos2a=1- 2 sin'2a= +4cos4a, 131 >0,cosx>0,且sin xcos x≤ (sin z+cos x)2 4 由于-1≤cos4a≤1，所以2≤4+4os4a≤1， 当且仅当sinx=cosx= √2 时等号成立，又由① 所以f@)层： 可得，nx+cos=En(+）1。,所以 当x=6时，f(a)=sina十cosa a =(sin2a+cos2a)(sin'a-sinacos 2a+cos'a) s≤a:×sim+s》-。×2） =(sin'a+cos'a)[(sin'a+cos'a)2-3sin2acosa] 4 -18iaoea-12ag+se, =1-a)2,xe(o,》 由于-1≤c0s4a≤1，所以{≤5+3 4≤8+gcos4a≤ 所以x+年∈（任，），所以Esin+）- 1,所以f(a)∈ 层小 。2∈自w],所以a∈巨-1，》，所以 由以上规律可以猜想：当x=2k(k∈N)时， 1-a)∈（合，2-，所以1-a)≤e-2) f(a)的取值范围是 「1 2,1∈N*). 四、解答题 =6-4√2，即S≤6-4√2，故D正确. 15.解：因为tanA,tanB是关于x的方程x2+b(x 三、填空题 +1)+1=0,即x2+x十p+1=0的两个实根， 12号【懈折】尚-名可得m&-3,。 所以tanA+tanB=-p,tan Atan B=p+l, -2sin acoscsin'a2sin acos (6分) 所以tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B) sin acos a _tana-2tana+39+6十3g tan A+tan B 一卫 tan2a+1 9+15 1-tan Atan B--1-(p+1)=-1. (12分) 7 1 13.2【解析】f(x)=sn-2sin2ur+cos'ur 由于0<C<,所以C=3 (13分) 1 -(sincos)-2sin cos sin 2 16.解：(1)已知a,9都是锐角，且sina=3 Γ5 1 1sin22wx一2sin2cwx+1 所以eosa=V-sina-号，0<a十B< (2分) 8 当且仅当sin2wx=一2时等号成立) 因为cos(a十)=i7: 所以要使得f红)十f,）=,则如2ar1- 所以ina+8》--osa+9- ,(4分) 所以sinB=sin[(a+β)-a]=sin(a+B)cosa sin2awz2=7,当x∈[0，]时，2wz cma+98=背×号吕×号-器 (6分) 7 [0,2wπ]，所以2wπ≥ 、7 6,解得m≥2所以w的 1 (2)因为sina-cosa=3' 7 最小值为2： 所以(na-60seP=),即1-2 sin co 142小：品eN)【馔标】当=2财， g,所以sin cs=音，又a∈(0，)，所以na 4 f (a)=sin2a+cos2a=1; 当x=4时，f(a)=sina+cosa=(sina+cos2a)2 ≥0ose>0,即e∈(0，》 ·25· B 真题密卷 单元过关检测 故(sina十cosa)2=1+2 sin acos a= 17 9, 所以f(x)在[0，π]上的单调递增区间为 (10分) √17 版可： (15分) 所以sina十cosa= 3 18.解：(1)f(x)=Asin wxcos wx= A sin2wz,则 cos 2a=cos2a-sin2a=-(sin a+cos a)(sin a f(x)为奇函数，故②不能选 (2分) -cos a)=- √17 9, (12分) 若选择条件①③： 放sina-） 8 又sin2a=2 sin acos a= 因为f,)的最大值为1，所以-1，即A=2, sin 2acos 6 -cos 2asin69 2 因为f(任）-1，所以s血分=1。的值不唯- 9 故不能选①③. (5分) 8√3+√17 18 (15分) 若选择条件①④： 因为f(x)图象相邻两条对称轴之间的距离为 17.解：(1)因为fx)=asm2x十cos(2z+）,且 所以 =元，即a=1, f()= A 所以f(x)= 2 sin 2x, 所以f()=asin(2x)+cos(2x牙+君） 因为f(）-1,所以分n至-1，即A=2, 1 a-2-2,解得a=1. (4分) 所以f(x)=sin2x. (8分) 若选择条件③④： 所以f(x)=sin2x+cos(2x+君】 因为∫(x)图象相邻两条对称轴之间的距离为 sin0sisin ,所以经-，即。-1， 6 =sin2x+。 因为f)的最大值为1，所以 =1,即A=2, 2c。s2x—sin2 所以f(x)=sin2x. 5os2z+m2r-sa2z+）, 综上所述，f(x)=sin2x. (10分) (7分) (2)因为g(x)=f(x)-2cos2wx+1=sin2x 即了x)=sin(2x+智)，所以了x)的最小正周 2cosx+1sin 2x-cos 2x-sin(2) 期T-=x (9分) (11分) (2自-+2x2x+≤ 令2kx-艺≤2x-至≤2x+营，k∈Z,解得kx +2kπ，k∈Z, 3π 解得一登+<<是+长，k∈乙. 8≤x≤kn+8,k∈Z, (11分) 所以g(x)的单调递增区间为 所以f(x)的单调递增区间为 5π 12 k12 k∈Z (13分) k∈Z, 3ππ 当=0时，f(x)的单调递增区间为 当xe时，2x-∈[引 [5ππ 12'12 (13分) 所以nkx-到e1, (15分) 当k=1时，f(x)的单调递增区间为 7π13π 12’12’ 不= 所以当2x-香=至，即x=时，gx)取最大 (14分) 值，且g(x)mx=1. (17分) B ·26· ·数学· 参考答案及解析 19.解：(1)若m=√2，假设函数f(x)为“可平衡”函 内的任意实数x,均有m·f(x)=f(x+k)+ 数，则√2f(x)=f(x十)十f(x一k)对于定义 f(x-k)成立，则有msinx=sin2(x十k)+ 域内的任意实数x成立， sin (),mcos 21-cos 2(k) 2 2 即2cosx=cos(x十k)十cos(x-k)对于定义 1-cos 2(x-k) 域内的任意实数x成立， 2 等价于(W2-2cosk)cosx=0对任意实数x均 所以m(1-cos2x)=2-2cos2xcos2k,整理得 成立， (3分) (2cos 2k-m)cos 2x+m-2=0.(13) 则2-2c0s&=0,即cos6=2 由上式对于定义域内的任意实数x均成立， ,k=2n元±4 可得m2, 即cos2k=1,2k=2mπ(n∈Z), (n∈Z), 2cos 2k-m=0, 故存在&=2mx士开m∈，使得f6x)=osx 即k=nπ(n∈Z), 所以存在m=2,k=nπ(n∈Z)满足题意， 为“可平衡”函数 (6分) 此时m的取值为2. (17分) (2)假设存在实数m,k(m≠0)，使得对于定义域 2025一2026学年度单元过关检测（八） 数学·平面向量及其应用、复数 一、选择题 6.C【解析】设AB=x,根据余弦定理可得BC2= 1L.C【解析】由题意可得cos(?-0）=0,至-g AC2+AB2-2AC·AB·cos∠BAC, 召十kx,k∈乙解得0=至-kx,k∈Z,根搭速 项可如，只有3平满足条件。 2.A【解析】根据题意，AB=(-1,cosa),BC= (2,0),CD=(2,2sin a),BD =BC +CD= 将BC=8,AC=10,0s∠BAC-代入可得8 (4,2sina),若A,B,D三点共线，则AB∥BD,则 有4cosa=-2sina,变形可得tana=-2. =102+x2-2X10×x×号，即x-12z+36=0. 3.B【解析】向量a=(2,2-x),b=(1+x,1),若 解得x=6.由于BC2+AB2=64+36=100= a∥b,则(2-x)(1+x)=2,解得x=0或x=1, AC,所以△ABC为直角三角形，故S=号×6×8 所以“a∥b”是“x=1”的必要不充分条件. =24. 4.A【解析】由单位向量a,b,得a|=1,|b=1, 7.D【解析】设之=x十yi(x,y∈R),则x2十y2= 又a·b=0,所以|c|2=(a十√3b)2=a2+23a· b+3b2=a2+3|b|2=4,所以c|=2, 4,所以z-e=x十yi-cosx-isin元=x+1十yi, 又a·c=a·(a+√3b)=a2+3a·b=|a|2=1, 所以|之-e|=|x+1+yi=√/(x+1)2+y= 所以oae)=日i治-名以ae)复 N+1+4-2=2+, 图为中y-所以-<x《日， 1 1 5.D【解析】由已知a≠0，因为a与b是共线向量， 所以3入∈R,使b=Aa,即2e1十ke2=入(e1- ,153 2e2),所以2e1+ke2=ae1-2λe2, 所以之-e的最大值为2×2+4=2 即？入：解得久=2，即的值为-4 DE·DADE.DB k=-2λ， 8.B【解析】由 k=一4， DA DB ·27· B